S3 Algebre I (Polycopie du cours) .pdf


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[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

II- Sous espaces vectoriels
II-1 Définition et propriétés
II-1-1 Définition
Définition :
Un sous ensemble F d’un espace vectoriel E est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de E ssi :
1) F ≠ φ
2) F est stable pour " + " : (∀x , y ∈ F
x + y ∈ F)
3) F est stable pour " . " :
(∀(α , x ) ∈ IR × F
α.x ∈ F )
ssi :
1) F ≠ φ
2) ∀( x, y ) ∈ F 2 , ∀(α , β ) ∈ IR 2 α . x + β . y ∈ F
Exemples :
1) ( P ( IR ),+,.) (l’ensemble des polynômes de degré ≤ n ) est un s.e.v. de ( F ( IR ),+,.) .
2) ( IR × {0},+,.) et ({0}× IR,+,.) sont des s.e.v. de ( IR 2 ,+,.) .

II-1-2 Propriétés :
Si E est un espace vectoriel, alors :
1) Tout sous espace vectoriel de E est un espace vectoriel.
2) L’intersection de n sous espaces vectoriels de E est un espace vectoriel.
3) ({0 E },+,.) est un sous espace vectoriel de E .
4) 0 E appartient à tous les sous espaces vectoriels de E .

II-2 Intersection de sous espaces vectoriels
Théorème :
L'intersection de deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous
espace vectoriel de E .
Remarque :
La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel.
Théorème :
L'intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un
sous espace vectoriel de E .

Professeure Salma DASSER

Session Automne-hiver

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