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Théorie des valuations et résolution des singularités
25 août 2015

Table des matières
1 Introduction

1

2 Théorie des valuations
2.1 Anneaux de valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Structure du groupe de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Rang d’un groupe abélien totalement ordonné . . . . . .
2.2.2 Rang rationnel d’un groupe abélien totalement ordonné
2.2.3 Valuations discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Composition de valuations . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Prolongements de valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1
1
3
3
4
5
7
9

3 Géométrie algébrique
3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Ensembles algébriques affines . . .
3.1.2 Irréductibilité . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Faisceaux et variétés algébriques .
3.1.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Propriétés locales . . . . . . . . . .
3.1.6 Applications rationnelles . . . . . .
3.2 Résolution des singularités des surfaces en
3.2.1 Uniformisation locale . . . . . . . .
3.2.2 Espace de Riemann-Zariski . . . .

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caractéristique zéro .
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1

Introduction

Dans ce mémoire, on s’intéresse à la théorie des valuations sur un corps. On commence par
introduire les anneaux de valuation puis on leur associe plusieurs quantités permettant de les
classer – le rang, le rang rationnel et la dimension – dont on donne quelques propriétés.
Dans un second temps, on applique la théorie à un problème de géométrie, à savoir la résolution des singularités des surfaces algébriques en caractéristique zéro. Il s’agit, à la donnée
d’une surface S, de savoir s’il est possible de trouver une surface lisse S 0 et une application
birationnelle φ : S 0 → S. On peut également chercher à obtenir des conditions supplémentaires
sur l’application φ, par exemple le fait qu’elle soit un morphisme (ce qui implique de pouvoir la
définir en tout point) ou pouvoir l’écrire comme composée d’éclatements.
On ne s’intéresse ici qu’au problème simplifié suivant : Étant donné un corps de fonctions
K/k de degré de transcendance 2, où k est un corps algébriquement clos de caractéristique zéro,
existe-t-il un modèle lisse de K (c’est à dire une surface lisse irréductible dont K est le corps de
fonctions) ? On introduit pour cela l’espace de Riemann-Zariski S(K/k) de l’extension, l’espace
des valuations de K triviales sur k dont on montre qu’il est quasi-compact. On montre ensuite
la théorème suivant, qui est une étape essentielle de la résolution du problème par Zariski
Théorème 1.1 (Uniformisation locale). Soit K/k un corps de fonctions de degré de transcendance 2. Pour toute valuation ν de dimension zéro de S(K/k), il existe un modèle S de K tel
que le centre de la valuation ν sur K est un point régulier.
On expliquera ensuite rapidement comment Zariski a exploité (dans [6]) le théorème d’uniformisation locale et la quasi-compacité de l’espace de Riemann-Zariski pour arriver au résultat
final
Théorème 1.2. Soit K/k un corps de fonctions de degré de transcendance 2. Il existe un modèle
non-singulier de K.
On suit dans l’exposé l’article introductif de Michel Vaquié [4]. La partie de géométrie est
introduite par une sous-partie, malheureusement un peu longue, permettant d’introduire le vocabulaire du sujet. Pour la démonstration de la résolution des singularités, on suit Zariski [5],
[6].
Je remercie chaleureusement mon maître de stage Hussein Mourtada de m’avoir proposé ce
sujet de stage assez difficile mais intéressant.

2

Théorie des valuations

2.1

Anneaux de valuation

On définit dans un premier temps la notion d’anneau de valuation d’un corps K et on en
donne des caractérisations équivalentes.
Proposition-définition 2.1. Soit A un anneau intègre de corps de fractions K.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. A est local et maximal parmi les sous-anneaux locaux de K pour l’ordre de domination
défini par
A B ⇐⇒ A ⊂ B et max(A) ⊂ max(B)
2. Pour tout x de K, on a x 6∈ A ⇒ x−1 ∈ A
3. L’ensemble des idéaux de A est totalement ordonné pour l’inclusion
1

4. L’ensemble des idéaux principaux de A est totalement ordonné pour l’inclusion
5. Il existe un groupe commutatif totalement ordonné Γ et une application (que l’on peut
supposer surjective) ν : K → Γ ∪ {∞} vérifiant les conditions suivantes :
(a) Pour tous x, y de K, ν(xy) = ν(x) + ν(y)
(b) Pour tous x, y de K, ν(x + y) ≥ min(ν(x), ν(y))
(c) Pour tout x de K, ν(x) = ∞ ⇔ x = 0
(d) A = {x ∈ K|ν(x) ≥ 0}
Un anneau vérifiant l’une des conditions précédentes est appelé anneau de valuation de K.
Une application ν vérifiant les conditions (a) à (c) est appelée une valuation de K.
Démonstration.
– Supposons 1. Soit x dans K. Supposons que x n’est pas dans A. Alors, l’idéal engendré par
max(A) dans A[x] est égal à A[x]. En effet, sinon, il serait inclus dans un idéal maximal m et
en localisant, A[x]m serait un sous-anneau local de K dominant strictement A. Il existe donc
n
n
X
X
m0 , . . . , mn ∈ max(A) tels que
mj xj = 1, d’où (1 − m0 )(x−1 )n −
mj (x−1 )n−j = 0.
j=0








j=1

Puisque 1 − m0 est inversible (sinon 1 = (1 − m0 ) + m0 ∈ max(A)), x−1 est entier sur
A. Supposons que l’idéal engendré par max(A) dans A[x−1 ] est égal à A[x−1 ] tout entier.
Alors, par le lemme de Nakayama, on dispose de a ∈ max(A) tel que (1 + a)A[x−1 ] = 0,
donc A[x−1 ] = 0, ce qui est absurde. Ainsi max(A) est inclus dans un idéal maximal m0 de
A[x−1 ] et l’anneau A[x−1 ]m0 domine A. Ainsi, on a A[x−1 ]m0 = A et donc x−1 ∈ A.
Supposons 2. Soient I et J deux idéaux de A. Supposons I 6⊂ J et J 6⊂ I. Soient x ∈ I \ J
et y ∈ J \ I. D’après 2., xy ou xy est dans A donc x est dans J ou y est dans I, ce qui est
absurde. On obtient ainsi 3.
3. implique manifestement 4.
Supposons 4. Notons ∞ = (0) et Γ+ = {(x), x ∈ A \ {0}}. Γ+ est un monoïde commutatif
pour la multiplication des idéaux (de neutre A = (1)) totalement ordonné (d’après 4.)
par l’inclusion. Par symétrisation (construction analogue à la construction de Z depuis N),
on peut plonger Γ+ dans un groupe commutatif totalement ordonné Γ de sorte que Γ =
Γ+ ∪ (−Γ+ ). L’application ν : x 7→ (x) se prolonge alors naturellement en une application
ν˜ : K → Γ ∪ {∞} vérifiant les conditions (a) à (d).
Supposons 5. A est local puisqu’on vérifie que l’ensemble A \ A× = {x ∈ A|ν(x) > 0} est
un idéal de A. A est maximal pour l’ordre de domination, en effet soit B un sous-anneau
local de K tel que A B. Supposons A ( B et soit x ∈ B \ A. On a x−1 ∈ max(A) donc
x−1 ∈ max(B) donc x 6∈ B, absurde. Ainsi A = B, ce qui montre 1.

Il découle de la démonstration que l’on peut naturellement associer à une valuation ν d’un
corps K un anneau de valuation Aν = {x ∈ K | ν(x) ≥ 0} de K, un corps dit corps résiduel
∼ K ∗ /A× , son
κν = Aν / max(Aν ) et un groupe commutatif totalement ordonné Γν = ν(K ∗ ) =
groupe de valeurs et qu’à un anneau de valuation de K, on peut associer une valuation ν : K →
Γ ∪ {∞}. On va voir dans la proposition suivante que cette valuation est essentiellement unique
(ce qui permettra de parler de "la" valuation associée à un anneau de valuation).
Définition 2.1. Soient ν et ν 0 deux valuations d’un corps K de groupes de valeurs respectifs
Γ et Γ0 . On dit que ν et ν 0 sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de groupes ordonnés
0
φ : Γ → Γ0 tel que ν|K
∗ = φ ◦ ν|K ∗ .

2

Proposition 2.1. Soient ν et ν 0 deux valuations d’un corps K. ν et ν 0 sont isomorphes si et
seulement si elles ont le même anneau.
Démonstration. Soit ν une valuation de K d’anneau A. Il suffit de montrer que ν est isomorphe
à la valuation µ de K construite dans la démonstration précédente. Soit I l’ensemble des idéaux
principaux non nuls de A. Comme vu précédemment, (I, ·, ⊇) est un monoïde commutatif totalement ordonné. Il suffit de montrer qu’il est isomorphe à (Γ+ , +, ≤) (où Γ+ = {x ∈ Γ|x ≥ 0}). Or,
si γ ∈ Γ+ , l’idéal φ(γ) engendré par ν −1 ({γ}) est non nul et principal (puisque tous les éléments
de ν −1 ({γ}) sont associés).
L’application φ : Γ+ → I est alors un isomorphisme de monoïdes ordonnés. En effet, elle est
manifestement bijective d’inverse (x) 7→ ν(x) (application bien définie puisque deux générateurs
d’un idéal principal sont associés). D’autre part, si γ et γ 0 sont dans Γ et s’écrivent γ = ν(x)
et γ 0 = ν(x0 ) avec x, x0 ∈ A{0}, alors on a φ(γ + γ 0 ) = φ(ν(xx0 )) = (xx0 ) = (x)(x0 ) et on a les
implications γ ≤ γ 0 ⇒ x|x0 ⇒ (x) ⊇ (x0 ).
Dans la suite, on ne distingue pas des valuations isomorphes.
Exemple.
– La valuation triviale ν : K → {0, ∞} définie par

0 si x 6= 0
ν(x) =

sinon
est une valuation sur K d’anneau K.
– Soit p premier. Pour tout x ∈ Q∗ , on dispose d’après le théorème fondamental de l’aritha
métique d’un unique νp (x) ∈ Z tel que x = pνp (x) avec a, b non divisibles par p. Alors νp
b
n a
o
est une valuation de Q d’anneau Z(p) = pn |n ∈ N, a, b ∈ Z \ pZ .
b

2.2

Structure du groupe de valeurs

Dans un second temps, on s’intéresse à la structure du groupe de valeurs et à son rapport avec
la structure de l’anneau de valuation. On introduit pour cela deux quantités qui permettent de
donner deux notions différentes de dimension : le rang rationnel qui mesure la dimension sur Q du
groupe (défini comme la taille maximale d’une famille Z-libre) et le rang d’une valuation ν d’un
corps K qui mesure sa "dimension" sur R (en un sens que nous allons préciser). On introduit
pour ce faire quelques définitions préliminaires sur les groupes abéliens totalement ordonnés.
Dans tout ce qui suit, Γ désigne un groupe abélien totalement ordonné.
2.2.1

Rang d’un groupe abélien totalement ordonné

Définition 2.2.
– On appelle segment de Γ toute partie ∆ de Γ telle que, pour tout x de ∆ et tout y de Γ,
on ait les implications −x ≤ y ≤ x ⇒ y ∈ ∆ et x ≤ y ≤ −x ⇒ y ∈ ∆.
– Un sous-groupe de Γ qui est également un segment est dit isolé.
– On appelle rang du groupe Γ le nombre de ses sous-groupes isolés stricts.
– On appelle rang de la valuation ν le rang du groupe Γν .
On donne ensuite des caractérisations équivalentes du rang de ν en fonction de Aν :
Proposition 2.2. Soit ν une valuation d’un corps K d’anneau A et de groupe de valeurs Γ.

3

1. Soit I un idéal de A. On note ∆I = Γ∞ \ (ν(A) ∪ (−ν(A))). L’application I 7→ ∆I est une
bijection de l’ensemble des idéaux stricts de A dans l’ensemble des segments de Γ renversant
les inclusions. De plus, I est premier si et seulement si ∆I est un sous groupe isolé. En
particulier, on a rg (ν) = dim(A).
2. Soit R un sous-anneau local de K contenant A. R est un anneau de valuation, on a
max(R) ⊂ max(A) et max(R) est un idéal premier de A. D’autre part l’application de
localisation p 7→ Ap réalise une bijection de l’ensemble des idéaux premiers de A dans
l’ensemble des sous-anneaux locaux de K contenant A renversant les inclusions.
Démonstration.
1. Notons tout de suite que puisque 0 ∈ I, on a ∆I ⊂ Γ. Soient ensuite α = ν(a) ∈ ∆I et
β = ν(b) ∈ Γ tels que −α ≤ β ≤ α. Si β 6∈ ∆I , on peut choisir b dans I, or on a ν(ab−1 ) ≥ 0
donc il existe c ∈ A tel que a = bc ∈ I, ce qui est absurde.
L’application I 7→ ∆I va donc de l’ensemble des idéaux de A dans l’ensemble des segments
de Γ, est décroissante pour l’inclusion (clair au vu de la définition) et inversible d’inverse
∆ 7→ {x ∈ A|ν(x) 6∈ ∆}.
Si I est premier, on a x, y de A \ I, ν(x) + ν(y) ≥ 0 et ν(x) + ν(y) 6∈ I donc pour tous
+
u, v ∈ ∆+
I = {x ∈ ∆I |x ≥ 0}, on a u + v ∈ ∆I . Puisque − max(u, v) ≤ u − v ≤ max(u, v) et
+
max(u, v) ∈ ∆I donc u−v ∈ ∆I . Ainsi ∆I est stable par somme et est donc un sous-groupe
isolé de Γ.
2. Soit R un sous-anneau local de K contenant A. On a pour tout x de K ∗ , x ∈ A ou
x−1 ∈ A donc x ∈ R ou x−1 ∈ R donc R est un anneau de valuation. Par ailleurs, si
max(R) 6⊂ max(A), soit x ∈ R \ A. On a x−1 ∈ max(A) donc x−1 ∈ max(R) donc x 6∈ R,
ce qui est une contradiction. Ainsi max(R) ⊂ max(A). max(R) est premier dans A puisque
A/ max(R) est un sous-anneau de R/ max(R) qui est un corps.
L’application de localisation est alors une bijection renversant les inclusions de l’ensemble
des idéaux premiers de A dans l’ensemble des sous-anneaux locaux de K contenant A
d’inverse R 7→ max(R).

2.2.2

Rang rationnel d’un groupe abélien totalement ordonné

Définition 2.3. On définit le rang rationnel de Γ par rg rat Γ = dimQ (Γ ⊗Z Q).
Il découle du théorème de structure des groupes abéliens de type fini que le rang rationnel
de Γ est le cardinal maximal (s’il existe) d’une famille Z-libre de Γ et est nul si et seulement si
Γ est de torsion.
La proposition suivante découle aisément de la formule du rang :
Proposition 2.3. Soit Γ0 un sous-groupe de Γ. On a rg rat Γ = rg rat Γ0 + rg rat (Γ/Γ0 ).
On établit enfin une relation entre rang et rang rationnel :
Proposition 2.4. Soit Γ0 un sous-groupe de Γ. On a rg Γ ≤ rg Γ + rg rat (Γ/Γ0 ). En particulier
rg Γ ≤ rg rat Γ.
Démonstration. On montre par récurrence que pour tout n ∈ N, on a pour tout groupe abélien
totalement ordonné Γ de rang supérieur ou égal à n et tout sous-groupe Γ0 de Γ, n ≤ rg Γ0 +
rg rat (Γ/Γ0 ).
– Le cas n = 0 est clair.

4

– Soit n ≥ 1. Supposons la proposition vérifiée pour tout k < n. Soit Γ un groupe abélien
totalement ordonné de rang au moins n. Soit ∆0 ( . . . ∆n une suite strictement croissante
de sous-groupes isolés de Γ. On a n − 1 ≤ rg ∆n−1 donc, par hypothèse de récurrence,
n − 1 ≤ rg (Γ0 ∩ ∆n−1 ) + rg rat (∆n−1 /(Γ0 ∩ ∆n−1 )).
– Si Γ0 ⊂ ∆n−1 , ceci se récrit n ≤ rg Γ0 + rg rat (∆n−1 /Γ0 ) + 1. Or Γ/∆n−1 est totalement
ordonné et n’est pas de torsion (sinon Γ = ∆n−1 ) donc rg rat Γ/∆n−1 ≥ 1. On a ainsi
n ≤ rg Γ0 + rg rat (∆n−1 /Γ0 ) + rg rat (Γ/∆n−1 ) = rg Γ0 + rg rat (Γ/Γ0 ).
– Sinon Γ0 ∩∆n−1 est un sous-groupe isolé strict de Γ0 et on a donc rg (Γ0 ∩∆n−1 ) ≤ rgΓ0 −1.
Par ailleurs, on a rg rat ∆n−1 /(Γ0 ∩ ∆n−1 ) ≤ rg rat Γ/Γ0 (puisque ∆n−1 /(Γ0 ∩ ∆n−1 ) '
(Γ0 + ∆n−1 )/Γ0 ), donc n − 1 ≤ rg Γ0 − 1 + rg rat Γ/Γ0 , d’où le résultat.
On montre ainsi la propriété pour n, ce qui achève la récurrence.

2.2.3

Valuations discrètes

On s’intéresse ensuite aux valuations discrètes qui sont, comme on va le voir, les valuations
dont le groupe de valeurs est un sous-groupe de Zr muni de l’ordre lexicographique.
Définition 2.4. Soit Γ un groupe abélien totalement ordonné. On dit que Γ est discret s’il est
de rang fini r et si, en notant {0} = ∆0 ( ∆1 ( · · · ( ∆r = Γ ses segments, on a pour tout
i ∈ [[0, r − 1]] un isomorphisme de groupes ordonnés ∆i+1 /∆i ∼
= Z.
La proposition suivante donne une caractérisation concrète des groupes discrets :
Proposition 2.5. Soit Γ un groupe abélien totalement ordonné. Γ est discret si et seulement s’il
existe n ∈ N tel que Γ est isomorphe à un sous-groupe de Zn muni de l’ordre lexicographique.
Démonstration.
(⇐) : Tout sous-groupe de Zn est un groupe abélien libre de rang r ≥ n. Montrons par récurrence sur n + r que tout sous-groupe non réduit à 0 de Zn muni de l’ordre lexicographique
admet un plus petit élément strictement positif.
– Pour n + r = 2 ou r = 1, on a G = Z et il suffit de prendre l’unique générateur positif.
– Supposons n + r ≥ 3, r ≥ 2 et soit G un sous-groupe de Zn de rang r. Alors G ∩
{(z1 , . . . , zn ) ∈ Zn |z1 = 0} est un sous-groupe non réduit à 0 de {z1 = 0} ∼
= Zn−1 . En
effet, le Q-espace vectoriel vectQ (G) est un sous-espace vectoriel de dimension r ≥ 2 de Qn
et son intersection avec l’hyperplan d’équation z1 = 0 est donc de dimension au moins r−
1 ≥ 1. Il existe donc une combinaison linéaire rationnelle non nulle d’éléments de G dans
l’hyperplan. En éliminant les dénominateurs, on obtient bien une combinaison linéaire
entière non nulle d’éléments de G (donc un élément non nul de G) dans l’hyperplan.
G ∩ {z1 = 0} est donc de rang r ou r − 1 et isomorphe à un sous-groupe non réduit à 0 de
Zn−1 . Puisque (n − 1) + rg (G ∩ {z1 = 0}) < n + r, G ∩ {z1 = 0} admet par hypothèse de
récurrence un plus petit élément strictement positif. Celui-ci est un plus petit élément
strictement positif de G. On montre donc la proposition pour n + r, ce qui achève la
récurrence.
On montre ensuite la proposition par récurrence sur le rang r de Γ (comme groupe abélien
libre) :
– Si r = 0, c’est clair
– Supposons Γ isomorphe à un sous-groupe non réduit à 0 de Zn et soit x son plus petit
élément strictement positif.
Le sous-groupe ∆ = Zx est alors isolé dans Γ. En effet, par récurrence, on montre que
pour tout k ∈ N∗ , on a l’implication 0 ≤ y ≤ kx ⇒ y ∈ Zx. Le groupe Γ/∆ est alors
5

isomorphe à un sous-groupe de rang r − 1 de Zn−1 . Par hypothèse de récurrence, il est
discret. Soit {∆} = ∆0 ( · · · ( ∆r−1 = Γ/∆ ses sous-groupes isolés. Soit π : Γ → Γ/∆ la
projection canonique. Les sous-groupes isolés de Γ sont alors {0} ( ∆ = π −1 (∆0 ) ( · · · (
π −1 (∆r−1 ) = Γ. On a ∆ ∼
= Z et, pour tout i entre 1 et r − 1, π −1 (∆i )/π −1 (∆i−1 ) ∼
= Z.
En effet, puisque Γ/∆ est discret, on dispose de fi : ∆i → Z telles que ker fi = ∆i−1 .
Alors fi ◦ π : π −1 (∆i ) → Z vérifie ker fi ◦ π = π −1 (ker fi ) = π −1 (∆i−1 ), d’où le résultat.
(⇒) : On montre l’implication par récurrence sur le rang r de Γ (au sens du nombre de ses
sous-groupes isolés) :
– Si r = 0, c’est clair
– Soit r ≥ 1. Supposons la proposition vraie pour tout groupe de rang strictement inférieur
à r et soit Γ de rang r. ∆r−1 est un groupe abélien totalement ordonné de rang r − 1
donc on a par hypothèse de récurrence ∆r−1 ' (Zr−1 , +)lex . Puisque Γ est discret et
∆r−1 isolé, on a donc une suite exacte de groupes abéliens totalement ordonnés 0 →
π
Zr−1 → Γ → Z → 0. Soit x dans π −1 (1). On a ∀a ∈ ∆r−1 , a < x et on peut donc écrire
Γ ' (Zx × ∆r−1 )lex ' (Zr , +)lex , ce qui achève la récurrence.
Définition 2.5. Une valuation est dite discrète si son groupe de valeurs l’est.
On s’intéresse ensuite aux anneaux de valuation discrète de rang 1 (qui sont généralement
appelés anneaux de valuation discrète dans la littérature). On caractérise ensuite les anneaux de
valuation discrète de rang 1 (autrement dit dont le groupe de valeurs est Z) :
Proposition 2.6. Soit A un anneau local intègre. Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. A est un anneau de valuation discrète de rang 1.
2. A est un anneau de valuation noethérien.
3. max(A) est principal et A est noethérien
4. A est principal.
Démonstration.
– Supposons 1. Soit ν la valuation de A et I un idéal de A. L’ensemble ν(I) est une partie
non vide de N donc admet un plus petit élément n. Soit x ∈ I tel que ν(x) = n. On a
I = (x). Ainsi A est noethérien (et même principal).
– Supposons 2. Soit ν la valuation associée à A, à valeurs dans Z. max(A) est de type fini,
disons max(A) = hx 1 , . . . , xn i. L’un des xi est de valuation minimale, disons x1 . On a alors
xi
pour tout i, ν
≥ 0 donc x1 divise xi pour tout i et donc max(A) = hx1 i.
x1
– Supposons 3. Soit I un idéal. Puisque A est noethérien, on peut écrire I = hx1 , . . . , xr i.
Puisque max(A) est principal soit π un générateur. On dispose pour tout i de αi ∈ A× et
ni ∈ N tels que xi = αi π ni . Alors, on a I = hπ n1 , . . . , π nr i = hπ min(n1 ,...,nr ) i.
– Supposons 4. Soit π un générateur de l’idéal maximal de A. Alors tout élément non nul
x de A peut s’écrire de manière unique x = απ n avec α ∈ A× et n ≥ 0 (où n est le plus
grand entier naturel tel que x ∈ max(A)n ).
Exemple.
– La valuation p-adique sur Q est discrète de rang 1.
– Si k est un corps,
P l’anneau k[[x]] est un anneau de valuation discrète de valuation ν qui à
une série f = n≥0 an xn associe min{n ∈ N | an 6= 0}.

6

– Soit A = C[[x, y]] l’anneau des séries formelles en deux variables à coefficients complexes
et K = C((x, y)) son corps de fractions. Soit f ∈ A. On dispose d’un unique m ∈ Z tel que
f = xm g avec g ∈ A non divisible par x. Alors, soit n = ordy g(0, y) et ν(f ) = (m, n). ν est
alors une valuation discrète de rang 2.
2.2.4

Composition de valuations

On va ici tenter de préciser l’idée selon laquelle le rang d’une valuation est une mesure de la
dimension du groupe de valeurs. On a déjà obtenu le résultat selon lequel le rang d’une valuation
est égal à la dimension de son anneau. On va voir ici que la donnée d’une valuation de rang fini
r est équivalente à la donnée de r valuations à valeurs dans R.
On note tout d’abord le fait remarquable suivant sur les groupes totalement ordonnés de rang
1:
Proposition 2.7. Soit Γ un groupe abélien totalement ordonné de rang 1. Γ s’identifie à un
sous-groupe du groupe ordonné (R, +).
Démonstration. On commence par montrer que Γ est un groupe archimédien, c’est à dire que
pour tout α > 0 et β ∈ Γ, il existe n ∈ N tel que nα > β. Supposons le contraire. On dispose de
α > 0 et β ∈ Γ tels que ∀n ∈ N, nα ≤ β. Alors, "l’enveloppe convexe" de Zα, ∆ = {x ∈ Γ|∃n ∈
N, −nα ≤ x ≤ nα} est un sous-groupe isolé non nul de Γ différent de Γ car ne contenant pas β
(comme on le vérifie sans difficulté). Il en découle que rg (Γ) ≥ 2, ce qui est une contradiction.
On construit ensuite le plongement dans R comme suit : Pour tout x ∈ Γ, on pose A(x) = {(p, q) ∈
Z × N∗ |p
A(x) est non vide par ce qui précède et on peut alors considérer

< qx}. L’ensemble
u
p
φ(x) =
(p, q) ∈ A(x) . Alors φ(x) est une coupure de Dedekind. En effet, si 6∈ φ(x) (avec
q
v
u ∈ Z et v > 0), alors, on a vx < u. On a alors pour tout (p, q) ∈ A(x), pv ≤ qvx < qu donc
p
u
< . Ainsi φ(x) < Q \ φ(x).
q
v
φ est bien un morphisme de groupes. En effet, soient x, y ∈ Γ. On a φ(x) + φ(y) ⊆ φ(x + y). En
effet, si (p, q) ∈ A(x) et (u, v) ∈ A(y), alors pv + qu < vq(x + y) donc (pv + qu, vq) ∈ A(x + y)
p
u
pv + qu
et donc + =
∈ φ(x + y). Inversement, si (p, q) ∈ A(x + y), on a q(x + y) − p > 0
q
v
vq

donc il existe n ∈ N tel que n(q(x + y) − p) > 2 de sorte qu’il existe m ∈ Z et m0 ∈ Z tels que
2qnx − n(q(x + y) − p) < m < 2qnx et 2qny − n(q(x + y) − p) < m0 < 2qny.
Alors , on a 2qn(x+y)−2n(q(x+y)−p) < m+m0 < 2qn(x+y) et donc 2np < m+m0 < 2qn(x+y).
m + m0
m + m0
p
p
, or
∈ φ(x) + φ(y) donc ∈ φ(x) + φ(y) (puisque φ(x) + φ(y) est une
Ainsi <
q
2qn
2qn
q
coupure). On a donc l’inclusion réciproque φ(x + y) ⊂ φ(x) + φ(y) et donc l’égalité voulue.
Le morphisme est injectif puisque si x < y, alors il existe n ∈ N∗ tel que n(y − x) > 2 et donc
m
un entier m tel que nx < m < ny. Alors
∈ φ(y) \ φ(x).
n
On introduit ensuite la notion suivante qui va nous permettre de décomposer les valuations
de rang supérieur à 1 :
Proposition-définition 2.2. Soit ν une valuation d’un corps K d’anneau A. Soit p un idéal
premier de A. L’anneau local A0 = Ap est un anneau de valuation dont on note la valuation ν 0 .
Soient Γ et Γ0 les groupes de valeurs respectifs de ν et ν 0 .
1. Le groupe Γ0 est un quotient de Γ par un sous-groupe isolé ∆ et, si π : Γ → Γ/∆ est la
0
projection canonique, on a ν|K
∗ = π ◦ ν|K ∗ .

7

2. L’anneau A¯ = A/p est un anneau de valuation du corps résiduel du corps résiduel κν 0 =
A0 /p et la valuation ν¯ associée à A¯ a pour groupe de valeurs ∆.
On dit alors que ν est la composée des valuations ν 0 et ν¯ et on note ν = ν 0 ◦ ν¯ (la notation n’est
pas très bien choisie puisque l’opération n’est pas une composition de fonctions).
Démonstration.
1. On a vu précédemment qu’il existait une bijection décroissante I 7→ ∆I = Γ∞ \ (ν(I) ∪
(−ν(I))) entre les idéaux premiers de A et les sous-groupes isolés de Γ. Soit alors ∆ = ∆p
et π : Γ → Γ/∆ la projection canonique (qui, on le rappelle, est un morphisme de groupes
ordonnés). L’application de K dans Γ∞ qui à x associe ∞ si x = 0 et φ(ν(x)) sinon est
une valuation de K et il suffit de vérifier qu’elle a le même anneau que ν 0 . Or si x ∈ K ∗

−1
vérifie
π(ν(x)) ≥ 0, on dispose de y ∈ K tel que y, y 6∈ p et ν(x) ≥ ν(y). Alors, on a
x
≥ 0. Ainsi, xy est dans A, donc dans A0 . Ainsi on a ν 0 (x) ≥ ν 0 (y). Or y ou y −1 est
ν
y
dans A0 et ni l’un ni l’autre ne sont dans p donc y ou y −1 est dans A0× et par conséquent
y et y −1 sont dans A0× . Ainsi ν 0 (y) = 0 et on a donc ν 0 (x) ≥ 0.
Réciproquement, si ν 0 (x) ≥ 0, alors si x ∈ p, on a ν(x) ≥ 0 et donc π(ν(x)) ≥ 0. Sinon, on
a ν 0 (x) = 0 donc x, x−1 6∈ p et donc ν(x) ∈ ∆ et donc π(ν(x)) = 0. Ainsi, on a l’équivalence
ν 0 (x) ≥ 0 ⇔ π(ν(x)) ≥ 0 pour tout x de K donc les deux valuations sont isomorphes.
2. B = A/p est un sous-anneau de κν 0 = A0 /p et on a pour tout x de A0 \ p, x ∈ A ou x−1 ∈ A
¯−1 ∈ B. Ainsi A¯ est un anneau de valuation de κν 0 . Soit ν¯ la
et donc x
¯ ∈ B ou x−1 = x
¯ son groupe de valeurs. On va donner une présentation de ν¯. Soit
valuation associée et Γ
x
¯ ∈ A0 \{0} . x
¯ est la classe d’un élément x ∈ A\p. Alors, pour tout y ∈ p, on a ν(x) < ν(y)
et donc ν(x + y) = ν(x). Ainsi, on peut définir ν˜(¯
x) = ν(x) ∈ ∆ (qui ne dépend que du
¯
¯ On peut alors étendre ν˜ à κ∗ 0 par ν˜ x
= ν˜(¯
x)− ν˜(¯
y ).
représentant de x
¯ modulo p) sur A.
ν

¯ Ainsi,
ν˜ est alors une valuation de κν 0 à valeurs dans ∆ et son anneau est par définition A.
on a ν˜ = ν¯, ce qui montre au passage que le groupe de valeurs de ν¯ est ∆.
Le corollaire suivant se déduit sans difficulté de la démonstration précédente :
Corollaire. Soit ν 0 une valuation de K d’anneau A0 et ν¯ une valuation du corps résiduel κν 0
de ν 0 . On peut définir une valuation ν sur K composée de ν 0 et ν¯. ν a pour anneau A = {x ∈
¯ → Γ → Γ0 → 0 où Γ, Γ0 et Γ
¯
A0 |¯
ν (¯
x) ≥ 0} et on a la suite exacte de groupes ordonnés 0 → Γ
0
0
sont les groupes de valeurs respectifs de ν, ν et ν¯ et l’égalité rg (ν) = rg (ν ) + rg (¯
ν ).
On peut également montrer par récurrence la proposition suivante :
Corollaire. Soit ν une valuation de K de rang fini r. On peut écrire ν = νr ◦ · · · ◦ ν1 où les νi
sont de rang 1, νr est une valuation de K et, pour tout i ∈ [[1, r − 2]], νi est une valuation du
corps résiduel κi+1 de νi+1
On peut résumer les résultats obtenus jusqu’ici dans le tableau suivant faisant correspondre
le vocabulaire lié aux anneaux de valuation et celui des groupes abéliens totalement ordonnés :
Anneau de valuation Aν de K
Idéaux premiers : (0) = p0 ( p1 ( · · · ( pr = max(A)
Sous-anneaux locaux de K : A = Apr ( · · · ( Ap0 = K
Valuation composée ν = ν 0 ◦ ν¯
Inclusion d’idéaux premiers : max(Aν 0 ) ⊂ max(A)
Dimension de Krull : dim(A)
8

Groupe de valeurs associé Γν
Sous-groupes isolés Γ ) · · · ) ∆r−1 ) ∆r = {0}.
¯ → Γ → Γ0 → 0
Suite exacte 0 → Γ
Rang : rg (Γ)

2.3

Prolongements de valuations

Dans cette section, on se donne une extension de corps transcendante L/K (on se place dans
la situation de la partie 2) et une valuation ν de K et on s’intéresse aux propriétés du rang et
du rang rationnel des valuations µ de L telles que µ|K = ν que l’on peut déduire de celles de ν.
Proposition 2.8. Soit ν une valuation d’un corps K de groupe de valeurs Γ et de corps résiduel
κ.
1. Si un groupe totalement ordonné Γ00 contient Γ et si ξ est un élément de Γ00 vérifiant
nξ ∈ Γ ⇒ n = 0, alors il existe exactement une valuation ν 0 étendant ν à K 0 = K(x) à
valeurs dans Γ00 telle que ν 0 (x) = ξ. Le groupe de valeurs de ν 0 est alors Γ0 = Γ + Zξ et le
corps résiduel de ν 0 est égal à K.
2. Il existe exactement une valuation ν 0 étendant ν à K 0 = K(x) telle que ν 0 (x) = 0 et telle
que l’image t de x dans le corps résiduel κ0 de ν 0 soit transcendante sur κ. Alors on a
Γ0 = Γ et κ0 = κ(t).
0
0
1.Soit ν 0 une
 valuation de K = K(x) prolongeant ν telle que ν (x) = ξ.
X
Alors, on a ν 0 
ai xi  = min(ν(ai ) + iξ) puisque les ν(ai ) + iξ sont deux à deux

Démonstration.

i≥0

i≥0

distincts. Réciproquement, on se convainc sans mal du fait que la formule ci dessus définit
bien une valuation comme voulu. On a également d’évidence Γ0 = Γ + Zξ. Par ailleurs, si
y est dans K(x)∗ , il existe a ∈ K ∗ et n ∈ Z tels que ν(y) = ν(axn ) (il suffit de prendre le
monôme de valuation minimale, il n’y en a qu’un comme on l’a vu). Alors si ν(y) = 0, on
a n = 0 et ν(y − a) > ν(y) = 0. Ainsi y et a ont la même classe dans κ0 . Ainsi κ0 = κ.
2. Soit ν 0 une valuation de K 0 = K(x) prolongeant ν telle que ν 0 (x) = 0. Soit P ∈ K[x].
Quitte à diviser P X
par un élément de K ∗ (son coefficient de valuation minimale), on peut
supposer que P =
ai xi avec ν(ai ) ≥ 0 pour tout i et ν(aj ) = 0 pour un certain j. Alors,
i≥0

la classe de P dans κ0 s’écrit P¯ =

X

a
¯i ti et est donc non nulle car t est transcendant et

i≥0

a
¯j 6= 0. Ainsi ν 0 (P ) = 0 = min ν(aj ). On a d’évidence Γ0 = Γ et κ0 = κ(t).
On démontre ensuite le cas général par récurrence (voir par exemple [1] p. 161). On se
donne K 0 /K une extension transcendante, µ une extension à K 0 d’une valuation ν de K et
A, Γ, κ, A0 , Γ0 , κ0 les anneaux, groupes de valeurs et corps résiduels associés.
Proposition 2.9. Soient x1 , . . . , xs dans A0 dont les images dans κ0 forment une famille κ-libre,
y1 , . . . , yr dans K 0 tels que ν 0 (y1 ), . . . , ν 0 (yr ) forment une famille Z-libre de Γ0 /Γ. Alors les éléments x1 , . . . , xs , y1 , . . . , yr sont algébriquement indépendants sur K. Si ν 00 désigne la restriction
à K 00 = K(x1 , . . . , xs , y1 , . . . , yr ), alors le groupe de valeurs Γ00 vaut Γ + Zν 0 (y1 ) + · · · + ‘Zν 0 (yr )
et le corps résiduel κ00 vaut κ(¯
x1 , . . . , x
¯s ).
En particulier, on a les inégalités
Corollaire. Avec les notations précédentes, on a :
rg rat (Γ0 /Γ) + deg tr κ0 /κ ≤ deg tr K 0 /K

9

Si on a égalité et si K 0 est une extension de type fini de K, alors Γ0 /Γ est un groupe abélien de
type fini et κ0 est une extension de type fini de κ
rg ν 0 + deg tr κ0 /κ ≤ rg ν + deg tr K 0 /K
Si on a égalité et si K 0 est une extension de type fini et si Γ est discret, alors κ0 est une extension
de type fini de κ et Γ0 est discret.
On reformule le résultat précédent dans la situation où ν est une valuation de K/k, à savoir
une valuation de K triviale sur k.
On définit la dimension d’une telle valuation
Définition 2.6. La dimension d’une valuation ν d’une extension K/k est le degré de transcendance du corps résiduel
dim(ν) = deg tr κ/k
On a alors avec les mêmes notations
Proposition 2.10.
rg ν + dim(ν) ≤ rg rat ν + dim(ν) ≤ deg tr K/k
avec égalité si et seulement si ν est une valuation discrète.

10

3
3.1

Géométrie algébrique
Vocabulaire

Dans cette section, on introduit les variétés algébriques qui sont des espaces localement définis
(en un sens que nous allons préciser) par des équations polynomiales. On définit ensuite les notions
indispensables à la suite de l’exposé (anneaux locaux en un point, points singuliers, applications
rationnelles). On suit plus ou moins la trame du livre de Perrin [2]. Dans tout ce qui suit, k
désigne un corps algébriquement clos.
3.1.1

Ensembles algébriques affines

On commence par définir la notion d’ensemble algébrique affine qui forme le "modèle local" en géométrie algébrique (comme les espaces affines forment le modèle local en géométrie
différentielle). On fixe n ≥ 1.
Définition 3.1. Soit S un ensemble de polynômes de k[x1 , . . . , xn ]. On appelle ensemble algébrique affine défini par S l’ensemble
V (S) = {(a1 , . . . , an ) ∈ k n | ∀P ∈ S, P (a1 , . . . , an ) = 0}
On peut remarquer que V est une application décroissante pour l’inclusion et qu’on a V (S) =
V (hSi) où hSi est l’idéal engendré par S. On montre ensuite que les ensembles algébriques affines
sont les fermés d’une topologie sur k n appelée topologie de Zariski :
Proposition 3.1. On a :
1. V (0) = k n , V (1) = ∅
2. Pour tous idéaux I et J de k[x1 , . . . , xn ], V (I ∩ J) = V (IJ) = V (I) ∪ V (J)
X \
3. Pour toute famille (Ij )j∈J d’idéaux de k[x1 , . . . , xn ], on a V
Ij =
V (Ij )
j∈J

j∈J

Démonstration. Les assertions 1. et 3. sont claires. Pour 2., on a par décroissance de V V (I) ∪
V (J) ⊆ V (I ∩ J) ⊆ V (IJ). Soit alors x 6∈ V (I) ∪ V (J). On dispose de P ∈ I, Q ∈ J tels
que P (x) 6= 0, Q(x) 6= 0. Alors P Q ∈ IJ et P Q(x) 6= 0, d’où x 6∈ V (IJ). Ainsi V (IJ) ⊆
V (I) ∪ V (J).
Exemple.
– Comme vu plus haut, ∅ et k n sont des ensembles algébriques.
– Tout singleton {(a1 , . . . , an )} (et par suite tout ensemble fini) est algébrique puisque
{(a1 , . . . , an )} = V (hx1 − a1 , . . . , xn − an i).
– Tout polynôme f ∈ k[x1 , . . . , xn ] définit un ensemble algébrique V (f ) appelé hypersurface.
Son complémentaire est appelé ouvert standard défini par f et noté D(f ). Par noethérianité
de k[x1 , . . . , xn ], tout ensemble algébrique est intersection d’un nombre fini d’hypersurfaces.
On va voir dans la suite qu’en caractéristique nulle, √
on a équivalence entre fermés algébriques
et idéaux radicaux (un idéal I étant dit radical si I = I) de k[x1 , . . . , xn ]. On introduit l’opération qui constituera la réciproque de l’opération V :
Définition 3.2. Soit V une partie de k n . On appelle idéal de V l’idéal
\
I(V ) = {f ∈ k[x1 , . . . , xn ] | ∀x ∈ V, f (x) = 0} =
ker evx
x∈V

où evx est le morphisme d’évaluation en x.
11

On a alors la proposition suivante montrant le caractère presque réciproque des applications
I et V :
Proposition 3.2.
1. Soit V un ensemble algébrique affine. On a V (I(V )) = V .

2. (Nullstellensatz) : Soit J un idéal de k[x1 , . . . , xn ]. On a I(V (J)) = J.
Démonstration. On renvoie le lecteur à [2] pour une démonstration du Nullstellensatz.
En particulier, puisque tout
√ ensemble algébrique peut s’écrire sous la forme V (I) avec I
radical (puisque V (I) = V ( I)), on voit que V et I réalisent des bijections réciproques entre
l’ensemble des fermés algébriques de k n et celui des idéaux radicaux de k[x1 , . . . , xn ].
On définit ensuite les morphismes entre ensembles algébriques affines. On commence par
définir les fonctions régulières :
Définition 3.3. On appelle fonction régulière sur un ensemble algébrique affine V toute fonction
f : V → k telle qu’il existe un polynôme P ∈ k[X1 , . . . , xn ] tel que ∀x ∈ V, f (x) = P (x).
Le polynôme P de la définition n’est pas défini de manière unique mais à un élément de I(V )
près. On a donc la proposition suivante :
Proposition 3.3. L’ensemble k[V ] des fonctions régulières sur V est une sous-k-algèbre réduite
(ie. sans nilpotents) de F(V, k) isomorphe à k[x1 , . . . , xn ]/I(V ).
Il suffit pour s’en convaincre de s’intéresser au morphisme k[x1 , . . . , xn ] → F(V, k) qui à un
polynôme associe la restriction à V de la fonction polynomiale associée. Le caractère réduit
provient du fait que I est radical. On a également la proposition réciproque, à savoir que toute
k-algèbre commutative unitaire réduite de type fini est une algèbre de fonctions régulières sur un
ensemble algébrique (en effet, si A = k[x1 , . . . , xn ]/I, on a alors A = k[V (I)]). On peut ensuite
définir un morphisme d’ensembles algébriques affines :
Définition 3.4. On appelle morphisme d’un ensemble algébrique affine V ⊆ k n vers un ensemble
algébrique affine W ⊆ k m toute application f = (f1 , . . . , fm ) : V → W telle que, pour tout i entre
1 et m, fi soit régulière. On note Hom(V, W ) l’ensemble des morphismes de V dans W .
Autrement dit, si W est défini par les équations P1 (x) = · · · = Pr (x) = 0, un morphisme de
V dans W est la donnée de m polynômes F1 , . . . , Fm tels que pour tout x de V et tout i entre 1
et r, on ait Pi (F1 (x), . . . , Fm (x)) = 0.
Un morphisme f : V → W d’ensembles algébriques affines fournit un morphisme d’algèbres
f ∗ : k[W ] → k[V ] et on a pour tous morphismes f : U → V et g : V → W (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗
ainsi que id∗V = idk[V ] . On va voir que cette correspondance est bijective :
Proposition 3.4. Soient V ⊆ k n et W ⊆ k m des ensembles algébriques affines. L’application
Hom(V, W ) →
f
7→

Hom(k[W ], k[V ])
f∗

est une bijection.
Démonstration. Si pour tout i entre 1 et m, pi est la projection sur la i-ième coordonnée dans
la base canonique, alors on a f = (f ∗ (p1 ), . . . , f ∗ (pm )). Ainsi, f 7→ f ∗ est inversible.
Les résultats précédents peuvent être résumés en disant que le foncteur k[·] de la catégorie des
ensembles algébriques affines vers celui des k-algèbres de type fini réduites est une co-équivalence
de catégories et que l’on a donc dans ce contexte un dictionnaire parfait entre algèbre et géométrie.
12

3.1.2

Irréductibilité

On introduit ensuite la notion topologique d’irréductibilité, une version très forte de la
connexité qui joue un rôle important lorsque l’on travaille avec la topologie de Zariski :
Proposition-définition 3.1. Un espace topologique X est dit irréductible s’il vérifie l’une des
propriétés équivalentes suivantes :
1. Si X s’écrit comme réunion de deux fermés X = F1 ∪ F2 , alors on a F1 = X ou F2 = X.
2. Tout ouvert non vide de X est dense.
3. Toute paire d’ouverts non vides a une intersection non vide.
Démonstration de l’équivalence.
– 2. et 3. sont manifestement équivalents
¯ ∪ (X \ U ), or X \ U 6= X donc
– Supposons 1. On a pour tout ouvert non vide U , X = U
¯
U = X, ce qui montre 2.
– Supposons 3. Si X s’écrit comme réunion de fermés X = F1 ∪F2 , alors (X\F1 )∩(X\F2 ) = ∅.
L’un des deux ouverts est donc vide, ce qui montre 1.
Cette définition est sans intérêt pour un espace séparé puisque les seuls espaces irréductibles
et séparés sont les singletons. En revanche, on va voir que la topologie de Zariski sur k n contient
bon nombre de parties irréductibles non triviales.
Proposition 3.5. Soit V ⊂ k n un ensemble algébrique affine. On a l’équivalence
V est irréductible ⇔ I(V ) est irréductible ⇔ k[V ] est intègre
Démonstration. Il suffit de montrer la première équivalence.
(⇒) Supposons V irréductible. Soient f, g ∈ k[x1 , . . . , xn ] tels que f g ∈ I(V ). On a alors
V ⊂ V (f g) = V (f ) ∪ V (g) donc V = (V ∩ V (f )) ∪ (V ∩ V (g)). Par irréductibilité, on a
V ⊆ V (f ) ou V ⊆ V (g) donc l’un des deux polynômes est dans I(V ).
(⇐) Supposons I(V ) premiers et soient V (I), V (J) deux fermés tels que V (I) ∪ V (J) = V .
On a V (IJ) = V donc IJ ⊆ I(V ). Ainsi I ou J est inclus dans I(V ), disons I donc
I ⊆ I(V ) ⊆ I(V (I)) D’où V = V (I)
Ainsi, l’irréductibilité d’un ensemble algébrique affine a une traduction algébrique simple
pour son algèbre de fonctions. On montre également une proposition technique qui permet de se
ramener dans les démonstrations au cas d’ensembles irréductibles :
Proposition 3.6. Tout ensemble algébrique affine V s’écrit de manière unique comme réunion
finie de fermés irréductibles V = V1 ∪ · · · ∪ Vp avec, pour tout i 6= j, Vi 6⊂ Vj .
Démonstration. Pour l’existence, supposons qu’il existe des ensembles algébriques ne s’écrivant
pas comme réunion finie de fermés irréductibles et soit V un tel ensemble dont l’idéal est maximal
parmi les idéaux des ensembles vérifiant la propriété, ce qui est possible car k[x1 , . . . , xn ] est
noethérien. Alors V n’est pas irréductible donc s’écrit comme réunion de fermés V = V1 ∪ V2
avec V1 , V2 ( V . Alors I(V ) ( I(V1 ), I(V2 ) et donc par maximalité de I(V ), V1 et V2 s’écrivent
comme réunion finie de fermés irréductibles mais alors V aussi, ce qui est une contradiction.
V s’écrit alors comme réunion finie de fermés irréductibles dont on peut s’assurer, quitte à en
retirer, qu’elle satisfait l’hypothèse sur les inclusions.
Pour l’unicité, supposons que l’on ait deux écritures comme réunion de fermés V = V1 ∪ · · · ∪
Vp = W1 ∪ · · · ∪ Wq comme voulu. On a, pour tout i entre 1 et p, Vi = (W1 ∩ Vi ) ∪ · · · ∪ (Wq ∩ Vi )
13

donc il existe j tel que Vi ⊆ Wj . Par ailleurs Wj = (Wj ∩ V1 ) ∪ · · · ∪ (Wj ∩ Vp ) donc il existe k tel
que Wj ⊆ Vk . Alors Vi ⊆ Vk et donc Vi = Vk par hypothèse. Ainsi Vi = Wj . Chaque Vi est égal
à un des Wj donc p ≤ q. En faisant la même démonstration en remplaçant V par W , on obtient
q ≤ p et les deux écritures sont donc des permutations l’une de l’autre.
3.1.3

Faisceaux et variétés algébriques

On va ici définir les variétés algébriques qui sont les espaces obtenus en recollant des ensembles algébriques affines. Reste à expliquer ce que l’on entend ici par "espace" et par "recoller".
On définit ainsi la notion d’espace annelé qui est un espace muni d’un faisceau de fonctions qui
constitue l’analogue de la structure différentielle sur une variété différentielle (on peut en fait obtenir la structure différentielle à partir du faisceau des fonctions C ∞ sur une variété différentielle
et vice versa).
On commence par introduire la notion de faisceau de fonctions dans le cas qui va nous
intéresser (plus restrictive que la notion générale de faisceau mais qui suffira pour nos besoins)
Définition 3.5. On appelle faisceau de fonctions une famille F de k-algèbres unitaires indexée
par les ouverts de X vérifiant les conditions suivantes :
– Pour tout ouvert U de X, F(U ) est une sous-k-algèbre de F(U, k).
– Pour tous ouverts V ⊆ U , pour tout f ∈ F(U ), f|V ∈ F(V ).
[
Y
– Pour tout recouvrement ouvert X =
Xj de X et toute famille (fj )j∈J ∈
F(Xj , k),
j∈J

j∈J

si pour tous i, j ∈ J, on a fi|Xi ∩Xj = fj|Xi ∩Xj , alors il existe f ∈ F(X, k) tel que, pour
tout j ∈ J, f|Xj = fj .
On peut alors définir la notion d’espace annelé
Définition 3.6. On appelle espace annelé une paire (X, OX ) où X est un espace topologique et
OX un faisceau de fonctions sur X.
Exemple.
– Si X est un espace topologique, alors U 7→ C 0 (U, k) est un faisceau de fonctions sur X.
– Si X est une variété C n , alors U 7→ C n (U, k) est un faisceau de fonctions sur X.
On définit ensuite une notion de morphisme sur les espaces annelés :
Définition 3.7. On appelle morphisme d’espaces annelés de (X, OX ) vers (Y, OY ) toute application continue f : X → Y telle que, pour tout ouvert U de Y et tout g ∈ OY (U ), g ◦ f soit dans
OX (f −1 (U )).
On admet ensuite la proposition suivante (à la démonstration un peu laborieuse) qui montre
que les fonctions régulières sur un ensemble algébrique affine forment effectivement un faisceau :
Proposition-définition 3.2. Soit V un ensemble algébrique affine. Il existe un unique faisceau
de fonctions OV sur V tel que, pour tout f ∈ k[V ], OV (D(f )) = k[V ]f . V ainsi vu comme espace
annelé est appelé une variété affine.
Démonstration. On renvoie à Perrin [2] pour le détail de la démonstration. Celle-ci procède
en deux temps. Il s’agit dans un premier temps de montrer la propriété de recollement pour
les ouverts standards. La construction est semblable à un argument de partition de l’unité. La
propriété de recollement dans le cas général découle d’une propriété sur les faisceaux (à savoir que
la donnée de sections sur une base d’ouverts qui se recollent suffit pour obtenir un faisceau).
On peut enfin définir les variétés algébriques :
14

Définition 3.8. Une variété algébrique est un espace annelé (X, OX ) quasi-compact localement
isomorphe à une variété affine, autrement dit tel que, pour tout x ∈ X, il existe un voisinage
ouvert U de x tel que (U, OX|U ) est isomorphe à une variété affine (où pour tout ouvert V de
U , OX|U (V ) = OX (V )).
On définit également la notion de sous-variété :
Définition 3.9. Soit (V, OV ) une variété algébrique.
– Une sous-variété ouverte de V est un ouvert U muni du faisceau OV |U .
– Une sous-variété fermée de V est un fermé F muni du faisceau OF tel qu’une section
f ∈ OF (U ) au dessus d’un ouvert U de F soit une fonction f : U → k telle que pour
tout x de U , il existe un voisinage W de x dans V et une fonction g ∈ OX (W ) telle que
f|U ∩V = g|U ∩V .
– Une sous-variété de V est une sous-variété ouverte d’une sous-variété fermée de V .
On appelle ouvert affine de V une sous-variété ouverte de V isomorphe à une variété affine.
Exemple. X = k 2 \ {0, 0} est une sous-variété ouverte de k 2 mais n’est pas affine. En effet, soit
f une fonction régulière sur X = V (x) ∪ V (y). f|V (x) est une fonction régulière donc il existe
n ∈ N et un polynôme g ∈ k[x, y] tels que f = xgn . De même, f|V (y) est régulière donc il existe
m ∈ N et h ∈ k[x, y] tels que f = yhm . Ainsi, xn h = y m g donc xn divise g et donc f ∈ k[x, y].
Ainsi, l’anneau des fonctions régulières de X est égal à k[x, y]. Supposons que X est affine. Alors,
puisque l’inclusion i : X → k 2 induit un isomorphisme sur les anneaux de fonctions, on obtient
que i est un isomorphisme (puisqu’on a équivalence de catégories entre algèbres et ensembles
algébriques affines), ce qui est absurde.
3.1.4

Dimension

On va voir ici comment définir une notion de dimension satisfaisante sur les variétés algébriques. On va voir comment la définir sur les variétés affines puis on l’étendra aux variétés
générales.
Définition 3.10. Soit X un espace topologique. On appelle dimension de X et on note dim X
la borne supérieure des longueurs des chaines de fermés irréductibles F0 ( · · · ( Fn (on la prend
égale à +∞ s’il existe des chaines arbitrairement longues).
On obtient une inégalité entre la dimension d’un espace topologique et la dimension de ses
sous-espaces :
Proposition 3.7. Soit X un espace topologique et Y un sous-espace. On a dim Y ≤ dim X.
Démonstration. Soit F0 ( · · · ( Fn une chaine de fermés irréductibles de Y . On a une suite
croissante de fermés de X donnée par F0 ⊆ · · · ⊆ Fn . Ceux-ci sont distincts puisque pour tout i,
on a Fi = Y ∩ Fi . Ainsi n ≤ dim X.
On calcule facilement la dimension d’une variété affine grâce à la bijection V 7→ I(V ) entre
idéaux premiers et fermés irréductibles.
Proposition 3.8. Soit V une variété affine. On a dim V = dim k[V ] = deg tr k(V ) où la
dimension de k[V ] est entendue comme sa dimension de Krull et où k(V ) désigne le corps de
fractions de k[V ].
Pour la seconde égalité, on renvoie un nouvelle fois à [2].
On calcule ensuite la dimension d’une variété irréductible
15

Proposition 3.9. Soit X une variété algébrique irréductible et U un ouvert non vide de X. On
a dim X = dim U .
Démonstration. Si X est affine, alors U contient un ouvert standard D(f ). On a alors dim k[X]f ≤
dim U ≤ dim k[X], or k[X]f et k[X] ont le même corps de fractions, ce qui donne bien l’égalité
recherchée. En particulier, tous les ouverts affines ont la même dimension d (si U et V sont deux
ouverts affines de X, on a d’après ce qu’on vient de voir dim U = dim(U ∩ V ) = dim V ). Si
dim X > r, soit F0 ( · · · ( Fr+1 une chaine de fermés irréductibles de longueur r + 1 de X et
U un ouvert affine. F0 ∩ U ⊆ · · · ⊆ Fr+1 ∩ U . Toutes les inclusions sont strictes car Fi ∩ U = Fi
(adhérence prise dans X) pour tout i. On a ainsi exhibé une chaine de fermés de X de longueur
r + 1, ce qui est une contradiction.
Pour conclure, on voit que la dimension d’une variété est celle de sa plus grande composante
irréductible.
Proposition 3.10. Soit X un espace topologique s’écrivant comme réunion finie de fermés
n
[
X=
Fi . On a X = max dim Fi .
i=1

1≤i≤n

Puisque X est réunion d’un nombre fini de fermés irréductibles (X s’écrit comme réunion
n
[
finie d’ouverts affines X =
Xi , chaque Xi s’écrit comme réunion d’un nombre fini de fermés
i=1

irréductibles dont les adhérences sont des fermés de X), le résultat s’applique.
3.1.5

Propriétés locales

On définit ici les notions de point lisse et de point singulier dans le contexte des variétés
algébriques. On commence par définir la notion d’anneau local d’une variété en un point
Proposition-définition 3.3. Soit X une variété et x un point de X. On définit une relation
d’équivalence ∼ sur l’ensemble des couples (U, f ) où U est un voisinage ouvert de x et f ∈ OX (U )
définie par
(U, f ) ∼ (V, g) ⇔ Il existe un ouvert W ⊆ U ∩ V contenant x tel que f|W = g|W
On appelle ensemble des germes de fonctions au voisinage de x l’ensemble quotient OX,x . On
munit OX,x d’une structure d’anneau par
(U, f ) + (V, f ) = (U ∩ V, f|U ∩V + g|U ∩V )
(U, f )(V, f ) = (U ∩ V, f|U ∩V g|U ∩V )
Cet anneau est local d’idéal maximal mx = {(U, f )|f (x) = 0} (il découle de la définition que f (x)
ne dépend pas du choix de f et que l’écriture a bien un sens)
Démonstration. La démonstration du fait que les opérations sont bien définies se fait sans difficulté et on vérifie que l’anneau est local en se donnant (U, f ) tel que f (x) 6= 0. Quitte à réduire
l’ouvert, on peut choisir U affine (puisque les ouverts affines forment une base d’ouverts) et on
a alors x ∈ D(f ). Or f est inversible sur U ∩ D(f ) donc il existe g ∈ OX (U ∩ D(f )) tel que
f|U ∩D(f ) g = 1. Alors (U ∩ D(f ), f|U ∩D(f )) ) (U ∩ D(f ), g) = 1.

16

On définit ensuite la notion d’espace tangent à une variété affine (ceci n’est pas restrictif
puisque tout point d’une variété appartient un ouvert affine). La définition est encore une fois
inspirée par le calcul différentiel : Lorsqu’une sous-variété de Rn est définie au voisinage d’un
point x par les équations fi (x) = 0, 1 ≤ i ≤ r et est une submersion en x, l’espace tangent est le
noyau de la différentielle en x. On peut ici faire une définition semblable (puisque la différentielle
est définie de manière purement algébrique sur les polynômes), il faut ensuite en montrer le
caractère intrinsèque.
Proposition-définition 3.4. Soit V une variété algébrique affine et x un point de V . On
r
\
suppose qu’on a l’écriture I(V ) = (f1 , . . . , fr ). On note Tx (V ) =
ker dx fi l’espace tangent à
i=1

V en x. Cette définition ne dépend pas du choix des fi et, si mx est l’idéal maximal de k[V ] défini
par mx = ker evx (si x = (x1 , . . . , xn ), alors mx = (X1 − x1 , . . . , Xn − xn )), Tx (V ) s’identifie au
dual de l’espace vectoriel mx /m2x .
Définition. Notons que puisque k s’injecte dans k[V ] via les fonctions constantes, les idéaux
de k[V ] ont naturellement une structure de k-espace vectoriel. En particulier, on peut munir
mx /m2x d’une structure d’espace vectoriel quotient. Soit alors f dans mx et un polynôme F tel
que f = F|V . Alors on définit une forme linéaire sur Tx (V ) par dx f = dx F . En effet, celle-ci ne
dépend pas du choix de F puisque si G est dans I(V ), alors on peut écrire G = p1 f1 + · · · + pr fr
et donc dx G = p1 (x)dx f1 + · · · + pr (x)dx fr qui est nulle sur Tx (V ) par définition. L’application
dx : mx → Tx (V )∗ est linéaire de noyau m2x . En effet, si F est un polynôme nul en x tel que
Tx (V ) ⊆ ker dx F , alors on a dx F = λ1 dx f1 + · · · + λr dx fr . Ainsi F − (λ1 f1 + · · · + λr fr ) n’a pas
de composantes de degré 0 ou 1 et appartient donc à m2x . L’application est surjective puisqu’une
forme linéaire φ sur Tx (V ) peut être étendue en une forme linéaire Φ sur l’espace ambiant et que
φ = dx Φ
Définition 3.11. Soit V une variété affine irréductible. On dit qu’un point x de V est régulier si
dim Tx (V ) = dim k[V ]. Il est dit singulier sinon. Une variété est dite régulière si tous ses points
sont réguliers.
3.1.6

Applications rationnelles

On définit ici pour finir la notion d’application rationnelle, qui sont les applications dont les
coordonnées sont des fractions rationnelles ont on n’exige que d’être définies sur un ouvert, et
d’équivalence birationnelle qui est une notion d’équivalence plus faible que la notion d’isomorphisme, à savoir qu’on ne requiert l’isomorphisme que sur un ouvert dense.
Définition 3.12. Soient X et Y des variétés algébriques irréductibles. On définit une relation
d’équivalence ∼ sur les couples (U, f ) où U est un ouvert non vide de X et f : U → Y est la
restriction à U d’une application dont les composantes sont des fractions rationnelles sans pôles
sur U par (U, f ) ∼ (V, g) ⇔ f|U ∩V = g|U ∩V . On appelle application rationnelle de X vers Y une
classe d’équivalence pour ∼. On appelle domaine de définition d’une application rationnelle le
plus grand ouvert sur lequel est défini un de ses représentants.
On définit ensuite la notion d’équivalence birationnelle.
Proposition-définition 3.5. Soient X et Y deux variétés irréductibles.
1. Une application rationnelle f : X → Y est dite dominante si l’image d’un de ses représentants est dense.

17

2. On peut définir de manière naturelle la composée g ◦ f d’une application rationnelle dominante f par une application rationnelle f . Une composée d’applications rationnelles dominantes est une application dominante.
3. Une application rationnelle dominante f : X → Y est dite birationnelle s’il existe g : Y →
X rationnelle dominante telle que f ◦ g = idY et g ◦ f = idX . X et Y sont alors dites
birationnellement équivalentes.
Démonstration.
1. Soient (U, f ) et (V, g) deux représentants d’une même classe. On suppose
que f (U ) est dense dans Y . Alors, puisque U ∩ V est dense dans U et que f est continue,
f (U ∩ V ) est dense dans Y . Or f (U ∩ V ) = g(U ∩ V ) donc g(V ) est bien dense. La propriété
d’être dominant est donc bien définie.
2. Soient X, Y et Z des variétés irréductibles et f : X → Y et g : Y → Z des applications
rationnelles dominantes. Soient U et V des ouverts où f et g sont définies respectivement.
Quitte à restreindre U (en l’intersectant avec f −1 (V ) qui est un ouvert non vide car f
est dominant), on peut supposer que f (U ) ⊆ V . Alors on définit g ◦ f comme la classe
d’équivalence de (U, g ◦ f ). La seconde assertion découle toujours de la continuité de g et
f.
Enfin, on donne une caractérisation de l’équivalence birationnelle en termes de corps de
fonctions que l’on définit ci-après.
Proposition-définition 3.6. On appelle corps de fonctions d’une variété irréductible X et on
note k(X) l’ensemble des applications rationnelles de X dans k. On le munit de l’addition et de
la multiplication comme on l’imagine :
(U, f ) + (V, g) = (U ∩ V, f + g)
(U, f ) · (V, g) = (U ∩ V, f + g)
k(X) muni de ces opérations acquiert une structure de corps.
Démonstration. On se convainc sans problème du fait que les opérations définies munissent bien
k(X) d’une structure d’anneau. Pour montrer que c’est un corps, il suffit de noter que si f est
une application rationnelle définie sur U à valeurs dans k non nulle, alors D(f ) est non vide donc
dense et que f|U ∩D(f ) est inversible.
On a une caractérisation très simple du corps de fonctions
Proposition 3.11. Soient X une variété irréductible et U un ouvert affine non-vide de X. On
a k(X) = Frac(k[U ]).
Démonstration. Notons que k[U ] s’injecte dans k(X) via f 7→ (U, f ) donc il est intègre et on
a l’inclusion Frac(k[U ]) ⊆ k(X). Réciproquement, soit f : X → k une application rationnelle
définie sur un ouvert W , que l’on peut supposer standard inclus dans U , disons W = D(g) avec
g ∈ k[U ]. Alors, on peut écrire f = g n pq avec n ∈ Z, p, q ∈ k[x1 , . . . , xn ] et q ne s’annulant pas
sur W . f est donc un quotient de fonctions régulières sur U .
La proposition suivante montre que l’on a une co-équivalence de catégories entre extensions
de type fini de k et variétés algébriques irréductibles (dont on prend pour morphismes les applications rationnelles dominantes).

18

Proposition 3.12.
1. Toute extension de type fini de k est isomorphe à un corps de fonctions.
2. Toute application rationnelle dominante f : X → Y induit un morphisme de corps
f∗ :

k(Y ) → k(X)
g
7→ g ◦ f

de sorte que pour deux applications dominantes f : X → Y et g : Y → Z, on a (g ◦ f )∗ =
f ∗ ◦ g ∗ et id∗X = idk(X)
3. L’application

Hom(X, Y ) → Hom(K(Y ), K(X))
est bijective.
f
7→
f∗

Démonstration.
1. Soit K = k(α1 , . . . , αn ) une extension de type fini de k. La k-algèbre k[α1 , . . . , αn ] est intègre donc est l’algèbre des fonctions régulières sur une variété algébrique affine irréductible
V . On a alors K = Frac(k[V ]) = k(V ).
2. Clair
3. Même démonstration que pour les variétés affines, si f : X → Y est une application
dominante, soit x dans son domaine de définition et y = f (x). Si on se donne un voisinage
affine V de Y et un ouvert U affine de X ∩ f −1 (V ), on est ramené à la situation où X et
Y sont affines. Si on a X ⊂ k n et Y ⊂ k m , alors on écrit f = f ∗ (p1 , . . . , pm ) où les pi sont
les applications coordonnées de k m .
En particulier, deux variétés irréductibles sont birationnellement équivalentes si et seulement
si leurs corps de fonctions le sont. Étant donné une extension de type fini K/k, on appelle modèle
de K toute variété irréductible X telle que K = k(X).

3.2
3.2.1

Résolution des singularités des surfaces en caractéristique zéro
Uniformisation locale

On cherche ici à trouver un modèle régulier pour tout corps de fonction K sur un corps k
algébriquement clos de caractéristique zéro et de degré de transcendance 2. La résolution du
problème par Zariski procède en deux temps. Dans un premier temps, il montre que pour toute
valuation de dimension zéro de l’extension K/k (c’est à dire toute valuation de K triviale sur k),
il existe un modèle X de K tel que le centre de la valuation est non-singulier. C’est le théorème
d’uniformisation locale.
On remarque qu’en caractéristique zéro, on peut se contenter de travailler avec des variétés
affines.
Proposition 3.13. Soit K un corps de fonctions de degré de transcendance n sur un corps
algébriquement clos de caractéristique zéro. K est le corps de fonctions d’une hypersurface de
k n+1 .
Démonstration. On dispose d’une base de transcendance de K sur k, disons (x1 , . . . , xn ). Alors
K est algébrique sur k(x1 , . . . , xn ) et de type fini donc est une extension finie de k(x1 , . . . , xn ).
Puisque k est de caractéristique nulle, il existe par le théorème de l’élément primitif un élément xn+1 tel que K = k(x1 , . . . , xn )(xn+1 ). En notant P le polynôme minimal de xn+1 sur
k(x1 , . . . , xn ), pris à coefficients dans k[x1 , . . . , xn ], K est le corps de fonctions de l’hypersurface
d’équation P (x1 , . . . , xn+1 ) = 0 dans k n+1 .
19

On commence donc par définir le centre d’une valuation sur une variété affine
Définition 3.13. Soit X une variété affine irréductible et ν une valuation de k(X)/k. On dit
que ν a un centre sur X si k[X] ⊆ Aν . Dans ce cas, on appelle centre de ν sur X la sous-variété
définie par l’idéal k[X] ∩ max(Aν ).
On va ensuite démontrer le théorème d’uniformisation locale de Zariski sur les surfaces. Il
s’agit de montrer que, pour toute valuation de dimension zéro d’un corps de fonctions K de degré
de transcendance 2, on peut construire un modèle tel que le centre de la valuation soit un point
lisse.
On commence donc par lister les types possibles de valuations ν de dimension zéro sur un
corps de fonctions de degré de transcendance 2 grâce à la proposition 2.10. Notons que pour une
telle valuation, le corps résiduel κν est algébrique sur k donc égal à k.
– Si rg rat ν = 1, alors le groupe de valeurs Γ de ν est un sous-groupe de Q. On distingue
alors deux cas.
– Si Γ est discret, alors on peut supposer Γ = Z. Soit alors t un élément de K de valuation
1. Puisque κν = k, on
dispose pour tout x 6= 0 d’un unique a0 ∈ k et d’un unique n0 ∈ Z
x
tels que ν n0 − a0 > 0. On a ainsi x = a0 tn0 + x1 avec ν(x1 ) > ν(x). On applique
t
alors ce qui précède à x1 . On obtient ainsi un développement de x en sérieX
de Laurent
n0
n1
aj tnj est
x = a0 t + a1 t + . . . avec a0 6= 0 et n0 < n1 < . . . L’application φ : x 7→
j≥0

alors un morphisme d’anneaux injectif de K dans k((t)). On considère alors un modèle
de K sur lequel ν a un centre, par exemple en prenant une base de transcendance (x, y)
de K telle que ν(x) > 0 et ν(y) > 0 et en prenant l’élément prmitif z tel que k(x, y, z)
de sorte que ν(z) > 0. Alors si P est un polynôme minimal de z sur k(x, y) à coefficients
dans k[x, y], la surface S de k 3 d’équation P (x, y, z) = 0 est un modèle de P
K sur lequel ν
est centrée en (0, 0, 0). On développe x, y et z comme vu plus haut φ(x) = k≥0 aj,1 tnj,1 ,
et ainsi de suite (on a ni,0 > 0 par hypothèse). Alors la valuation d’une fonction f ∈ K
peut être pensée comme l’ordre d’intersectionen (0, 0, 0) entre la courbe d’équation

X
X
X
f (x, y, z) = 0 tracée sur S et "l’arc paramétré" 
aj,1 tnj,1 ,
aj,2 tnj,2 ,
aj,3 tnj,3 
j≥0

j≥0

j≥0

– Si Γ n’est pas discret, il contient des éléments arbitrairement proches de 0. On peut
supposer sans perte de généralité qu’il contient 1. Indexons l’ensemble des nombres premiers divisant l’un des dénominateurs des éléments de Γ, disons par (pi )1≤i≤N avec
N ∈ N∗ ∪ {+∞} et soit pour tout i, ni la plus grande puissance de pi divisant un dénominateur d’un élément de Γ. Alors, Γ est l’ensemble des rationnels dont le dénominateur
s’écrit pn1 1 pn2 2 . . . où la suite (ni ) est presque nulle et où on a 0 ≤ ni ≤ Ni . En effet,
si x ∈ Γ s’écrit ab avec a et b premiers entre eux, alors 1b ∈ Γ. En effet par Bezout, on
dispose d’entiers u, v tels que au + bv = 1. Alors 1b = v + ux ∈ Γ. Ainsi Γ contient tous
0
les p1ni avec 0 ≤ ni ≤ Ni . On remarque ensuite que si uv et uv0 sont des éléments de Γ
i

sous forme réduite tels que v et v 0 sont premiers entre eux, on a vu que v1 et v10 sont dans
0
1
Γ. Si w et w0 vérifient vw0 + v 0 w = 1, on a vw
= wv + wv0 ∈ Γ.
– Si rg rat ν = 2 et rg ν = 1, alors Γ est un sous-groupe de R engendré par deux éléments
linéairement indépendants sur Q qu’on peut supposer sans perte de généralité être 1 et un
irrationnel τ > 0. Soient x et P
y tels que ν(x) = 1 et ν(y) = τ . x et y sont algébriquement
indépendants puisque si P = i,j ai,j xi y j , on a ν(P (x, y)) ≤ min{i + jτ |ai,j 6= 0}. On a
l’égalité car le minimum atteint pour un unique couple puisque l’ensemble des couples tels
que ai,j 6= 0 est non nul et car (1, τ ) est libre. Ainsi, si P 6= 0, ν(P (x, y)) < ∞. K est donc
20

une extension algébrique de k(x, y).
– Si rg ν = 2, alors Γ est discret de rang 2 (c’est le cas d’égalité de la proposition 2.10). La
valuation ν est donc de la forme ν = ν 0 ◦ ν¯ avec ν 0 une valuation discrète de rang 1 de
ν de dimension 1 et ν¯ une valuation discrète de rang 1 du corps résiduel κ0 de ν 0 . Soit S
un modèle où ν a un centre. Soit A = k[S]. Par lemme de normalisation de Noether, il
existe x et y algébriquement indépendants dans A tels que A est entière sur k[x, y]. Soit
B la clôture intégrale de A. B est également de type fini et a pour corps de fractions K.
¯ ν 0 également. L’idéal p0 de
Soit S¯ la surface de k 3 associée. Puisque ν a un centre sur S,
0
B associé au centre de ν est de hauteur 1. En effet, il n’est pas réduit à {0} et n’est pas
de hauteur 2, sinon il serait maximal donc égal à l’idéal associé au centre de ν. On aurait
alors max(Aν ) = max(Aν 0 ). L’anneau local Bp0 est alors égal à A0 car local, noethérien,
intégralement clos et de hauteur 1. Notons u un générateur de l’idéal maximal de A0 .
Au vu de la hauteur de p0 , le centre de ν 0 sur S est une courbe algébrique C sur laquelle
se trouve le centre de ν et on a k(C) = κ0 . ν¯ est donc une valuation sur la courbe C. On
peut alors caractériser la valuation ν comme suit : toute fonction f ∈ K s’écrit f = un ab
¯ non divisibles par u. Alors ν(f ) = (n, ν¯( a )).
avec n ∈ Z et a, b ∈ k[S]
b
On démontre ensuite le théorème d’uniformisation locale des valuations de dimension zéro :
Théorème 3.1. Soit ν une valuation de dimension zéro d’une extension K/k où k est algébriquement clos de caractéristique zéro de degré de transcendance 2. Il existe un modèle S de K tel
que ν ait un centre lisse sur S.
Démonstration. La démonstration dans chaque cas procède de la même manière : On considère
dans un premier temps un modèle affine S passant par l’origine O sur lequel ν est centrée en O
que l’on suppose singulier.
On construit ensuite une surface S 0 passant également par O telle que ν soit centrée en O et
un morphisme birationnel S 0 → S (la construction du morphisme est une des étapes délicates
qui dépend de la forme de la valuation).
Enfin, on montre en examinant attentivement la nouvelle équation de la surface qu’en effectuant un nombre fini de ces transformations, on arrive à un nouveau modèle pour lequel l’ordre
d’annulation de f en O a diminué strictement, ce qui prouve le résultat.
On montrera pour l’exemple le cas où rg ν = 1 et rg rat ν = 2 (les autres cas sont traités dans
[5])
Comme on l’a vu, on peut écrire Γ = Z ⊕ Zτ avec τ > 0 irrationnel. Alors en se donnant
x et y tels que ν(x) = 1 et ν(y) = τ , on dispose de z algébrique sur K(x, y) tel que ν(z) > 0
et K = k(x, y, z). Alors en prenant un polynôme minimal P de z sur k(x, y) à coefficients dans
k[x, y], la surface S définie par P dans k 3 est un X
modèle de K et ν est centrée en l’origine.
En particulier, on a P (0, 0, 0) = 0. On écrit P =
ai,j,k xi y j wk . Puisque P (x, y, z) = 0, la
i,j,k

valeur minimale de ν(xi y j z k ) est atteinte en au moins deux monômes. Notons ces monômes
ari ,si ,ti xri y si z ti pour 1 ≤ i ≤ d et leur valuation commune M + N τ . On note que, puisque 1 et
τ sont indépendants sur Q, si ν(xri y si z ti ) = ν(xrj y sj z tj ) avec i 6= j, alors on a ti 6= tj . On peut
donc supposer que les ti sont rangés par ordre croissant t1 < · · · < td . En posant ν(z) = u + vτ ,
on a
M = r1 + vt1 = . . . = rd + utd
N = s1 + vt1 = . . . = sd + vtd
On note les autres monômes ari ,si ,ti xri y si z tj avec d + 1 ≤ j ≤ D et on a donc (ri + uti ) + (si +
vti )τ > M + N τ pour i ≤ d + 1. On peut supposer que P (0, 0, z) n’est pas le polynôme nul.
PQ
Alors on écrit P (0, 0, z) = i=q a0,0,i z i avec a0,0,q 6= 0. Si q = 1, alors O est un point régulier
21

de S (en effet, on a alors ∂P
∂z P (0, 0, 0) = a0,0,1 6= 0). Ainsi, on suppose q > 1. De plus, puisque
ν(z q ) ≥ ν(xrd y sd z td ), on a q ≥ td .
On construit ensuite une surface S1 et un morphisme birationnel S1 → S dont on veut
montrer qu’elle fait diminuer strictement l’ordre de multiplicité de O. Puisque τ est irrationnel,
il admet un développement illimité en fraction continue
1

τ = h1 +

1

h2 +

h3 +
On note

1
...


fi
gi

la suite de ses convergentes (sous forme réduite). On a à partir d’un certain rang,
fq
fq
disons p − 1, l’inégalité (ri + uti ) + (si + vti )
> M +N
pour tout i entre d + 1 et D et
gq
gq
q ≥ p − 1. On effectue un changement de variables dans l’équation de la surface :
g

g

f

f

x = x1p y1p−1 , y = x1p y1p−1 , z = xu y v (z1 + c)


z
où c est l’unique élément de k ∗ tel que ν

c
> 0. Ce morphisme est effectivement
xu y v
birationnel puisqu’on peut écrire
z1 =

z
− c, x1 =
xu y v



xfp−1
y gp−1

(−1)p−1


, y1 =

xfp
y gp

(−1)p



fi
> 0,
En effet, les convergentes vérifient ∀i > 1, fi−1 gi − fi gi−1 = (−1)i−1 et (−1)i−1 τ −
gi
ce qui donne ν(x1 ) = (−1)p−1 (fp−1 − τ gp−1 ) > 0 et ν(y1 ) = (−1)p (fp − gp τ ) > 0.
Ainsi, ν est encore centrée en O sur la surface S1 et l’équation de S devient
D
X

(r +uti )gp +(si +vti )fp (ri +vti )gp−1 +(si +vti )fp−1
y1
(z1

ari ,si ,ti x1 i

+ c)ti = 0

i=1
M g +N f

Mg

+N f

p
p−1
On voit que les termes où 1 ≤ i ≤ d sont de la forme x1 p
y1 p−1
(z1 + c)ti alors
αi βi
ti
que ceux où i ≥ d + 1 sont de la forme x1 y1 (z1 + c) avec αi > M gp + N fp , βi > M gp−1 +
M g +N fp M gp−1 +N fp−1
N fp−1 . Ainsi, tous les termes se factorisent par x1 p
y1
et que c’est le plus grand
monôme divisant le polynôme. On écrit donc

M gp +N fp M gp−1 +N fp−1
y1
P1 (x1 , y1 , z1 )

P (x, y, z) = x1

La nouvelle surface a donc pour équation P1 (x1 , y1 , z1 ) = 0 et on peut écrire au vu du calcul
précédent
d
X
P1 (x1 , y1 , z1 ) = (z1 + c)t1
ari ,si ,ti (z1 + c)ti −t1 +x1 y1 g(x1 , y1 , z1 )
i=1

|

{z

h(z1 +c)

}

Puisque ν est centrée en O, on a f1 (0, 0, 0) = 0. Puisque c 6= 0, on a h(c) = 0. Soit m1 la
multiplicité de c comme racine de h. Puisque h est de degré td − t1 , on a q1 ≤ td − t1 ≤ q. Si
q1 < q, on a montré ce qu’on voulait, à savoir que l’ordre de multiplicité de P (0, 0, z) décroit
22

strictement. Sinon, il faut montrer qu’en un nombre fini d’étapes on arrive au résultat.
Or, si q1 = q, alors t1 = 0, td = q et on peut écrire h(u) = a(u − c)q . Alors la somme des termes
d
X
M g +N fp M gp−1 +N fp−1 q
de plus petite valuation de f (x, y, z) s’écrit
ari ,si ,ti xri y si z ti = ax1 p
y1
z1 .
i=1

xM y N
Ce qui s’écrit a qu qv (z − cxu y v )q = axrd y sd (z − cxu y v )q . En identifiant les deux sommes
x y
q
d
X
X
q
ri si ti
rd sd
(−1)q−i z i (xu y v )q−i , on voit que t0 = 0, . . . , td = r. Ainsi,
ari ,si ,ti x y z = ax y
i
i=0
i=1
ν(z q ) = ν(z q−1 xu y v ) donc ν(z) = u + vτ avec u, v ≥ 0.
Ainsi, si la multiplicité de 0 comme racine de P (0, 0, z) ne décroit pas, on peut écrire ν(z) =
u + vτ avec u, v ≥ 0. Il existe alors un unique c tel que ν(z − cxu y v ) > ν(z). On pose
z = cxu y v + z [1] , ν(z1 ) > ν(z)
On définit alors un polynôme P [1] par P (x, y, z) = P (x, y, z [1] + cxu y v ) = P [1] (x, y, z [1] ). Alors
0 est aussi une racine d’ordre q de P1 (0, 0, z [1] ). On peut appliquer la transformation vue précédemment à la surface définie par P1 . Si la multiplicité ne diminue toujours pas, on a une unique
écriture
z [1] = c1 xu1 y v1 + z [2] , ν(z [2] ) > ν(z [1] )
Supposons que l’on puisse poursuivre ainsi un nombre infini de fois sans faire décroitre la multiplicité. Alors, on a une suite de surfaces d’équation P [i] (x, y, z [i] ) = 0 avec pour tout i
z [i] = ci xui y vi + z [i+1] , ν(z [i+1] ) = ui+1 + vi+1 τ > ν(z [i] ) = ui + vi τ
Or, on a pour tout i par définition P [i+1] (x, y, z [i+1] ) = P [i] (x, y, z [i] ). Ainsi
∂P [i+1]
∂P [i]
=
∂z [i]
∂z [i+1]
Puisque dans chaque P [i] , l’un des termes de valuation minimum est divisible par (z [i] )q , on a

ν

∂P [i]
∂z [i]



≥ (q − 1)ν(z [i] ) ≥ ν(z [i] )

Ainsi, la suite (ν(z [i] ) est bornée, ce qui est une contradiction. Il existe donc un modèle tel que
la multiplicité de 0 comme racine de P [i] (0, 0, z [i] ) est strictement inférieure à celle de P (0, 0, z),
ce qui conclut (en effet, en un nombre fini d’étapes, on arrive à une multiplicité de 1, ce qui
implique que O est alors régulier).
3.2.2

Espace de Riemann-Zariski

On introduit ici l’espace de Riemann-Zariski d’une extension de corps K/k, défini comme
l’espace des valuations de l’extension K/k (c’est à dire les valuations de K triviales sur k).
Définition 3.14. Soit K/k une extension de corps. On définit l’espace de Riemann-Zariski
S(K/k) comme étant l’ensemble des valuations ν de K triviales sur k.
On définit ensuite une topologie (dite de Zariski) sur l’espace de Riemann-Zariski :

23

Proposition 3.14. Soit A une sous-k-algèbre de K de type fini.
On pose E(A) = {ν ∈ S(K/k)|Aν ⊆ A} = {ν ∈ S(K/k)|∀x ∈ A, ν(x) ≥ 0}.
Les E(A) où A parcourt l’ensemble des sous-k-algèbres de type fini de K forment la base d’une
topologie sur S(K/k).
Démonstration. On a S(K/k) = E(k) et, si A et B sont deux sous-k-algèbres de type fini de K,
on a E(A) ∩ E(B) = E(hA, Bi) (où hA, Bi est l’algèbre engendrée par A et B).
On montre ensuite que l’espace de Riemann-Zariski a la propriété remarquable d’être quasicompact.
Proposition 3.15. L’espace de Riemann-Zariski est quasi-compact.
Démonstration. On commence par remarquer qu’une valuation est caractérisée par son anneau
et qu’il suffit donc pour caractériser une valuation de connaitre son signe en chaque point. On
considère ainsi φ : S(K/k) → {+, 0, −}K qui à ν associe φν : K → {+, 0, −} qui à x ∈ K associe
0 si ν(x) = 0 et le signe de ν(x) sinon. Cette application est injective d’après la proposition 1.1.
On va ensuite munir {+, 0, −}K d’une topologie qui fasse de cette application un plongement :
On munit {+, 0, −} de la topologie {∅, {0, +}, {+, 0, −}} et {+, 0, −}K de la topologie produit τ .
La topologie produit sur {+, 0, −}K est donc engendrée par les intersections finies d’ensembles
de la forme {f : K → {+, 0, −}|f (x) ∈ {+, 0}} . La topologie induite sur φ(S(K/k)) est donc
engendrée par les {φν |∀i ∈ [[1, n]], φν (xi ) ≥ 0} = φ(E(k[x1 , . . . , xn ])) pour n parcourant N et
les xi parcourant K. φ est donc un homéomorphisme sur son image. On peut ainsi voir S(K/k)
comme un sous-espace de ({+, 0, −}K , τ ).
On montre ensuite la quasi-compacité en munissant {+, 0, −}K de la topologie produit τ 0 associée
à la topologie discrète sur {+, 0, −}. En effet, par Tychonoff, {+, 0, −}K est compact. Il suffit
alors de montrer que S(K/k) est un fermé et donc un compact pour cette topologie plus fine que
la première. On obtiendra alors la quasi-compacité pour la première topologie.
Or, f : {+, 0, −} → K est dans S(K/k) si et seulement si l’ensemble A = f −1 ({0, +}) est un
anneau de valuation de K contenant k, c’est à dire s’il contient k, est stable par somme et produit
(ce qui peut s’écrire, ∀x, y ∈ K, x 6∈ A ou y 6∈ A ou xy ∈ A), et si pour tout x de K, on a soit
f (x) ≥ 0, soit f (x−1 ) > 0. Ceci se récrit en notant πx : f 7→ f (x) et
!
\
−1
S(K/k) =
πx ({0, +}) ∩
x∈k


\





−1
−1
πx−1 ({−}) ∪ πy−1 ({−}) ∪ πx+y
({0, +}) ∩ πx−1 ({−}) ∪ πy−1 ({−}) ∪ πxy
({0, +})  ∩

x,y∈K

!
\

(πx−1 ({0, +}) ∪ πx−1
−1 ({+}))

x∈K

qui est une intersection de fermés.
Notons S0 (K/k) l’ensemble des valuations de dimension zéro de l’extension. Alors S0 (K/k)
est l’ensemble des points fermés de l’espace de Riemann-Zariski et est donc également quasicompact. En effet, pour toute valuation ν, {ν} est l’ensemble des valuations composées ν ◦ ν¯ avec
ν¯ une valuation de κν /k. On a donc {ν} = {ν} si et seulement si ν est de dimension zéro.
On a ensuite la proposition suivante que l’on ne démontrera pas ici :
Proposition 3.16. Soit X un modèle de K. L’ensemble des valuations de dimension zéro qui
ont un centre régulier sur X est un ouvert de l’espace S0 (K/k).
24

Pour finir la démonstration, on remarque dans un premier temps que par uniformisation
locale, toute valuation ν de dimension zéro admet un modèle Sν dans lequel elle a un centre
non-singulier. On note ensuite Xν l’ouvert des valuations de dimension zéro qui ont un centre
régulier sur Sν . Les Xν forment un recouvrement ouvert de S0 (K/k). On peut en extraire un
recouvrement fini par quasi-compacité : S0 (K/k) = X1 ∪ · · · ∪ Xn . On a donc une famille finie
de modèles S1 , . . . , Sn telle que toute valuation de dimension zéro a un centre régulier sur l’un
des Si .
La conclusion découle alors d’un théorème de recollement et d’une récurrence (démontré dans
[6])
Théorème 3.2. Soit N ⊂ S0 (K/k) une partie quelconque. S’il existe deux modèles de K tels
que pour toute valuation de N ait un centre régulier sur l’un des deux modèles, alors il existe un
modèle S de K tel que toute valuation de N ait un centre régulier sur S.
On obtient alors un modèle S de K sur lequel toute valuation de dimension zéro a un centre
régulier, or tout point de S est le centre d’une valuation : Si x est dans S, l’anneau local OS,x
est dominé par un anneau de valuation A du corps de fonctions de S. Alors la valuation associée
à A est centrée en S. Ainsi S est une surface régulière.

25

Bibliographie
[1] N. Bourbaki. Algèbre commutative, Chapitres 5 à 7. 1975.
[2] D. Perrin. Géométrie algébrique : Une introduction. 1995.
[3] I. Shafarevich. Basic Algebraic Geometry 1 : Varieties in Projective Space. 3rd edition, 2013.
[4] M. Vaquié. Valuations and local uniformization. In Advanced Studies in Pure Mathematics,
volume 43, pages 477–528. 2004.
[5] O. Zariski. The reduction of the singularities of an algebraic surface. Annals of Mathematics,
40(3) :639–689, 1939.
[6] O. Zariski. A simplified proof for the resolution of singularities of an algebraic surface. Annals
of Mathematics, 43(3) :583–593, 1942.
[7] P. Samuel, O. Zariski. Algèbre commutative. 1960.

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