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Géométrie

BAC
MATHS

M. Ezeddine ABDA

δMaths

|

DeltaMaths

Nombres complexes

*

(
)
+.
)
, alors il existe un unique couple (
tel que
est la forme algébrique du nombre complexe .
( ) : la partie réelle de .
( ) : la partie imaginaire de .
: le conjugué de .

Si

̅

.

Propriétés :


Le plan complexe

est muni d’un repère (

̅

( )

|

̅
|

⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / ,
. ⃗̂

-

⃗⃗⃗⃗⃗ /
.⃗⃗⃗⃗⃗̂

( )

( ),

-

(

Si

alors



(

)

( ),

))

(⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ )

(

)
-

),
( ),

Si

Pour tous nombres complexes et

alors

et tout entier

|

| |

| || |

| |

| |
| |



|
√ ou
ou


-

(

)

( ),

-

on a :

| |
|

(⃗⃗⃗⃗⃗ )

( )

( ) ,
|

( )
( )
̅

⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗

( )

|

̅

)(

,



| |
|

| |
| |
((

(⃗⃗⃗⃗⃗ )

un point d’affixe

) et

̅

( )

| |



| |
| |
√ .


| |

| |

|

|

| |

.

Forme trigonométrique :


Soit un nombre complexe non nul. Posons

Tél : 92 378 266

( )

,

- et | |

.
Page 2

) ; c’est l’écriture trigonométrique de .

(

Alors :
Remarques :


).



Alors :


(

Soit un nombre complexe non nul tel que

Soient
,
,

et
-

,

deux nombres complexes tels que :
(
). Alors :

-

,

,

-

-

[

,

(

-

) et

,

,

]

-

-

,

-

-

Forme exponentiel :
Pour tout réel , on note
le nombre complexe
( )
Soit un nombre complexe non nul. Posons
Alors :
; c’est l’écriture exponentiel de .

.
- et | |

,

.

Propriétés :

|

(

|
(

)

(

)

(

)

(

)

)

Formule de Moivre :
Pour tout réel

et pour tout entier , on a : (

)

.

Formule d’Euler :

Équation :


L’équation
*



Les solutions

,
admet dans
+.

solutions distinctes définis par

(

)

,

sont appelées racines nièmes de l’unité.

Les racines nièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle
trigonométrique.

Tél : 92 378 266

Page 3

Exemple :
(



)

*

,

+.

√| | (


. L’équation

( )

Soit
tel que
opposées :

admet dans

√| | (

)

L’équation

deux solutions

)

admet deux solutions dans .


et

est une racine carré de .

On a alors :
(


Soit (

)

)(

)

des nombres complexes tels que
( )

Si

est un zéro de , alors : ( )
( )

(

,

et


) ( ) avec



Formule de binôme de Newton :
Soient

et

deux nombres complexes. Alors :
(

Tél : 92 378 266

)



( )

Page 4

Série n°1 : Nombres complexes

Exercice 1 : QCM


On considère le nombre complexe
1.

La forme algébrique de

a. √





√ .

est :

b. √



2.

s’écrit sous forme exponentielle :

a.

b.



c.

(

√ )

d. √

c.

d.

c.

d.



s’écrit sous forme exponentielle :

3.

b.

a.


4.



et





sont les cosinus et les sinus de :
b.

a.

c.

d.

Exercice 2 : QCM
1.

On considère le nombre complexe

a. | |
2.

.

b.

c.

On considère le nombre complexe

d.



( )
b.
, ( )
a.
, c. Le point d’affixe est sur le cercle de d. Le point d’affixe
ordonnés.
centre , de rayon √ .
3.

vérifie

a.
4.

; l’écriture algébrique de

| |
b.

a. Rectangle et non isocèle.
c. Rectangle et isocèle.
5.

a. Une droite.
c. Un cercle de rayon 1.

Tél : 92 378 266

d.
et

d’affixes respectives

,

b. Isocèle et non rectangle.
d. Ni rectangle ni isocèle.

À tout nombre complexe
L’ensemble des points

est :

c.

Dans le plan complexe, on donne les points ,
et
. Le triangle
est :

est sur l’axe des

on associe le nombre

d’affixe tel que | |

défini par :

.

est :

b. Une droite privée d’un point.
d. Un cercle privé d’un point.

Page 5

Les notations sont les mêmes qu’à la question 5. L’ensemble des points
tel que est un réel est :
a. Une droite.
b. Un cercle.
c. Une droite privée d’un point.
d. Un cercle privé d’un point.

d’affixe

6.

7.

Dans le plan complexe, on donne le point
rotation de centre et d’angle
est :

a.

.



/



c.

.



/



d’affixe . L’écriture complexe de la

b.

.

d.

.







/

/



Exercice 3 : Vrai-Faux
1.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé
( ⃗ ). On considère les
points , , et d’affixes respectives
; ;
et
.
a.
est un parallélogramme.
b. Le point , image de par la rotation de centre et d’angle
, est un point de

2.

l’axe des abscisses.
c. Soient
et le point d’affixe . Le triangle
en .
d. Soient
et le point d’affixe . Le triangle
en .
) est imaginaire pure.
Le nombre complexe (

3.

Le nombre complexe

4.

est le point d’affixe
d’affixe vérifiant (
rayon .

5.

,

et

(

b. Le réel
c. On a :

et l’un de ses arguments est

et

telles que :

√ , alors :



.

.
est un argument de .
.

Il existe au moins un
Il existe au moins un
Il existe au moins un
Il existe au moins un

Tél : 92 378 266

.

.

On considère les nombres complexes
( )
a.
.
b.
c.
d.
e.

est rectangle et isocèle

dans un repère orthonormé. L’ensemble des points
)(
)
est le cercle de centre
et de

On considère le nombre complexe
a. On a : | |

7.

est de module

sont des points d’affixes respectives ,

̂
.⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ /
6.


)

est rectangle et isocèle

tel que
tel que
tel que
tel que

√ et

. Alors :

soit réel.
soit imaginaire pur.
.
et
soient réels.
Page 6

8.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé
( ⃗ ). On considère les
points d’affixe et d’affixe tels que et soient les solutions de l’équation :
.
a. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
.
b.
est un nombre réel.
c. Le milieu de ,
- est sur l’axe des abscisses.
d. La droite (
) est parallèle à l’axe des ordonnées.
e.
et appartiennent au cercle de centre et de rayon .

Exercice 4 :
Soit un nombre complexe de module , d’argument
fonction de et le produit suivant :
∏(

et soit

son conjugué. Calculer en

)

Exercice 5 :
Calculer les racines carrées de : ;

;

;

;

;

.

Exercice 6 :
Montrer que les solutions de
conjuguées.

avec

,

et

réels, sont réels ou

Exercice 7 :
Résoudre dans
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

.
(

)


(

.
.
)

(

)

.

.
.
.
(

8.
9.
10.
11.

les équations suivantes :

).
.
.

(

)

.

Exercice 8 :
1.

Résoudre
et montrer que les racines s’écrivent , ,
en déduire les racines de
.

Tél : 92 378 266

. Calculer

et

Page 7

a. Résoudre
et montrer que les racines s’écrivent , ,
b. En déduire les racines de
.
(
)
c. Calculer, pour
,
.

2.

,…,

.

Exercice 9 :
1.

Soient , et trois nombres complexes distincts ayant le même cube.
Exprimer et en fonction de .
(
)
Donner, sous forme polaire, les solutions dans de :
Indication : calculer (
) .

2.

.

Exercice 10 :
Déterminer l’ensemble des nombres complexes
1.

|

|

3.

|

|

5.

|(

)

.

.


|

.

7.



8. Le point
d’affixe « (
et de rayon √ .

)

,
(

tels que :
2.

.

4.

.

6.

.

-.
) » est situé sur le cercle de centre (

)

Exercice 11 :
1.

Soit , et trois points du plan complexe dont les affixes sont respectivement ,
et . On suppose que
; montrer que
est un triangle équilatéral.


avec
2.

.

la réciproque est-elle vraie ?
étant un triangle équilatéral direct du plan complexe, on construit les triangles
équilatéraux directs
et
, ce qui détermine les points et .
a. Quelle est la nature du quadrilatère
?
b. Comparer les triangles
,
et
.

Exercice 12 :
Comment construire un pentagone régulier ?
Soit

un pentagone régulier. On note
son centre et on choisit un repère
⃗⃗⃗⃗⃗ , qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble
( ⃗ ) avec ⃗

orthonormé
des nombres complexes .
1.

a. Donner les affixes

Tél : 92 378 266

,

,

,

et

des points

et .
Page 8

( ) pour
*
( )
( )

b. Montrer que
c. Montrer que
2.

3.

4.

( )

.

. / est l’une des solutions de l’équation

En déduire que
déduire la valeur de

. /.

On considère le point

d’affixe

Indication :

+.

. /

. Calculer

puis de √ .

en fonction de

.

On considère le point d’affixe , le cercle
d’intersection de

. En

avec le demi-droite ,

de centre de rayon et enfin le point

). Calculer

puis calculer

.

Application :
Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
Exercice 13 :
1.
2.

Calculer
et
en fonction de
Résoudre dans l’équation

et

.
.

Exercice 14 :
1.

2.

a. Montrer que si
,
solutions de l’équation
b. Trouver , , et si on suppose
Résoudre le système :

,

, alors , , et

.
et

sont

.

{

Exercice 15 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé. L’unité graphique est
Soit

.

un nombre complexe non nul et différent de .

On définit, pour tout entier naturel , la suite ( ) de nombres complexes par :
{
On note
1.

le point d’affixe

.

Calcul de en fonction de
a. Vérifier les égalités :

et .
;

b. Démontrer que, pour tout entier
2.

Étude du cas

Tél : 92 378 266

(
:

) ;

(

).

.

.

Page 9

3.

a. Montrer que
.
b. Pour tout entier naturel , exprimer
en fonction de .
c. Montrer que
est l’image de
par une rotation dont on précisera le centre
et l’angle.
d. Représenter les points , , ,
et
dans le repère.
Caractérisation de certaines suites ( ).
a. On suppose qu’il existe un entier naturel tel que
.
Démontrer que, pour tout entier naturel , on a l’égalité :
.
b. Réciproquement, montrer que s’il existe un entier naturel tel que, pour tout
entier naturel on ait l’égalité
alors
.

Exercice 16 :
On considère l’équation ( )
1.
2.

3.



est un nombre complexe.

Montrer que si le nombre complexe est solution de l’équation ( ) alors les nombres
complexes – et sont aussi solutions de ( ).
On considère le nombre complexe
.
a. Écrire le nombre complexe sous forme exponentielle.
b. Vérifier que est solution de l’équation ( ).
Résoudre dans l’équation ( ).

Exercice 17 :
Le plan
Soit

est rapporté à un repère orthonormal direct
l’application qui à tout point

d’affixe :
1.
2.
3.

(

de

(



).

d’affixe non nulle

associe le point

).

Soit le point d’affixe
. Calculer l’affixe du point , image de par .
Déterminer l’ensemble des points invariants par .
On note et les points d’affixes respectives et
.
Soit un point distinct des points , et .
a. Montrer que, pour tout nombre complexe différent de , et
on a :
(

)

b. En déduire une expression de

en fonction de

puis une expression de

̂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /.
l’angle .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / en fonction de l’angle .⃗⃗⃗⃗⃗⃗̂
4.
5.

Soit la médiatrice du segment , -. Montrer que si
est un point de distinct du
point , alors
appartient à .
Soit le cercle de diamètre , -.
a. Montrer que si le point
appartient à alors le point
appartient à la droite
( ).
b. Tout point de la droite ( ) a-t-il un antécédent par ?

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Page 10

Exercice 18 :
Le plan

(

est rapporté à un repère orthonormal direct



).

Les questions suivantes sont indépendantes.
1.
2.
3.

Résoudre, dans , l’équation :
.
On considère le point d’affixe
. Déterminer la forme algébrique de l’affixe du
point tel que
soit un triangle équilatéral de sens direct.
Soit le point d’affixe .
a. Représenter l’ensemble ( ) des points d’affixes
tel que :
(
b.

4.

)

Représenter l’ensemble ( ) des points

À tout point

d’affixe

d’affixes

, on associe le point

Déterminer l’ensemble des points

tels que | |

.

.

d’affixe

telle que

( ⃗
avec

). On considère les
.

.

Exercice 19 : orthog.alignement
Le plan
points et

est rapporté à un repère orthonormé direct
d’affixes respectives
et

1.
2.
3.

Montrer que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux si et seulement si ( )
.
Montrer que les points
et
sont alignés si et seulement si ( )
.
est le point d’affixe
. Quel est l’ensemble des points
tels que les vecteurs
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ soient orthogonaux.

4.

On suppose que

non nul.

est le point d’affixe

points d’affixes tels que les points
a. Montrer que :
(

).

et

. On recherche l’ensemble des

soient alignés.

/

|

|

b. Conclure sur l’ensemble recherché.
Exercice 20 : rotation
1.

Démontrer que la rotation d’angle et de centre d’affixe est la transformation
du plan qui à tout point d’affixe associe le point
d’affixe tel que :
(
) .
⃗⃗⃗⃗⃗ / , -.
:|
|
et
.
/ .⃗⃗⃗⃗⃗̂

Application :
Le plan
est rapporté à un repère orthonormé direct
points , ,
et
d’affixes respectives
,

√ .
Tél : 92 378 266

(



). On considère les
et
√ ,


Page 11

2.

3.

a. Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombre complexes
,
, et .
b. Placer les points , , et .
c. Quelle est la nature de quadrilatère
?
On considère la rotation de centre et d’angle
. Soient et les points du plan
définis par :
( ),
( ).
a. Placer les points et .
b. Donner l’écriture complexe de la rotation .
c. Déterminer les affixes des points et .

Exercice 21 :
Le plan
1.
2.

3.
4.

(

est rapporté à un repère orthonormé direct



).

Résoudre, dans , l’équation :
.

On considère les points et d’affixes respectives
et
.


a. Écrire et sous forme exponentielle.
b. Calculer les distances
,
et
. En déduire la nature de
.
On désigne par le point d’affixe
et
son image par la rotation de

centre et d’angle
. Déterminer l’affixe du point .
On appelle le barycentre des trois points pondérés (
), (
) et (
).
a. Justifier l’existence de et montrer que ce point a pour affixe

b. Placer les points , , , et sur une figure.
c. Montrer que les points , et sont alignés.
d. Montrer que le quadrilatère
est parallélogramme.

.

Exercice 22 :
Le plan
d’affixe

est rapporté à un repère orthonormé direct
(
et le cercle de centre et de rayon √ .



). On considère le point

1.
2.

Déterminer les affixes des points d’intersection de et l’axe des abscisses.
On désigne par et les points d’affixes respectives
et
.
Déterminer l’affixe
du point diamétralement opposé au point sur le cercle .

3.

Soit
a.

le point d’affixe
Calculer

.

.

b. Interpréter géométriquement un argument du nombre
4.

5.

. En déduire que le

point appartient au cercle .
On note le cercle de diamètre , -. La droite (
) recoupe en un point
a. Montrer que les droites (
) et ( ) sont parallèles.
b. Déterminer l’affixe du point .
On désigne par
l’image de par la rotation de centre et d’angle
.
Déterminer l’affixe du

Tél : 92 378 266

. En déduire que

.

.
Page 12

Exercice 23 : projection
Le plan

À tout point

d’affixe

d’affixe

on associe le point
(
)
pour écriture complexe :
.
1.

2.

(

est rapporté à un repère orthonormé direct



).

par l’application

qui admet

On considère les points , , d’affixes respectives
,
et
Déterminer les affixes des points , , images respectives par .
Placer les points , , , , et .
On pose
avec
. Déterminer ( ) et
( ) en fonction de
.

3.

Montrer que l’ensemble des points

4.

Tracer la droite . Quelle remarque peut-on faire ?
Soit un point quelconque du plan et
son image par . Montrer que
à la droite .

5.

a. Montrer que, pour tout nombre complexe :

6.

b. Déduire que, si
, les droites ( ) et (
) sont parallèles.
Un point quelconque étant donné, comment construire son image
(on étudiera deux cas suivant que appartient ou non à .)

invariants par

est la droite

.

et

.
appartient

.
?

Exercice 24 : triangles et spirale
Le plan

est rapporté à un repère orthonormé direct

On pose

et, pour tout entier naturel ,

d’affixe
1.
2.
3.

(



).

. On note

le point du plan

.

Calculer , , et . Placer les points , , ,
et .
Pour tout entier naturel , on pose
| |. Justifier que ( ) est une suite
géométrique puis déterminer son terme général en fonction de .
À partir de quel rang, tous les points
appartiennent-ils au disque de centre et de
rayon
?
Indication : . /


4.

a. Établir que, pour tout entier ,
b. Pour tout entier naturel , on note

. En déduire la nature de
la longueur de la ligne brisée

.
.


Exprimer

Tél : 92 378 266

en fonction de . Quelle est la limite de la suite ( ).

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