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Mouvement dans le plan

C-IV /MOUVEMENT DANS LE PLAN

Si la trajectoire appartient à un plan, il est possible de repérer la position d’un mobile
soit par les coordonnées rectangulaires soit par les coordonnées polaires.
1/ ETUDE DU MOUVEMENT EN COORDONNEES POLAIRES
( +456
+, -./ 0
1 23) :
Position du mobile : Soit M un point matériel dont la trajectoire est une courbe
plane quelconque( C ).
La position du mobile en coordonnées cartésiennes, comme nous l’avons déjà
signalée est définie par :

OM = r = xi + yj

(21.4)

Mais en coordonnées polaires le vecteur position s’écrit :

OM = r = r.ur

(22.4)

ur = i .cos + j .sin

Où :

OM = r = r (i .cos + j .sin )
et dépendent du temps : r = f (t ) et

Donc :

Remarque :
La vitesse :
En coordonnées cartésiennes :

= g (t )

v = r = xi + yj

(23.4)

En coordonnées polaires : D’après le figure 4.12 , nous pouvons écrire les
expressions des deux vecteurs unitaires u et u en fonction des vecteurs unitaires i et
j :

ur = i .cos + j .sin

u = i .sin + j .cos

;

(24.4)

Leurs dérivées consécutives sont :

dur
d
d
d
= i .sin .
+ j cos . =u .
dt
dt
dt
dt
du
d
= i .cos .
dt
dt

j .sin .

d
d
= ur
dt
dt

dur
d
=u .
dt
dt
du
d
= ur
dt
dt

(4.25)

A l’aide des relations (4.25), exprimons la vitesse en coordonnées polaires :

v =r =r

dur
dr
+ ur
dt
dt

v=

dr
d
ur + r
u
dt
dt

v = r.ur + r. .u

(4.26)

En conséquence, la vitesse a deux composantes, transversale v et radiale v . Ci-dessous
figurent les deux expressions des deux composantes ainsi que le module de la vitesse en
coordonnées polaires :

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Mouvement dans le plan

v = r.ur + r. .u

vr = r.ur

v = vr + v

v = r. .u

v = r 2 + (r. ) 2

L’accélération :
En coordonnées rectangulaires : a = v = r = xi + yj
En coordonnées polaires : Nous dérivons la relation de la vitesse 4.26 par rapport
au temps et en utilisant l’expression 4.25, nous obtenons la formule de l’accélération :

du
dur
+ r .ur + r. .
+ r. .u + r. .u
dt
dt
d
d
a = r.(u . ) + r .ur + r. .( ur
) + r. .u + r. .u
dt
dt

a = v = r.

En ordonnant cette expression, et en utilisant la notation de Newton, on arrive à la
formule définitive de l’accélération en coordonnées polaires :

a = r.u . + r .ur + r. .( ur ) + r. .u + r. .u
a = (r r. 2 ).ur + (2r. + r. ).u
ar

(4.27)

a

Remarquons que l’accélération a deux composantes, radiale a et transversale a

:

(4.28)

a = ar + a
Quant à son module il est égal à :
a = (r

(4.29)

r. 2 ) 2 + (2r. + r. ) 2

Cas particulier, Le mouvement circulaire(

:

):

Puisque r = R = C , le vecteur vitesse est donc :
te

v=R u

(4.30)

Et l’expression du vecteur accélération est :

a = R. 2 ..ur + R. .u

(4.31)

Remarquons que cette accélération a deux composantes :
Accélération normale (
) notée par aN , portée par la normale, dirigée
vers le centre , et de sens contraire à a , elle indique la variation de la direction de
la vitesse.

aN = ar = R 2ur

ar = a N = R

2

(4.32)

Accélération tangentielle (
) notée par aT , portée par la tangente à la
trajectoire au point M , elle indique la variation du module de la vitesse.

a = aT = R u

a = aT = R

(4.33)

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Mouvement dans le plan

Autre cas particulier, le mouvement circulaire uniforme ( U V
W):
te
Pour ce mouvement la vitesse est constante en module. Et puisque r = R = C , la
vitesse est donc :

v=R =R

(4.34)

Nous reconnaissons la vitesse angulaire
qui représente l’angle balayé par unité
de temps et dont l’unité est le radian par seconde ( rad .s 1 ) .
Quant à l’accélération elle vaut :

a = ar = aN = R

2

=R

2

v2
=
R

aN = R

2

.ur

(4.35)

2/ LES COMPOSANTES NORMALE ET TANGENTIELLE DE LA VITESSE ET DE
L’ACCELERATION DANS LE REPERE DE FRENET :
On considère maintenant un mouvement dont la trajectoire est une courbe plane
quelconque (C) . Nous dessinons un repère composé de l’axe MT, tangent à la trajectoire au
point M et porte le vecteur vitesse, et de l’axe MN perpendiculaire à l’axe MT.
Soient uT et u N les deux vecteurs unitaires suivant MT et MN respectivement. On
remarque sur la figure 4.13 que la vitesse s’écrit alors:

v = v.uT

(4.36)

a = aT .uT + aN .u N

(4.37)

L’accélération s’écrit : a = aT + aN
Donc :

N
aN
a

(C )
uN

M

uT

v

aT

T

Fig 4.13: vitesse et accélération dans le repère Frenet

De ce qui précède, apparaît :

dv
dt
v2
aN =
R

aT =

v2
a = v.uT + .u N
R

v2
a= v +
R

2

2

On appelle les expressions (4.36) et (4.37), respectivement les composantes de la vitesse et de
l’accélération dans le repère de Frenet, ou les composantes propres, ou encore les
composantes locales.

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Mouvement dans le plan

Si ds est le déplacement élémentaire il est tout à fait logique que le vecteur position est :

r = uT .ds

(4.38)

Pour clore ce chapitre, abordons l’exemple suivant :
Exemple 4.8 : La trajectoire plane d’un point matériel en coordonnées polaires est

.cos 2

donnée par l’équation :

2

= a , où a est une constante.

On suppose que le module v de la vitesse de ce point matériel est proportionnel à
v = k , où k est une constante positive.
Calculer les composantes normale v et transversale v du vecteur vitesse.
Réponse :
On sait que : v = .u +

v =v +v

.u

Remarquer que nous avons remplacé les lettres par
pas les lettres !!!).
Partant des données nous faisons les calculs suivants :

cos 2 ( / 2) = a
En dérivant l’expression de

v =

=

d
d d
=
.
dt d dt

par

( le but : n’apprenez

a
cos 2 ( / 2)

v =

a.cos( / 2).sin( / 2)
.
cos 4 ( / 2)

v = .

reste inconnue. Pour cela il faut la calculer ce
2

et

par rapport au temps, nous obtenons la vitesse normale v :

Quant à la vitesse transversale elle est :
Mais

:

2

D’après les données : v = k .

2

2

à partir de v = v

2

+v

2

a2
=k . 4
cos ( / 2)
2

Donc :

a2
a 2 .sin 2 ( / 2)
k . 4
=
.
cos ( / 2)
cos6 ( / 2)
2

2

2

2

a2
+
.
cos 4 ( / 2)

2

sin 2 ( / 2)
k =
+1 .
cos 2 ( / 2)
2

2

2

D’où :
= k .cos ( / 2)
= k .cos( / 2)
En remplaçant par sa valeur littérale dans les deux composantes de la vitesse, on trouve ce
qui est demandé :

v =

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a.k .sin( / 2)
cos2 ( / 2)
v =

v = v.sin( / 2)

a.k
cos( / 2)

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