S3 Algebre I (Polycopie du cours) .pdf


Aperçu du fichier PDF s3-algebre-i-polycopie-du-cours.pdf - page 6/54

Page 1 ... 4 5 678 ... 54



Aperçu du document


[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

II-3 Somme de sous espaces vectoriels
Définition :
Soit E un espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E .




La somme des sous espaces vectoriels E1 et E2 , notée par E1 + E2 , est égale à :
E1 + E2 = {x ∈ E / ∃ ( x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 / x = x1 + x2 }
La somme directe des sous espaces vectoriels E1 et E2 , notée par E1 ⊕ E2 , est égale à :
E1 ⊕ E2 = {x ∈ E / ∃! ( x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 / x = x1 + x2 }
Si E = E1 ⊕ E2 , alors les sous espaces vectoriels E1 et E2 sont dits sous espaces
supplémentaires de E .

Théorème :
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors E1 + E2 et
E1 ⊕ E2 sont aussi des sous espaces vectoriels de E .
Théorème :
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E , alors les
propositions suivantes sont équivalentes :
1) E = E1 ⊕ E2
2) E = E1 + E2 et E1 ∩ E2 = {0E }
Exemple :
E = F (IR ) : E = E1 ⊕ E2 , avec
o E1 = { f ∈ E / f ( x ) = f ( − x ) ∀x ∈ IR}
o E2 = { f ∈ E / f ( x ) = − f ( − x ) ∀x ∈ IR}

(ensemble des fonctions paires)
(ensemble des fonctions impaires)

Pour montrer que E = E1 ⊕ E2 , il suffit de vérifier que E = E1 + E2 et E1 ∩ E2 = {0 E } .
En effet :
1) E = E1 + E2 :
1

 f1 ( x ) = 2 ( f ( x ) + f ( − x ))
• Soit f ∈ E . On pose 
1
 f 2 ( x ) = ( f ( x ) − f ( − x ))

2
1

⇒ f1 ∈ E1
 f1 ( − x ) = 2 ( f ( − x ) + f ( x )) = f1 ( x )

• On a :
 f ( − x ) = 1 ( f ( − x ) − f ( x )) = − f ( x ) ⇒ f ∈ E
2
2
2
 2
2
et f ( x ) = f ( x ) + f ( x )

1
2

Professeure Salma DASSER

Session Automne-hiver

5


Ce fichier a été mis en ligne par un utilisateur du site. Identifiant unique du document: 00334211.
⚠️  Signaler un contenu illicite
Pour plus d'informations sur notre politique de lutte contre la diffusion illicite de contenus protégés par droit d'auteur, consultez notre page dédiée.