These Mathieu Prevel Hairpin Vortex .pdf



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Doctorat

Mathieu PREVEL
Transport de particules solides par les hairpin vortex

soutenue le
devant le jury composé de :

Pr. A. Tanière
Pr. E. Barthélémy
Pr. A. Mojtabi
Pr. M. Buffat
Dr. D. Doppler
Dr. I. Vinkovic

Professeur Université de Lorraine, LEMTA
Rapporteur
Professeur Université Joseph Fourier Grenoble, LEGI Rapporteur
Professeur Université Paul Sabatier Toulouse, IMFT Examinateur
Professeur Université Lyon 1, LMFA
Directeur de thèse
Maître de conférences Université Lyon 1, LMFA
Co-directrice de thèse
Maître de conférences Université Lyon 1, LMFA
Co-directrice de thèse

Table des matières
Tables des figures

8

1 Introduction
1.1 Transport de particules au voisinage d’une paroi . .
1.1.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Nombre de Stokes . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Modes de transport . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Turbulence de paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Couche limite turbulente . . . . . . . . . . .
1.2.2 Structures turbulentes en couche limite . . .
1.2.3 Analyse par quadrants . . . . . . . . . . . .
1.3 Structurtes cohérentes en turbulence de proche paroi
1.3.1 Les “streaks” . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Les tourbillons longitudinaux . . . . . . . . .
1.3.3 Les “hairpin vortex” . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Hairpin vortex en configuration simplifiée . .
1.3.5 Critères de détection . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Transport de particules par les structures cohérentes
1.4.1 Le rôle des éjections . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Modèles de transport . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Turbophorèse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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20

2 Méthodes numériques, modèles et validation
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Problème et équations . . . . . . . . .
2.2.2 Méthode numérique . . . . . . . . . .
2.3 Validation - écoulement autour d’un cube . .
2.3.1 Description du problème . . . . . . . .
2.3.2 Influence du maillage . . . . . . . . .
2.3.3 Influence de la perméabilité η . . . .
2.3.4 Influence du nombre de Reynolds . .
2.3.5 Conclusion de l’étude paramétrique . .
2.4 Particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Equations et hypothèses . . . . . . . .
2.4.2 Méthode numérique . . . . . . . . . .

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TABLE DES MATIÈRES
2.5

Conclusion

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53

3 Ecoulement autour de l’hémisphère
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Simulations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Géométrie et conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Nombres sans dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Paramètres numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Description qualitative de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Identification des structures : champ de vitesse et flux de quantité de
3.3.2 Visualisation 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Mécanismes de formation des structures . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Effet du nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Conclusions de l’étude qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Description quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Statistiques de vitesse dans le plan médian z/R = 0 . . . . . . . . .
3.4.2 Grandeurs caractéristiques des hairpin vortex . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Conclusion de l’étude quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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mouvement
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4 Transport de particules dans le sillage de l’hémisphère
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Conditions des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Nombre de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Approche qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Organisation des particules en proche paroi . . . . . .
4.4.2 Trajectoires des particules . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Cas d’une injection 2D . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Conclusion - description qualitative . . . . . . . . . .
4.5 Quelles sont les régions qui contiennent le plus de particules ?
4.5.1 Calcul de la concentration . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Cas d’une injection 3D . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Injection 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Définition des zones d’étude . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.5 Conclusion - concentration . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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111

5 Transport de particules loin de la paroi par les hairpin vortex, injection 2D
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Analyse par quadrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Analyse par quadrants zone 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Analyse par quadrants zone 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Evolution des particules autour des têtes de hairpin vortex . . . . . . . . . . . .
5.3.1 PDF de la vitesse relative des particules à la vitesse du hairpin vortex . .
5.3.2 Evolution longitudinale de la distribution des particules . . . . . . . . . .
5.3.3 Trajectoires et dispersions des particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Autocorrélation d’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Conclusion zone 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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TABLE DES MATIERES
5.4

Conclusion

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6 Conclusion

134

A Interpolation hermitienne
A.1 Défintion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Interpolation 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Définition des polynômes d’Hermite . . . . .
A.2.2 Interpolation sur la face z(kp ) (ou z(kp + 1))

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B Interpolation barycentrique

142

C Interpolation spectrale

143

D Etude paramétrique
D.1 Introduction . . . . . . . . . .
D.2 Longueur de la zone de frange
D.3 Force de la zone de frange . .
D.4 Forme de la zone de frange .

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144
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153

3

Table des figures
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8

Illustration des différents modes de transport des particules solides (Mutch, 1976). . .
Méthode des quadrants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Visualisation des streaks en y + = 2.7 à l’aide de bulles d’hydrogène par Kline et al.
(1967). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Structures cohérentes présentes dans la turbulence de paroi (Robinson, 1991). . . . . .
Visualisation à l’aide du critère λci d’un tourbillon moyen conditionné par la présence
d’une éjection. Résultats obtenus à partir de DNS en turbulence de canal avec Reτ = 300
(Adrian and Liu, 2002). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma d’un hairpin vortex proposé par Adrian (2007). . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma des structures générées au voisinage de l’hémisphère (Acarlar, 1984). . . . . .
Position des particules solides montantes dans un plan vertical perpendiculaire à
l’écoulement dans le cas d’un canal turbulent à Re = 2660. Les particules ont un nombre
de Stokes Stη = 5. Les couleurs représentent les isocontours de vitesse longitudinale.
Les vecteurs sont ceux des fluctuations de vitesse verticale et transverse (Vinkovic et al.,
2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1
2.2
2.3

Domaine de calcul Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution du coefficient λ(x) dans la zone de frange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˜ en fonction de k˜ pour α = 25 et m = 4 (Hou
Evolution de la fonction de lissage Φ(k)
and Li, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Algorithme séquentiel du code NadiaSpectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Algorithme séquentiel de l’étape Calcul du second membre. . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Principe de décomposition du domaine de calcul Ω en Np sous-domaines. . . . . . . .
2.7 Domaine de calcul Ω - écoulement autour d’un cube. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Evolution de la vitesse longitudinale u∗ en fonction de x∗ , en z ∗ = 0 et y ∗ = 0.04 pour
Re = 150, (a) - en amont de l’obstacle, (b) - en aval de l’obstacle. Comparaison avec
les résultats de van Dijk and de Lange (2007) et de Montagnier (2010). . . . . . . . . .
2.9 Evolution du coefficient de frottement adimensionné Cf /Cf 0 en fonction de x∗ , en z ∗ = 0
et y ∗ = 0.04 pour Re = 150, (a) en amont de l’obstacle, (b) en aval de l’obstacle.
Comparaison avec les résultats de Hwang and Yang (2004) et de Montagnier (2010). .
2.10 Evolution de la vitesse longitudinale u∗ en fonction de x∗ , en z ∗ = 0 et y ∗ = 0.04 pour
Re = 150, (a) en amont de l’obstacle, (b) en aval de l’obstacle. Comparaison avec les
résultats de van Dijk and de Lange (2007) et Montagnier (2010). . . . . . . . . . . . .
2.11 Evolution du coefficient de frottement adimensionné Cf /Cf 0 en fonction de x∗ , en z ∗ = 0
et y ∗ = 0.04 pour Re = 150, (a) en amont de l’obstacle, (b) en aval de l’obstacle.
Comparaison avec les résultats de Hwang and Yang (2004) et Montagnier (2010). . . .

4

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9
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12
13
15

17
22
25
26
27
27
28
29
31
32
34
35

TABLE DES FIGURES
2.12 Norme de la vitesse (moyenne et maximum) dans l’obstacle cubique en fonction de la
perméabilité η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 (a) - Evolution de l’abscisse de séparation x∗S en fonction de Re. (b) - Evolution de
l’abscisse de réattachement x∗R en fonction de Re. Comparaison à la littérature (Hwang
and Yang, 2004; van Dijk and de Lange, 2007; Montagnier, 2010). . . . . . . . . . . . .
2.14 Demi-vue des lignes de courant autour de l’obstacle cubique en y ∗ = 0.04 pour différents
nombre de Reynolds. (a) - Re = 50, (b) - Re = 150 et (c) - Re = 250. . . . . . . . . . .
2.15 Evolution du coefficient de frottement adimensionné Cf /Cf 0 en fonction de x∗ , en z ∗ = 0
et y ∗ = 0.04 pour Re = 50, (a) en amont et (b) en aval de l’obstacle. Comparaison à la
littérature (Hwang and Yang, 2004; van Dijk and de Lange, 2007). . . . . . . . . . . .
2.16 Evolution du coefficient de frottement adimensionné Cf /Cf 0 en fonction de x∗ , en z ∗ = 0
et y ∗ = 0.04 pour Re = 250, (a) en amont et (b) en aval de l’obstacle. Comparaison à
la littérature (Hwang and Yang, 2004; van Dijk and de Lange, 2007). . . . . . . . . . .
2.17 Suivi lagrangien des particules solides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18 Erreur relative de vitesse longitudinale interpolée par rapport à la DNS en x = 9h et
z = 4h pour Re = 150. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19 Parallélisation de l’interpolation spectrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.20 Schéma illustrant une particule située entre deux sous-domaines. . . . . . . . . . . . .
2.21 Comparaison des différentes méthodes d’interpolation. (a) - Trajectoires. (b) - Evolution
de la composante longitudinale de la vitesse du fluide à la position de la particule en
fonction du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.22 Evolution du rapport t(Npart )/t(Npart = 0) en fonction du nombre de particules Npart
suivies. Comparaison entre l’interpolation hermitienne (rouge) et spectrale (bleu). . . .
2.23 Evolution du temps moyen par itération normalisé tNp /tNp =4 en fonction du nombre de
processus MPI Np . Représentation logarithmique des résultats. . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14

Domaine de calcul pour l’écoulement autour d’un hémisphère Ω. . . . . . . . . . . . .
Profil de Blasius imposé à l’entrée de Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Visualisation instantanée de la cartographie de −u0 v 0 /U02 dans le plan z/R = 0 à
t/THV = 19.84. Les vecteurs représentent u0 et v 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Visualisation instantanée de la cartographie de u/U0 dans le plan y/R = 0.5 à t/THV =
19.84. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Visualisation instantanée de la cartographie de u/U0 dans le plan x/R = 8.6 avec les
lignes de courant (v,w) à t/THV = 19.84. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Visualisation d’un hairpin vortex à l’aide du critère λ2 (Jeong and Hussain, 1995).
Isosurface de λ2 = −16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isocontours de ωz en z/R = 0 à t/THV = 19.84. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma du mécanisme de formation du standing vortex. (a) plan (x, y) et (b) plan (x, z).
Isosurface de kωk = 6.5 à t/THV = 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isocontours de ωz en z/R = 0 à t/THV = 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cartographie de la vitesse longitudinale u et lignes de courant dans le plan x/R = 4.
(a) - t/THV = 8, (b) - t/THV = 8.24, (c) - t/THV = 8.64, (d) - t/THV = 8.95. . . . . .
Visualisation instantanée du contour de u dans le plan y/R = 0.5 à t/THV = 158.7
pour ReR = 1640. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Visualisation instantanée du contour de u dans le plan x/R = 7 avec les lignes de
courant (v,w) à t/THV = 158.7 pour ReR = 1640. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isocontours de ωz en z/R = 0 à t/THV = 158.7 pour ReR = 1640. . . . . . . . . . . . .

5

35
37
38
39
40
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50
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55
55
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58
59
61
62
62
63
64
65
67
67
68

TABLE DES FIGURES
3.15 Profils de vitesse moyenne longitudinale à différentes distances de l’hémisphère (x =
4R, 10R, 40R, 80R) pour deux nombres de Reynolds ReR = 750 et ReR = 1640.
Comparaison aux données expérimentales (Acarlar, 1984; Acarlar and Smith, 1987a). .
3.16 Cartographie instantanée de v/U0 dans le plan z/R = 0. Le trait noir correspond
à l’hémisphère “théorique”. La croix noire correspond au point de décollement de la
couche limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.17 Profils de vitesse moyenne verticale à différentes distances de l’hémisphère (x = 4R,
10R, 40R, 80R) pour deux nombres de Reynolds ReR = 750 et ReR = 1640. . . . . . .
3.18 Profils de l’écart-type à la moyenne de la composante longitudinale à différentes
distances de l’hémisphère (x = 4R, 10R, 40R, 80R) pour deux nombres de Reynolds
ReR = 750 et ReR = 1640. Comparaison aux données expérimentales (Acarlar, 1984;
Acarlar and Smith, 1987a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.19 Profils de l’écart-type à la moyenne de la vitesse verticale à différentes distances de
l’hémisphère (x = 4R, 10R, 40R, 80R) pour deux nombres de Reynolds ReR = 750 et
ReR = 1640. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.20 Profils de la tension de Reynolds moyenne u0 v 0 /U02 à différentes distances de
l’hémisphère (x = 4R, 10R, 40R, 80R) pour deux nombres de Reynolds ReR = 750
et ReR = 1640. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.21 Evolution du nombre de Strouhal S en fonction du nombre de Reynolds ReR .
Comparaison aux données de la littérature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.22 (a) - Trajectoire moyenne du centre des têtes des hairpin vortex. Les barres d’erreur
sont représentées pour chaque point. Comparaison aux expériences (Zondag, 1997). (b)
- Evolution du rayon moyen de la tête du hairpin vortex en fonction de la distance à
l’hémisphère. Les barres d’erreur sont représentées pour chaque point. . . . . . . . . .
3.23 Evolution de la vitesse moyenne au centre des têtes des hairpin vortex en fonction
de x/R. Les barres d’erreur sont représentées pour chaque point. (a) - composante
longitudinale ucHV , comparaison à Zondag (1997). (b) - composante verticale vcHV . . .
3.24 Evolution de la vorticité transverse moyenne adimensionnée des têtes des hairpin vortex
|Ω| en fonction de x/R. Les barres d’erreur sont représentées pour chaque point.
Comparaison aux données de la littérature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7

Domaine de calcul pour l’écoulement autour d’un hémisphère Ω. (- - -) : limites du
domaine ΩP S dans lequel sont suivies les particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Demi-vue de la cartographie de u/U0 dans le plan y/R = 0.5 à t/THV = 15.87. Position
des particules solides. Points magentas VP < 0. Points noirs VP > 0. . . . . . . . . . .
Demi-vue des isocontours de u/U0 dans le plan x/R = 19 avec les lignes de courant
(v, w) à t/THV = 15.87. Position des particules solides. Points magentas VP < 0. Points
noirs VP > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Demi-vue des isocontours de u/U0 avec les lignes de courant (v, w) à t/THV = 15.87.
Superposition de la répartition des particules pour Stη = 1. Position des particules
solides. Points magentas VP < 0. Points noirs VP > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Projection dans le plan (y, z) de trajectoires de particules solides pour Stη = 1. Le rond
sur chacune des trajectoires correspond au point de départ. . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoires de particules pour Stη = 1 (traits verts et rouges). Les trajectoires sont
projetées sur les 3 plans. Trait bleu - trajectoire du centre de la tête du hairpin vortex.
Trajectoire d’une particule dans le plan z/R = 0 pour Stη = 1. Trait rouge - trajectoire
de la particule. Trait bleu - trajectoire du centre de la tête du hairpin vortex. . . . . .

6

70
71
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75
76
79

81
82
83
87
90
91
93
94
95
95

TABLE DES FIGURES
4.8
4.9

4.10
4.11
4.12

4.13
4.14
4.15
4.16
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9

Cartographies de ωz h/U0 dans le plan z/R = 0 à t/THV = 7.9. Position des particules
solides. Points noirs VP > 0. Points magentas VP < 0. Seulement 1 particule sur 10 est
représentée pour distinguer le champ de vorticité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoires typiques des particules sélectionnées relativement à la position du centre
de la tête du hairpin vortex lors de l’injection. Le temps écoulé entre deux points d’une
même trajectoire est 0.4THV (sauf trajectoire orange). Trait bleu clair - trajectoire du
centre de la tête du hairpin vortex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoires typiques des particules sélectionnées relativement à l’abscisse du hairpin
vortex lors de l’injection telle que yP (t0 )/R ∼ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution du profil de concentration des particules solides pour Stη = 5 en x/R = 13.3
en fonction du temps et de z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Profils transversaux de concentration moyenne cumulée pour y 6 0.5R en x = 13.3R,
pour Stη = 1, 5, 15 et 25 en allant de gauche à droite, respectivement. Les profils sont
décalés de 500 unités pour chaque Stη . (a) - Concentration de toutes les particules
solides C/C0 . (b) - Concentration des particules montantes (C/C0 )VP >0 (traits pleins)
et des particules descendantes (C/C0 )VP <0 (traits pointillés). . . . . . . . . . . . . . .
Profils verticaux de la concentration moyenne pour l’injection 3D en x = 13.3R pour
Stη = 1, 5, 15 et 25 décalés de 10 unités. Le trait pointillé horizontal correspond à
l’altitude de la tête des hairpin vortex en x = 13.3R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Profils verticaux de la concentration moyenne pour l’injection 2D en x = 13.3R pour
Stη = 1, 5, 15 et 25 décalés de 10 unités. Le trait pointillé horizontal correspond à
l’altitude de la tête des hairpin vortex en x = 13.3R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Concentration moyenne des particules solides à la paroi dans le plan z/R = 0 en fonction
de la distance à l’hémipshère et pour Stη = 1, 5, 15 et 25. . . . . . . . . . . . . . . . .
Isocontours de ωz h/U0 et particules solides avec Stη = 1 à t/THV = 15.87. . . . . . . .
Cartographie de ωz h/U0 , vecteurs (u0 , v 0 ) et position des particules dans le plan z/R = 0
à t/THV = 15.87. Points noirs VP > 0. Points magentas VP < 0. . . . . . . . . . . . . .
PDF des fluctuations u0 et v 0 du fluide à la position des particules solides pour Stη = 1
(à gauche) et Stη = 15 (à droite). (a) et (b) toutes les particules. (c) et (d) VP > 0. (e)
et (f ) VP ≤ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
log10 (100P DF ) des fluctuations u0 et v 0 du fluide à la position des particules solides
pour Stη = 1 (à gauche) et Stη = 15 (à droite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PDF de la vitesse relative entre les particules et le hairpin vortex pour Stη = 1, 5, 15,
25. A gauche, suivant x. A droite, suivant y. (a) et (d) ∀VP . (b) et (e) VP > 0. (c) et
(f ) VP < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Répartition des particules solides dans le repère centré sur une tête de hairpin vortex à
t/THV = 7.94 pour Stη = 1, 5, 15 et 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RP S,HV en fonction de x/R pour Stη = 1, 5, 15 et 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration de la méthode de sélection des particules autour de la tête d’un hairpin
vortex à l’instant initial t0,no HV . En bleu, schéma d’un hairpin vortex. Les points rouges
représentent des particules solides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoires moyennes (trait plein) autour de la tête de différents hairpin vortex, pour
différents Stη allant de 1 à 25. Les traits pointillés représentent l’écart-type. . . . . . .
Trajectoires moyennes (traits pleins) autour de la tête de deux hairpin vortex en fonction
du nombre de Stokes Stη . Les traits pointillés représentent l’écart-type. . . . . . . . .

7

97

99
100
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105
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113
115
119
121
124
125
127
128
129

TABLE DES FIGURES
5.10 Fonctions d’autocorrélation de la composante verticale (a) et de la norme de
l’accélération (b) des particules solides. Chacune des fonctions d’autocorrélation est
tracée pour Stη = 1, 5, 15, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.11 Schéma du mouvement circulaire uniforme d’une particule solide ponctuelle. . . . . . . 131
A.1 Représentation 3D d’une maille avec une particule P (xp , yp , zp ) (point rouge). Les points
bleus correspondent aux noeuds du maillage où sont connues les valeurs de ξ utiles lors
de l’interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.2 Représentation des polynômes d’Hermite et de leurs dérivées. (a) - Polynômes d’Hermite
de première espèce. (b) - Polynômes d’Hermite de seconde espèce. . . . . . . . . . . . . 139
B.1 Représentation 3D d’une maille avec une particule P (point rouge). Les points bleus
correspondent aux noeuds du maillage où sont connues les composantes ui (i = 1, ..., 3)
de la vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8

Chapitre 1

Introduction
La prédiction et la compréhension du transport et du dépôt de particules inertielles concernent de
nombreux problèmes industriels ou environnementaux. Ainsi, le transport des particules au voisinage
d’une paroi a fait l’objet de nombreuses études (Guha, 2008). Il est caractérisé par des interactions
complexes entres les structures turbulentes et la phase dispersée (Kaftori et al., 1995; Rouson and
Eaton, 2001). Ici, nous nous intéressons plus particulièrement au transport de particules solides par
les structures cohérentes bien identifiées que l’on retrouve en turbulence de paroi. Dans ce chapitre,
nous présentons d’abord quelques généralités sur le transport de particules au voisinage d’une paroi.
Cela nous amène à reprendre une description rapide de la turbulence de paroi pour les écoulements
non chargés. Un intérêt particulier est porté aux structures turbulentes cohérentes. Le transport des
particules par ces structures est ensuite abordé pour finir par une partie consacrée aux objectifs de ce
travail.

1.1
1.1.1

Transport de particules au voisinage d’une paroi
Applications

Le transport de particules solides par un écoulement turbulent concerne un grand nombre
d’applications, comme la dispersion de pollen au-dessus d’une canopée végétale (Dupont et al.,
2006), l’entraînement des sédiments dans les rivières (Jackson, 1976) ou le transport de sable par
l’atmosphère (Marticorena and Bergametti, 1995; Marticorena et al., 1997). La saltation ou la
suspension des particules sont des processus déterminants dans la dispersion de sédiments fluviaux et
l’érosion des berges. Les particules en saltation peuvent être à l’origine du déplacement de grandes
quantités de sédiments sur des grandes distances provoquant ainsi des changements topographiques
des cours d’eau. Dans ce processus, les constituants les plus fins des lits sont mis en suspension. Ces
constituants pouvant contenir des polluants ou des produits chimiques particulièrement dangereux
pour l’environnement ou les poissons, forment des amas de sédiments qui se déplacent sur de très
grandes distances. Ainsi, la suspension de sédiments fins peut provoquer une dégradation irréversible
de la qualité de l’eau et des écosystèmes.

1.1.2

Nombre de Stokes

Le comportement des particules solides dans un écoulement est caractérisé par le nombre de Stokes :
St =

4

τp
τf

(1.1)

1.2. Turbulence de paroi
où τp est le temps caractéristique des particules solides donné par :
ρp d2p
(1.2)
18µ
et τf est un temps caractéristique du fluide. Ici, dp est le diamètre des particules, ρp leur masse
volumique et µ est la viscosité dynamique du fluide porteur. Le temps caractéristique du fluide τf est
défini de différentes manières et dépend surtout de la configuration et des échelles caractéristiques des
phénomènes étudiés. Lorsqu’on s’intéresse à l’effet de la turbulence sur le transport des particules, en
turbulence homogène isotrope τf peut être donné par l’échelle de Kolmogorov (Bec et al., 2006) alors
que dans un écoulement de canal turbulent τf est défini à partir de uτ la vitesse de frottement et ν
la viscosité cinématique du fluide, τf = ν/u2τ (Marchioli and Soldati, 2002; Uhlmann, 2008). Dans ce
travail, les différentes échelles caractéristiques et nombres de Stokes utilisés sont donnés dans la partie
4.3 du chapitre 4.
τp =

1.1.3

Modes de transport

Selon le nombre de Stokes, il existe différents modes de transport des particules solides. Ces modes,
illustrés sur la figure 1.1, sont le charriage, la saltation ou la suspension. Lors du transport par charriage
les particules se déplacent en roulant ou en glissant sur le fond, en restant toujours en contact avec
celui-ci. Les particules transportées par saltation font des bonds dont la hauteur varie de 3 à 10dp et
dont la longueur peut aller jusqu’à environ 15dp (Nino and García, 1996). Enfin, au cours du transport
par suspension les particules passent de longues périodes dans l’écoulement. Nino and García (1996)
considèrent que les particules sont en suspension à partir du moment où elles font des sauts dont la
longueur dépasse 100dp .

Fig. 1.1 – Illustration des différents modes de transport des particules solides (Mutch, 1976).

Près de la paroi, lorsque les particules sont en saltation ou en suspension, leur mouvement est
fortement influencé par la nature de l’écoulement dans cette région. Pour cette raison, dans la partie
qui suit, nous nous intéresserons particulièrement aux études consacrées au transport des particules
par la turbulence de paroi et les structures cohérentes.

1.2

Turbulence de paroi

Au cours de ces vingt dernières années, de nombreuses études d’écoulements turbulents à grand
nombre de Reynolds ont été réalisées aussi bien d’un point de vue expérimental que numérique. De

5

1.2. Turbulence de paroi
nombreuses installations expérimentales pour l’étude de la turbulence de paroi existent à présent.
Nous pouvons citer par exemple Zagarola and Smits (1998), Carlier and Stanislas (2005) ou De Graaf
and Eaton (2000). Les techniques de mesure performantes basées sur la PIV dans plusieurs plans ainsi
que ses variantes ont permis d’étudier de plus en plus précisément les écoulements turbulents (Adrian
et al., 2000; Tomkins and Adrian, 2003; Kähler, 2004; Carlier and Stanislas, 2005). Numériquement,
la turbulence de paroi est étudiée à l’aide de simulations numériques directes (ou DNS) de plus
en plus performantes par de nombreuses équipes dans le monde (Moser et al., 1999; Abe et al.,
2004; del Alamo et al., 2006; Hoyas and Jiménez, 2006). Ces simulations ont permis de mieux
comprendre l’organisation spatiale (3D) et les interactions entre les différentes structures présentes
dans les écoulements turbulents à proximité de la paroi. Par ailleurs, à partir de toutes ces données les
lois d’évolution de la vitesse moyenne et d’autres grandeurs caractéristiques de la turbulence ont été
re-analysées (Barenblatt, 1993; Zamansky et al., 2013). L’universalité des grandeurs caractéristiques
de la région près de la paroi et l’influence de l’écoulement extérieur sur cette zone ont été questionnés
(Marusic et al., 2010). Enfin, beaucoup de travaux ont aussi été consacrés à élucider la nature des
structures cohérentes et les liens qui existent entre les différentes formes proposées ou observées.
Malgré le consensus que les structures cohérentes jouent un rôle important dans la compréhension
de la turbulence de paroi, de nombreuses controverses existent concernant la définition des structures
cohérentes et leur rôle exact dans la cascade d’énergie. Différents mécanismes reliant les structures
cohérentes et le maintien de la turbulence de paroi sont présents dans la littérature (Panton, 2001).
Ces mécanismes peuvent grossièrement être regroupés dans deux catégories. Les approches du premier
groupe sont basées sur l’étude de stabilité et les mécanismes de croissance des perturbations dans la
région interne (Schoppa and Hussain, 2002). Dans les approches du deuxième groupe, des mécanismes
de régénération des structures tourbillonnaires sont supposé exister. Parmi les approches du dernier
groupe nous pouvons distinguer les travaux sur les paquets de hairpin vortex de Adrian (2007). Dans
cette étude et les travaux reliés, les hairpin vortex sont considérés comme les structures fondamentales
de la turbulence de paroi. De l’autre côté, parmi les études du premier groupe, selon Schoppa and
Hussain (2002) les streaks sont les structures fondamentales et leur instabilité est la source de la
turbulence de proche paroi. Cette différence d’opinion persiste en raison de plusieurs points. Tout
d’abord, une définition universelle des structures cohérentes n’existe pas à présent. En outre, même
dans le cas d’une définition commune, la visualisation des structures et donc leur identification reste
très dépendante des critères choisis (Jeong et al., 1997; Chakraborty et al., 2005) (comme décrit dans la
partie 1.3.5 de ce travail). Par ailleurs, la visualisation des structures requiert une base de données très
résolues en temps et en espace. Même si la DNS est un outil adéquat pour l’obtention de ces données,
les résultats des simulations restent très dépendants de la configuration étudiée (couche limite (Wu
and Moin, 2009), canal turbulent (Marusic, 2009) ou écoulement en conduite (Zagarola and Smits,
1998)) et des conditions de forçage et d’entrée (Marusic, 2009). Ainsi, le point de vue adopté ici est
celui d’une couche limite dans laquelle les hairpin vortex existent et interagissent avec la sous-couche
visqueuse comme proposé par Adrian (2007). Ceci est décrit dans cette partie.

1.2.1

Couche limite turbulente

On définit généralement la couche limite comme une région de faible épaisseur produite par
l’écoulement d’un fluide visqueux au voisinage d’une paroi solide. La couche limite est généralement
turbulente quand le nombre de Reynolds basé sur la vitesse extérieure et la distance au bord d’attaque
Rex est supérieur au Reynolds critique.
Les premières mesures effectuées dans la couche limite turbulente (Townsend, 1956) ont permis

6

1.2. Turbulence de paroi
de distinguer différentes régions décrites par différentes grandeurs cinématiques. Dans la région de
proche paroi, les grandeurs cinématiques sont souvent reliées aux paramètres internes de la couche
limite, à savoir la vitesse de frottement uτ et la viscosité cinématique du fluide ν. On définit ainsi
les grandeurs adimensionnelles telles que la vitesse moyenne U + à la distance y + par U + = U/uτ et
y + = yuτ /ν. Dans la région externe, les paramètres qui interviennent sont δ l’épaisseur de la couche
limite et la vitesse de l’écoulement extérieur U∞ . A partir du profil de vitesse moyenne dans la couche
limite turbulente on peut distinguer trois régions :
– la sous couche visqueuse, pour 0 ≤ y + ≤ 5, où la contrainte visqueuse est supérieure à la
contrainte turbulente. Dans cette région le profil de vitesse moyenne est linéaire U + = y + .
– une région où la production et la dissipation de l’énergie cinétique turbulente dominent. Cette
région est composée de la zone tampon (buffer layer) pour 5 ≤ y + ≤ 30 et de la zone
logarithmique pour 30 ≤ y + ≤ 200 où U + = 1/k ln y + + B avec k la constante de von Karman
et B ∼ 5.
– une région externe pour y/δ ≥ 0.2 où l’écoulement est entièrement contrôlé par la turbulence.
Dans cette région la loi de vitesse est donnée par
U∞ − U
y


δ



Cette évolution de la vitesse moyenne suggère le scénario suivant. Près de la paroi, la taille
caractéristique des tourbillons est ν/uτ . Cette taille augmente linéairement à travers la zone
logarithmique et approche une constante proportionnelle à δ dans la région externe. Une des questions
qui se posent ici est comment les tourbillons évoluent-ils afin d’accomplir ces changements d’échelle. La
dépendance en y dans la couche logarithmique suggère l’existence d’une auto-similarité de la structure.
La question de la forme de cette structure auto-similaire reste à élucider (Adrian, 2007).

1.2.2

Structures turbulentes en couche limite

Depuis la fin des années soixante, de nombreuses études ont mis en évidence l’existence de différents
types de structures turbulentes dans un écoulement de couche limite. A présent, les relations spatiotemporelles entres ces différentes structures, la dynamique qui les anime ou les liens de cause à effet
qui les relient restent à élucider. La détection et la reconnaissance d’événements bien marqués qui
jouent un rôle important dans le mécanisme de production et de maintien de la turbulence sont les
principales conclusions des études expérimentales et numériques menées.
Les travaux de Kline et al. (1967) et Kim et al. (1971a) ont révélé l’existence à proximité de la
paroi d’une séquence d’événements organisés contribuant de façon prépondérante à la production de
l’énergie cinétique turbulente. Cette séquence dénommée “burst” est divisée en trois phases :
– émergence dans la zone de proche paroi de régions de fluide lent, dénommées “low speed streaks”
– soulèvement progressif accompagné de faibles oscillation des streaks (streaks lifting)
– amplification des oscillation et apparition de mouvements désordonnés (breakup)
Depuis ces observations, l’aspect organisé de l’écoulement a fait l’objet de nombreux travaux.
Parallèlement aux travaux de Kline et al. (1967) et Kim et al. (1971a), dans un écoulement de
conduite, Corino and Brodkey (1969) ont observé deux types d’événements dominant dans les échanges
de quantité de mouvement entre la zone de proche paroi et le centre de la conduite : une éjection de
fluide de la paroi vers le centre du canal, et un événement dénommé “sweep” au cours duquel du fluide
provenant du centre et possédant une vitesse plus élevée impacte la paroi. A partir de ces premières

7

1.2. Turbulence de paroi
observations, les différents événements ont été caractérisés par des critères purement cinématiques tels
que l’analyse par quadrants.

1.2.3

Analyse par quadrants

L’analyse dans les quatre quadrants du plan (u0 , v 0 ) (Figure 1.2), où u0 et v 0 représentent
les fluctuations de vitesse longitudinale et verticale, respectivement, est basée sur un traitement
conditionnel des composantes fluctuantes de la vitesse en fonction de leur signe (Wallace et al., 1972;
Willmarth and Lu, 1972; Wallace and Brodkey, 1977; Kim et al., 1987; Robinson, 1991; Panton, 2001).
Cette méthode consiste à classer les vecteurs fluctuations de vitesse u0 , v 0 dans quatre quadrants formés
par le plan (u0 , v 0 ) (Figure 1.2). On peut alors définir quatre types d’événements :
• les ”outward interactions” (Q1 ), définis par u0 > 0 et v 0 > 0, qui correspondent à du fluide
rapide, happé par le tourbillon se dirigeant vers le centre de l’écoulement
• les éjections (Q2 ), définies par u0 < 0 et v 0 > 0, correspondant à du fluide lent éjecté de la paroi
vers le centre de l’écoulement
• les ”inward interactions” (Q3 ), définis par u0 < 0 et v 0 < 0, ces événements ramènent du fluide
lent vers la paroi
• les sweeps (Q4 ), définis par u0 > 0 et v 0 < 0, correspondant à du fluide rapide venant balayer la
paroi

Fig. 1.2 – Méthode des quadrants.

Cette technique a permis de quantifier la contribution des différents événements cinématiques au
tenseur de Reynolds u0 v 0 (S.S. and W.W., 1973). A l’extérieur de la sous-couche visqueuse, y + ≥ 12,
les éjections (Q2 ) ont une contribution prépondérante à u0 v 0 . En proximité de la paroi, y + ≤ 12, les
sweeps (Q4 ) sont ceux qui contribuent le plus à u0 v 0 (Kim et al., 1987).
Plus récemment, les expériences et DNS d’écoulements turbulents près d’une paroi (voir les travaux
cités dans (Adrian, 2007; Marusic et al., 2010; Smits et al., 2011; McKeon et al., 1999; Jiménez, 2012)),
en particulier les simulations dans un canal plan (Moser et al., 1999; Abe et al., 2004; del Alamo et al.,
2006; Hoyas and Jiménez, 2006) ont fourni des bases de données plus complètes sur ces écoulements et

8

1.3. Structurtes cohérentes en turbulence de proche paroi
les structures présentes près des parois. Les analyses effectuées à partir de ces données ont permis de
dégager un consensus à propos de ces structures et de montrer la complexité des phénomènes observés.
Dans les paragraphes suivants nous allons présenter une synthèse des caractéristiques des différentes
structures observées dans la couche limite ainsi que les liens qui existent entre elles.

1.3
1.3.1

Structurtes cohérentes en turbulence de proche paroi
Les “streaks”

Depuis les travaux de Kline et al. (1967), l’existence à la paroi de structures longitudinales
correspondant à des régions de fluide rapide (u0 > 0) ou lent (u0 < 0) a été mise en évidence. Ces
structures sont appelée “high speed streaks” ou “low speed streaks”, respectivement. L’observation
des “low speed streaks” est facilitée par le fait que les traceurs injectés dans l’écoulement s’accumulent
dans les régions de faible vitesse (Figure 1.3). Ces structures ont un taille d’environ 1000 unités de
paroi dans la direction de l’écoulement et de 20 à 80 unités de paroi dans la direction transverse.

Fig. 1.3 – Visualisation des streaks en y + = 2.7 à l’aide de bulles d’hydrogène par Kline et al. (1967).

1.3.2

Les tourbillons longitudinaux

Les premières visualisations de structures tourbillonnaires longitudinales, constituées de paires de
tourbillons contrarotatifs ont été réalisées par Kim et al. (1971b), Grass (1971) et Bakewel and Lumley
(1967). Depuis, nombreux expériences et DNS ont confirmé l’existence et les caractéristiques de ces
tourbillons (Stanislas et al., 2008; Kähler, 2004). Les visualisations de Head and Bandyopadhyay (1981)
effectuées au voisinage de la paroi dans un plan laser perpendiculaire à l’écoulement ont montré que
les tourbillons longitudinaux et les streaks constituent une même structure.

9

1.3. Structurtes cohérentes en turbulence de proche paroi
Les analyses effectuées à partir des résultats de DNS par Robinson (1991) montrent que les
événements cinématiques correspondant aux éjections et sweeps, les streaks ainsi que les zones de
cisaillement sont étroitement liés à la présence de ces tourbillons longitudinaux. Selon (Robinson,
1991), près de la paroi les éjections et les sweeps ont lieu côte à côte et sont étroitement liés aux
tourbillons longitudinaux. Ceux-ci soulèvent du fluide lent de la paroi vers l’extérieur d’un côté, et
ramènent du fluide rapide de l’extérieur vers la paroi, de l’autre côté. Ceci crée respectivement des
zones à faible et forte vitesse qui correspondent aux streaks. Entre ces deux régions apparaissent des
zones de cisaillement (shear layer).

1.3.3
1.3.3.1

Les “hairpin vortex”
Formation et description

Une des premières descriptions spatio-temporelles des structures cohérentes dans une turbulence
de paroi a été réalisée par Theodorsen (1952). A partir de visualisations d’un tourbillon transverse
perturbé par un petit mouvement ascendant, Theodorsen (1952) propose un modèle pour l’évolution
d’un tourbillon en fer à cheval (horseshoe vortex). Dans ce modèle, la partie supérieure du tourbillon
(appelée tête ou arche) située loin de la paroi est soumise à une vitesse moyenne plus élevée. Elle est
donc convectée plus rapidement que les parties inférieures (proches de la paroi) du tourbillon. Ainsi, les
jambes qui connectent les parties de vorticité transverse du tourbillon à sa tête sont étirées conduisant
à une augmentation de leur vorticité. Ceci a pour effet de repousser le tourbillon de la paroi vers les
régions de forte vitesse moyenne, résultant dans une étirement encore plus prononcé.
Les études expérimentales de Head and Bandyopadhyay (1981) ont permis de confirmer l’existence
de hairpin vortex (ou horshoe vortex) dans les écoulements de couche limite turbulente. A l’aide de
visualisations dans un plan perpendiculaire à l’écoulement et incliné de ±450 par rapport à la paroi,
Head and Bandyopadhyay (1981) ont montré que pour des nombres de Reynolds élevés, les hairpin
vortex naissent à la paroi et s’étendent sur une grande partie de la couche limite.
Afin de comprendre les idées de Theodorsen (1952), Perry and Chong (1982) ont modélisé
l’évolution de hairpin vortex de différentes tailles, aléatoirement répartis à l’instant initial dans un
plan parallèle à la paroi. A partir de paramètres géométriques bien choisis et une distribution de taille
des hairpin vortex, les auteurs retrouvent certaines caractéristiques statistiques de la turbulence de
paroi telles que les profils de vitesse moyenne, du tenseur de Reynolds et des spectres avec un défaut
au niveau des petits nombres d’onde (Perry et al., 1986; Perry and Marusic, 1995).
1.3.3.2

Visualisations

Les simulations des grandes échelles (large-eddy simulations, LES) de Moin and Kim (1982, 1985);
Kim and Moin (1986) ont permis d’obtenir les premières visualisations 3D des hairpin vortex à l’aide
de lignes de vorticité instantanées et conditionnées par les éjections et sweeps. Plus tard, à partir de
résultats produits par différentes DNS (Spalart, 1988), Robinson (1991) a fait un bilan des structures
cohérentes présentes dans la turbulence de paroi. Les structures répertoriées, résumées dans la Figure
1.4 sont : les tourbillons longitudinaux près de la paroi, les arches ou les horseshoe vortex et un mélange
des tourbillons longitudinaux et des arches présents dans la zone logarithmique.
Depuis les années 90, le développement de nouvelles méthodes de mesure et des DNS avec une
grande résolution et des nombres de Reynolds de plus en plus élevés, les structures turbulentes se
développant près de la paroi telles que les hairpin vortex ont été largement décrites et analysées (Adrian

10

1.3. Structurtes cohérentes en turbulence de proche paroi

Fig. 1.4 – Structures cohérentes présentes dans la turbulence de paroi (Robinson, 1991).

et al., 2000; Adrian, 2007; Liu et al., 1991). A l’aide d’observations expérimentales, Liu et al. (1991)
ont trouvé que les régions de forte contrainte de Reynolds, associées avec la couche de cisaillement en
proche paroi, se terminent par des zones de vorticité transverse. Ces zones s’enroulent autour d’elles
mêmes et peuvent être interprétées comme les têtes des hairpin vortex.
La figure 1.5 illustre la forme d’un tourbillon moyen conditionné par la présence d’une forte éjection
en un point de l’espace obtenu à partir de DNS en turbulence de canal avec Reτ = 300 (Adrian and
Liu, 2002). Le tourbillon est visualisé à l’aide du critère λci (résumé dans la partie 1.3.5) (Zhou et al.,
1999) et présente la forme d’un hairpin vortex. Ce hairpin vortex est composé de (Acarlar, 1984;
Robinson, 1991)
– deux tourbillons longitudinaux de signe opposé évoluant parallélement à la paroi appelés jambes,
– une partie inclinée nommée cou
– un tourbillon transverse au sommet appelé tête.
Cette structure du hairpin vortex est schématisée sur la Figure 1.6 par Adrian (2007). Entre les jambes
et la tête du hairpin vortex du fluide lent se dirige de la paroi vers le centre de l’écoulement dans une

11

1.3. Structurtes cohérentes en turbulence de proche paroi
éjection. Ce mouvement ascendant est induit par la rotation des jambes du hairpin vortex. Ce même
mouvement pousse la tête du hairpin vortex vers le centre de l’écoulement (Adrian, 2007). A l’extérieur
du hairpin, du fluide rapide du milieu de l’écoulement se dirige vers la paroi dans un sweep (Adrian,
2007). L’interaction entre le sweep et l’éjection entraîne la formation d’une couche de cisaillement.

Fig. 1.5 – Visualisation à l’aide du critère λci d’un tourbillon moyen conditionné par la présence d’une
éjection. Résultats obtenus à partir de DNS en turbulence de canal avec Reτ = 300 (Adrian and Liu,
2002).

12

1.3. Structurtes cohérentes en turbulence de proche paroi

Fig. 1.6 – Schéma d’un hairpin vortex proposé par Adrian (2007).

D’après l’analyse de nombreuses études expérimentales et numériques par Adrian (2007), l’auteur
affirme que les hairpin vortex peuvent se produire de manière isolée mais également sous forme de
paquets à proximité de la paroi, en raison du mécanisme d’autogénération de la vorticité transverse
(Adrian, 2007). D’après cette même étude (Adrian, 2007), les hairpin vortex sont présents dans la
zone logarithmique. Leur fréquence d’apparaition diminue lorsque la distance à la paroi augmente.
Occasionnellement, les hairpin vortex peuvent pénétrer toute la couche limite et être à l’origine de
bursts turbulents. Par ailleurs, Adrian (2007) affirme que la taille des hairpin vortex augmente avec la
distance à la paroi. Cette vision des structures cohérentes à proximité de la paroi donnée par Adrian
(2007) permet d’expliquer les échanges de moments, vorticité et énergie cinétique turbulente entre
les différentes régions de l’écoulement. Cependant, une partie de la production de u0 v 0 et de l’énergie
cinétique turbulente est également due à la turbulence. Les échanges de ces grandeurs sont aussi liées à
la présence de très grandes structures (Adrian, 2007; Marusic et al., 2010). Le lien entre ces structures
et les paquets de hairpin vortex reste à établir (Adrian, 2007).
Des simulations numériques par DNS (Cherubini et al., 2010) ont mis en évidence la présence
de hairpin vortex lors de la transition turbulente en couche limite. Cherubini et al. (2010) étudient
l’évolution des structures cohérentes dans les phases initiales d’une poche turbulente dans une couche
limite. Les auteurs affirment que les hairpin vortex sont observés avant la transition et qu’ils jouent un
rôle important dans l’effondrement (breakdown) des streaks et la propagation de poches turbulentes
qui en résulte.
En dehors des phases initiales de la transition, la visualisation et le suivi en temps et en espace
de hairpin vortex sont difficils à mettre en oeuvre dans un écoulement turbulent. En effet, un
grand échantillonage spatio-temporel est nécessaire. Par ailleurs, en raison de la complexité des
écoulements à grand nombre de Reynolds, la visualisation instantanée des structures dépend fortement

13

1.3. Structurtes cohérentes en turbulence de proche paroi
des critères choisis. La cohérence spatiale ou temporelle des structures diminue lorsque le nombre de
Reynolds augmente, rendant la visualisation instananée d’autant plus difficile lorsqu’on approche les
nombres de Reynolds rencontrés dans les applications ou dans la nature. En raison de ces difficultés,
nombreuses études visant à analyser l’évolution des hairpin vortex dans des configurations simplifiées
sans turbulence ambiante ont été réalisées. Elles sont brièvement résumées dans le paragraphe suivant.

1.3.4

Hairpin vortex en configuration simplifiée

En raison de la grande complexité des écoulements à grand nombre de Reynolds, la visualisation
des hairpin vortex et leur suivi spatio-temporel peuvent s’avérer compliqués à mettre en oeuvre. Ainsi,
l’évolution des hairpin vortex a aussi été étudiée dans des configurations simplifiées sans turbulence
ambiante. Dans la littérature, deux méthodes sont souvent employées pour générer des hairpin vortex
dans une couche limite laminaire aussi bien expérimentalement que numériquement. Dans les deux cas,
il s’agit de créer un excès ou un défaut de vitesse soit par l’injection de fluide à la paroi (Acarlar and
Smith, 1987b; Svizher and Cohen, 2006; Zhou and Zhong, 2010) soit par l’introduction d’un obstacle
(Acarlar and Smith, 1987a; Zondag, 1997; Lelouvetel, 2008; Zhou et al., 2010). Dans le deuxième
cas, l’obstacle utilisé peut prendre différentes formes : un hémisphère (Acarlar and Smith, 1987a;
Zondag, 1997; Lelouvetel, 2008; Zhou et al., 2010), un paralléllipipéde (Dousset and Pothérat, 2010)
ou une plaque fixe inclinée de 25◦ par rapport à la paroi (Elavarasan and Meng, 2000; Yang et al.,
2001). Ces travaux ont permis d’identifier les principales caractéristiques des hairpin vortex ainsi que
d’étudier leur évolution. Les différents résultats et conclusions restent cependant très dépendants des
configurations choisies (injection de fluide, obstacle hémisphérique ou d’autre forme).
En raison de la facilité d’implémentation numérique, dans ce travail, les hairpin vortex sont générés
par l’introduction d’un obstacle hémisphérique dans une couche limite laminaire. Cette approche a déjà
été utilisée expérimentalement par Acarlar and Smith (1987a); Zondag (1997); Lelouvetel (2008) et
numériquement par Tufo et al. (1999). D’après les visualisations obtenues par des bulles d’hydrogène
dans l’eau par (Acarlar, 1984; Acarlar and Smith, 1987a; Zondag, 1997), lorsque la couche limite
interagit avec l’hémisphère, il y a formation de plusieurs structures tourbillonnaires schématisées
sur la Figure 1.7. Les auteurs observent l’apparition d’un tourbillon quasi-longitudinal dont les bras
encadrent l’hémisphère, appelé “standing vortex”. Sa formation est liée à la présence de vorticité
transverse dans la couche limite laminaire en amont de l’hémisphère. Cette concentration de vorticité
peut être représentée schématiquement par des tubes de vorticité transverse. Ces tubes se déforment
au voisinage de l’hémisphère pour donner naissance un standing vortex. Autour de l’hémisphère, il y
a aussi décollement de la couche limite et formation d’une couche de mélange qui se déstabilise pour
donner naissance aux hairpin vortex (Figure 1.7). Le standing vortex et les hairpin vortex ont aussi
été observées à l’aide de simulations numériques dans des conditions similaires aux expériences par
Tufo et al. (1999) et Zhou et al. (2010). Les isosurfaces de la norme de la vorticité (Kirkpatrick et al.,
2003) ou le critère λ2 (Tufo et al., 1999; Zhou et al., 2010) ont été utilisés pour les visualisations.

14

1.3. Structurtes cohérentes en turbulence de proche paroi

Fig. 1.7 – Schéma des structures générées au voisinage de l’hémisphère (Acarlar, 1984).
A partir des études expérimentales (Acarlar, 1984; Acarlar and Smith, 1987a; Zondag, 1997),
trois régions distinctes existant en aval de l’hémisphère ont été mises en évidence. Juste en aval de
l’hémisphère, pour 0 6 x 6 3R (R étant le rayon de l’hémsiphère et x la distance au dernier point
aval de l’hémisphère), les hairpin vortex se forment. Le processus complexe d’apparition périodique
des hairpin vortex dans le sillage de l’hémisphère s’explique selon (Acarlar, 1984; Acarlar and Smith,
1987a) par la présence d’une zone de recirculation juste en aval de l’obstacle. Cette recirculation est
caractérisée par une faible pression et une vortcité transverse intense. La différence de pression entre
cette zone de recirculation et l’écoulement externe entraîne la formation de hairpin vortex discrets en
raison de la déstabilisation de la couche de mélange séparant les deux. Les hairpin vortex se forment
les uns à la suite des autres comme schématisé sur la Figure 1.7. Un hairpin vortex est constitué
d’une paire de jambes correspondant à deux tourbillons longitudinaux contra-rotatifs intenses, d’une
tête dont la vorticité transverse est forte (Zondag, 1997) et d’une zone intermédiaire nommée cou.
La seconde région située entre 3R et 15R correspond à la croissance des hairpin vortex. Dans cette
zone, les hairpin vortex restent cohérents et peuvent être identifiés clairement. Dans la troisième
région, la cohérence des structures décroît en raison de la dissipation visqueuse et la transition vers un
écoulement turbulent. Acarlar (1984); Acarlar and Smith (1987a) ont également mesuré les profils de
vitesse moyenne et de variance de vitesse à différentes distances de l’hémisphère ainsi que la fréquence
de détachement tourbillonnaire, la trajectoire, la vitesse de convection et la vorticité des têtes des
hairpin vortex. Les résultats de nos simulations numériques seront comparés à ces données dans le
chapitre 3 de ce manuscrit.
La visualisation et l’identification des structures, et en particulier des hairpin vortex dans une
configuration simplifiée ou dans un écoulement turbulent, reste très dépendante des critères choisis
(Jeong et al., 1997; Chakraborty et al., 2005). Quelques critères les plus utilisés dans la littérature
sont résumés dans la partie qui suit.

1.3.5

Critères de détection

Afin d’analyser le transport de particules solides par les hairpin vortex, nous devons identifier les
structures en question à l’aide de critères de détection. De nombreux critères de détection sont basés

15

1.4. Transport de particules par les structures cohérentes
sur les quantités dérivant du champ de vitesse instantané et de son gradient. Les critères de détection
eulériens sont souvent formulés en fonction des invariants du tenseur gradient de vitesse. Voici quelques
exemples.
Les plus connus des critères eulériens sont le critère Q (Hunt et al., 1988), ∆ (Chong et al., 1990),
λ2 (Jeong and Hussain, 1995) et λci (ou “swirling strength”) (Zhou et al., 1999). Nous allons décrire
les deux derniers critères, car il s’agit des plus utilisés.
Le critère λci identifie les structures de l’écoulement à partir du tenseur gradient de vitesse
instantané ∇u (Zhou et al., 1999). En effet, si le déterminant de ∇u est positif, le tenseur possède
une valeur propre réelle λr et deux valeurs propres complexes conjuguées λcr ± ıλci . Ceci indique un
enroulement local des lignes de courants (Chong et al., 1990) et donc la présence d’une structure
cohérente. L’intensité de cette structure est caractérisée par la valeur de λ2ci . Ce critère est un scalaire
correspondant à une quantité eulérienne contenant des informations elles aussi eulériennes. Cette
méthode permet de réaliser des visualisations 3D des structures cohérentes tourbillonnaires à partir
d’isosurfaces de λci .
Le critère λ2 proposé par (Jeong and Hussain, 1995) est basé sur la décomposition du gradient
de vitesse instantanné ∇u = S + Ω, où S = 21 [∇u + (∇u)T ] est le tenseur taux de déformation et
Ω = 12 [∇u − (∇u)T ] est le tenseur taux de rotation. Il y a alors présence d’un tourbillon si :
λ2 (S2 + Ω2 ) < 0

(1.3)

où λ2 (S2 + Ω2 ) est la seconde valeur propre du tenseur symétrique S2 + Ω2 . Pour un écoulement
adiabatique, régit par les équations de Navier-Stokes, le critère λ2 indique la présence d’un minimum
local de pression dans un plan.
Il existe aussi des critères lagrangiens comme celui proposé par Green et al. (2007), basé sur
l’exposant de Lyapunov.
Les différentes structures décrites ici (streaks, éjections, sweeps, tourbillons longitudinaux et
hairpin vortex) ont toutes un rôle dans le mécanisme de production et de maintien de la turbulence de
paroi. Elles doivent donc jouer un rôle important dans le transport des particules solides au voisinage
des parois. Ceci est décrit dans la partie suivante.

1.4

Transport de particules par les structures cohérentes

Dans le cadre des applications citées, le transport des particules a été souvent abordé par une
approche globale. Différents modèles de flux vertical ou horizontal de poussières dans l’atmosphère
sont proposés dans la littérature (Shao et al., 1996; Shao and Leslie, 1997; Marticorena and Bergametti,
1995; Marticorena et al., 1997). Longtemps, l’entraînement et la mise en suspension de particules ont
été considérés comme des phénomènes à seuil, contrôlés par la contrainte de cisaillement à la paroi
(Shields, 1936; Bagnold, 1973). Celle-ci est déterminée à partir de quantités moyennes de l’écoulement.
Or, depuis les travaux de Robinson (1991), il est maintenant largement admis que le transport de
particules à proximité d’une paroi est relié aux structures cohérentes présentes dans les couches limites
turbulentes (van Hout, 2011, 2013). Plusieurs expériences ou simulations numériques réalisées en
écoulement de canal turbulent chargé en particules ont permis de montrer que dans la région de
proche paroi le transport de particules est influencé par l’existence d’éjections (fluide lent s’écartant
de la paroi), et de sweeps (fluide rapide venant balayer la paroi) (Kiger and Pan, 2002; Nino and

16

1.4. Transport de particules par les structures cohérentes
García, 1996; Lelouvetel et al., 2009; Kaftori et al., 1995; Marchioli and Soldati, 2002; van Hout, 2011,
2013). Ainsi, dans ce qui suit, le rôle des éjections dans le transport des particules près des parois est
décrit, différents modèles de transport sont ensuite présentés. Enfin, quelques études portant sur la
turbophorèse sont brièvement décrites.

1.4.1

Le rôle des éjections

A partir de l’APFP (Acoustic Particle Flux Profiler) permettant de mesurer simultanément les
champs de vitesse du fluide et la concentration en particules, Hurther and Lemmin (2003) ont pu
constater que les particules de quartz en suspension dans la couche externe de l’écoulement sont
principalement localisées dans les régions fort u0 v 0 . Ils observent que le flux ascendant de particules
est corrélé avec les éjections définies par un seuil de cohérence. A l’aide d’une analyse statistique
et la méthode des quadrants (paragraphe 1.2.3), Kiger and Pan (2002), Nino and García (1996) ou
Lelouvetel et al. (2009) ont étudié le lien entre les structures cohérentes et le dépôt ou la suspension
des particules. Dans les expériences de Kiger and Pan (2002) et Lelouvetel et al. (2009), une mesure
simultanée du fluide et des particules a été obtenue par le couplage entre la PIV (particle image
velocimetry) et la PTV (particle tracking velocimetry). Ces études (Kiger and Pan, 2002; Nino and
García, 1996; Lelouvetel et al., 2009) ont montré que près de la paroi les particules se concentrent de
manière préférentielle dans les régions de faible vitesse longitudinale (low speed streaks). De plus, les
résultats indiquent que le transport des particules loin de la paroi est corrélé avec les éjections, alors
que le dépôt et le transport des particules vers la paroi sont influencés par les sweeps. La concentration
préférentielle des particules montantes dans les régions de faible vitesse longitudinale près de la paroi
est illustrée sur la Figure 1.8 obtenue à partir d’une DNS couplée avec le suivi lagrangien des particules
ponctuelles (Vinkovic et al., 2010).

Fig. 1.8 – Position des particules solides montantes dans un plan vertical perpendiculaire à
l’écoulement dans le cas d’un canal turbulent à Re = 2660. Les particules ont un nombre de Stokes
Stη = 5. Les couleurs représentent les isocontours de vitesse longitudinale. Les vecteurs sont ceux des
fluctuations de vitesse verticale et transverse (Vinkovic et al., 2010).

17

1.4. Transport de particules par les structures cohérentes
Rashidi et al. (1990) ont constaté trois types de comportement des particules solides dans un
écoulement. Ils ont utilisé des particules de verre et de polystyrène de diamètre variant de 0.5 à 16
unités de paroi. Premièrement, comme dans les autres études citées plus haut, ils observent que les
particules ont tendance à s’accumuler dans les régions de faible vitesse longitudinale près de la paroi.
Deuxièmement, ils constatent que les particules sont entraînées loin de la paroi par les éjections. Enfin,
lorsque les particules retombent à la paroi, les éjections les maintiennent en suspension avant qu’elles
n’atteignent le fond. A partir d’expériences dans différentes conditions hydrauliques et avec plusieurs
tailles de billes de polystyrène, Kaftori et al. (1995) affirment que les tourbillons en forme d’entonnoirs
balayent la paroi, éjectant les particules de leur centre. Le passage de ces tourbillons provoque ainsi
l’apparition d’allées de particules à la paroi. A l’aide de simulations numériques directes et le suivi
lagrangien de particules ponctuelles, Marchioli and Soldati (2002) trouvent que les particules restent
piégées par les tourbillons quasi-longitudinaux contrarotatifs de longueur finie qui encadrent les streaks
et limitent l’accès des particules aux zones de forte éjection.
Toujours en utilisant un couplage simultané d’une PIV et d’une PTV, van Hout (2011) et van Hout
(2013) ont étudié l’influence du passage d’un train de hairpin vortex sur la suspension de quelques
billes de polystyrène. Les mesures indiquent que le passage de paquets de hairpin vortex crée un cycle
sweep / éjection, appelé burst, capable de soulever et emporter certaines particules loin de la paroi.
En raison des contraintes expérimentales, un nombre limité de billes de polystyrène a pu être suivi
dans le plan de l’écoulement uniquement.
Ces observations expérimentales et numériques ont permis d’élaborer un certain nombre de modèles
de transport des particules près de la paroi. Dans ce qui suit, trois modèles sont décrits illustrant le
rôle des éjections dans le transport des particules.

1.4.2

Modèles de transport

Dans cette partie, trois modèles de transport par suspension sont décrits. Ils ont été choisi car ils
illustrent le rôle des éjections dans le transport. Toutefois, ils ne sont pas quantitatifs et ne peuvent
pas être utilisés pour les simulations couplées avec le suivi lagrangien.
A partir d’expériences où le transport de particules avec différentes masses volumiques sur un
fond lisse ou rugueux est étudié, Sumer and Deigaard (1981) proposent un modèle d’entraînement
et de transport des particules en fonction de leur poids. Dans ce modèle, les particules légères sont
entraînées par les éjections. Tant que les éjections gardent leur cohérence, les particules montent portées
par l’éjection qui les entoure. Les auteurs (Sumer and Deigaard, 1981) constatent que ce mouvement
ascendant a lieu jusqu’à une distance d’environ 70 unités de paroi. En revanche, les particules lourdes
sont mises en mouvement suite au passage d’une éjection, mais l’énergie de l’éjection n’étant pas
assez importante pour contrecarrer le poids, les particules retombent rapidement sur le fond. Dans ce
modèle, les auteurs supposent que toutes les particules sont entraînées par les éjections. C’est ensuite
le poids d’une particule qui détermine si la particule suit le mouvement du fluide qui l’entoure.
Dans le modèle proposé par Gyr (1983) les éjections sont représentées par des colonnes d’eau
inclinées transportant des particules de toutes les tailles. Dans ce modèle, les particules sont
transportées par les éjections. Lors que les éjections perdent leur cohérence, les particules peuvent
tomber et se déposer au fond ou être capturées par une autre éjection qui les maintient dans
l’écoulement. Gyr (1983) différencie le transport par saltation, où une particule n’est qu’une seule
fois en contact avec une éjection, du transport par suspension, au cours duquel la particule se déplace

18

1.4. Transport de particules par les structures cohérentes
dans plusieurs éjections. Ainsi, dans ce modèle les deux modes de transport (saltation et suspension)
sont associés aux éjections.
Le dernier modèle présenté ici est un modèle d’entraînement des particules par les éjections proposé
par Nino and García (1996). Dans le repère mobil attaché à la couche de cisaillement, la particule
est mise en mouvement sous l’effet d’une éjection à une distance de 100 à 200 unités de paroi en aval
de la couche. Une fois entraînée, la particule monte vers la couche de cisaillement avec une vitesse
longitudinale inférieure à la vitesse de convection de la couche. Ce modèle n’illustre pas comment une
particule sort de l’éjection.
Malgré quelques points d’accord général (concentration préférentielle des particules près de la paroi
et influence des éjections sur le transport des particules loin de la paroi), nombreux mécanismes de
transport des particules par les structures cohérentes à proximité de la paroi sont proposés. Le lien
entre ces mécanismes et leur influence relative sur le transport et le dépôt de particules reste à établir.

1.4.3

Turbophorèse

Dans un certaine gamme de nombre de Stokes, la concentration en particules près de la paroi peut
devenir très élevée. Cette accumulation préférentielle de particules près de la paroi dans les écoulements
turbulents est appelée turbophorèse (Rouson and Eaton, 2001; Marchioli and Soldati, 2002; Kuerten
and Vreman, 2005). En raison de ce phénomène, la dispersion de la phase solide dans l’écoulement
peut être fortement réduite, provoquant des problèmes de dépôt, d’agglomération ou de diminution du
mélange et de la dispersion. Cette accumulation préférentielle peut être attribuée à un échantillonnage
asymétrique des sweeps et des éjections par les particules (Marchioli and Soldati, 2002; Picano et al.,
2009). Ce constat est en accord avec les résultats des simulations numériques menées par Marchioli and
Soldati (2002) et Soldati and Marchioli (2009) décrites plus haut (partie 1.4) où les auteurs trouvent
que les particules restent piégées à la paroi par la queue d’un tourbillon longitudinal.
La turbophorèse a aussi été étudiée par simulation numérique dans d’autres configurations que
l’écoulement de canal turbulent, telles que l’écoulement en conduite (Picano et al., 2009), la couche
limite (Sardina et al., 2012) ou les jets turbulents (Picano et al., 2010). En introduisant l’entropie de
Shanon, Picano et al. (2009) ont quantifié l’inhomogénéité spatiale de la distribution des particules ainsi
que le niveau d’accumulation à la paroi. Dans ce contexte, des écoulements périodiques, homogènes
dans la direction de l’écoulement comme l’écoulement en canal turbulent, ne peuvent pas être utilisés
pour l’étude des longueurs caractéristiques d’établissement des régimes stationnaires. Or, l’influence
des inhomogénéités est de prime importance pour les applications industrielles et environnementales
(Claudin et al., 2011; Grigoriadis and Kassinos, 2009). Dans le cas d’un jet turbulent, Picano et al.
(2010) trouvent que l’évolution en espace du nombre de Stokes peut induire une anomalie dans le
transport des particules. Ainsi, l’étude du transport des particules solides dans un écoulement laminaire
ou les hairpins vortex sont générés à l’aide d’un hémisphère peut permettre de mieux comprendre
l’influence des inhomogénéités de l’écoulement sur le transport près de la paroi.
Dans ce contexte, le point de vue adopté ici est celui d’une couche limite dans laquelle les
hairpin vortex existent et interagissent avec la sous-couche visqueuse où les particules sont concentrées
préférentiellement.

19

1.5. Objectifs

1.5

Objectifs

Compte tenu des études présentées dans les parties précédentes, l’objectif de ce travail est d’étudier
le transport de particules solides dans une configuration simplifiée sans turbulence ambiante où les
hairpin vortex et les éjections sont générés de manière contrôlée. Cet écoulement est obtenu en
introduisant un hémisphère dans une couche limite laminaire. Des particules solides, ponctuelles sont
suivies dans le sillage de l’obstacle. L’écoulement est résolu par simulation numérique directe. Le
suivi lagrangien est appliqué pour la phase dispersée. Les paramètres des simulations numériques sont
choisis afin de reproduire au mieux les expériences de Acarlar and Smith (1987a) où la dynamique
des hairpin vortex présents dans le sillage d’un hémisphère a été étudiée sans transport de particules
solides. Un intérêt particulier est porté à l’effet des hairpin vortex sur la répartition des particules près
de la paroi et sur leur trajectoire. Par ailleurs, l’accélération des particules est analysée afin d’obtenir
les temps caractéristiques de l’interaction particules - hairpin vortex.
Dans ce qui suit, la méthode numérique utilisée est tout d’abord présentée. L’introduction d’un
obstacle par la méthode des frontières immergées est ensuite décrite et validée en comparaison avec
le cas test d’un écoulement autour d’un cube. Le suivi lagrangien des particules ponctuelles et les
choix réalisés en vue de la parallélisation sont également résumés dans ce chapitre. Le chapitre 3 est
consacré à la description de l’écoulement autour d’un hémisphère à la paroi. Dans la mesure du possible,
les résultats de nos DNS sont comparés aux expériences (Acarlar, 1984; Acarlar and Smith, 1987a;
Lelouvetel, 2008; Lelouvetel et al., 2009; Bigillon et al., 2008; Zondag, 1997) ou aux simulations (Tufo
et al., 1999) disponibles dans la littérature. Dans le chapitre 4, les particules solides sont introduites
dans le sillage de l’hémisphère. A partir de l’étude qualitative de la répartition des particules dans
le sillage et des profils de concentration les régions contenant le plus de particules sont déterminées.
Enfin, dans le dernier chapitre, le transport des particules solides par les hairpin vortex est étudié. Un
intérêt particulier est porté à l’évolution des particules autour des têtes des hairpin vortex et dans la
région de cisaillement entre les jambes des hairpin vortex.

20

Chapitre 2

Méthodes numériques, modèles et
validation
2.1

Introduction

Le transport des particules solides dans une configuration simplifiée où les hairpin vortex sont
générés par la présence d’un obstacle à la paroi est étudié par simulation numérique directe (DNS).
L’outil disponible déjà appliqué à l’étude du transport des particules ponctuelles en turbulence de
canal (Vinkovic et al., 2010) est utilisé ici. Dans ce travail, nous souhaitons générer des structures
cohérentes de manière contrôlée dans un écoulement sans turbulence ambiante en références aux
expériences de Acarlar and Smith (1987a). Pour cela, nous couplons le code DNS avec une méthode
simple de pénalisation permettant de traiter l’écoulement autour de l’obstacle posé à la paroi. Cette
méthode de pénalisation n’est pas très précise près de l’obstacle. Cependant, nous ne nous intéressons
pas à l’écoulement dans cette région.
Dans ce chapitre, les différentes méthodes numériques utilisées pour les simulations sont décrites.
Tout d’abord, la DNS de l’écoulement d’un fluide incompressible dans un canal réalisée à l’aide du code
NadiaSpectral est présentée. Un intérêt particulier est porté aux différentes spécificités de la méthode
telles que l’élimination de la pression ou le traitement des termes non-linéaires. Ensuite, la méthode de
pénalisation utilisée pour l’introduction de l’obstacle dans le canal est résumée. Quelques limitations
liées à la méthode et les solutions apportées sont présentées. L’introduction de la pénalisation dans
NadiaSpectral est validée en comparaison avec le cas test d’un écoulement autour d’un cube. Enfin,
le suivi lagrangien des particules solides est décrit. La méthode numérique ainsi que la stratégie de
parallélisation mise en place sont présentées. Le choix de la méthode d’interpolation utilisée pour
estimer la vitesse du fluide à la position de la particule solide est enfin discuté.

2.2
2.2.1

Fluide
Problème et équations

L’écoulement incompressible d’un fluide newtonien dans un canal plan comme représenté sur la
figure 2.1 est étudié. Les équations de Navier-Stokes sont données sous forme adimensionnelle par :
∂u
1
+ (∇ × u) × u + ∇(p + u2 /2) −
∆u = f
∂t
Re

21

(2.1)

2.2. Fluide

∇. u = 0

(2.2)

où u est le champ de vitesse adimensionné par la vitesse au centre du canal U0 , p la pression et Re
le nombre de Reynolds basé sur la vitesse U0 , la demi-hauteur du canal h et la viscosité cinématique
du fluide ν. Le terme f = f(x, y, z, t) correspond aux forces extérieures appliquées au fluide. Ces forces
seront détaillées dans la suite du chapitre (paragraphes 2.2.2.5 et 2.2.2.6).

Fig. 2.1 – Domaine de calcul Ω.

2.2.2

Méthode numérique

Afin de résoudre les équations (2.1) et (2.2), nous utilisons le code NadiaSpectral. Les méthodes
numériques associées sont résumées dans cette partie. Les détails de la méthode sont donnés dans
Buffat et al. (2011, 2009). De plus, le principe de la parallélisation du code est brièvement décrit afin
de plus facilement introduire le travail de parallélisation réalisé sur le suivi lagrangien des particules.
2.2.2.1

Formulation mathématique du problème

La formulation variationnelle des équations (2.1) et (2.2) dans un espace de fonctions à divergence
nulle est considérée. Le produit scalaire est défini par :
< u, v >w =

Z

u(x, y, z).v(x, y, z)w(y)dxdydz


(2.3)

où w(y) est une fonction de pondération positive. L’espace W des fonctions tests à divergence nulle
et l’espace V des fonctions tests sont définis par :
W

V

= {u(x, y, z) périodique suivant (x, z)

= {v(x, y, z)

périodique suivant (x, z)

avec

avec

u(x, ±1, z) = 0/∇.u = 0}

(2.4)

v(x, ±1, z) = 0/∇.(wv) = 0}

(2.5)

La formulation variationnelle est obtenue en faisant le produit scalaire de l’équation (2.1) avec une
fonction test v. En utilisant le théorème de la divergence, les conditions aux limites et les propriétés
des fonctions tests définies par la relation (2.5), la formulation variationnelle équivalente aux équations
(2.1) et (2.2) est :

22

2.2. Fluide

∂u
1
<
, v >w −
∂t
Re

Z


∆u.vwdΩ = < F, v >w

(2.6)

où F = f − ∇π + u × (∇ × u). Cette formulation permet de trouver u ∈ W , ∀v ∈ V . De plus, elle
permet d’éléminer formellement la pression des équations et de conserver seulement le gradient de
pression moyen ∇π, indépendant de l’espace.
2.2.2.2

Résolution spatiale

La méthode d’approximation pour la solution de l’équation (2.6) utilise une base de fonctions
à divergence nulle définie dans l’espace W . Cette base est choisie à partir d’une décomposition
orthogonale du champ de vitesse solénoïdal solution de l’équation (2.6) tel que u = uos + usq , où
uos correspond au champ de vitesse d’Orr-Sommerfeld et usq au champ de vitesse de vorticité normale
de Squire (Buffat et al., 2009). On note ey le vecteur unitaire normal à la paroi. Dans ce cas, le champ
de vitesse uos a une vorticité normale nulle (∇ × uos ).ey = 0 et sa composante de vitesse normale est
égale à celle de u, uos .ey = u.ey . Pour le champ de vitesse usq , la vitesse normale est nulle, usq .ey = 0
et la vorticité normale est celle de u, (∇ × usq ).ey = (∇ × u).ey . Les moyennes de ces deux champs
dans un plan (x, z) sont nulles, comme requis par la condition de périodicité (Buffat et al., 2009).
En raison de la périodicité des deux champs suivant les directions x et z, une expression de uos et
usq peut être déterminée en utilisant un développement en séries de Fourier du champ vectoriel :
u(x, y, z, t) =


X


X

ump (y, t)eı(km x+kp z)

(2.7)

m=−∞ p=−∞

où ump (y, t) est le vecteur des coefficients de Fourier associé aux nombres d’onde km = 2πm/Lx et
kp = 2πp/Lz . A partir de ce développement (2.7), la solution de l’équation (2.6) est obtenue à partir
des coefficients de Fourier des vecteurs vitesses d’Orr-Sommerfeld et de Squire, respectivement (Buffat
et al., 2011). Ces expressions sont fonctions de v mp (y) et de ω mp (y), les coefficients de Fourier de la
vitesse normale à la paroi et de la vorticité normale à la paroi, respectivement. Afin de satisfaire les
conditions limites de non-glissement aux parois, les fonctions v mp (y) et ω mp (y) doivent vérifier :
v mp (±1) = 0,

∂v mp (±1)
= 0,
∂y

ω mp (±1) = 0

(2.8)

Chaque coefficient de Fourier ω mp (y, t) est construit à partir de jeux de N fonctions test vi (y) et
ωi (y) qui satisfont les conditions limites (2.8). Ces fonctions tests vi (y) et ωi (y) sont définies à l’aide
des polynômes de Chebyshev Ti (y) = cos[i arccos(y)] utilisés pour leur bonne représentation des forts
gradients dans les régions de proche paroi. On a alors :
vj (y) = (1 − y 2 )2 Tj (y) ωj (y) = (1 − y 2 )Tj (y)
2.2.2.3

Traitement des termes non-linéaires

Dans l’espace de Fourier, le calcul des termes non-linéaires correspondant au produit vectoriel dans
l’équation (2.6) revient à faire la somme de produits de convolution. Cette opération est très coûteuse
en temps de calcul. Ainsi, il est plus efficace de calculer ces termes dans l’espace physique en utilisant
une transformée de Fourier rapide (FFT). Cependant, cette méthode entraîne l’apparition d’erreurs
liées au repli du spectre (aliasing). Afin d’éliminer ce phénomène, une méthode de “dealiasing” dans
le plan xz appelée “2/3-rule” (Orszag, 1971) est utilisée.

23

2.2. Fluide
2.2.2.4

Intégration temporelle

Deux schémas numériques sont utilisés pour l’intégration temporelle. Ils sont tous les deux d’ordre
2. Le schéma d’Adams-Bashforth est utilisé pour l’intégration temporelle des termes non-linéaires et
celui de Cranck-Nicholson pour les autres termes de l’équation.
2.2.2.5

Ecoulements non-périodiques

L’utilisation d’une décomposition en séries de Fourier suivant les axes x et z implique par
définition des conditions aux limites périodiques. Afin de simuler des écoulements non-périodiques
tout en gardant le bénéfice d’un développement en séries de Fourier suivant la direction x, une zone
d’amortissement dite zone de frange est introduite. Cette méthode proposée par Bertolloti et al. (1992)
consiste à amortir le champ de vitesse u à la sortie du canal vers un champ de vitesse de référence
noté U. La force d’amortissement fF R est définie par :
(

fF R =

−λ(x)(u − U)
0

si Lx − LF R 6 x 6 Lx ,
sinon

(2.9)

où LF R est la longueur de la zone de frange et λ(x) le coefficient d’amortissement donné par :
"

λ(x) = λmax

x − xstart
S
∆rise

!

x − xend
+1
−S
∆f all

!#

(2.10)

avec λmax la valeur maximale du coefficient d’amortissement. xstart et xend définissent respectivement
le début et la fin de la zone de frange tels que LF R = xend − xstart . ∆rise et ∆f all correspondent à
la longueur sur laquelle le coefficient d’amortissement croît et décroît, respectivement. Enfin S(x) est
une fonction créneau lissée telle que :

S(x) =



0




si x 6 0,

1


1 + e1/(x−1)+1/x


 1



si

0 < x < 1,

(2.11)

si x > 1.

Les paramètres de la zone de frange sont résumés sur la figure 2.2. Leur valeur a été déterminée par
une étude paramétrique décrite dans l’annexe D.

24

2.2. Fluide

Fig. 2.2 – Evolution du coefficient λ(x) dans la zone de frange.

2.2.2.6

Introduction d’un obstacle - méthode de pénalisation

Dans ce travail un obstacle est utilisé pour générer des hairpin vortex. Cet obstacle est pris en
compte par la méthode de pénalisation (Goldstein et al., 1993; Mittal and Iacarrino, 2005). Cette
méthode consiste à introduire une force dans les équations de Navier-Stokes. L’expression de cette
force est basée sur la loi de Darcy. L’obstacle introduit est considéré comme un milieu poreux et la
force exercée dans ce milieu est donnée par :
−1
χΩS u
η

fOBS =

(2.12)

où η est la perméabilité du milieu poreux. D’après l’expression (2.12), lorsque η tend vers 0, fOBS tend
vers l’infini, on a alors un obstacle imperméable. La fonction χΩS est un masque donné par :
(

χΩS =

1
0

si
si

x ∈ ΩS ,
x ∈ ΩF .

(2.13)

où ΩS est le domaine de l’obstacle, ΩF est le domaine du fluide et Ω est le domaine de calcul tel que
S
Ω = ΩF ΩS .
Le calcul de fOBS est réalisé dans l’espace physique. Cette procédure rend la programmation de
la force plus simple. Cependant, l’application de la force aux noeuds de calcul crée des discontinuités
dans le champ de vitesse. Cela provoque l’apparition d’oscillations de Gibbs au moment du passage
dans l’espace spectral. Afin d’amortir ces oscillations, une fonction de lissage dans l’espace spectral
est appliquée sur le terme fOBS telle que (Hou and Li, 2007) :
˜ = e−αk
Φ(k)

˜m

(2.14)

où k˜ est le nombre d’onde adimensionné k˜ = k/kmax . α est une constante calculée à partir du zéro
machine m , α = −log( m ), et m est l’orde du filtre. Ce filtre est appliqué selon les trois directions de
l’espace.

25

2.2. Fluide
La figure 2.3 présente l’évolution de la fonction de lissage (Hou and Li, 2007) pour les valeurs des
paramètres α et m utilisés dans le code. m est choisi en faisant un compromis entre l’amortissement
des oscillations de Gibbs et l’efficacité de la force fOBS . En effet, si l’ordre du filtre est trop petit, les
oscillations sont bien amorties mais la frontière de l’obstacle est mal résolue.

˜ en fonction de k˜ pour α = 25 et m = 4 (Hou and
Fig. 2.3 – Evolution de la fonction de lissage Φ(k)
Li, 2007).
2.2.2.7

Parallélisation du code NadiaSpectral

La structure du code est présentée ici. Après la description de l’algorithme séquentiel, la méthode
de parallélisation est donnée.
Algorithme séquentiel L’enchaînement global des différentes opérations lors du déroulement
séquentiel du calcul est donné sur la figure 2.4. L’algorithme montre trois étapes distinctes. La première
correspond à l’initialisation des variables, du domaine de calcul et du calcul en fonction des données
rentrées par l’utilisateur. La seconde étape qui est la plus longue correspond à l’évaluation des termes
du second membre. L’équation (2.1) est organisée de manière à ce que seul le terme instationnaire se
trouve à gauche du signe égal. Cette étape est détaillée dans la suite de cette partie. La dernière étape
correspond à l’intégration temporelle de la solution. Les deux dernières étapes sont répétées tant que
le nombre d’itérations maximale fixé par l’utilisateur n’est pas atteint.

26

2.2. Fluide

Fig. 2.4 – Algorithme séquentiel du code NadiaSpectral.
Calcul du second membre La figure 2.5 présente la manière dont les opérations s’enchaînent lors
d’une itération pour le calcul du second membre (deuxième étape sur la figure 2.4). Les opérations
sur les termes non-linéaires (en vert) sont résumées dans le paragraphe 2.2.2.3. Le calcul du terme de
pénalisation ainsi que son lissage (en rouge) sont expliqués dans le paragraphe 2.2.2.6. Le calcul du
terme visqueux (en bleu) ne nécessite pas d’opération particulière. Enfin, l’application de la zone de
frange (en violet) est développée dans le paragraphe 2.2.2.5. Le principe de parallélisation est ensuite
décrit. Plus particulièrement, les gains que celle-ci apporte sont résumés.

Fig. 2.5 – Algorithme séquentiel de l’étape Calcul du second membre.

Parallélisation de NadiaSpectral La parallélisation utilisée dans NadiaSpectral est résumée
ici. Plus de détails sur la programmation parallèle peuvent être obtenus dans Rauber and Rünger

27

2.2. Fluide
(2010). La parallélisation consiste à décomposer le domaine de calcul en sous-domaines suivant la
direction x (figure 2.1). Si l’on considère un nombre Np de processeurs, on décompose le domaine
en Np sous-domaines de taille égale, c’est-à-dire contenant le même nombre de noeuds de maillage
(figure 2.6). Chaque sous-domaine est associé à un processeur qui exécute les opérations détaillées par
les figures 2.4 et 2.5 sur les noeuds qui lui sont associés. L’échange d’information entre les processeurs
se fait à l’aide de la librairie MPI (Message Passing Interface). Les opérations de transfert entre
processeurs s’effectuent principalement lors des transformées de Fourier et sont très coûteuses en
temps de calcul. Il est donc important de limiter au maximum le nombre de ces opérations. Pour les
transformés de Fourier, la librairie optimisée FFTW (Frigo and Johnson, 2005) est utilisée.

Fig. 2.6 – Principe de décomposition du domaine de calcul Ω en Np sous-domaines.
Un deuxième niveau de parallélisation interne à chaque sous-domaine est aussi utilisé à l’aide
de la librairie OpenMP. Il consiste à paralléliser les boucles lorsque les opérations réalisées dans ces
boucles sont indépendantes. Par exemple, si l’on veut associer une valeur constante à chaque élément
d’un tableau de taille N , en programmation simple, on doit parcourir chaque élément du tableau et
affecter la valeur constante. Cette opération peut coûter chère en temps de calcul lorsque le tableau
possède un très grand nombre d’éléments. Si on considère maintenant deux processus OpenMP, on
peut alors diviser la boucle en deux, le temps d’exécuter l’instruction. Ainsi, un processus OpenMP
réalise l’opération décrite plus haut pour les N/2 premiers éléments du tableau et le second processus
OpenMP pour les N/2 éléments suivants. Ce type de parallélisation est appliqué dans le code lorsque
l’on parcourt les noeuds de maillage. Pour chaque sous-domaine donné par un processus MPI, il
peut y avoir plusieurs processus OpenMP. Les nombres de processus MPI et OpenMP sont fixés par
l’utilisateur.
Dans le cas d’une simulation en présence d’un obstacle, pour 32 processus MPI et 1 processus

28

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube
OpenMP associé à chaque processus MPI nous obtenons un temps moyen par itération de 9 secondes
pour un maillage comprenant 24 × 569 × 856 modes. Pour le même maillage mais cette fois-ci avec 32
processus MPI et 2 processus OpenMP associés, nous obtenons un temps moyen par itération de 4.7
secondes.

2.3
2.3.1

Validation - écoulement autour d’un cube
Description du problème

Afin de valider l’introduction d’un obstacle par la méthode des frontières immergées, le cas test
de l’écoulement autour d’un cube posé à la paroi est présenté ici. L’écoulement amont est laminaire
et le cube est posé sur la paroi inférieure comme le montre la figure 2.7. Le profil d’entrée est un
profil de Poiseuille de vitesse moyenne u
¯b . Dans la suite, les positions x, y et z sont adimensionnées
par la demi-hauteur du canal notée h et seront notées x∗ , y ∗ et z ∗ , respectivement. Les vitesses sont
adimensionnées par la vitesse moyenne à l’entrée u
¯b et sont aussi notées avec l’exposant ∗. Le nombre
de Reynolds est défini par Re = u
¯b h/ν. Les résultats obtenus sont comparés aux résultats d’autres
simulations (Hwang and Yang, 2004; van Dijk and de Lange, 2007; Montagnier, 2010). Pour toutes
les simulations, l’obstacle a pour dimensions h et le centre de sa face inférieure est situé à x∗ = 3.5,
au milieu du canal suivant la direction transverse.

Fig. 2.7 – Domaine de calcul Ω - écoulement autour d’un cube.
Dans la suite, l’étude paramétrique du maillage (section 2.3.2) et de la perméabilité (section 2.3.3)
est présentée pour Re = 150. L’étude paramétrique de la zone de frange est décrite dans l’annexe D.
Les paramètres des simulations sont donnés dans le tableau 2.1. L’influence des différents paramètres
sur la vitesse longitudinale adimensionnée u∗ du fluide, sur le coefficient de frottement Cf
Cf

τw

=

1
ρu¯b 2
2

(2.15)

ou sur la contrainte visqueuse τw
τw =

∂u∗
∂y ∗

est étudiée.

29

!

(2.16)
y ∗ =0

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube

Tab. 2.1 – Paramètres de référence des simulations
Référence
Re
∆t
η
Lx × Ly × Lz
Nx × Ny × Nz
Hwang and Yang (2004)
150
10h × 2h × 7h
128 × 64 × 96
van Dijk and de Lange (2007) 150
10h × 2h × 8h
121 × 49 × 96
Montagnier (2010)
150
20h × 2h × 8h 7216448 cellules
notre DNS
150 10−3 2.10−3 20h × 2h × 8h 420 × 128 × 128

Les résultats obtenus par notre DNS sont comparés avec ceux d’autres simulations numériques (van
Dijk and de Lange, 2007; Hwang and Yang, 2004; Montagnier, 2010). Dans van Dijk and de Lange
(2007), un schéma différences finies d’ordre 5 est utilisé afin de résoudre les équations de NavierStokes dans le cas d’un écoulement compressible. L’écoulement est périodique dans la direction z et
une condition de non-glissement est imposée sur
! les parois. En sortie du canal une condition mixte sur
∂p
la pression est appliquée telle que p + Lx
= 0.
∂x
B

Le schéma de volumes finis sur un maillage cartésien non-uniforme est utlisé par Hwang and Yang
(2004) afin de résoudre les équations de Navier-Stokes dans le cas d’un écoulement incompressible. La
même méthode numérique que dans Hwang and Yang (2004) est utilisée par Montagnier (2010) mais
avec des schémas d’ordre plus élevé et sur un maillage non-structuré. Les équations de Navier-Stokes
sont résolues dans le cas d’un écoulement compressible.

2.3.2

Influence du maillage

L’influence du nombre de modes sur les résultats de nos simulations dans le cas d’un écoulement
de Poiseuille laminaire (Re = 150) autour d’un obstacle cubique est étudiée. Un intérêt particulier
est porté au nombre de modes nécessaires pour avoir une résolution suffisante de l’écoulement autour
de l’obstacle. Les résultats obtenus sont comparés à ceux de la littérature (Hwang and Yang, 2004;
van Dijk and de Lange, 2007; Montagnier, 2010). Les différents maillages étudiés sont résumés dans le
tableau 2.2. Le cas 1 correspond au maillage dit de référence. Les autres paramètres des simulations
sont résumés dans le tableau 2.1.

Tab. 2.2 – Maillages utilisés pour l’étude paramétrique
Cas n° Nx × Ny × Nz
1
420 × 128 × 128
2
840 × 128 × 128
3
420 × 256 × 128
4
420 × 128 × 256
5
210 × 64 × 64
6
840 × 256 × 256
2.3.2.1

Evolution de la vitesse longitudinale

L’évolution de la vitesse longitudinale adimensionnée u∗ dans le plan médian (z ∗ = 0), en
proche paroi (y ∗ = 0.04) pour Re = 150 est donnée en amont et en aval du cube sur les figures
2.8(a) et 2.8(b), respectivement. Pour plus de lisibilité, seuls les résultats obtenus pour les cas 1, 5

30

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube
et 6 sont présentés en plus des profils de la littérature (van Dijk and de Lange, 2007; Montagnier, 2010).

(a)

(b)

Fig. 2.8 – Evolution de la vitesse longitudinale u∗ en fonction de x∗ , en z ∗ = 0 et y ∗ = 0.04 pour
Re = 150, (a) - en amont de l’obstacle, (b) - en aval de l’obstacle. Comparaison avec les résultats de
van Dijk and de Lange (2007) et de Montagnier (2010).
Loin en amont (x∗ < 1, figure 2.8(a)) ou loin en aval (x∗ > 8, figure 2.8(b)) la vitesse longitudinale
varie peu. Au voisinage du cube, deux régions où u∗ < 0 existent. Ces régions correspondent aux
zones de recirculation amont et aval. Loin en amont et en aval de l’obstacle les résultats prédits par
les différents maillages sont assez proches. Ceci n’est plus vrai lorsque l’on s’intéresse à l’écoulement
au voisinage du cube. Dans cette région, un bon accord existe entre les cas 1 et 6. Cependant, le cas
5 présente un fort écart aux deux autres cas. Cet écart se manifeste dans les zones de recirculation et
principalement dans celle située en aval du cube (figure 2.8(b)). La différence est due à la résolution.
Dans le cas 5, la résolution est insuffisante. La taille de l’obstacle et la condition de non-glissement sur
la surface sont donc mal prédites, résultant dans une mauvaise estimation de la zone de recirculation
aval.
Si l’on compare nos résultats à ceux de la littérature, on observe un bon accord de nos DNS (cas 1
et 6) avec les données de Montagnier (2010). Par contre par rapport à van Dijk and de Lange (2007),
u∗ est sous-estimée dans les zones de recirculation par notre DNS. Cette sous-estimation est aussi vraie
pour les résultats de Montagnier (2010). D’après Montagnier (2010), l’écart est lié à la longueur Lx
du domaine ainsi qu’à la condition mixte sur la pression en sortie utilisées par van Dijk and de Lange
(2007).
2.3.2.2

Evolution du coefficient de frottement

L’évolution du coefficient de frottement (équation 2.15) adimensionnée Cf /Cf 0 dans le plan médian
(z ∗ = 0) et en proche paroi (y ∗ = 0.04) pour Re = 150 est présentée en amont (figure 2.9(a)) et en
aval (figure 2.9(b)) du cube. Par soucis de clarté, seuls les résultats obtenus pour les cas 1, 5 et 6 sont
tracés en plus des profils de la littérature (Hwang and Yang, 2004; Montagnier, 2010).

31

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube

(a)

(b)

Fig. 2.9 – Evolution du coefficient de frottement adimensionné Cf /Cf 0 en fonction de x∗ , en z ∗ = 0
et y ∗ = 0.04 pour Re = 150, (a) en amont de l’obstacle, (b) en aval de l’obstacle. Comparaison avec
les résultats de Hwang and Yang (2004) et de Montagnier (2010).
Comme pour la vitesse longitudinale u∗ , le coefficient de frottement varie peu loin en amont
(figure 2.9(a)) ou en aval (figure 2.9(b)) de l’obstacle. Près du cube, deux régions où Cf /Cf 0 < 0
sont observées. Elles correspondent aux deux zones de recirculation. A nouveau, le cas 5 s’écarte des
deux autres cas, traduisant une résolution insuffisante. Nos résultats sont en bon accord avec ceux de
Hwang and Yang (2004) et Montagnier (2010) en amont et en aval du cube.
2.3.2.3

Synthèse sur l’effet du maillage

Précédemment, nous avons analysé l’influence du maillage en comparant les résultats obtenus pour
différents maillages avec ceux de la littérature (Hwang and Yang, 2004; van Dijk and de Lange, 2007;
Montagnier, 2010). Nous allons maintenant effectuer une comparaison globale pour chacun des cas
décrits dans le tableau 2.2. Afin de quantifier l’influence du maillage, l’écart type par rapport à la
solution la plus raffinée (indice R) est calculé pour les trois composantes de la vitesse :
σf

=

1
ub

s

1 P
(fR − fS )2
NS N S

(2.17)

où f = {u, v, w} et NS = Nx × Ny × Nz est le nombre total de noeuds du maillage étudié (indice S).
Le tableau 2.3 présente les écarts-types obtenus entre le maillage du cas 6 et les autres maillages. Le
temps moyen par itération (tmoy /it) pour chaque maillage est aussi estimé. Ce temps est calculé pour
10000 itérations sur 10 processus MPI et 1 processus OpenMP.
Les écart-types obtenus pour le cas 5 sont très élevés pour les trois composantes de la vitesse. Ceci
confirme que le cas 5 n’est pas assez résolu. Lorsque l’on prend le cas de référence (cas 1) et que l’on
multiplie le nombre de mailles dans une direction par 2 (cas 2, 3 et 4), on obtient des écart-types
qui sont du même ordre de grandeur pour les trois composantes de la vitesse avec quand même une
faible diminution de l’écart-type pour les trois composantes. Cette opération améliore légèrement les
résultats mais entraîne un fort surcoût en temps de calcul. Ainsi, afin d’avoir un temps de calcul
raisonnable et des résultats en bon accord avec ceux de la littérature, le maillage le plus adapté pour
cette configuration semble être celui du cas 1. Une fois le maillage choisi, l’influence du paramètre de
perméabilité η est étudié.

32

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube

Cas n°
1
2
3
4
5
6

2.3.3

Tab. 2.3 – Ecarts-types par rapport au cas 6
Nx × Ny × Nz
σu [10−3 ] σv [10−3 ] σw [10−3 ]
420 × 128 × 128
1.8
4.6
1.6
840 × 128 × 128
1.2
3.7
0.89
420 × 256 × 128
1.7
4.2
1.5
420 × 128 × 256
1.1
2.5
1.1
210 × 64 × 64
11
18
9.5
840 × 256 × 256




tmoy /it[s]
2.83
7.01
6.06
6.49
1.21
28.5

Influence de la perméabilité η

L’influence de la perméabilité η dans la même configuration que lors de l’étude du maillage est
analysée ici. Un intérêt particulier est porté sur la valeur de η permettant d’avoir une bonne résolution
de l’écoulement autour de l’obstacle. A nouveau, les résultats obtenus sont comparés à ceux de la
littérature (Hwang and Yang, 2004; van Dijk and de Lange, 2007; Montagnier, 2010). Les différentes
perméabilités étudiées sont résumées dans le tableau 2.4, le cas 1 correspond à la perméabilité de
référence. Les autres paramètres sont donnés dans le tableau 2.1.

Tab. 2.4 – Perméabilités η utilisées pour l’étude paramétrique
Cas n°
η
1
2.10−3
2
2.10−2
3
6.10−4

Dans le tableau 2.4, le paramètre de perméabilité le plus faible est η = 6.10−4 . Ce choix
est déterminé par la contrainte de stabilité liée au pas de temps ∆t. En effet, la programmation
de la méthode de pénalisation étant explicite, il faut que ∆t/η < 2 pour que la simulation soit
numériquement stable.
2.3.3.1

Evolution de la vitesse longitudinale

L’évolution de la vitesse longitudinale adimensionnée u∗ dans le plan médian (z ∗ = 0) et en proche
paroi (y ∗ = 0.04) pour Re = 150 est présentée en amont (figure 2.10(a)) et en aval (figure 2.10(b)) du
cube. Nos résultats sont comparés aux simulations de van Dijk and de Lange (2007) et Montagnier
(2010).

33

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube

(a)

(b)

Fig. 2.10 – Evolution de la vitesse longitudinale u∗ en fonction de x∗ , en z ∗ = 0 et y ∗ = 0.04 pour
Re = 150, (a) en amont de l’obstacle, (b) en aval de l’obstacle. Comparaison avec les résultats de van
Dijk and de Lange (2007) et Montagnier (2010).
Les résultats obtenus pour les cas 1 et 3 sont en bon accord avec ceux de Montagnier (2010). C’est
aussi le cas avec les résultats de van Dijk and de Lange (2007) loin en amont (figure 2.10(a)) et en aval
(figure 2.10(b)) du cube mais pas au niveau des zones de recirculation pour les raisons données dans
le paragraphe 2.3.2.1. L’étude du cas 2 montre qu’une valeur trop grande de la perméabilité entraîne
en amont du cube (figure 2.10(a)) une diminution de la taille de la zone de recirculation ainsi qu’une
diminution de la distance entre la zone de recirculation amont et la face amont du cube. En aval du
cube (figure 2.10(b)), la distance entre la zone de recirculation aval et la face aval du cube augmente.
La taille de la zone semble aussi augmenter. Ainsi, une grande valeur du paramètre η altère fortement
la physique de l’écoulement.
2.3.3.2

Evolution du coefficient de frottement

L’évolution du coefficient de frottement Cf /Cf 0 dans le plan médian (z ∗ = 0) et en proche paroi
= 0.04) pour Re = 150 est donnée sur les figures 2.11(a) et 2.11(b). Nos résultats sont en bon
accord avec ceux de Hwang and Yang (2004) et Montagnier (2010), excepté pour le cas 2 où la valeur
de η est trop élevée. Les différences observées sont les mêmes constatées lors de l’analyse de la figure
2.10.
(y ∗

2.3.3.3

Synthèse sur l’influence de la perméabilité η

Précédemment, nous avons analysé l’influence de la perméabilité η en comparant les résultats
obtenus pour différentes valeurs de η avec ceux de la littérature (Hwang and Yang, 2004; van Dijk
and de Lange, 2007; Montagnier, 2010). Nous allons maintenant effectuer une comparaison globale
pour chacun des cas décrits dans le tableau 2.4. Pour quantifier l’influence de la perméabilité sur
la résolution de l’obstacle, la norme de la vitesse à l’intérieur de l’obstacle ||u||OBS est calculée.
L’évolution du maximum M AX(||u||OBS ) et de la moyenne < ||u||OBS > sont tracées en fonction de
η. Les résultats sont présentés sur la figure 2.12.

34

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube

(a)

(b)

Fig. 2.11 – Evolution du coefficient de frottement adimensionné Cf /Cf 0 en fonction de x∗ , en z ∗ = 0
et y ∗ = 0.04 pour Re = 150, (a) en amont de l’obstacle, (b) en aval de l’obstacle. Comparaison avec
les résultats de Hwang and Yang (2004) et Montagnier (2010).

Fig. 2.12 – Norme de la vitesse (moyenne et maximum) dans l’obstacle cubique en fonction de la
perméabilité η.
La figure 2.12 montre une croissance en puissance de η pour les deux grandeurs. L’interpolation
conduit à : M AX(||u||OBS ) ∝ η 0.7 et < ||u||OBS >∝ η 0.8 . Les résultats obtenus pour l’interpolation de
l’erreur en fonction de η ne correspondent pas au valeurs trouvées par Angot et al. (1999) où l’erreur
de la méthode de pénalisation est de l’ordre de η 0.5 . Cependant, toujours dans Angot et al. (1999), les
auteurs réalisent des simulations numériques d’un écoulement autour d’une poutre (cylindre à section
carrée) pour Re = 40 en faisant varier la valeur de la perméabilité η dans la poutre. Dans ce cas,
ils obtiennent une proportionnalité de l’erreur avec η qui est du même ordre de grandeur que nos
résultats. Ainsi, par la suite nous prendrons η = 2.10−3 pour rester suffisamment loin de la limite de
stabilité (∆t/η < 2) et avoir un obstacle suffisamment résolu.

35

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube

2.3.4

Influence du nombre de Reynolds

A partir de l’étude du maillage (paragraphe 2.3.2) et de la perméabilité η (paragraphe 2.3.3), un
cas de référence est choisi. Ce cas correspond à un maillage de 420 × 128 × 128 suivant les directions
x, y et z, respectivement avec la perméabilité η = 2.10−3 . Pour ce cas, l’influence du nombre de
Reynolds est maintenant étudiée. Les résultats sont comparés à ceux de la littérature (Hwang and
Yang, 2004; van Dijk and de Lange, 2007; Montagnier, 2010). Les paramètres des simulations sont
rappelés dans le tableau 2.5. L’influence du nombre de Reynolds est évaluée à travers la position des
points de décollement et de réattachement dont les définitions sont données dans ce qui suit, les lignes
de courants et l’évolution du coefficient de frottement Cf .

Tab. 2.5 – Paramètres
Référence
Hwang and Yang (2004)
van Dijk and de Lange (2007)
Montagnier (2010)
notre DNS
2.3.4.1

des simulations de
Re
50, 100, 150, 200,
50, 100, 150, 200,
150
50, 100, 150, 200,

l’écoulement autour d’un cube
Lx × Ly × Lz
Nx × Ny × Nz
250 10h × 2h × 7h
128 × 64 × 96
250 10h × 2h × 8h
121 × 49 × 96
20h × 2h × 8h 7216448 cellules
250 20h × 2h × 8h 420 × 128 × 128

Points de décollement et de réattachement

Nous étudions ici l’influence de Re sur les abscisses de séparation et de réattachement notées
respectivement x∗S et x∗R . Pour une valeur de Re fixée, ces deux points sont respectivement situés en
amont et en aval du cube. L’abscisse de séparation x∗S (de réattachement x∗R ) est la distance entre

∂u∗
= 0. Ainsi, ces deux points
la face amont (aval) du cube et la position longitudinale où

∂y ∗ ∗
y =0

correspondent à un changement de signe du frottement à la paroi. L’évolution de x∗S en fonction de
Re est présentée sur la figure 2.13(a) et celle de x∗R sur la figure 2.13(b).

36

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube

(a)

(b)

Fig. 2.13 – (a) - Evolution de l’abscisse de séparation x∗S en fonction de Re. (b) - Evolution de l’abscisse
de réattachement x∗R en fonction de Re. Comparaison à la littérature (Hwang and Yang, 2004; van
Dijk and de Lange, 2007; Montagnier, 2010).
Sur les figures 2.13(a) et 2.13(b) une évolution linéaire de x∗S (x∗R ) en fonction de log10 (Re) est
observée. Ceci est le cas des autres simulations aussi (Hwang and Yang, 2004; van Dijk and de Lange,
2007). Quantitativement, nos résultats montrent une bonne correspondance avec ceux de Hwang and
Yang (2004), van Dijk and de Lange (2007) ou Montagnier (2010) pour l’abscisse de séparation (figure
2.13(a)). Cependant lorsque le nombre de Reynolds augmente, l’écart par rapport aux données de
Hwang and Yang (2004) augmente aussi. Cette écart peut être lié au raffinement du maillage au
voisinage du cube dans les simulations de Hwang and Yang (2004). Sur la figure figure 2.13(b), on
constate une bonne correspondance entre nos simulations et les données de van Dijk and de Lange
(2007); Montagnier (2010).
2.3.4.2

Lignes de courant

L’influence du nombre de Reynolds sur les lignes de courant est étudiée ici dans le plan y ∗ = 0.04
pour Re = 50 (figure 2.14(a)), 150 (figure 2.14(b)) et 250 (figure 2.14(c)). Sur ces trois figures, seules
des demie-vues sont présentées car l’écoulement est symétrique par rapport au plan médian (z ∗ = 0).

37

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube

(a)

(b)

(c)

Fig. 2.14 – Demi-vue des lignes de courant autour de l’obstacle cubique en y ∗ = 0.04 pour différents
nombre de Reynolds. (a) - Re = 50, (b) - Re = 150 et (c) - Re = 250.

38

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube

Sur chacune des trois figures, on observe la formation d’un tourbillon autour de l’obstacle cubique.
D’après van Dijk and de Lange (2007), il s’agit d’un horseshoe vortex. Les caractéristiques de ce
horseshoe vortex dépendent du nombre de Reynolds. En amont et en aval du cube, on peut voir un
élargissement du tourbillon qui commence lors de la séparation de l’écoulement. Le horseshoe vortex
s’élargit d’autant plus que Re est grand, en accord avec les résultats des figures 2.13(a) et 2.13(b).
Ces lignes de courant correspondent qualitativement à celles obtenues par les simulations de van Dijk
and de Lange (2007) ou Montagnier (2010).
2.3.4.3

Evolution du coefficient de frottement

L’évolution du coefficient de frottement Cf /Cf 0 en amont et en aval de l’obstacle, dans le plan
médian (z ∗ = 0) et en proche paroi (y ∗ = 0.04) pour Re = 50, 150 et 250 est décrite ici. Nos résultats
sont comparés à ceux de la littérature (Hwang and Yang, 2004; van Dijk and de Lange, 2007). Pour
Re = 50 (figures 2.15(a) et 2.15(b)), on observe qualitativement le même comportement que pour
Re = 150 (figures 2.11(a) et 2.11(b)), avec une amplitude plus faible. En amont du cube (figure
2.15(a)), un bon accord entre nos résultats et ceux de Hwang and Yang (2004) ou de van Dijk and
de Lange (2007) est atteint. Le coefficient de frottement adimensionné est toujours sous-estimé dans la
zone de recirculation amont par rapport à van Dijk and de Lange (2007). La raison de cette différence
est étudiée dans la section 2.3.2. En aval du cube (figure 2.15(b)), la différence au niveau de la zone de
recirculation entre nos résultats et ceux de van Dijk and de Lange (2007) est plus faible. Cependant,
un décalage des courbes en aval de la zone de recirculation existe. Il peut être dû à la condition limite
mixte sur la pression utilisée par van Dijk and de Lange (2007). En effet, l’influence de cette condition
limite sur l’écoulement augmente lorsque le nombre de Reynolds décroît.

(a)

(b)

Fig. 2.15 – Evolution du coefficient de frottement adimensionné Cf /Cf 0 en fonction de x∗ , en z ∗ = 0
et y ∗ = 0.04 pour Re = 50, (a) en amont et (b) en aval de l’obstacle. Comparaison à la littérature
(Hwang and Yang, 2004; van Dijk and de Lange, 2007).

39

2.3. Validation - écoulement autour d’un cube
Pour Re = 250 (figures 2.16(a) et 2.16(b)), qualitativement le même comportement que pour
Re = 150 (figures 2.11(a) et 2.11(b)) est observé avec des valeurs absolues de Cf /Cf 0 plus grandes.
En amont du cube (figure 2.16(a)), une bonne correspondance entre nos résultats et ceux de Hwang
and Yang (2004) et van Dijk and de Lange (2007) est obtenue. Les mêmes différences que pour les
autres nombres de Reynolds dans la zone de recirculation amont sont tout de même présentes. En
aval de l’obstacle (figure 2.16(b)), une bonne superposition entre nos résultats et ceux de van Dijk
and de Lange (2007) existe. On observe cependant quelques différences dans la zone de recirculation
et près de l’obstacle. Il est possible que cette différence soit toujours due à la condition limite de sortie
imposée par van Dijk and de Lange (2007) couplée avec la valeur du nombre de Reynolds qui est proche
de la valeur critique (Re ∼ 300) à partir de laquelle on observe du détachement tourbillonnaire.

(a)

(b)

Fig. 2.16 – Evolution du coefficient de frottement adimensionné Cf /Cf 0 en fonction de x∗ , en z ∗ = 0
et y ∗ = 0.04 pour Re = 250, (a) en amont et (b) en aval de l’obstacle. Comparaison à la littérature
(Hwang and Yang, 2004; van Dijk and de Lange, 2007).

2.3.5

Conclusion de l’étude paramétrique

Cette étude paramétrique a mis en évidence l’influence du maillage et de la perméabilité sur les
résultats des simulations d’un écoulement de Poiseuille autour d’un cube pour Re = 150. A partir
des tests réalisés, le cas de référence conciliant précision et durée du calcul a été choisi. Pour ce cas
de référence, l’effet du nombre de Reynolds a été étudié. Pour Re variant de 50 à 250, nous avons
comparé nos résultats aux données de la littérature (Hwang and Yang, 2004; van Dijk and de Lange,
2007; Montagnier, 2010). Nos résultats ont globalement montré un bon accord avec ceux des autres
études. Après la validation de la méthode numérique utilisée pour l’écoulement, nous présentons dans
ce qui suit la méthode employée pour le suivi des particules solides.

40

2.4. Particules

2.4
2.4.1
2.4.1.1

Particules
Equations et hypothèses
Equation du mouvement d’une sphère rigide dans un écoulement non-uniforme

Le mouvement d’une particule dans un écoulement est décrit suivant une approche lagrangienne.
La démarche pour obtenir l’expression de la force résultante exercée par un fluide en mouvement sur
une particule isolée, consiste à exprimer cette force en fonction des propriétés du champ de vitesse
de l’écoulement localement non perturbé par la présence de la particule. Les premières études sur
cette force de traînée subie par une particule sphérique dans un fluide au repos ont été réalisées
pour des petites valeurs du nombre de Reynolds particulaire (Stokes, 1851; Basset, 1888; Boussinesq,
1885; Oseen, 1927). Puis, des modifications ont été apportées (Basset, 1888; Boussinesq, 1885; Oseen,
1927) afin de modéliser le mouvement des particules dans un écoulement instationnaire (Tchen, 1947).
Cette dernière formulation est élargie aux écoulements non-uniformes. Cependant, elle possède des
incohérences (Corrsin and Lumley, 1956) qui ont été corrigées dans Buevich (1966) et Riley (1971).
Enfin, l’équation du mouvement d’une particule solide, sphérique et de taille inférieure ou comparable
à l’échelle de Kolmogorov dans un écoulement instationnaire et non-uniforme est donnée par (Maxey
and Riley, 1983) :
dvp
Du
mp
= mf
dt
Dt

!

+ (mp − mf )g + F

(2.18)

xp (t)

où F est la force exercée par le fluide sur la particule. Cette force doit tenir compte de la modification
de l’écoulement due à la présence de la particule. L’expression de F est donnée par Maxey and Riley
(1983) :
d2p
1
d
F = − mf
vp (t) − u(xp (t), t) − ∇2 u(xp (t), t)
2
dt
40
(

)

d2p
3πdp µ vp (t) − u(xp (t), t) − ∇2 u(xp (t), t)
24
(

3πd2p µ Z t
2
0

)

d2p 2
d
vp (τ ) − u(xp (τ ), τ ) + ∇ u(xp (τ ), τ )

24
(

)!


πν(t − τ )

p

(2.19)

Les deux premiers termes dans l’équation (2.18) représentent la force qui s’exerce sur un élément
fluide qui serait à la place de la particule. Il s’agit de la force due au gradient de pression du champ
non-perturbé et de la force de flottabilité. La force F résulte de la perturbation du champ de vitesse
du fluide provoquée par la présence de la particule. u(xp (t), t) est la vitesse du fluide localement non
perturbé par la présence de la particule. C’est la vitesse du fluide à la position de la particule, xp (t).
L’opérateur D/Dt est la dérivée du champ en suivant un élément fluide :
Du
Dt

!

=
xp (t)

∂u
∂u
+ uj
∂t
∂xj

!

(2.20)
xp (t)

alors que l’opérateur d/dt est la dérivée du champ en suivant la particule solide :

41

2.4. Particules

du
(xp (t), t) =
dt

∂u
∂u
+ vp j
∂t
∂xj

!

(2.21)
xp (t)

Les différents termes de F (équation 2.19) représentent respectivement :
– la force de masse ajoutée,
– la traînée visqueuse de Stokes,
– la force de Basset.
Les termes de Faxen en ∇u proviennent de la non-uniformité du champ de vitesse du fluide à
l’échelle de la particule. Dans la suite, nous décrivons brièvement les différentes forces exercées sur
une particule. Les particules étant petites, nous ne tenons pas compte de la contribution des termes
de Faxen.
2.4.1.2

Forces appliquées à une sphère rigide dans un écoulement non uniforme

Gradient de pression et force de flottabilité Ces forces correspondent aux forces exercées sur
un élément fluide qui serait à la place de la particule. Il s’agit des forces de gradient de pression et
de cisaillement qui peuvent être exprimées à partir des équations de Navier-Stokes en fonction de
l’accélération du fluide et de la gravité. En incluant la force de pesanteur sur la particule, on obtient
l’expression :
mf

Du
Dt

!

+ (mp − mf )g

(2.22)

xp (t)

Force de traînée La contribution des termes de Faxen est négligée. La force de traînée de Stokes :
3πdp µ(u(xp (t), t) − vp (t)) = mp

u(xp (t), t) − vp (t)
τp

(2.23)

est liée aux contraintes visqueuses exercées par le fluide sur la surface de la particule, où τp est le
temps de relaxation de la particule :
τp =

ρp d2p
18µ

(2.24)

En faisant intervenir le coefficient de traînée CD , la force de traînée s’écrit sous la forme classique :
πρd2p
CD |u(xp (t), t) − vp (t)|(u(xp (t), t) − vp (t))
(2.25)
8
Le coefficient de traînée prend en compte la traînée de forme et de frottement. Il dépend, en particulier
du nombre de Reynolds lié à la particule (Clift et al., 1978) défini par :
|u(xp (t), t) − vp (t)|dp
(2.26)
ν
Pour de petits nombres de Reynolds particulaires (Rep 6 1), les effets visqueux sont dominants. Dans
Stokes (1851) une solution analytique du coefficient de traînée est obtenue pour une particule sphérique
et solide, avec la condition d’adhérence à la surface de la particule :
Rep =

42

2.4. Particules

CD =

24
Rep

(2.27)

Pour des nombres de Reynolds plus grands (1 < Rep < 1000), les effets d’inertie sont plus importants
et l’écoulement autour de la particule devient instable. Schiller and Naumann (1935) proposent
l’extension semi-empirique suivante :
CD =

24
(1 + 0.15Rep0.687 )
Rep

(2.28)

Lorsque Rep est plus grand que 1000, la forme du sillage derrière la particule ne change quasiment
plus et le coefficient de traînée devient constant :
CD = 0.44

(2.29)

Enfin, une diminution brutale de CD se produit à Rep ≈ 2.5 × 105 lorsque la couche limite autour de
la particule passe du régime laminaire au régime turbulent.

Force de masse ajoutée La force de masse ajoutée a pour origine les accélérations et décélérations
successives de la particule qui entraînent des accélérations et décélérations du fluide environnant. Dans
le cas d’un fluide rotationnel non visqueux, Auton et al. (1988) expriment cette force sous la forme :
1
dvp
mf

2
dt

Du
Dt

!

!

(2.30)
xp (t)

Cette expression diffère de celle obtenue par Maxey and Riley (1983) par l’opérateur de dérivée
appliqué à la vitesse du fluide. Dans le cas des particules très petites devant l’échelle de Kolmogorov
et pour des faibles nombres de Reynolds particulaires, Minier (1988) montre que les deux opérateurs
D/Dt et d/dt sont identiques. En dehors de ces conditions, ceci n’est pas le cas.
Force de Basset La force de Basset est liée à l’histoire des accélérations passées de la particule.
Elle résulte du retard de l’écoulement par rapport aux changements des conditions dans la couche
limite de la particule. La force de Basset est très importante en cas de forte accélération du fluide.
Elle révèle le caractère instationnaire de l’écoulement.
Force de portance Les forces de portance apparaissent lorsqu’il existe une dissymétrie de
l’écoulement du fluide autour de la particule par rapport à l’axe de translation relatif fluide-particule.
Il existe, en particulier, deux phénomènes contribuant à la production d’une force de portance :
– l’effet Magnus induit par la rotation propre de la particule. Dans un écoulement en canal ou
de couche limite, d’importantes vitesses de rotation peuvent être générées par les collisions des
particules avec les parois.
– un effet lié à la présence de vorticité dans l’écoulement non perturbé (Saffman, 1965).
Dans le formalisme de Maxey and Riley (1983), les forces de portance sont négligées.

43

2.4. Particules
2.4.1.3

Cas d’une particule solide

Ordres de grandeur des forces mises en jeu dans le mouvement d’une particule Dans
le cas de cette étude, on s’intéresse au transport des particules par des structures tourbillonnaires
générées périodiquement en aval d’un hémisphère. L’hémisphère à un rayon R et les structures sont
advectées à une vitesse uR qui correspond à la vitesse au sommet de l’hémisphère dans un écoulement
sans hémisphère. On peut à partir de ces dimensions caractéristiques définir le nombre de Reynolds
suivant :
uR R
(2.31)
ν
En supposant que uR et R sont les dimensions caractéristiques des structures générées en aval de
l’hémisphère, les forces du gradient de pression, en ordre de grandeur, sont équivalentes à :
ReR =



Du




Dt



du



dt



u2R
R

(2.32)

A partir de ces dimensions caractéristiques, on peut alors définir l’ordre de grandeur de chacune
des forces appliquées à la particule solide telles qu’elles sont définies dans les équations (2.18) et (2.19).
On évalue ainsi le rapport, en ordre de grandeur, de chacune de ces forces à la force de traînée. Par
exemple, le rapport entre les forces de gradient de pression et la traînée visqueuse est donné par :



Du


mf

Dt






dp µ(u(xp , t) − vp )





d2p uR
νR



dp
R

!2

ReR

(2.33)

Tab. 2.6 – Ordre de grandeur du rapport entre les forces appliquées à une particule solide et la traînée
visqueuse
Force
Gradient de pression
Masse ajoutée
Basset
Faxen

Ordre de grandeur
≈ (dp /R)2 ReR
≈ (dp /R)2 ReR
1/2
≈ (dp /R)ReR
≈ (dp /R)2

Le rapport entre les autres forces (masse ajoutée, Basset) et la traînée visqueuse est donné dans
le tableau 2.6. Comme dans la configuration que nous étudions dp R, le tableau 2.6 montre que la
force de traînée est plus importante que les autres forces s’exerçant sur la particule solide.

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