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Nom original: limite et continuité.pdfTitre: δMathsAuteur: ra

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Analyse

BAC
MATHS

M. Ezeddine ABDA

δMaths

|

DeltaMaths

Limites et continuité

I.

Limite
1. Limite en l’infini (

)

Définition 1:
,
Soit une fonction définie sur
que pour tout
,il existe un réel

,. Dire que la limite de en
est
(
)
tel que si
et
, alors

signifie
.

Définition 2:
,
Soit
une fonction définie sur
que pour tout
, il existe un réel

,. Dire que la limite de
en
est signifie
|
tel que si
et
, alors | ( )
.

Remarque : Les définitions pour moins l'infini (
2. Limite en un point (

) sont analogues.

)

Définition 1:
Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert , sauf peut-être en
de . Dire que
a pour limite
en
signifie que pour tout réel
, il existe un réel
tel que si
et | – |
, alors ( )
.
Remarque : La définition pour moins l'infini (

) est analogue.

Définition 2:
Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert , sauf peut-être en
a pour limite en
signifie que pour tout
, il existe un réel
|
| – |
, alors | ( )
.

de . Dire que
tel que si
et

Théorème :
Soit
une fonction définie sur un intervalle ouvert , sauf peut-être en un réel
admet une limite en
alors cette limite est unique.
3. Limite à gauche et limite à droite (

de . Si

)

Définition 1:
,
, (respectivement -). Dire que
Soit
une fonction définie sur
a pour limite
à droite de
(respect à gauche de ) signifie que pour tout réel
, il
existe un réel
tel que si
et

(respect
), alors
( )
.

Tél : 92 378 266

Page 2

Définition 2:
,
, (respectivement -). Dire que
Soit
une fonction définie sur
a pour limite à droite de
(respect à gauche de ) signifie que pour tout réel
, il
existe un réel
tel que si
et

(respect
), alors
| ( )
|
.
Théorème :
( )

( )

si et seulement si

( )

.

Exemple :
a.

et

admet des limites à gauche et à droite distinctes. Elle n’admet pas donc

La fonction
de limite en 0.
b. Soient

( ) la fonction « partie entière »

et
( )

.

et

( )

.

La fonction « partie entière » n’admet pas de limite en

.

4. Opérations sur limites des fonctions
Limite de

Limite de

Limite de

Limite d’un somme
?

Limite de

Limite de

Limite de

Limite d’un produit
?

Limite de

Limite de

Limite de




Limite d’un quotient

0

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0

?
?

Page 3

5. Limites des fonctions usuelles
Limites de fonctions polynômes : La limite d’une fonction polynôme
limite du terme du plus haut degré si x tend vers
.

est donnée par la

Exemple
(

)

(

)

Limites de fonctions rationnelles : Une fonction rationnelle est un quotient de deux
fonctions polynômes. Sa limite est donnée par la limite du rapport des termes du plus haut
degré si x tend vers
.
Exemple

Limites trigonométries

6. Asymptotes
Soit

sa représentation graphique dans un repère (

une fonction et



, alors la droite d’équation

⃗ ⃗). Si :

est une asymptote verticale à

.



( )

est une
asymptote horizontale
à

( )

( )

( )

( )

( )

est
une asymptote oblique

admet une branche
parabolique de
coefficient directeur

admet une branche
parabolique de
direction ( ⃗) au
( )

admet une
branche
parabolique de
direction ( ⃗) au
( )

Théorème d’encadrement :
Soient , et
( )
Si ( )
Tél : 92 378 266

trois fonctions telles que :
( )
( ) et

, alors

.
Page 4

peut être fini ou infini.
Exemple :

La fonction sinus est périodique et n’admet pas de limite à l’infini. Mais comme sin x est
compris entre -1 et 1, on peut poser : x – 1 ≤ x + sin x ≤ x + 1.
On peut d’ailleurs tout diviser par x² + 1, ça ne changera rien à notre encadrement :

Puisque

.

, alors

On le devine aussi en observant les courbes représentatives des fonctions.

Un zoom permet d’apprécier les zigzags entre les deux fonctions h(x) et g(x) :

Théorème de comparaison :
Soient


et

deux fonctions telles que : ( )

Si

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( )

, alors

( )

( ) au voisinage de

(fini ou infini).

.
Page 5



( )

Si

( )

, alors

.

Exemple :


Soit ( )

. Etudier la limite de


Comme, pour tout réel , on a
Or,

, donc

en 0.
,on a, pour tout réel ,

( )



.

.

On le devine aussi en observant les courbes représentatives des fonctions.

Théorème (fonction composé) :
Soient ,
Si

et

( )

trois fonctions telles que :
et si

( )

alors

Exemple :
Soit ( )

. Etudier la limite de

On a

et

Tél : 92 378 266

en

, alors

.
( )

.(

et

sont finis ou infinis)

.
( )

.

Page 6

II. Continuité
Définition 1 :
Soit

une fonction définie sur un intervalle

 On dit que

est continue en

si

 On dit que

est continue sur

si

. Soit

( )

un réel de .

( )

est continue en tout point

de .

Théorème 1 :
Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert , sauf peut être en
fonction définie sur l’intervalle .
* + , alors
( )
Si est continue en et si ( )
( ),

de

et soit

une

( ).

Exemple :
Soient ( )

et ( )

.

est définie sur
* + et ( )
( ),
( )
Comme est continue en
, alors

(

)

Définition 2 : Prolongement par continuité
Soit
un intervalle et
. Soit
une fonction définie sur sauf en
admettant une
limite finie en .
(̅ )
( )
La fonction ̅ définie par : {
est appelée prolongement continu de
(̅ )
en .
Opérations sur continuités des fonctions :
Soient et deux fonctions définies sur un intervalle ouvert
 Si
est continue en , alors les fonctions
(
continues en .


Si




.
Si
Si

est continue en

et ( )

et un réel de .
), | | et
(
(

, alors les fonctions

) sont

) sont continues en

et sont continues en , alors
et
sont continues en .
est positive sur et continue en , alors √ est continue en .

Théorème 2 : (Continuité d’une fonction composé)
Soient et deux fonctions telles que est définie sur
contenant ( ).
Si est continue en et est continue en ( ), alors

contenant

et

est définie sur

est continue en .

Corollaire :
La composée de deux fonctions continues est continue.
Image d’un intervalle par une fonction continue
Définition 3 :
Soit une fonction définie sur un intervalle .
L’image de , notée ( ), est l’ensemble de tous les nombres
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( ) où

.
Page 7

Théorème 3 :
Si une fonction

est continue sur un intervalle

, alors ( ) est un intervalle.

Remarque : n’est a priori supposé ni borné, ni fermé.
Théorème 4 :
Soit
une fonction continue sur un intervalle fermé , - (
-) , ( ) ( )- avec :
deux réels et de ,
- tels que (,



( ) est la valeur minimale de sur ,
( ) est la valeur maximale de sur ,

On dit que

atteint ses bornes en

), il existe au moins

-.
-.

et .

Exemples :
1.

On a

(,

-)

,

-

2. Il se peut très bien que ( ) ne soit pas un intervalle si n’est pas continue. Prenant la
fonction
( ) (la partie entière de ), on a (, -) * +.
Corollaire :
Si une fonction
est continue et strictement monotone sur un intervalle
,
-, alors
( ) est l’intervalle , ( ) ( )- (si
est strictement croissante) ou , ( ) ( )- (si est
strictement décroissante).
Remarque :
L’hypothèse “
précédent où : (,

strictement monotone “ est indispensable comme le montre l’exemple
-) , ( ) ( )-.

Théorème 5 : (TVI)
Soit une fonction continue sur ,
-.
Alors, pour tout λ compris entre ( ) et ( ), il existe au moins un réel
,
( ) λ.
Autrement dit, l’équation ( ) λ admet au moins une solution dans ,
-.

- tel que

Corollaire1 :
Soit une fonction continue sur ,
- telle que ( ) ( )
.
Alors l’équation ( ) 0 admet au moins une solution dans ,.
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Page 8

Exercice : théorème du point fixe
une fonction continue sur

,

1. Montrer que ( )
et ( )
2. Déduire que
( ).
3. Montrer qu’il existe un réel

.

Soient

(On dit que

- telle que ( )

et ( )

( )

.

tel que ( )

admet un point fixe sur ).

Corollaire2 :
Soit une fonction continue sur un intervalle .
Si la fonction ne s’annule aucun point de alors elle garde un signe constant sur .
Théorème : de bijection
Si une fonction
est continue et strictement croissante (respect : strictement décroissante)
sur un intervalle
,
-, alors est une bijection de sur l’intervalle , ( ) ( )- ( respect
(
)
sur l’intervalle ,
( )-).
Autrement dit : pour tout réel
que ( )
.
Ou encore : l’équation

( )

compris entre

( ) et

( ), il existe un unique

tel

admet une et une seule solution dans .

Exemple :
Soit

-

,

.

est continue et strictement croissante sur -

D’où

est une bijection de -

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, sur

,.

.

Page 9

Série n°1 : Limites et continuité
Exercice 1 : QCM
1. On dit que est continue en un point a si :
a.
La limite de b.
La limite de c.
La limite de d.
La limite de
quand
tend vers
quand
tend vers
quand tend vers
quand tend vers
vaut ( ).
+∞ vaut ( ).
-∞ vaut ( ).
vaut .
2. On dit que tend vers quand tend vers si :
a. La distance de ( ) à peut être rendu aussi petite que l'on veut dés lors que est
suffisamment proche de .
b. La distance de ( ) à peut être rendu aussi petite que l'on veut dés lors que est
suffisamment proche de .
c. La distance de ( ) à peut être rendu aussi grande que l'on veut dés lors que est
suffisamment proche de .
d. La distance de ( ) à peut être rendu aussi grande que l'on veut dés lors que est
suffisamment loin de .
3. La limite de la fonction
lorsque tend vers -∞ vaut :
a. -∞.
b. +∞.
c. Zéro.
d. Aucune des propositions n'est vraie.
4. Si la limite d'une fonction
est
et la limite d'une fonction
est 0, la limite de la
fonction
est :
a. Nulle.
b. +∞.
c. -∞.
d. Une forme indéterminée.
( )
( )
5. Soient
, et deux fonctions telles que :
.
( )

a.

Si, pour tout

-

, ( )

( )

b.

Si, pour tout

-

, ( )

( )

( ) alors :

( )

.

c.

Si, pour tout

-

, ( )

( )

( ) alors :

( )

.

6. Voir fig au-dessous :
La limite de la fonction composée
a.
La limite de la fonction composée
a.
La limite de la fonction composée
a.

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lorsque

( ) alors :

tend vers

est :

b.

c.
lorsque

tend vers

b.
lorsque
b.

tend vers

.

0

est :
c. 0
est :
c. 0

Page 10

Exercice 2 :
Répondre par vrai ou faux.
( )
a. Si
,
( )

( )

( )

b. Si

et si, pour tout réel

( )

,

( ), alors

.
et si ( )

( )

c.

( )

, alors soit

( )

pour tout , alors
, soit

( )

( )

.

.

( )

d. Si une fonction admet une limite finie en
et une limite finie en
alors elle est
bornée.
e. Si une fonction n’est pas définie en un point alors nécessairement la droite
est une asymptote verticale à .
( )
f. Soit
et trois fonctions définies sur , telles que
, ( )
( ).
( )
( )
Si
et
alors admet une limite en
.
g. Si une fonction est continue sur et admet une limite finie en
alors elle est majorée.
h. La fonction ( )
( ) définie sur
est prolongeable par continuité en .
i. L’image d’un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé.
j. L’image d’un intervalle ouvert par une fonction continue est un intervalle ouvert.
k. Si une fonction définie sur et telle que ( )
, alors est continue.
l. L’image d’un intervalle par une fonction discontinue n’est pas un intervalle.
Exercice 3 :
Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes :


2.
( )
1.
( )
3.
4.
(√
,

5.

(

)

10.

|

)



7.



8.


(

11.

|





| |

(

6.

| |

9.
13.

-

)

)



14.

12.

( )
√| |

( )

Exercice 4 :
définie sur -

On considère la fonction

,| ( )

1. Montrer que, pour tout
2. Déduire la limite de
Exercice 5 :


en

, par ( )
|

.

.

.



Soit ( )

.


{
1. Etudier la continuité de
2. Montrer que pour tout

en .
, on a | ( )|



.

( ).

3. En déduire
Exercice 6 :
Soit

,

,

Tél : 92 378 266

une fonction continue en

et

(

)

( )

.
Page 11

( )

Montrer que
Exercice 7 :
Soit
Montrer que

.

( )

une fonction continue telle que

( )

et

.

s’annule.

Exercice 8 :
Montrer que les seules fonctions continues de

dans

sont les fonctions constantes.

Exercice 9 :
On considère la fonction

définie par ( )

(

)

.

1. Déterminer le domaine de définition de .
2. Etudier la continuité de sur son domaine de définition.
3. Montrer que l’on peut prolonger

par continuité sur

{

}.

Exercice 10 :
On utilisant le tableau de variation si dessous d’une fonction
suivantes :

1. Déterminer le domaine de définition de .
2. Calculer les limites suivantes :
(√ )
.
/
.

( )

.

/

.

/

, répondre au questions

. /

/

( )

.

/

( )

3. Déterminer les images des intervalles suivantes par .
-;-; ,;,.
Exercice 11 :
Soit la fonction
.
a. a. Montrer que pour tout de ,
b. En déduire
( ) et
( ).

( )

.

( )

b. Soit la fonction
a. Montrer que

Tél : 92 378 266

{

.

est continue en .

b. Montrer que pour tout
c. En déduire

par : ( )

définie sur

-

,:

( )

.

( ). Interpréter géométriquement le résultat.
Page 12

Exercice 12 :
Soit la fonction
Calculer

.



( ), puis

| |

( )
| |

. Interpréter graphiquement les résultats.

Exercice 13 :
Soit la fonction

,



.

( ) . Interpréter graphiquement les résultats.

Calculer
Exercice 14 :



Soit ( )

-



{

.

1. Montrer que



est continue en .

2. a. Montrer que pour tout
b.

,

En déduire

-

, | ( )|





.

( ).

3. On désigne par la restriction de à l’intervalle -.
Dans le tableau ci-dessous on donne le sens de variation de la fonction

a.
b.
que

Copier et compléter le tableau de variation de .
Montrer que l’équation ( )
admet dans .

sur -

-.

- une seule solution

et

Exercice 15 :


Soit la fonction

définie sur

par : ( )

| |

| |

{

.
| |

Déterminer

et

pour que

soit continue sur

.

Exercice 16 :
( )|
Soit
une fonction de , - dans ,
- telle que
: | ( )
|
avec
.
Montrer que l’équation ( )
admet alors toujours une et une seule solution sur ,

|
-.

Exercice 17 :

Tél : 92 378 266

Page 13

Trouver toutes les applications
( )
( ).
Exercice 18 :
Trouver toutes les applications
( )
( )
.

, continue en 0 et pour tout réel

on a :

, continue en 0 et pour tout réel

on a :

Exercice 19 :
, Soit l’application
, - continue sur , -. A tout entier naturel
, on
( )
associe la fonction
.
1. Démontrer que, pour tout
, la fonction
est définie et continue sur , -.
2. Calculer
( ) et
( ) et en déduire qu’il existe un réel
de , - tel que l’on ait :
( )
.
3. On suppose, dans cette question, que est strictement décroissante sur , -.
a. Démontrer qu’il en est de même, quel que soit , pour la fonction
.
b. Démontrer la proposition suivante :
(
)
,
, -, ,(
)
( ( )
( )-.
c. Déduire que la suite ( ) est strictement croissante.
d. Démontrer que la suite ( ) converge vers 1.
4. Supposons que ( )
.
Calculer , , . Donner un encadrement de .

Exercice 20 :
Soit

une fonction T-périodique, telle que

. Montrer que

est

constante.
Exercice 21 :
Soit

et

périodique ,

monotone et

. Montrer que

est

constante.
Exercice 22 :
Soit
une fonction continue sur un intervalle .
On suppose que | | est constante sur . Montrer que est constante sur .
Exercice 23 :
Soit la fonction continue sur

dont le tableau de variation est le suivant :

1

Résoudre dans
Tél : 92 378 266

les équations : ( )

( )

( )

.
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