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Stage de recherche, CIMES, Master 2ème année
9 février-31 juillet 2015

Caractérisation électromagnétique de matériaux
diélectriques et conducteurs à paroi mince

Paul MONFERRAN
Master CIMES
06 27 77 20 40
p.monferran75@gmail.com

Responsable : Christophe GUIFFAUT
Chargé de recherche
Laboratoire : XLIM/OSAUMR CNRS 6172
Faculté des sciences
123, Av. Albert-Thomas
87060 Limoges Cedex
05 55 45 77 36
christophe.guiffaut@xlim.fr
 

TABLE DES MATIÈRES

 
REMERCIEMENTS  .............................................................................................................................  3  
RÉSUMÉ  ...............................................................................................................................................  4  
PRÉSENTATION  DU  LABORATOIRE  D’ACCUEIL  .....................................................................  5  
INTRODUCTION  ................................................................................................................................  7  
CHAPITRE  1  :  DESIGN  DE  LA  CELLULE  TEM  ............................................................................  8  
1.1  Particularité  de  la  cellule  TEM  ......................................................................................................  9  

         1.2  Schéma  électrique  équivalent  et  théorie  des  lignes  ..............................................................  9  
         1.3  Géométrie  de  la  cellule  TEM  .........................................................................................................  11  
 
1.3.1  Le  solveur  FEKO  .....................................................................................................................................  11  
 
1.3.2  Détermination  de  la  longueur  de  la  cellule    ...............................................................................  12  
 
1.3.3  Présentation  des  principaux  set-­‐up    .............................................................................................  13  
 
 
1.3.3.1  Effet  de  gap  et  transitions    .............................................................................................  13  
 
 
1.3.3.2  Réduction  de  l’effet  inductif  ..........................................................................................  15  
 
 
1.3.3.2  Géométrie  optimale  ...........................................................................................................  17  
         1.4  Conclusions  

CHAPITRE  2  :  CONSTRUCTION  DE  LA  CELLULE  TEM    ........................................................  18  
2  .1  Choix  des  matériaux  .......................................................................................................................  19  
2.2.1  Choix  du  métal    ............................................................................................................................................  19  
2.2.2  Choix  des  supports  de  la  structure    ....................................................................................................  19  
2  .2  Dimensions  des  différentes  parties  de  la  cellule  ..................................................................  20  
2  .3  Schémas  et  plans  de  construction    ............................................................................................  22  
2.3.1  Représentation  3D  de  la  cellule  TEM      ...............................................................................................  22  
2.3.2  Vues  transversales  et  à  plat  de  la  pièce  conductrice    ..................................................................  22  
2  .4  Procédés  de  fabrication  envisagés    ...........................................................................................  23  
2  .3  Conclusion  .........................................................................................................................................  28  

CHAPITRE  3  :  MODÉLISATION,  SIMULATION  ET  OPTIMISATION  NUMÉRIQUE  .......  29  
3.1  Modélisation  et  simulation  ...........................................................................................................  30  
3.1.1  TEMSIFD  comme  outil  de  modélisation  et  simulation  ...............................................................  30  
3.1.2  Comparaison  des  solveurs  TEMSIFD  et  FEKO  ...............................................................................  31  
3.2  Validation  du  modèle  de  simulation  .........................................................................................  35  
3.3  Algorithme  d’optimisation  ............................................................................................................  36  
3.3.1  Introduction  ..................................................................................................................................................  36  
3.3.2  Fonction  coût  ................................................................................................................................................  37  
3.3.3  Algorithme  .....................................................................................................................................................  38  
3  .4  Validation  de  la  méthode  et  du  modèle  classique  ................................................................  40  
3  .5  Conclusion  .........................................................................................................................................  41  

CHAPITRE  4  :  CARACTÉRISATION  DES  MATÉRIAUX  .........................................................  42  
4.1  Caractérisation  des  matériaux  diélectriques  en  modèle  classique  ................................  43  
4.1.1  Le  modèle  .......................................................................................................................................................  43  
4.1.2  Les  échantillons  testés  .............................................................................................................................  43  
4.1.3  Résultats  .........................................................................................................................................................  45  
4.2  Détermination  de  la  permittivité  d’un  diélectrique  en  modèle  de  Debye  ....................  46  
4.2.1  Le  modèle  de  Debye  ..................................................................................................................................  46  

 

1  

4.2.2  Validation  du  modèle  un  filtre  en  simulation  .................................................................................  47  
4.2.3  Validation  du  modèle  deux  filtres  en  simulation  ..........................................................................  47  
4.3  Perspective  de  caractérisation  pour  les  matériaux  conducteurs  ....................................  48  
4.3.1  Simplification  de  la  cellule  TEM  modélisée  .....................................................................................  48  
4.3.2  Contraintes    ...................................................................................................................................................  49  
4.3.3  Validation  en  simulation  .........................................................................................................................  50  
4.3.4  Mesure  et  optimisation  d’un  CRFC  ......................................................................................................  51  
4.4  Conclusion  ..........................................................................................................................................  52  

CONCLUSION  ...................................................................................................................................  53  
BIBLIOGRAPHIE  ............................................................................................................................  54  
ANNEXES  ..........................................................................................................................................  55  

 

2  

REMERCIEMENTS
Dans le cadre de mes six mois de stage passés au sein de l’équipe CEM du département OSA
de l’Institut de Recherche XLIM, je souhaiterais tout d’abord remercier Alain Reneix et
Christophe Guiffaut, respectivement directeur du département OSA et chargé de Recherche
de l’équipe CEM, de m’avoir accueilli au sein de leur équipe. Merci de m’avoir offert la
possibilité de travailler et de progresser avec vous.
Christophe, je te remercie d’avoir proposé un sujet innovant et passionnant qui m’a permits de
m’investir avec joie dans ce travail. Merci pour ta confiance et ton excellent encadrement
scientifique.
J’adresse également mes sincères remerciements à tous les autres membres de l’équipe CEM,
Omar Dafif, Guillaume Andrieu, François Torres, Tarek Bdour et aux Nicos. Vos conseils ont
été pour moi d’une grande aide. Je remercie aussi Remi Tumayan avec qui j’ai le plaisir
d’écrire un article sur le développement de la méthode de caractérisation présentée dans la
suite.
Je tiens également à remercier les techniciens de l’atelier avec qui j’ai pu collaborer et
apercevoir une autre facette d’XLIM. Patrick, Ludovic, Pierre-Olivier et Quentin merci pour
l’excellent travail que vous avez réalisé.
Merci Nadine pour ta gentillesse et ton efficacité face aux tâches administratives qui m’ont
permis de rejoindre rapidement cette équipe et d’obtenir le matériel nécessaire pour l’avancée
de mon stage.
Je tiens à remercier encore Christophe et Alain pour la proposition de thèse qui m’a été faite
et j’espère vous retrouver très bientôt dans ce projet passionnant.
Pour finir, un grand merci à toi Johanna sans qui je n’aurais probablement jamais connu ces
gens merveilleux. Merci pour ton soutien et merci à ta famille qui a permis mon intégration
rapide dans cette ville. Mille mercis à mes parents de m’avoir soutenu dans mon projet.

 

3  

RÉSUMÉ
Résumé : Des méthodes de caractérisation de matériaux diélectriques ont été développées ces
dernières années pour répondre à une forte demande du secteur des transports notamment qui
utilisent de plus en plus de matériaux composites. Dans ce rapport, est présentée une toute
nouvelle méthode qui permet la détermination de la permittivité complexe de l’ensemble des
matériaux diélectriques tels que le téflon, le plâtre ou l’acrylique indépendamment de leurs
géométries. L’appareil de mesure développé est décrit en détails ; il s’appuie sur la théorie des
lignes et s’apparente à une demi cellule TEM. La méthode de caractérisation large bande (0
kHz-1Ghz) consiste en une comparaison des paramètres S en mesure et en simulation en
présence d’un matériau dans la cellule TEM et une optimisation de la simulation afin de se
rapprocher de la mesure en terme de comportement des paramètres S.
Mots-clés : cellule TEM, caractérisation, matériaux diélectriques, simulation FDTD,
optimisation non linéaire.
Abstract : These last years, many dielectric materials characterization methods are developed
in the transport sector that use novel composite materials. My internship report submit a novel
method of characterization of complex permittivity of dielectric materials as téflon, plaster or
acrylic. Unlike the others methods, ours is not restrained by materials geometry. Our
measurement device, a half TEM cell designed using transmission lines theory, is described in
details. The goal was to characterize permittivity in the frequency range 0kHz-1GHz
comparing the S parameters measured with the S parameters simulated. In presence of
equipment under test, an optimization of the simulation about S parameters permit to fit to the
S parameters measured.
Keywords : TEM cell, characterization, dielectric materials, FDTD simulation, non
linear optimization.

 

4  

PRÉSENTATION DU LABORATOIRE D’ACCUEIL
1. L’institut de Recherche XLIM
XLIM est un institut de Recherche pluridisciplinaire et multi-sites, localisé à Limoges,
Poitiers et Brive. C’est une Unité Mixte de Recherche Université de Limoges/CNRS en
partenariat avec l’université de Poitiers et les régions Limousin et Poitou-Charentes.
XLIM regroupe plus de 480 enseignants-chercheurs, chercheurs CNRS, ingénieurs,
techniciens, post-doctorants, doctorants et personnels administratifs.
L’institut est organisé en 6 départements de recherche, 5 programmes transversaux et une
équipe émergente qui s’appuient sur une plate-forme de technologie et d’instrumentation pour
l’optique, les micro-ondes et la CAO. Les domaines de recherches concernent l’électronique
hautes fréquences, l’électromagnétisme, la photonique, les mathématiques, l’informatique et
l’image.
XLIM est un laboratoire d’excellence, dont les activités de recherche sont reconnues au
niveau mondial.
Les 6 départements de recherche sont :







C2S2 (Composants Circuit Signaux et Systèmes Hautes Fréquences)
DMI (Département Mathématiques Informatique)
MINACOM (Micro et Nanotechnologies pour composants Optoélectroniques et
Micro-ondes)
OSA (Ondes et Systèmes Associés)
PHOTONIQUE
SIC (Signal Image Communications)

Qui s’articulent autour des 5 programmes transverses :






Bio-Electro-Photonique
CAO (Méthodes et Outils de CAO pour l’Intégrité du Signal et la CEM du Frontal RF
et des Systèmes de Communications)
GPPMM (Gas-Phase Photonic and Microwave Materials)
IRO (Imagerie Radar et Optique)
QOS (Optimisation de Qualité et de Services des transmissions sans fil en
environnement multi-trajet)

L’organigramme de la page suivante présente l’organisation de l’institut de Recherche XLIM.
J’ai pour ma part intégré l’équipe CEM département OSA qui seront présentés par la suite.
2. Le département OSA
Les activités de recherche du département OSA d’Xlim portent sur l’étude de l’interaction des
ondes électromagnétiques avec l’environnement (milieux, objets, bâtiments, électronique, le
vivant…). L’originalité de l’approche développée dans chacun des projets du département,
consiste à analyser les interactions électromagnétiques souvent via le domaine impulsionnel.
Sur le plan théorique, cette démarche a conduit, dans le passé, au développement de codes
numériques spatiotemporels avec des premières mondiales : matériaux réels traités en FDTD,
analyse des antennes via le domaine transitoire, et se poursuit actuellement par l’élaboration

 

5  

de codes plus spécifiques (PIC, FDTD-asymptotique, imagerie RADAR, BIE, etc…) issus
pour la plupart d’approches théoriques innovantes.
Parallèlement, des approches expérimentales nouvelles sont développées en régime transitoire
grâce aux énormes progrès effectués dans la génération d’impulsions électromagnétiques
ultrabrèves (< ns) et de forte puissance, le rayonnement de ces pulses et l’acquisition des
réponses impulsionnelles. Si l’utilisation de ces pulses est un dénominateur commun à tous
les projets, les interactions avec l’environnement scellent l’originalité de chacune des équipes.
De l’interaction avec l’électronique en CEM à celle avec le vivant en bioélectromagnétisme
en passant par les bâtiments, végétation, boitiers, sols, milieux, etc… caractéristiques des
activités en Antennes, Réseaux sans fils et Systèmes ULB.
Les ambitions sont à la fois « côté amont » sur des études fondamentales mais également «
côté aval » par un partenariat fort avec les centres de recherches étatiques et les industriels via
des projets collaboratifs locaux, nationaux ou européens (CNES, Thalès, DGA, CEA,
Dassault Aviation, etc…). Dans cette dernière démarche, le département OSA travaille en
collaboration avec le centre de Transfert de Technologie (CISTEME).
Le département est organisé autour des 4 projets scientifiques suivants :





le projet Compatibilité Electromagnétiques (CEM),
le projet « Dispositifs impulsionnels Ultra-Large Bande »,
le projet « Antennes multifonctions »,
le projet « réseaux sans fils ».
3. L’équipe CEM

Les rayonnements électromagnétiques peuvent être émis par des émetteurs de communication
(antennes) et plus généralement par tout types de conducteurs sur lesquels des signaux
électriques alternatifs circulent (signaux de commandes, d’alimentation, de communication).
En champ très proche, des couplages électromagnétiques directs s’établissent entre les
conducteurs (câbles couplés, conducteurs imprimés, conducteur - structure) générateurs de
signaux parasites. L'augmentation du nombre de systèmes électroniques embarqués ou non et
du nombre de perturbateurs potentiels, rend les problèmes de cohabitation cruciaux. L’équipe
CEM met au point des dispositifs de mesures et développe des méthodes de modélisation et
de simulation numériques sur des problématiques de compatibilité large bande allant de petit
système à des systèmes complets et complexes tel qu’un avion. Les structures analysées
présentent généralement un aspect fortement multi-échelle (ex : véhicule, câblage, boitier,
carte électronique, pistes, composants…), peuvent présenter une forte densité de fonctions
électroniques et de câblage. De ce fait l'étude des perturbations et des dysfonctionnements fait
appel à de nombreux domaines de compétence.

INTRODUCTION
Le sujet du stage porte sur l’élaboration d’une nouvelle méthode de caractérisation
électromagnétique (EM) de matériaux minces et de nouvelle génération pour le secteur de
 

6  

l’automobile. En utilisant une méthode originale et à très large bande (0Hz-300MHz), il sera
ainsi possible de déterminer les caractéristiques EM telles que la etivité diélectrique complexe
ou la conductivité de matériaux minces (en particulier composite) utilisés par Renault afin
d’alléger la masse et de présenter de meilleurs comportements mécaniques. La méthode
consistera à mesurer les paramètres S d’une cellule TEM (Transverse Electro-Magnétique) en
présence du matériau à caractériser et d’en remonter à ses caractéristiques EM à l’aide d’un
logiciel de simulation FDTD (Finite Difference in Time Domain) et d’une méthode
d’optimisation non linéaire.
Dans un premier temps, il fallait déterminer une géométrie de cellule TEM adéquate pour le
banc de mesure. Le comportement de la cellule repose notamment sur la théorie des lignes de
transmission dont nous évoquerons quelques principes par la suite. Mon travail a donc été tout
d’abord de me renseigner plus précisément sur la théorie des lignes afin de comprendre les
comportements EM d’une telle cellule et d’en déterminer une géométrie optimale
[8,9,10,12,13,14] puis de réaliser la cellule en collaboration avec l’atelier de mécanique de
XLIM et enfin de mettre en place le code d’optimisation non linéaire. Une fois le modèle
numérique validé, l’enjeu était de caractériser des échantillons tests de géométries différentes
afin de valider la méthode de caractérisation proposée pour n’importe quel matériau
diélectrique. Dans l’optique de caractériser un maximum de diélectriques possibles, les
modèles « classiques » et de Debye de la permittivité seront étudiés.
 

 

7  

Chapitre 1. Design de la cellule TEM

 

CHAPITRE 1
DESIGN DE LA CELLULE TEM

CONTENU
1.1 Particularité de la cellule TEM
1.2 Schéma électrique équivalent et théorie des lignes
1.3 Géométrie de la cellule TEM
1.4 Conclusion

 

8  

Chapitre 1. Design de la cellule TEM

 
L’objectif de ce chapitre est de détailler l’appareil de mesure qui permet la caractérisation des
matériaux diélectriques.
Dans ce but, le chapitre commence par décrire le design « général » de notre cellule TEM et
sa particularité par rapport aux cellules TEM « classiques ». Afin d’optimiser les propriétés de
notre cellule, l’application de la théorie des lignes sera succinctement explicitée et les
différents set-up de cellule mis en évidence.

1.1 Particularité de la cellule TEM
Habituellement, les cellules TEM sont des striplines composées de deux plaques métalliques
respectivement au dessus et en dessous d’un septum. Ces trois plaques métalliques sont liées
par des tapers de chaque coté (Fig. 1a). Dans notre cas, nous avons choisi de simplifier ce
design en « demi-cellule TEM ». En effet, la demi-cellule est simplement formée d’une
plaque conductrice au dessus d’un plan de masse reliés par deux tapers (Fig. 1b).
Par ailleurs, notre cellule est une cellule ouverte qui a le désavantage de ne pas isoler
totalement le matériau sous test (EST) des champs électromagnétiques externes dus à
l’environnement. Néanmoins, nous verrons plus tard que pour notre caractérisation ce design
ne posera pas de problème étant donné que la mesure effectuée avec l’EST est une mesure
relative à celle à vide.
Taper  

Septum  
Taper  

Figure 1a. Cellule TEM conventionnelle en coupe
transversale. Les parties en bleues sont des plaques
métalliques fortement conductrices.

Plan  de  masse  

Figure 1b. Demi-cellule TEM en coupe
transversale. Les parties en bleues sont des plaques
métalliques fortement conductrices.

1.2 Schéma électrique équivalent et théorie des lignes
En appliquant la théorie des lignes on peut modéliser notre cellule TEM comme une ligne de
transmission telles que celle présentée ci-dessous (Fig. 3) :

 

9  

Chapitre 1. Design de la cellule TEM

 

Figure 3 : Modèle en ligne de transmission à basses fréquences de la cellule TEM. Les impédances Z1
correspondent à l’impédance d’entrée du générateur (50 Ω) et l’impédance du bouchon en fin de cellule
(50 Ω). Les inductances Li et les capacitances Ci correspondent respectivement à l’énergie magnétique et
électrique emmagasinée (en H/m et Ω/m) sur la plaque supérieure et les tapers.

Pour satisfaire notre caractérisation, il est nécessaire que l’impédance caractéristique tout au
long de la cellule TEM soit égale à 50 Ω. On alimente donc bien en entrée avec un générateur
50 Ω et en sortie on place un bouchon 50 Ω. Cependant, ceci n’est pas suffisant ; en effet,
pour une plaque conductrice de largeur w au dessus d’un plan de masse à une hauteur h,
l’impédance caractéristique de celle-ci vaut [11] :

Les dimensions de la cellule sont dépendantes de l’impédance caractéristique Zc.
Pour des raisons pratiques, on a choisi de fixer h à 10 cm. En effet, en traçant w(h) à Zc=50 Ω,
on peut se rendre compte que plus h est grand plus w l’est aussi, et que pour ne pas avoir une
cellule trop encombrante il était nécessaire d’avoir donc une hauteur pas très élevée. Une fois
h fixé, j’ai pu déterminer w en traçant la fonction Zc(w) à h=10 cm (Fig. 4).

 

10  

Chapitre 1. Design de la cellule TEM

 

Figure 4 : Impédance caractéristique (en Ω) de la cellule TEM en fonction de sa largeur w (en m) à
hauteur fixe de 10 cm (courbe rouge). L’intersection entre la courbe Z=50 Ω et Z(w) fixe la valeur de w à
0.484 m.

Une fois la largeur de la cellule déterminée pour une hauteur fixée, il a fallu déterminer la
meilleure transition possible en modifiant les géométries des tapers.

1.3 Géométrie de la cellule TEM
1.3.1 Le solveur Feko
Le solveur utilisé, appelé Feko, est un solveur développé en 1994 par Gronum Smith et Frans
Meyer et commercialisé par EMSS. Feko est un logiciel de simulation électromagnétique
(EM) permettant de prévoir des phénomènes électromagnétiques tels que le comportement
des champs, de l’impédance ou des réflexions d’un appareil préalablement modélisé à l’aide
de l’interface de CAO (conception assistée par ordinateur) du logiciel. Feko m’a ainsi permis
de mettre en place la géométrie optimale de la cellule TEM après plusieurs semaines de
simulation sur de nombreux prototypes. Nos critères déterminants furent :

 



l’impédance d’entrée qui devait être, en partie réelle proche de 50 Ω, et nulle en partie
imaginaire, sur la plus grande bande de fréquence possible.



Le module du coefficient de réflexion qui devait être inférieur à -10 dB sur la bande de
fréquence 100MHz-300MHz afin que l’effet du matériau sous test soit suffisamment
remarquable.

11  

Chapitre 1. Design de la cellule TEM

 
1.3.2 Détermination de la longueur de la cellule
Bien que l’impédance caractéristique ne soit pas gouvernée par la longueur de la cellule, il ne
faut pas négliger celle-ci pour la caractérisation. En effet, l’effet de transition du champ dû au
taper impose une longueur de transition avant que le champ soit homogène et non perturbé
par cette transition. Afin de déterminer cette longueur, j’ai modélisé sous Feko une cellule de
4m de longueur et observé la longueur de transition des champs (Fig. 5a et 5b).

Figure 5a. Mesure de la transition électromagnétique à l'aide de la cartographie du champ E

Figure 5a. Mesure de la transition électromagnétique à l'aide de la cartographie du champ H

 

12  

Chapitre 1. Design de la cellule TEM

 
On observe clairement la longueur de transition des champs qui est d’environ 25cm pour les
champs E et H ce qui correspond à la moitié de la largeur de la ligne de transmission. Il est
donc nécessaire d’avoir une cellule d’au moins 50cm de long.
1.3.3 Présentation des principaux set-up
Les quatre principaux set-up testés sont présentés ci-dessous (Fig. 6,7,8 et 9). Ils possèdent
chacun des types de transitions différentes.

Figure 6. Set-up D modélisé par Feko

Figure 7. Set-up E modélisé par Feko

Figure 8. Set-up F modélisé par Feko

Figure 9. Set-up G modélisé par Feko

1.3.3.1 Effet de gap et transition
Nous avons une transition entre le fil conducteur qui nous permet d’alimenter la cellule et les
tapers. La longueur du fil et donc du gap entre les transitions est non négligeable pour
l’adaptation de la cellule tout comme la largeur des transitions. Ainsi, j’ai tracé les courbes
d’impédance en fonction de la largeur de la transition et du gap du set-up F (Fig. 10). Il
apparaît clairement qu’il faut privilégier une transition élargie et un gap de 5mm. D’autre part,
comme on peut le voir sur la figure 11, la géométrie du set-up D est à exclure. De plus, on
remarque que les trois set-up possèdent une partie imaginaire de l’impédance positive mettant
en évidence un effet inductif fort qu’il va falloir compenser en introduisant un effet capacitif.

 

13  

Chapitre 1. Design de la cellule TEM

 

Figure 10. Partie imaginaire de Ze pour les différents set-up F

Figure 11. Partie imaginaire de Ze pour les set-up symétriques D,E et F

 

14  

Chapitre 1. Design de la cellule TEM

 
1.3.3.2 Réduction de l’effet inductif
Dans un premier temps, on a tenté de casser la symétrie des set-up E et F, en faisant une
attaque directe des tapers sur le plan de masse, pour introduire un effet capacitif fort, ce qui a
bien fonctionné (Fig. 12). Notre choix s’est alors porté sur le set-up E, mais, après plusieurs
tentatives d’optimisation de l’adaptation, notamment en réduisant la largeur de la ligne pour
compenser un effet capacitif trop important maintenant, nous nous sommes rendu compte
qu’il n’était pas possible avec ce set-up d’obtenir une bonne adaptation sur une large bande de
fréquence.

Figure 12. Partie imaginaire de Ze des set-up E et F symétrique et antisymétrique

1.3.3.3 Géométrie optimale
La nécessité d’un nouveau set-up s’imposant, nous avons essayé une transition mêlant la
transition triangulaire et rectangulaire (Fig. 9). En optimisant la largeur de la base
rectangulaire, on obtient un résultat très satisfaisant sur l’impédance (Fig. 13) ainsi que sur le
coefficient de réflexion (Fig. 14) qui répondent tout deux aux caractéristiques attendues en
1.3.1. Nos attentes sont même dépassées puisqu’a priori la caractérisation pourra s’effectuer
jusqu’à 500Mhz.
Comme prévu, le champ électrique au milieu de la cellule est beaucoup plus stable pour ce
set-up que pour le set-up E (Fig. 15).

 

15  

Chapitre 1. Design de la cellule TEM

 

Figure 13. Partie réelle et imaginaire de l’impédance d’entrée du set-up G

Figure 14. Coefficient de réflexion du set-up G

 

16  

Chapitre 1. Design de la cellule TEM

 

Figure 15. Comparaison entre les champs électriques pris au milieu des set-up G de longueur 70cm et E
de longueur 50cm

1.4 Conclusions
Pour résumer ce chapitre, nous avons vu les éléments essentiels du design qui permettent une
bonne adaptation de la cellule TEM. Largeur, gap et transition étant les principaux éléments
déterminant l’impédance caractéristique de notre cellule. Ces caractéristiques ont été
optimisées à l’aide du solveur Feko afin de répondre à nos critères d’impédance et de
réflexion nécessaires à la caractérisation.
Enfin, il faut relever un point qui n’a pas été mentionné précédemment ; pour le maintien de
la cellule, il faudra ajouter des supports diélectriques à celle-ci. Le choix des supports sera
développé dans le prochain chapitre. De même, les dimensions précises de notre cellule sont
présentées dans le prochain chapitre.

 

17  

Chapitre 2. Construction de la cellule TEM

 
 

CHAPITRE 2
CONSTRUCTION DE LA CELLULE TEM

CONTENU
2.1 Choix des matériaux
2.2 Dimensions des différentes parties de la cellule
2.3 Schémas et plans de construction
2.4 Procédés de fabrication envisagés
2.5 Conclusion

 

18  

Chapitre 2. Construction de la cellule TEM

 
 
La géométrie de la cellule étant arrêtée, il a fallu construire cette dernière. L’objectif de ce
chapitre est de décrire les choix mécaniques et les procédés de construction de notre cellule.
Ce chapitre comporte très peu d’explications écrites, mais rend compte du travail réalisé pour
la construction de la cellule par de nombreux schémas.

2.1 Choix des matériaux

 
 
2.2.1 Choix du métal
 
Les trois métaux présents en suffisamment grande quantité à l’atelier de mécanique sont
l’aluminium, le laiton et l’inox.
Comparons leurs caractéristiques afin de déterminer le type de métal à choisir [1].

Aluminium

Conductivité
(10^6 S/m)
36,9

Attaquable
soudure
Oui

Laiton
Inox

15,9
1 ,37

Oui
Non

par Possibilité de pliage d’une
plaque métallique
Difficile pour une plaque de
plus d’un millimètre
Facile
Facile

Le laiton est le choix adopté, sa conductivité suffisamment élevée permettra un bon
déplacement du courant au sein de la cellule TEM. De plus, contrairement à l’Inox, le laiton
est attaquable par soudure, ce qui est nécessaire pour alimenter notre cellule par un fil
conducteur. Le fait de pouvoir plier facilement les plaques de laiton et pas celle d’aluminium
permet une faisabilité mécanique de la cellule à prendre obligatoirement en compte.
 
 
 
2.2.2 Choix des supports de la structure
 
La cellule TEM étant surélevée par rapport au plan de masse de 5 mm, il est nécessaire de la
maintenir à une hauteur précise. En effet, on a vu précédemment que la hauteur de la structure
est un des paramètres déterminants pour l’adaptation d’impédance, tout comme la hauteur du
gap entre la cellule et le plan de masse. Ainsi, pour la maintenir, nous avons à disposition des
plaques de polycarbonate et d’acrylique. Nous cherchons à minimiser les pertes, la
désadaptation et les perturbations de champ dues à l’ajout de ces matériaux diélectriques.
Pour cela, il est nécessaire de connaître les caractéristiques électriques de ces deux matériaux
[2,3,4,5].
Polycarbonate

Acrylique

Constante diélectrique à
1MHZ

2.8

2.6

Facteur de pertes à 10 MHz

0.02

0.012

Rigidité diélectrique en
Kv/mm

25

20

Notre choix se portera finalement sur le polycarbonate. Bien que de constante diélectrique un
peu plus élevée et légèrement plus sensible aux pertes, il présente des qualités mécaniques et

 

19  

Chapitre 2. Construction de la cellule TEM

 
 

pratiques intéressantes comme le fait d’être transparent, facile à la découpe, incassable et non
sensible au vieillissement contrairement à l’acrylique.
 

2.2 Dimensions des différentes parties de la cellule
 

 
2  cm  

2  bases  rectangulaires  en  
laiton  
15  cm  

30  cm  
Plaque  supérieure  en  laiton  

 
48.4  cm  
 

15  cm  

27.1  cm      

2  trapèzes  en  laiton  

48.4  cm      
 

100  cm  
Plan  de  masse    

110  cm  

 

20  

Chapitre 2. Construction de la cellule TEM

 
 
4  cm  

2  cm  

7.5  cm  

2  plaques  en  polycarbonate  

   

5  cm  

19  cm  
 
1  

4  tubes  en  polycarbonate  

 cm  
10  cm  

2  connecteurs  SMA  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

21  

Chapitre 2. Construction de la cellule TEM

 
 

2.3 Schémas et plans de construction
 
 
 
 

2.3.1 Représentation 3D de la cellule TEM  

 
Figure 16. Représentation 3D de la cellule TEM modélisée sous Feko. Sont représentées en bleues les
parties en matériau non conducteur de type polycarbonate, en jaune le plan de masse et en oranges les
parties considérées comme parfaitement conductrices.

 
 
2.3.2 Vues transversale et à plat de la pièce conductrice  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

15  cm  
1
2  cm  
27.1  cm  

48.4  cm  
76.72  cm  

 
 
 
 
 

 

30  cm  

 
 
 
 

 

22  

Chapitre 2. Construction de la cellule TEM

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

30  cm  
21.36  cm  

20°56  
2  cm  

Fil  conducteur  
Plan  de  masse    

0.5  cm  
Connecteur  SMA  

 

 

 
 

2.4 Procédés de fabrication envisagés  
 



Étape 1 : Découpe de la pièce conductrice à partir d’une plaque de laiton.
2.5  cm  
1.5  cm  

16.7  cm  
21.36  cm  

!  0.3  cm  

76.72  cm  

30  cm  

48.4  cm  

5  cm  
5  cm  

15  cm  
2  cm  

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

23  

Chapitre 2. Construction de la cellule TEM

 
 
 
 
 



Étape 2 : Pliage de la pièce conductrice
 

110°56  
Figure 17. Parties extrêmes de la pièce conductrice
avant pliage (vue de dessus). En pointillés est
représentée la ligne de pliage.

 
 
 
 

Figure 18. Parties extrêmes de la pièce conductrice
après un pliage de 110°56 (vue de ¾ face). En
pointillés est représentée la ligne de pliage.

 

20°56  

Figure 19. Zone de transition entre la plaque
supérieure et la plaque en biais de la cellule
TEM avant pliage (vue de dessus). En
pointillés noirs est représentée la ligne de
pliage.

Figure 20. Zone de transition entre la plaque supérieure et la
plaque en biais de la cellule TEM après pliage (vue de
dessus). Respectivement est représentée en pointillés noirs la
ligne de pliage et en pointillés bleus l’angle de pliage.

 
 
Les figures 17, 18, 19 et 20 explicitent les angles de pliages pour les zones de transitions. La
page qui suit est un plan de construction représenté à l’échelle 1:3.
 
 
 
 
 
 

 

24  

Coupe transversale de la cellule TEM
Paul Monferran - Echelle en cm: 1:3
z

35cm

30cm

25cm

20cm

15cm

10cm

30
21.36

69.44°

7.5
21.36

5cm

20.56°
2
0cm

2

20

0.5
0cm

0.5 y
5cm

10cm

15cm

20cm

25cm

30cm

35cm

40cm

45cm

50cm

55cm

60cm

65cm

70cm

Chapitre 2. Construction de la cellule TEM

 
 

 
 
 
 
 
 

Étape 3 : Fixation sur plan de masse
1-Fixation des plaques en polycarbonate sur les bases de la cellule  
 

 

Base  rectangulaire  en  
laiton  

Plan  de  masse    

 
 
 
 
 

 

Plaque  en  polycarbonate  

Équerre  
métallique  

 
 
 
 
 
Vis  plastique  
 
 
 
 
 
 
Les plaques en polycarbonate doivent être vissées sur la base en laiton de telle façon que les
plaques en laiton soient fixées à 5 mm du bord inférieur des plaques plastiques.
 
 
 
 

26  

Chapitre 2. Construction de la cellule TEM

 
 
 
 
 

a. Fixation de la plaque supérieure sur le plan de masse    

Plaque  supérieure  
de  laiton  
Trou   dans   la   plaque   de  
laiton  et  dans  le  tube  de  
polycarbonate  

Vis  plastique  
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2- Fixation sur le plan de masse

 
 

 
 
 

Plan  de  masse  
Tube  en  polycarbonate  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

27  

Chapitre 2. Construction de la cellule TEM

 
 
 

 

b. Fixation des équerres, soudures et connexions

Il ne reste plus qu’à visser les équerres métalliques sur le plan de masse afin de stabiliser la
structure de la cellule, de souder les fils sur les bases rectangulaires conductrices en laiton et
aux connecteurs SMA fixés préalablement sous le plan de masse à l’aide de vis .
Un des avantages majeurs de la fixation à vis est le fait de laisser une liberté de démontage
pour d’éventuels ajustements. L’ouverture en « porte » dans la plaque plastique, outre le fait
qu’elle permette une meilleure adaptation comme vu précédemment, donne un avantage
pratique essentiel qui permet de souder facilement le fil sur la plaque métallique sans être en
contact avec le plastique et risquer de le faire fondre.
 

2.5 Conclusion
La cellule TEM, représentée sur la figure 21, a été construite en suivant précisément les
procédés explicités précédemment et en utilisant les matériaux adéquats. Ces choix furent
faits en fonction des moyens financiers et techniques du laboratoire afin de permettre une
réalisation « facile » tout en préservant des caractéristiques électromagnétiques de qualité.
En suivant le déroulement de la construction de la cellule et en aidant de temps en temps à sa
réalisation, j’ai pu aussi mettre en pratique des qualités plus techniques et apprendre beaucoup
sur ce domaine.

 
Figure 21. Photo de la cellule TEM en laiton sur son plan de masse soutenue par les structures
diélectriques en polycarbonate

 
 
 

 

28  

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 

CHAPITRE 3
MODELISATION, SIMULATION ET OPTIMISATION
NUMERIQUE

CONTENU
3.1 Modélisation et simulation
3.2 Validation du modèle de simulation
3.3 Algorithme d’optimisation
3.4 Validation de la méthode et du modèle numérique
3.5 Conclusion

 

29  

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 
Ce chapitre décrit les méthodes numériques de simulations électromagnétiques utilisées pour
la caractérisation. Dans un premier temps, nous verrons la concordance entre simulations et
mesures qui permet de valider notre simulateur. Et, dans un second temps, la méthode
d’optimisation sera développée afin de donner une vision plus précise du modèle de
caractérisation choisi.

3.1 Modélisation et simulation
3.1.1 TEMSIFD comme outil de modélisation et simulation
TEMSI-FD (Time ElectroMagnetic Simulator –Finite Difference) est un outil de simulation
électromagnétique basé sur la méthode des différences finies qui consiste à résoudre un
système d’équations au sein d’un maillage hexaédrique uniforme liant les valeurs des
fonctions inconnues en certains points suffisamment proches les uns des autres [6,7]. Ainsi on
peut résoudre des systèmes d’équations aux dérivées partielles.
Ce logiciel est configuré pour l’étude d’objets et contient donc un bloc CAO déterminant la
géométrie de ceux-ci. Il permet aussi d’établir un objet composé de différents types de
matériaux dont on peut définir les caractéristiques (notamment εr et σ). L’objet doit être
compris dans un dit « volume de calcul » qui détermine les dimensions du système.
Cet outil étant conçu pour les études CEM, antennes et radar, il nous permet d’obtenir des
fichiers de sortie nous indiquant l’impédance d’entrée (parties réelle et imaginaire) ou bien
encore les paramètres S (module et phase) en fonction de la fréquence.
3.1.1.1 Cellule avec EST modélisée par TEMSI

 
Figure 22. Vue transversale de la cellule TEM avec échantillon (en violet)

L’échantillon (Fig. 22) est soumis à une onde qui se propage à l’intérieur de la cellule TEM et
on analysera l’onde réfléchie et transmise en fonction des caractéristiques du matériau.
3.1.1.2 Modification des caractéristiques de l’EST
Dans un premier temps, il s’agissait de modifier εr et σ de l’échantillon et de tracer les
différents S11 (coefficients de réflexion) observés. Pour cela, j’ai mis en place un code Scilab
(annexe 1) qui permet de lancer plusieurs simulations en modifiant à chaque fois εr et σ de
l’échantillon et de tracer sur le même graphe les modules du coefficient de réflexion (Fig. 23).

 

30  

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 

Figure 23. Module du coefficient de réflexion en fonction de la fréquence pour des échantillons différents

On remarque que les modifications sont extrêmement faibles selon les caractéristiques des
matériaux (Fig. 23). En zoomant, on peut s’apercevoir que les variations de conductivité ont
une très faible influence par rapport aux variations de permittivité. Sachant que le but de la
caractérisation des échantillons est la détermination de εr et σ, il sera nécessaire de mettre en
place un code d’optimisation très précis pour avoir une bonne précision sur εr et σ.
3.1.2 Comparaison des solveurs TEMSIFD et FEKO
3.1.2.1 Types de maillage

Figure 24. A gauche est représenté le maillage conforme de Feko et à droite le maillage en marches
d’escalier de Temsifd.

 

31  

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 
Les deux logiciels permettent une CAO de la cellule mais diffèrent par leur façon de mailler
la cellule (Fig. 24). En effet, Temsifd met en place un maillage en marches d’escalier alors
que Feko a un maillage plus conforme, en triangle, qui permet un plus grand respect des
contours de la CAO.
3.1.2.2 Conséquences sur l’impédance et le coefficient de réflexion
Les deux solveurs présentent un maillage différent, donc certainement aussi des différences
de résultats en terme de caractéristiques EM. Il est donc intéressant de comparer l’impédance
d’entrée (partie réelle et imaginaire) et le coefficient de réflexion de la cellule TEM calculés
par Feko et Temsifd (Fig. 25 et 26).
On remarque que le comportement est globalement identique avec les deux types de
modélisation. Cependant, en terme d’impédance (Fig. 25) on peut noter qu’aux basses
fréquences et en présence des structures diélectriques Temsifd prévoit un comportement
capacitif contrairement à Feko qui prévoit un comportement inductif. Ceci peut s’expliquer
par une mauvaise gestion des diélectriques de Feko. Par ailleurs les différences assez nettes
sur les coefficients de réflexion (Fig. 26), notamment sans diélectrique, peuvent s’expliquer
par la différence entre les types de maillages.
Actuellement, un maillage conforme est en cours de développement pour Temsifd.
 

 

32  

 
Figure 25. Partie réelle et partie imaginaire de l’impédance d’entrée de la cellule TEM avec ou sans supports diélectriques en fonction de la fréquence calculées
par Temsifd et Feko

Figure 26. Coefficients de réflexion de la cellule TEM avec ou sans supports diélectriques en fonction de la fréquence calculés par Temsifd et Feko

 

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 

3.2 Validation du modèle de simulation
Pour valider notre modèle, j’ai relevé les paramètres de réflexion, de transmission et
d’impédance de la cellule à vide à l’aide d’un analyseur vectoriel, et comparé avec les
simulations Temsifd et Feko. En jouant sur la permittivité des supports diélectriques de la
cellule en simulation, j’ai pu mieux adapter l’impédance et du coup les coefficients de
réflexion et transmission entre la cellule simulée et la cellule réelle (Fig. 27, 28, 29).
 

 

 

Figure 27. Comparaison des impédances entre Temsifd, Feko et la mesure de la cellule TEM. A gauche
est représentée l’impédance avant l’adaptation de la simulation et à droite l’impédance après adaptation
du code Temsifd.

 

 

Figure 28. Comparaison du module de S11 entre Temsifd, Feko et la mesure de la cellule TEM. A gauche
est représenté |S11| avant l’adaptation de la simulation et à droite |S11| après adaptation du code Temsifd.

 

35  

 

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 

 

 
Figure 29. Comparaison du module de S21 entre Temsifd, Feko et la mesure de la cellule TEM. A gauche
est représenté |S21| avant l’adaptation de la simulation et à droite |S21| après adaptation du code Temsifd.

En terme d’impédance, on obtient une très bonne adaptation dans la bande 150MHz-500MHz,
ce qui se fait ressentir sur l’adaptation du module de S11 sur cette bande qui est très
satisfaisante pour effectuer les mesures. De plus, en terme de transmission, on a une
simulation qui prédit quasi-exactement le comportement de la mesure, ce qui nous permet
bien d’étendre la mesure jusqu’à 1GHz en utilisant que le S21 comme référence.
D’autre part, comme prévu au dessus de 500MHz, |S11| > -10 dB, ce qui limitera la mesure à
une borne inférieure si l’on utilise le S11 comme paramètre de comparaison.
Par ailleurs, on remarque qu’à basses fréquences (entre 1 et 100 MHz), on n’est pas bien
adapté en impédance, ce qui perturbera certainement nos mesures malgré la faible amplitude
de |S11| à vide dans cette bande. Un éventuel maillage conforme, tel que celui de Feko,
pourrait peut-être améliorer l’adaptation sur cette bande. Le fait d’être maillé pas très
finement (5 mm sur x,y et z) ne nous permet pas d’étudier judicieusement les effets de champ
au niveau du gap entre fil, base de la cellule et plan de masse (qui correspond à une seule
cellule de maillage). Un maillage plus fin est envisageable mais prendrait beaucoup plus de
temps de calcul.

3.3 Algorithme d’optimisation
3.3.1 Introduction
Le but d’un algorithme d’optimisation est de trouver les valeurs des variables xi qui
minimisent une fonction objectif f en respectant des contraintes sur les bornes 𝑥!!"# et 𝑥!!"# .
Pour la caractérisation des matériaux, j’ai d’abord choisi de partir sur le modèle physique
basique des diélectriques (1).
𝜀! 𝑓 =   𝜀! −  

𝑗𝜎
𝜔𝜀!

(1)

Pour ce modèle là, nous avons deux variables 𝜀! et σ sur lesquelles s’appliquent des
contraintes de bornes (𝜀!   ≥ 1 et σ   ≥ 0) et qu’il faudra optimiser pour minimiser notre
fonction coût qui sera définie dans la suite de ce chapitre. La procédure d’optimisation (Fig.
30) repose sur une phase d’initialisation qui permet de donner une valeur initiale de εr et σ à

 

36  

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 
l’échantillon simulé puis ensuite de modifier ces deux paramètres en effectuant une boucle de
recherche d’optimum.
 
 

 

𝜀! !"!#!$%  
𝜎 !"!#!$%  

Calcul  TEMSIFD  

Calcul  fonction  
coût  

Modification  des  
variables  

Non  

Test  de  
convergence    

Oui  
 

𝜀! !"#$%&'  
𝜎 !"#$%&'  

Figure 30. Procédure d’optimisation des paramètres εr et σ

 

3.3.2 Fonction coût
La fonction coût est un élément essentiel dans la procédure d’optimisation. Dans notre cas,
elle évalue l’erreur quadratique entre les paramètres S11 et S21 en simulation et en mesure.
En effet, les coefficients de réflexion et transmission sont un bon choix pour la caractérisation
puisque ce sont des paramètres largement influencés par l’introduction de matériau. Afin de
ne prendre en compte que l’introduction de l’échantillon dans la cellule, il est nécessaire
d’évaluer les écarts quadratiques des paramètres S11 et S21 avec et sans échantillons. De
plus, une correction de phase ∆𝑆21 des paramètres S21 est faite pour remédier à d’éventuels
problèmes de transition aux « bornes » de la cellule (2).
J’ai mis en place 3 fonctions coût utilisables :



 

Une fonction ne faisant intervenir que les S11 qui présente le désavantage de ne
caractériser qu’en dessous de 500 MHz puisque à vide le module de S11 est au dessus
de -10dB au delà de 500 MHz (3)
Une fonction faisant intervenir les S11 et S21 qui a l’avantage « théorique » de se
rapprocher encore plus du cas physique mais qui présente le même désavantage que la
fonction précédente (4).

37  

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 

 
 

Une fonction ne faisant intervenir que S21, ce qui nous permet d’effectuer une
caractérisation jusqu’à 1Ghz (5).

∆𝑆21!"# =

∆𝑆21!"# =

𝑆21!!!"#$
− 𝑆21!"#$
!"#
!"#
!"#$

𝑒 !"#$(!!"!"# )
 
!!!"#$
𝑆21!"#
− 𝑆21!"#$
!"#
!"#$

𝑒 !"#$(!!"!"# )
 

 
(2)  

 

 
 
!!!"!"

𝑅𝐸 𝑆11!"#

𝐹𝑐 =
!

!!!"#$

− 𝑆11!"#$
!"# − 𝑅𝐸 𝑆11!"#

− 𝑆11!"#$
!"#

!!!"#$
+ 𝐼𝑀 𝑆11!!!"#$
− 𝑆11!"#$
− 𝑆11!"#$
!"# − 𝐼𝑀 𝑆11!"#
!"#
!"#

!
!

                                                          3  

 
 
 
!!!"#$

𝑅𝐸 𝑆11!"#
𝐹𝑐 =

!

!!!"#$

+ 𝐼𝑀 𝑆11!"#

!!!"#$

− 𝑆11!"#$
!"# − 𝑅𝐸 𝑆11!"#

!!!"#$

− 𝑆11!"#$
!"# − 𝐼𝑀 𝑆11!"#
!

+   𝑅𝐸 ∆𝑆21!"# − 𝑅𝐸 ∆𝑆21!"#

 
 
 
 
𝐹𝑐 =

𝑅𝐸 ∆𝑆21!"# − 𝑅𝐸 ∆𝑆21!"#

− 𝑆11!"#$
!"#

!

− 𝑆11!"#$
!"#

!
!

             (4)          
!

+ 𝐼𝑀 ∆𝑆21!"# − 𝐼𝑀 ∆𝑆21!"#

+ 𝐼𝑀 ∆𝑆21!"# − 𝐼𝑀 ∆𝑆21!"#

!

                      5  

!

3.3.3 Algorithme
3.3.3.1 Méthode
Notre problème nécessitait un algorithme d’optimisation résolvant des équations non
linéaires, pouvant être contraint par des bornes et calculant le gradient de la fonction coût.
J’ai donc mis en place un code Scilab qui répond à ces attentes en utilisant le solveur
« optim » [1]. Cette fonction propose plusieurs algorithmes d’optimisation pour trouver le
minimum de la fonction coût. Le choix le plus pertinent pour notre cas était celui utilisant la
méthode de quasi-Newton avec projection. Cette méthode numérique permet de résoudre les
systèmes d’équations non linéaires, avec des contraintes sur les bornes, en calculant Bk
l’inverse de la matrice Jacobienne et optimisant sur un coefficient de convergence αk [2,3].
Les itérations de cette méthode sont alors de cette forme :
 
𝑥!!! =   𝑥! − 𝛼! 𝐵! 𝑓 𝑥!                                    
 
 
 
 
 
 
       (6)  
 

 

38  

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 
3.3.3.2 Gradient
Cette méthode d’optimisation nécessite le calcul du gradient de la fonction coût. Dans un
premier temps, j’ai essayé d’utiliser la fonction NDcost de Scilab qui permet de calculer le
gradient automatiquement. Malheureusement, aucun contrôle n’étant possible sur les
variations dσ et dε’, il a fallu que je code le calcul du gradient moi-même. Tout d’abord, j’ai
codé un calcul de gradient centré, ce qui me permettait de contrôler les variations de mes
variables. Mais cette méthode pose deux problèmes :


Pour n variables on doit faire 2n+1 simulations Temsifd, ce qui augmente
considérablement le temps de convergence de notre algorithme.



On ne peut pas démarrer avec des valeurs initiales de σ et ε respectivement à 0 et
1 puisque les variations dσ et dε’ imposent les bornes.

Finalement, j’ai mis en place un code permettant de calculer un gradient décentré qui a pour
avantages d’effectuer seulement n+1 simulations Temsifd pour n variables et d’être
totalement libre sur les bornes.
Qui plus est, pour le bon fonctionnement de l’algorithme, il est nécessaire que dε’~ dε ‘’.
 
𝜎
𝜀 !! =
                                                                                                                                                                                                                                                                                               (7)  
𝜔! 𝜀!
 
𝑑𝜎×39×10!! ×𝜋
𝑑𝜀 !! =
~𝑑𝜀 !                                                                                                                                                                                                                           8  
2𝜋𝑓
 
𝑑𝜀 ! ×𝑓 𝐺𝐻𝑧
𝑑𝜎~
                                                                                                                                                                                                                                                                     (9)  
18
 
3.3.3.3 Conditions d’arrêt
Les critères d’arrêt de l’algorithme sont à choisir soigneusement pour obtenir une bonne
précision sans trop ralentir la convergence. Dans notre cas, il y a 5 critères qui limitent la
convergence :






 

Le nombre d’appels à la fonction coût est limité à 100
Le nombre d’itération de l’algorithme est limité à 100
La fonction coût est inférieure à 10-10
La norme du gradient est inférieure à 10-10
Les variations de ε et σ sont respectivement inférieures 0.01 et 0.00001

39  

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 

3.4 Validation de la méthode et du modèle numérique
Dans un premier temps, pour mettre en place l’algorithme d’optimisation, nous avons
considéré comme mesure un code Temsifd avec des valeurs données de εr et σ et nous avons
testé notre méthode d’optimisation avec une cellule simulée « idéale » (c’est à dire présentant
exactement les mêmes caractéristiques que la cellule de « mesure »).
D’autre part, nous avons fait une recherche d’optimum pour une cellule perturbée en
impédance et une cellule dont on déplace l’échantillon de place pour modifier la phase
puisque durant la mesure « réelle » l’impédance et la phase risquent d’être modifiées. On a
obtenu les résultats ci-dessous :
 
                                                         Paramètres   Permittivité  (F/m)  
Conductivité  (S)  
Modèles  
Echantillon  «  connu  »  
10  
0.01  
Cas  idéal  

10.00012  

0.0099964  

Cas  perturbé  en  phase  

10.018843  

0.0099446  

Cas  perturbé  en  impédance  

11.562866  

0.0338088  

 
L’optimisation est excellente pour les cas idéal et perturbé en phase mais présente une forte
erreur, notamment sur σ, pour le cas où l’impédance est modifiée.
Tout d’abord, j’ai pensé que ceci était dû à un problème de l’algorithme d’optimisation qui
trouvait peut-être un minimum local plutôt que le minimum global. J’ai alors conçu un code
sur Scilab (annexe 2) pour tracer la surface de réponse (Fig. 31).
 

Figure 31. Surface de réponse sur 1GHZ (εr et σ sont exprimés respectivement en F/m et S). L’échelle en
couleur correspond à la valeur de Fc(εr,σ).

 

 
On observe que l’algorithme prédit bien une zone qui ne correspond pas à la valeur de notre
mesure. Après de nombreux essais (modification des paramètres d’arrêt de la boucle
d’optimisation, changement de fonction coût…), on en a conclu qu’on resterait sur le cas
présenté précédemment. Néanmoins, la simulation et la mesure étant adaptée en impédance
sur la bande de fréquence 150MHz-500MHz on ne devrait pas avoir de problème
d’optimisation.

 

40  

Chapitre 3. Modélisation, simulation et optimisation numérique

 

3.5 Conclusion
Pour résumer ce chapitre, on a vu que le logiciel de simulation Temsifd permet d’obtenir une
très bonne approche de la mesure. D’autre part, l’algorithme d’optimisation a été détaillé et
validé en simulation sous conditions d’être très précis en simulation.
Par ailleurs, un point que je n’ai pas encore évoqué est l’avantage de Temsifd sur le temps de
calculs ; en effet, alors que le calcul de Feko prend plusieurs heures, Temsifd ne met que
quelques secondes d’où le choix de ce solveur. En réduisant le volume de calcul et en faisant
une approximation d’un plan de masse infini validé par la figure 32, on obtient un code
(annexe 3) qui peut être traité en une quinzaine de secondes en utilisant quatre cœurs de
l’ordinateur. Après la validation de notre modèle de caractérisation en simulation, il ne reste
plus qu’à le valider en mesure sur des échantillons tests.

Figure 32. Comparaison du coefficient de réflexion avec ou sans approximation d’un plan de masse infini

 

41  

Chapitre 4. Caractérisation des matériaux

 

CHAPITRE 4
CARACTERISATION DES MATERIAUX

CONTENU
4.1 Caractérisation de matériaux diélectriques en modèle classique
4.2 Détermination de la permittivité d’un diélectrique en modèle de Debye
4.3 Perspective de caractérisation pour les matériaux conducteurs
4.4 Conclusion

 

42  

Chapitre 4. Caractérisation des matériaux

 
Le but de ce chapitre est de présenter les résultats de caractérisation des matériaux. Pour cela,
sera présentée tout d’abord la détermination de la permittivité et de la conductivité de
matériaux diélectriques en suivant un modèle classique de ces caractéristiques. Puis, sera
abordée une technique de détermination pour des diélectriques en utilisant un modèle de
Debye. Enfin, nous verrons les limites de cette méthode de caractérisation et les perspectives
d’amélioration de celle-ci.

4.1 Caractérisation de matériaux diélectriques en modèle classique
4.1.1 Le modèle
Le modèle classique de permittivité complexe d’un matériau diélectrique est décrit par
l’équation suivante :
𝜀! 𝑓 =   𝜀! −  

𝑗𝜎
𝜔𝜀!

(1)

Comme je l’ai déjà expliqué en 3.2.1, 𝜀!   ≥ 1 et σ   ≥ 0. Ce modèle impose le fait que la
permittivité ne varie quasiment pas en fonction de la fréquence. Il est applicable à de
nombreux matériaux qui possèdent de très faibles pertes diélectriques tels que l’acrylique, le
téflon, le bois, l’époxy, le verre ou le plâtre. Ce seront donc ces matériaux qui seront étudiés
dans cette première partie. Le type de modèle de l’EST est indiqué dans le code temsi (annexe
4) par la mention « milieu simple » pour le modèle classique. Le code d’optimisation
comporte donc deux variables 𝜀! et σ sur lesquelles il va optimiser (annexe 5).
4.1.2 Les échantillons testés
Les échantillons testés comportent volontairement des dimensions différentes afin de
s’assurer que la méthode de caractérisation est valable pour toutes les géométries possibles.
Ces matériaux sont représentés ci-dessus (Fig. 33 à 41). Il est important de préciser que le
code temsi délimite la géométrie de l’EST en nombre de cellules. Les dimensions de ces
dernières sont préalablement définies dans le bloc « volume de calcul » et qui correspondent à
un pas en mètre selon les trois directions de l’espace (annexe 4). Nos cellules étant
dimensionnées sur 5x5x5mm, la longueur et la hauteur de nos matériaux ont été choisies de
telle façon qu’elles correspondent à un multiple de 5mm. Néanmoins pour l’épaisseur nous
n’avons pas pu faire de même, ceci n’a pas été un problème étant donné que temsi offre deux
possibilités dans ce cas là :


Pour des matériaux très fins, les courants ne se propageant qu’à la surface de l’EST, le
modèle plaque mince du bloc CAO a été utilisé (annexe 6).



Pour des matériaux plus épais, mais dont l’épaisseur n’est pas un multiple de 5mm, un
maillage non uniforme a été adopté (annexe 7). Il est important de garder le même
nombre de cellules entre les deux types de maillages pour ne pas modifier la CAO. Ce
type de maillages est représenté par la figure 42.

L’ensemble des détails principaux sur le code temsi est décrit en annexe 8.

 

43  

Chapitre 4. Caractérisation des matériaux

 

46  cm  
 
 
 
 

10  cm  

Figure 33. Photo de l’échantillon de plâtre A
d’épaisseur 1.2 cm

25  cm  
 
 
 
 
 

       10  cm  

Figure 35. Photo de l’échantillon de téflon C
d’épaisseur 1.2 cm

 
 
 
 

50  cm  
 
 
 
 
 
 

 
 
10  cm  

Figure 37. Photo de l’échantillon de bois d’épaisseur
1.2 cm

                   48.4  cm  
 
 
                   10  cm  

Figure 39. Photo de l’échantillon de verre
d’épaisseur 5mm

 

15  cm  
 
 
 
 
10  cm  

Figure 34. Photo de l’échantillon de plâtre B
d’épaisseur 1.2 cm

 
 
 
 

25  cm  
 

             10  cm  

Figure 35. Photo de l’échantillon de téflon B
d’épaisseur 4mm

                   25  cm  
 
 
 
 
     10  cm  

Figure 38. Photo de l’échantillon d’époxy
d’épaisseur 1.3 mm

                       48.4  cm  
 
 
 

           10  cm  

Figure 40. Photo de l’échantillon d’acrylique
d’épaisseur 5mm

44  

Chapitre 4. Caractérisation des matériaux

 

4cm  

12.5  cm  
Figure 41. Schéma de l’échantillon de téflon A
d’épaisseur 25mm

Figure 42. Maillage non uniforme de temsifd
représenté par visufd

Évidemment, nous nous devrons d’être le plus précisément cohérent entre les positions de
l’EST en mesure et en simulation. Pour faciliter le centrage de l’EST, une ligne sur le plan de
masse a été tracée.
4.1.3 Résultats
Paramètres
Matériaux
Téflon A
Époxy
Acrylique
Acrylique
Acrylique
Acrylique
Téflon B
Téflon B
Téflon C
Téflon C
Bois [21]
Bois
Verre

 

εr et σ
théoriques à
1MHz

εr et σ prédits

εr = 2.1 [18]
σ = 4x10-4
εr = 4.7 [29]
σ = 6x10-6
εr = 2.6 [20]
σ=?
εr = 2.6
σ=?
εr = 2.6
σ=?
εr = 2.6
σ=?
εr = 2.1
σ = 4x10-4
εr = 2.1
σ = 4x10-4
εr = 2.1
σ = 4x10-4
εr = 2.1
σ = 4x10-4
εr = 1.4-2.9
σ=?
εr = 1.4-2.9
σ=?
εr = 5-7 [22]
σ=?

εr = 2.070078
σ = 10-5
εr = 4.7185609
σ = 0.0139851
εr = 2.6386056
σ = 10-5
εr = 2.4983112
σ = 0.0062147
εr = 2.7271928
σ = 10-5
εr = 2.5932944
σ = 0.0018541
εr = 1.97
σ = 0.0005
εr = 1.8
σ = 0.0023
εr = 1.98
σ = 0.0027
εr = 2.01
σ = 0.0009
εr = 2.43
σ = 0.0074
εr = 2.40
σ = 0.0094
εr = 5.56
σ = 0.013

Bande de
mesure

Fonction coût
utilisée

1MHz-1GHz

S21 seul

150-400MHz

S11 seul

1MHz-1GHz

S21 seul

150-400MHz

S11 seul

150-400MHz

S21 seul

150-400MHz

S21 + S11

1MHz-1GHz

S21 seul

150-450MHz

S21 + S11

150-450MHz

S21 + S11

1MHz-1GHz

S21 seul

150-450MHz

S21 + S11

150-450MHz

S11 seul

150-400MHz

S21 + S11

45  

Chapitre 4. Caractérisation des matériaux

 
Plâtre A
Plâtre A
Plâtre B
Plâtre B

εr = 2.5 [23]
σ=?
εr = 2.5
σ=?
εr = 2.5
σ=?
εr = 2.5
σ=?

εr = 2.64
σ = 0.0046
εr = 2.65
σ = 0.00068
εr = 2.53
σ = 0.0037
εr = 2.57
σ = 0.0049

150-450MHz

S21 + S11

1MHz-1GHz

S21 seul

150-450MHz

S21 + S11

150-450MHz

S11 seul

On obtient des résultats très satisfaisants, les résultats approchent suffisamment la valeur
théorique pour valider notre méthode de caractérisation. Les résultats ne diffèrent que peu
selon les fonctions coûts notamment pour le plâtre et le bois. Les différentes géométries ne
semblent que peu influencer l’optimisation. De plus, quelle que soit l’épaisseur du matériau,
on obtient de bons résultats. Cette méthode permet donc une caractérisation des diélectriques
à faibles pertes avec une marge d’erreur maximale de seulement 5%. Le seul bémol que l’on
peut constater est la précision sur la conductivité, on n’arrive pas à avoir un résultat fiable
pour cette caractéristique qui est de toute façon très faible pour ces matériaux et largement
variable en fonction des types de bois ou de verres par exemple. Peu de recherches théoriques
sont menées à ce sujet, ce qui ne nous permet pas réellement d’avoir des échantillons tests.
Néanmoins, il semblerait que pour s’approcher au mieux de la conductivité réelle du matériau
il faudrait que l’échantillon soit en contact avec la plaque supérieure et le plan de masse de la
cellule. Le contact peut être assuré par un scotch conducteur en cuivre.

4.2 Détermination de la permittivité d’un diélectrique en modèle de Debye
Dans cette partie est présentée une technique de caractérisation de la permittivité complexe
d’un diélectrique suivant un modèle de Debye. Malheureusement, n’ayant pas les moyens
d’effectuer des mesures sur de tels matériaux au cours du stage, je ne décrirai la méthode et la
validation de celle-ci seulement en simulation.
4.2.1 Le modèle de Debye
La permittivité est due à des dipôles présents dans le diélectrique qui s’orientent en présence
d’un champ électrique. Au début du XXème siècle, en s’inspirant de diélectriques liquides,
Debye décrit un modèle de permittivité complexe en supposant que tous les dipôles ont le
même temps de relaxation τ et n’interagissent pas entre eux. La permittivité complexe suit
alors la loi suivante :
𝜀! 𝑓 =   𝜀! −  

𝑗𝜎
+  
𝜔𝜀!

!

𝜀!!  𝜀! 𝐺!
                                                                                                                                                                                           (6)
1 + 𝑗𝜔𝜏

ε∞ et εs correspondent respectivement à la permittivité pour les fréquences très supérieures et
inférieures à la fréquence de relaxation. La valeur doit être la même pour tous les pôles du
milieu. Gi est un coefficient compris entre 0 et 1 du pôle i qui vaut 1 pour un filtre.
Le temps de relaxation τ représente le temps caractéristique nécessaire aux dipôles pour se
retourner et changer d’orientation dans le champ E variable. Ce type de relaxation est très rare
dans des diélectriques solides où les interactions entre les dipôles ne peuvent être négligées,
ce qui induit une dispersion du temps de relaxation.

 

46  

Chapitre 4. Caractérisation des matériaux

 
4.2.2 Validation du modèle un filtre en simulation
La conductivité σ sera négligée pour la validation de ce modèle car elle n’a un effet notable
que sur les basses fréquences. Une façon de retrouver la conductivité sera d’optimiser sur
cette caractéristique en basses fréquences.
Pour valider ce modèle, j’ai créé un code temsi avec un filtre de Debye qui s’apparente à celui
de l’eau (annexe 9). Il a donc fallu adapter le code d’optimisation à ce modèle (annexe 10). Le
résultat est présenté ci-dessous :
Paramètres
Matériaux

εs et τ
théoriques

εs et σ prédits

Bande de
mesure

Fonction coût
utilisée

εs = 81
εs = 81.04
150-450MHz
S21 + S11
-10
τ = 10
τ = 1.001x10-10
Le résultat est excellent en simulation, ce qui nous permet de valider la méthode de
caractérisation pour des matériaux diélectriques présentant un filtre de Debye.
Eau [24]

4.2.3 Validation du modèle deux filtres en simulation
Après avoir validé le modèle pour un filtre de Debye, j’ai essayé de le valider pour un modèle
avec deux filtres. La validation s’effectue toujours en simulation en utilisant un modèle deux
filtres s’apparentant à celui d’un sol [25]. Les code d’optimisation (annexe 11) et temsi ont
encore dû être modifiés pour répondre à cette caractérisation. Le résultat est présenté cidessous :
Paramètres
Matériaux
Sol [25]

Caractéristiques
théoriques
εs = 9.4
τ1 = 10-8
τ2 = 10-9
G1 = 0.3
G2 = 0.7

εs et σ prédits
εs = 7.632954
τ1 = 1.14x10-9
τ2 = 1.07x10-9
G1 = 0.504
G2 = 0.496

Bande de
mesure

Fonction coût
utilisée

150-450MHz

S21 + S11

A priori, les résultats ne semblent pas être optimaux mais en recalculant les permittivités
complexes de la « mesure » et de la « simulation » on se rend compte qu’elles sont très
proches : εmesure = 6.4 – j2.36 et εsimu = 6.409 – j2.21. Ce résultat est confirmé en comparant
les S11 de la mesure et de la simulation optimisée (Fig. 43) qui se superposent parfaitement
bien.

 

47  

Chapitre 4. Caractérisation des matériaux

 

Figure 43. Comparaison des S11 entre la « mesure » et la simulation optimisée du sol

4.3 Perspective de caractérisation pour les matériaux conducteurs
4.3.1 Simplification de la cellule TEM modélisée
Afin de déterminer la conductivité de matériaux légèrement conducteurs, l’optimisation doit
être faite à basses fréquences (entre 150kHz et quelques MHz). Le problème de travailler à
très basses fréquences en simulation est que l’écoute temporelle est beaucoup plus longue et
par conséquent le temps de calcul augmente considérablement. Pour pallier ce problème, j’ai
modifié les transitions de la cellule afin d’obtenir une cellule simplifiée (Fig. 44). De plus, le
maillage vertical a été largement diminué passant de 20 cellules à 4 cellules. Ces deux
simplifications permettent une diminution de temps de calcul radicale (de 5 minutes à 15
secondes par simulation).

 

48  


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