S3 Algebre I (Polycopie du cours) .pdf


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[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

I- Structure d’espace vectoriel réel
I-1 L’espace vectoriel IRn
Définition :
Les éléments de

Définition :
On peut définir sur
,

sont des suites finies de n termes réels :
, ,…,
,
, ,…,

une loi de composition interne, l'addition, notée + par :
, ,…,
, ,…,
,
,…,

Propriétés de l'addition :
Elle est associative :
, ,
,
Elle est commutative :
,
,
Elle a un élément neutre : 0
0,0, … ,0 ,
Tout élément X a un opposé noté

,

/
,…,

0
/

0
0

Définition :
On peut aussi définir sur
une loi de composition externe, multiplication par un réel,
noté "." ou parfois sans signe, par :
,
.
, ,…,
,
,…,
Propriétés de la multiplication par un réel :
1.
,
,
.
.
, ,
.
.
,
,
.
. .
L'ensemble

.
.

, muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur . On le note (

,+,.).

I-2 Espace vectoriel réel
Définition :
Un ensemble E, muni d'une loi de composition interne "+" (qui a deux éléments de E fait
correspondre un élément de E) et d'une loi de composition externe "." (qui à un élément de
et à un élément de E fait correspondre un élément de E) ayant les huit propriétés
énoncées précédemment est appelé espace vectoriel réel.
Ses éléments sont appelés vecteurs. On le note (E,+,.).

Professeure Salma DASSER

Session Automne-hiver

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