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Mouvement d'un point matériel sous l'action d'une force centrale
I. Position du problème.
On s'intéresse au mouvement d'un point matériel M de masse m, en mouvement dans un 
repère galiléen (O,x,y,z) sous l'action d'une force unique  ⃗
F  telle que :

F = f ( r)⋅⃗
ur .
Remarque : un « point matériel » ou « masse ponctuelle » : cela n'existe pas ! C'est un mo­
dèle   physique   applicable   aux   solides   dont   les   dimensions   sont   négligeables   devant   les
autres dimensions  du problème et dont l'énergie cinétique de  rotation  propre est  négli­
geable. Cette deuxième condition, souvent oubliée, est importante. Imaginons par exemple
une boule de masse m qui roule sans glisser sur un plan, le mouvement de son centre
d'inertie G étant rectiligne ; aussi petit que puisse être le rayon de la boule, son énergie ci­
7
1
⋅m⋅V G2 , pas  ⋅m⋅V 2G  !
nétique est toujours 
10
2
Cette force ne dépendant que de la position, on peut lui associer une énergie potentielle 
Ep telle que :

F = −⃗
grad ( Ep) .
De l'expression du gradient en coordonnées sphériques :


grad E P=

∂EP
∂r

. u⃗r +

∂EP
1 ∂EP
1
u⃗θ +
u⃗ϕ
r ∂θ
r . sin(θ) ∂ ϕ

on déduit :
∂ EP
∂E
∂E
= −f (r ) ; ∂θP = 0 ; ∂ ϕP = 0.
∂r
Ainsi Ep ne dépend que de r et est l'opposé
d'une primitive de f(r).
Remarque : le fait qu'une primitive soit défi­
nie   à   une   constante   près   n'est   pas   gênant
dans   la   mesure   où   seules   les   variations
d'énergie potentielle ont un sens physique.
II. Planéité de la trajectoire.
Le moment cinétique au point O du point matériel M est, par définition :
⃗ = m⋅r⋅⃗
σ⃗O = m⋅⃗
OM ∧V
ur∧V⃗ .
⃗  désigne le vecteur vitesse de M dans le repère d'étude.
où  V
Le théorème du moment cinétique indique que la dérivée par rapport au temps de ce 
vecteur moment cinétique en O est égal au moment en O de la force de vecteur  ⃗
F  :
d σ⃗0
= r⋅⃗
ur ∧ ⃗
F .
dt
Les vecteurs  ⃗
F  et  ⃗
u r  étant, par définition de la force centrale, colinéaires, on obtient :
d σ⃗0
= 0 ∀ t soit : σ⃗0 : vecteur constant .
dt
Le vecteur moment cinétique en O a donc une direction et un sens fixes. Orientons le 
repère de sorte que :
σ⃗0 = σ0⋅⃗
uy .
Les propriétés du produit vectoriel et la définition du vecteur moment cinétique en O 

imposent : 

σ⃗0 ⊥⃗
OM et σ⃗0 ⊥ V⃗ .
Le point M se déplace nécessairement dans le plan (Ozx).
Plus généralement, on peut dire que, lorsqu'un point matériel est soumis à la
seule action d'une force centrale, sa trajectoire est le plan orthogonal au vec­
teur moment cinétique contenant le centre attracteur O.
Remarque : c'est pour cette raison que les satellites artificiels de la terre, dans la mesure
où les attractions des autres astres sont négligeables, décrivent dans un repère géocen­
trique, des orbites dont les plans contiennent le centre de la terre.
III. Loi des aires.
Maintenant que nous avons montré que la tra­
jectoire est plane, nous pouvons repérer la posi­
tion   de   M   par   ses   coordonnées   polaires   (r,)
conformément   au   schéma   ci­dessous.
L'expression du vecteur vitesse est ainsi :
⃗ = dr ⋅u⃗r +r⋅d θ⋅u⃗θ .
V
dt
dt
L'expression du vecteur moment cinétique en O
devient :
dr


σ⃗0 = m⋅r⋅u⃗r ∧ ⋅u⃗r + r⋅ ⋅u⃗θ = m⋅r 2⋅ ⋅u⃗y .
dt
dt
dt
Le vecteur moment cinétique étant constant, sa
norme   est   une   constante.  La   masse  étant   évi­
demment constante, nous obtenons :
2 dθ
r⋅
= C : constante au cours du mouvement .
dt

(

)

Soit M la position du point matériel à la date t
et  ⃗
dl  le déplacement élémentaire du point
matériel entre les instants de date t et (t+dt). Ce vecteur a pour expression :


dl = V⋅dt
= dr⋅⃗
ur +r⋅d θ⋅⃗
uθ .
L'aire élémentaire dS balayée par le vecteur position entre les instants de dates t et (t+dt)
OM ∧ ⃗
dl .
est la demie norme du produit vectoriel  ⃗
1 ⃗ ⃗
1 2
dS = ⋅|OM∧ dl| = ⋅r ⋅d θ .
2
2
On définit alors la vitesse aérolaire  A :
dS
1 2 dθ
1
A =
= ⋅r ⋅
= ⋅C .
dt
2
dt
2
On   vient   donc   ainsi   de   démontrer   la   loi   des   aires :   la   vitesse   aérolaire   étant   une
constante,   les   aires   balayées   par   le   vecteur   position   pendant   des   durées   successives
égales sont égales.
Remarque : la vitesse aérolaire s'exprime simplement en fonction de C ; C est souvent ap­
pelée : constante des aires.
IV. Formules de Binet.
Il s'agit d'exprimer la vitesse et l'accélération en fonction des dérivées de r par rapport à 

, le temps disparaissant explicitement des expressions en remplaçant 


C
par  2 .
dt
r

d (1/r )
dr
dr d θ
C dr
 ;
=

= 2⋅
= −C⋅
dt
d θ dt

r dθ

C
 ;
r⋅
=
dt
r
D'où la première formule de Binet : 
1
⃗ = C⋅ −d (1/r )⋅⃗
V
ur + ⋅⃗
u .

r θ
Remarque : cette relation est souvent utilisée pour exprimer l'énergie cinétique du point 
matériel :

(

)

[(

2

]

d (1/r )
1
1
1
⋅m⋅v 2 = ⋅m⋅C2⋅
+ 2 .
2
2

r
On obtient le vecteur accélération en dérivant par rapport au temps l'expression de la vi­
tesse. Dans la mesure où la force est centrale, la seconde loi de Newton impose que le vec­
teur accélération   ⃗
a   ait seulement une composante suivant   ⃗
u r . Les termes suivant   ⃗

doivent nécessairement s'annuler entre eux et ne vont pas être explicités dans la démons­
tration ci­dessous.
−d (1 /r )
−d (1 /r )
d
⋅⃗
ur
d


d u⃗r
=
⋅⃗
ur + terme colinéaire à
soit terme colinéaire à u⃗θ  ;
dt
dt
dt
Nous l'avons montré pour la vitesse : dériver par rapport à t revient à dériver par rapport
C
à  tout en multipliant par  2  :
r
−d (1 /r )
d
2

C d (1/r )
⋅⃗
ur = − 2 ⋅
⋅⃗
ur  ;
dt
r
d θ2
1
d ⋅⃗
u
r θ
1 d u⃗
= terme colinéaire à u⃗θ + ⋅ θ  ;
dt
r dt
d u⃗θ

C
= − ⋅⃗
u = − 2⋅⃗
ur .
dt
dt r
r
Au final, en ne conservant que les termes colinéaires à  ⃗
u r , on obtient la seconde formule 
de Binet :
2
C 2 d (1/ r ) 1
a = − 2⋅

+ ⋅u⃗r .
r
r
d θ2
Ec =

(

)

(

)

)

(

)

( )

(

)

V. Cas particuliers des forces centrales gravitationnelles et électriques.
V.1. Les constantes du mouvement.
Nous allons maintenant nous limiter aux forces centrales telles que :
k
f (r ) = − 2 avec k : constante .
r
La source d'un tel champ de force peut être une distribution de matière à symétrie sphé­
rique de masse totale Mt dont le centre est le point O ; par exemple : un astre dont la ré­
partition de masse est à symétrie sphérique. Si on néglige l'influence de l’aplatissement
de la terre à ses pôles, cela peut s'appliquer à l'étude des satellites de la terre dans un re­

père géocentrique. Cela peut aussi s'appliquer  à l'étude d'une planète autour du soleil
dans un repère héliocentrique si on néglige l'influence des autres planètes du système so­
laire….
Dans ce cas : k = G.Mt.m selon la loi de Newton sur la gravitation.
La source peut aussi être une distribution de charges électriques à symétrie sphérique
dont le centre est O et la charge totale Qt ; par exemple : une boule uniformément char­
gée   en   volume,   une   boule   uniformément   chargée   en   surface,   une   charge   quasi
ponctuelle… Si q désigne la charge portée par la particule ponctuelle de masse m, on ob­
tient , selon la loi de Coulomb :
Qt⋅q
.
k =−
4⋅π⋅ϵ 0
Dans ces cas, l'énergie potentielle vérifie la relation :
dE p
d (1/ r 2 )
k
= −f ( r) donc : E p = k⋅
= − .
dr
dr
r
Remarque : en considérant la constante d'intégration comme nulle, on choisit arbitraire­
ment le niveau d'énergie potentielle nulle à l'infini.
Au cours du mouvement de la masse ponctuelle, nous avons donc deux grandeurs qui res­
tent constantes au cours du temps :
Le moment cinétique en O ou plus simplement, l'expression de la constante des aires :
2 dθ
 ;
C = r⋅
dt
L'énergie mécanique dont l'expression peut s'écrire :
2
d (1 /r )
1
1
k
Em = ⋅m⋅C 2⋅
+ 2 − .
2

r
r

[(

)

]

V.2. Les trajectoires possibles.
Montrons d'abord que la trajectoire est nécessairement une conique dont O est un foyer.
La seconde loi de Newton conduit à :
2
m⋅C 2 d (1/r ) 1
k
m⋅⃗
a = − 2 ⋅
+ ⋅u⃗r = − 2⋅⃗
ur .
2
r
r

r
Après simplification, nous sommes amenés à résoudre une équation différentielle du 
second ordre :
d 2 (1/r ) 1
k
+
=
 ;
2
r

m⋅C2
1
k
Solution particulière : 
 ;
=
2
rp
m⋅C
Solution de l'équation homogène (terme de droite nul) :
1
= A⋅cos (θ−ϕ) avec A et ϕ : constantes  ;
rh
D'où la solution générale : 
2
A⋅m⋅C
1+
⋅cos (θ−ϕ)
1
k
k
=
+
A⋅cos(θ−ϕ)
=
.
r
m⋅C 2
m⋅C 2
k
Il est toujours possible de choisir A > 0, le signe étant ajusté en fonction des conditions 
initiales grâce à la variable  ϕ .
On pose alors :

(

(

)

)

m⋅C 2
= p : paramètre de la trajectoire  ;
k
A⋅m⋅C 2
= e excentricité de la trajectoire .
k
L'équation polaire est alors de la forme :
p
.
r =
1+e⋅cos (θ−ϕ)
Nous obtenons bien l'équation polaire d'une conique. L'angle  ϕ représente l'angle entre 
l'axe (Oz) et la directrice de la conique.
V.3. Énergie mécanique du point matériel M.
d (1/ r)
e⋅sin(θ−ϕ)
.
= −

p
L'expression de l'énergie mécanique déjà démontrée devient :
m⋅C 2 2
Em =
[ e ⋅sin2 (θ−ϕ)+ 1+ e2⋅cos2 (θ−ϕ)+ 2⋅e⋅cos (θ−ϕ) ]− kp⋅(1+e⋅cos( θ−ϕ)) .
2
2⋅p
On remarque :
k
k2
m⋅C 2
k2
=
et :
=
p
m⋅C 2
p2
m⋅C 2
et :
cos 2(θ−ϕ)+sin2 (θ−ϕ) = 1 .
D'où l'expression générale de l'énergie :
2
k
Em =
⋅(e 2−1) .
2
2⋅m⋅C
Remarque : bien évidemment, cette expression ne dépend ni de r ni de  puisque l'énergie 
mécanique se conserve au cours du mouvement.
On peut ainsi distinguer trois cas :
* Em > 0 ; alors e > 1 : la trajectoire est une branche d'hyperbole ;
* Em = 0 ; alors e = 1 : la trajectoire est une parabole ;
* Em < 0 ; alors  1>e⩾0  : la trajectoire est une ellipse ou un cercle dans le cas 
particulier : e = 0.
On s'intéresse maintenant au cas particulier fréquent de la trajectoire 
elliptique.
En supposant que l'axe (Oz) soit le grand axe de l'ellipse et que la situation  = 0 
corresponde au périgée de la trajectoire, on obtient :  ϕ = 0 . D'où l'équation de la 
trajectoire :
p
r =
.
1+e⋅cos (θ)
p
La distance de M à O au périgée vaut :  r min =
 ;
1+ e
p
La distance de M à O à l'apogée vaut : r max =
.
1−e
2⋅p
La longueur a du demi grand axe vérifie :  2⋅a = r max + r min =
.
1−e2
Donc :
p
m⋅C2
2
.
e −1 = − = −
a
k⋅a

Cela permet d'obtenir une expression simplifiée de l'énergie mécanique en fonction de a :
k
Em = −
.
2⋅a


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