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Titre: I-1 Systèmes
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UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI

FACULTE DES SCIENCES D’ EL JADIDA

COURS DE THERMODYNAMIQUE

MODULE : PHYSIQUE 1

PROFESSEUR : S. SAHNOUN

PROFESSEUR SAHNOUN

2012-2013

CHAPITRE I : DEFINITIONS - GENERALITES
Préliminaire mathématique
Soit f = f(x,y) une fonction de 2 variables.
 ∂f 
∂f 
 dx +   dy ou δf = Pdx + Qdy
 ∂x  y
 ∂y  x

Sa différentielle est δf = 

∂f
Avec   est la dérivée de la fonction f par rapport à x en considérant y
 ∂x  y

comme constante et
 ∂f 
  est la dérivée de la fonction f par rapport à y en considérant x comme
 ∂y  x

constante.

 ∂Q 
∂P
δF sera une différentielle totale exacte si   =   c-à-d
 ∂x 

 ∂y 

 ∂  ∂f    ∂  ∂f  
    =    
 ∂x  ∂y  x   ∂y  ∂x  y 

Remarque : par convention : df : différentielle totale exacte, δf : forme
différentielle quelconque
- f 1 (x,y) = x(y+x2) , calculer la différentielle δf
 ∂f 
∂f
Réponse : on a   = (y + 3x2 ) et   =x
 ∂y  x

 ∂x  y

donc δf 1 = (y+3x2 )dx + xdy

est ce que δf 1 est elle exacte
∂  ∂f 
  =1
∂x  ∂y 

∂  ∂f 
  =1
∂y  ∂x 

et

soit δf =(2x + y) dx + (y3+ 2x) dy est elle exacte ?
Réponse :
-

1

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On a

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∂  ∂f 
  =2
∂x  ∂y 

∂  ∂f 
  =1
∂y  ∂x 

et

Donc elle n’est pas exacte
EXERCICES
-

Soit la fonction P(V , T ) =

nRT
V

Calculez la forme différentielle de la pression δP =
une différentielle totale exacte ?

∂P
∂P
)V dT +
)T dV ? est elle
∂V
∂T

On calcule Les dérivées partielles de P

nRT
∂P
∂P
nR
;
) T = − 2 donc
)V =
∂V
∂T
V
V
∂P
∂P
δP =
)V dT +
)T dV d’où
∂V
∂T
nRT
nR
δP =
dT − 2 dV
V
V

Montrons si elle est exacte

∂ ∂P
( )T )V
∂T ∂V

On calcul les dérivées mixtes :
On trouve que

et

∂ ∂P
( )V )T
∂V ∂T

nR
nR
∂ ∂P
∂ ∂P
( ) T )V = − 2 et
( )V ) T = − 2 donc elle est une
∂T ∂V
∂V ∂T
V
V

différentielle totale exacte

-

Soit δf = y(1 + 2x) dx + x(1 + x) dy

Rep :
 ∂f 
∂f
On a   = y(1 + 2x) et   = x(1 + x)

 ∂x  x

 ∂y  x

∂  ∂f 
∂  ∂f 
  = (1 + 2x)
  = (1 + 2x) et
∂x  ∂y 
∂y  ∂x 

donc δf est une différentielle totale

exacte et

df= y(1 + 2x) dx + x(1 + x) dy
2

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Calculons sa primitive F(x,y)
 ∂f 
∂f
Posons   = y(1 + 2x) et   = x(1 + x) (2) on aura alors f(x,y)

 ∂x  x

 ∂y  x

 ∂f 
f ( x, y ) = ∫   dx + g ( y ) = y ( x + x 2 ) + g ( y ) (3)
 ∂x  x
Calculons g(y) à partir de (2) et (3) on obtient :
 ∂( y( x + x 2 ) + g ( y) 
 ∂F ( x, y ) 
 = ( x + x 2 ) + g ' ( y ) = x(1 + x) + g ' ( y ) d’où g(y)=Cste
 = 

∂y
 ∂y  x 
x

Conclusions f(x,y) = y(x+x2) + Cste
Exercices
* Intégrer les formes différentielles suivantes si elles sont exactes :

δf = (4x + xy2) dx + (x2y - 1 + y3) dy

δg =

x
dx + ( y − 1)dy
1 + y2

* Les coefficient thermoélastiques d’ un fluide homogène sont
1) α p =

1 ∂V
) P :c’est le coefficient de dilatation isobare .il représente la
V ∂T

variation relative du volume du fluide par degré de variation de sa
température
L’unité de α p : kelvin −1
2) χ T = −

1 ∂V
) T : c’est le coefficient de compressibilité isotherme. Il représente
V ∂P

au signe – près la variation relative du volume du fluide par unité de variation
de sa pression .
L’unité de χT : pascal −1

3

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3) βV =

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1 ∂P
)V : c’est le coefficient d’augmentation de pression isochore .il
P ∂T

représente la variation relative de la pression du fluide par degré de variation
de sa température
L’unité de βV : kelvin −1

1°) Calculer les coefficients thermoélastiques du gaz parfait c à d :

∂p
α = 1 (∂V ) P , β = 1 ( )V , χ T =− 1 (∂V ) T .
p ∂T
V ∂p
V ∂T
2°) Vérifier que : α=βpχ T
3°) Montrer que les coefficients α et χT vérifient toujours la relation :
 ∂α 
 ∂χ T 
  = -
 ∂T p .
 ∂p T

4°) A partir des valeurs de α et β, essayez de retrouvez l’équation du
Gaz parfait PV= nRT. (On effectue le calcul inverse car les données
expérimentales sont les coefficients thermoélastiques).

Rép : 1°) α=β=1/T et χ T =1/p 2°) pβχ T =α 3°) PV/T=cste=nR
Exercice : Construction d’une équation d’état à partir des coefficients
thermoélastiques.
On définit le coefficient de dilatation isobare α et le coefficient de
compressibilité isotherme χ T par :

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α=

1
V

 ∂V 


 ∂T  P

1 ∂V
et χT = −  

V  ∂P T

1) Que valent ces coefficients pour un gaz parfait ?
2) Les coefficients α et χ T d’un gaz réel ont été mesurés et trouvés de la
forme :

α=

A
AT + BP

χT =

1
B

P AT + BP

Où A et B sont des constantes propres au gaz considéré.
a. Quelle est l’équation d’état à laquelle obéit ce gaz ?
b. Comment s’écrirait cette équation à très haute température et très faible
pression ?
DEVOIR
-

L’expression de la pression d’un gaz réel est donnée
par : P(V .T ) =

-

nRT
n2a
− 2
V − nb V

Intégrer sa forme différentielle si elle est exacte ?

* Relation entre les dérivées partielles :
Soit la fonction z à deux variables x et y
z=z(x,y)

y=y(x,z)

x=x(y,z) leurs différentielles totales exactes sont :
5

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dx =

∂x
∂x
) z dy + ) y dz
∂z
∂y

1

dy =

∂y
∂y
) z dx + ) x dz
∂z
∂x

2

dz =

∂z
∂z
) y dx + ) x dy
∂y
∂x

3

En injectant 1 dans 3, on trouve :

dz =

∂z ∂x
∂z ∂x
∂z
) y . ) z dy + ) y ) y dz + ) x dy
∂x ∂y
∂x ∂z
∂y

dz −

∂z ∂x
∂z ∂x
∂z
) y ) y dz = ) y . ) z dy + ) x dy
∂x ∂z
∂x ∂y
∂y

[1 − (

∂z
∂z ∂x
∂z ∂x
) y ) y ]dz = [ ) y . ) z + ) x ]dy
∂y
∂x ∂y
∂x ∂z

dz et dy sont des application indépendante , alors pour que la relation
précédente soit vrai il faut que

1− (

∂z ∂x
)y )y = 0
∂x ∂z

1
∂z
)y =
∂x
∂x
)y
∂z

4

∂z
∂z ∂x
) y . ) z + ) x =0
∂y
∂x ∂y

∂z ∂x
∂z
)y )z = − )x
∂x ∂y
∂y

En injectant 2 dans 3, on trouve :

6

5

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1
∂z
)x =
∂y
∂y
)x
∂z

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6

En injectant 6 dans 5, on trouve :
1
∂z
∂z ∂x
)y )z = − )x =
∂y
∂y
∂x ∂y
)x
∂z

∂x ∂y
∂z
)z
)x
) y = −1
∂y
∂z
∂x

7

* Application:
Déterminons la relation entre les coefficients thermoélastiques :
D’après la relation 7 on écrit :
∂P ∂T ∂V
)V
)P
) T = −1
∂T ∂V ∂P

βV P =

∂P
)V
∂T

− χTV =

∂V
)T
∂P

1
∂T
=
)
α pV ∂V P

En remplaçant chaque dérivée partielle par son expression on trouve :
− β V Pχ T V

1
= −1
α pV

βV Pχ T = α p La relation qui existe entre les coefficients thermoélastiques d’un

fluide

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1. Introduction

La thermodynamique est la science des échanges
d'énergie entre les systèmes, ou entre les systèmes et le
milieu extérieur, lors de transformations de la matière.
du grec Thermos: chaud
du grec Dunamis: puissance
La thermodynamique a pour objet principal l'étude des
phénomènes mécaniques (travail, pression,...) couplés
aux phénomènes thermiques (chaleur,
température,...), tous deux considérés du point de vue
macroscopique. Elle est née au XIXème siècle de la nécessité de
comprendre le fonctionnement des machines thermiques produites au début
de l'ère industrielle. En raison du caractère universel des principes produits
par la thermodynamique, celle-ci a par la suite dépassé le cadre strict de
l'étude des machines, pour toucher tous les domaines de la physique dans
lesquels la chaleur joue un rôle (électromagnétisme, optique,..), ainsi que
d'autres disciplines scientifiques (chimie, biologie,...).
La thermodynamique est la description macroscopique
des propriétés de la matière en termes de grandeurs
physiques spécifiques.
L'objet de la thermodynamique est d'étudier le
fonctionnement et le bilan d'énergie des machines

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thermiques et aussi les échanges ou transferts de
chaleur dans un système ou entre deux systèmes.


dans les machines thermiques on assiste à une
conversion d'énergie d'une forme en une autre
(chaleur -> travail ou inversement) .



dans les échanges de chaleur, il y a transfert de
chaleur par suite d'une différence de température
dans le système ou entre deux systèmes.

ex1 : dans les machines thermodynamiques (TD), il y a
production de travail par
conversion de chaleur en
travail (les moteurs
thermiques, les centrales thermiques ou nucléaires...)
ex2 : dans les machines dynamo-thermiques (DT) par
contre, il y a transfert de chaleur d'une source froide à
une source chaude grâce à un apport de travail (les
machines frigo. et pompes à chaleur, les
liquéfacteurs...)
On distingue entre quatre principaux mécanismes de
transfert de chaleur : la conduction, la convection, le
rayonnement et les changements d'état de la matière.
mode transfert Q.ppt

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Les applications de ces transferts de chaleur
concernent les domaines :


de l'isolation thermique et du stockage des gaz liquéfiés (cryogénie)



du chauffage et de la climatisation des locaux



de la conception et du choix des échangeurs de chaleur
On peut décrire la thermodynamique de 2 manières ou aspects différents :



l'aspect macroscopique : on s'intéresse aux
propriétés de la matière ou du système à l'échelle
globale ou macroscopique, alors les propriétés
sont décrites par des variables d'état
macroscopiques telles ( P, V, T, m...)



l'aspect microscopique : on s'intéresse aux
propriétés de la matière à l'échelle microscopique
ou atomique en utilisant comme variables les
grandeurs cinétiques des atomes ou molécules
individuelles (p i ,v i ,E i ...)

La

thermodynamique

s'attache

à

décrire

le

comportement de systèmes thermodynamiques.
Un système thermodynamique est constitué d'un très grand nombre de
particules (atomes, molécules, ions,...), généralement de l'ordre du nombre
d'Avogadro (Na= 6,02.1023). Un tel système peut alors être décrit à l'échelle
macroscopique par des grandeurs statistiques (volume, pression, température,

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concentrations,...), qui sont des valeurs moyennes rendant compte du
comportement des diverses particules constituant le système. Ces grandeurs
statistiques sont appelées variables d'état.
I-1 Systèmes
Nous appelons système un ensemble constitué d’un
grand

nombre

de

particules

séparé

du

reste

de

l’univers (milieu extérieur) par une frontière (paroi
immatérielle ou réelle) à travers laquelle peuvent
éventuellement s’effectuer des échanges de matière et
des échanges d’énergie.
Un système thermodynamique peut être, par exemple,
l’eau contenue dans une bouteille, ou bien la bouteille
elle-même, ou bien l’ensemble des deux. Sans parler du
bouchon. . .
• Les systèmes ouverts qui échangent du travail et de la
chaleur avec l’extérieur, mais également de la matière.
• Les systèmes fermés qui sont constitués d’une masse
fixe échangeant du travail et de la chaleur avec

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l’extérieur, mais sans renouvellement de matière.
L’eau de la bouteille bouchée
• Un système qui n’échange ni matière ni énergie avec
l’extérieur est dit isolé
DEF SYSTEME.ppt

I-2 Variables d’état
L’état macroscopique d’un système est décrit par un petit nombre de
paramètres indépendants appelés variables d’état. On distingue deux sortes de
variables d’état :


Les

variables

d’état

extensives

(additives).

Ces

variables sont proportionnelles à la quantité de matière
présente dans le système (masse, volume, nombre de
molécules par unité de volume, etc…).
– Les variables d’état intensives. Ces variables sont
indépendantes de la quantité de matière (pression,
température, masse volumique, etc…).
Lorsque ces paramètres ont la même valeur en tout point, on dit que le
système est uniforme. Enfin un système est dit en équilibre thermodynamique

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s’il est immobile (par rapport à un repère galiléen), uniforme et que ses
variables d’état n’évoluent pas au cours du temps.

I-2-1 Définition
La

température

est

une

grandeur

physique

macroscopique qui permet de rendre compte de l’état
thermique

d’un

corps.

Elle

est

un

indicateur

de

l’agitation des particules constituant le corps. Plus la
température est élevée et plus les particules ont des
mouvements agités.
I-2-2 Equilibre thermique de deux corps (Principe zéro de thermodynamique)
Si on met en contact un corps froid avec un corps
chaud, la température du corps chaud va diminuer
alors que celle du corps froid va augmenter. Et ceci
jusqu’au moment, où les deux corps seront à la même
température. On dit alors qu’il y a équilibre thermique
des deux corps.
I-2-3 Les échelles de température
On en utilise principalement deux :


L’échelle Kelvin dite échelle absolue puisque la température T = 0°K est

la plus petite température qui existe (elle correspond à une agitation nulle des
molécules du corps).

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L’échelle Celsius est définit par la relation : θ = T - 273.15, qui la lie à

l’échelle absolue.
Une température s’exprime alors en °C.
I-2-4 Mesure de température
Pour mesurer la température d’un corps, on doit mettre le thermomètre en
contact thermique avec le corps considéré, et attendre que l’équilibre
thermique soit établi.
EXERCICE
Un thermomètre à mercure donne les indications suivantes :

n 100 = + 102 dans la vapeur d’eau bouillante sous la pression
atmosphérique

n 0 = - 2 dans la glace fondante
Quelle est la température Celsius θ lorsqu’on lit une indication n ?
Application numérique pour n = 29.

I-2-4 Quantité de chaleur
L'énergie thermique ou quantité de chaleur fournie à un système est donc
proportionnelle à la variation de température du système et à sa masse mais
dépend aussi de la nature du corps
On peut écrire de manière générale Pour un solide :

Q = mc(Tf - T i) si c en J/(kgK
Ou T i est la température initiale du système (en K ou ±C), T f la température
finale du système (en K ou ±C) et c la capacité thermique massique ou chaleur
massique (en J/(kgK) ou J/(kg°C)).

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La capacité thermique peut se définir aussi par unité de mole, c'est la capacité
thermique molaire ou chaleur molaire du corps, telle que :

Q = nC(T f - T i ) si C en J/(mol K)
C est exprimée alors (en J/(molK) ou J/(mol°C)).
Pour un gaz

Si le système est composé d’un gaz de masse m
contenant n moles, on peut écrire, suivant les variables
(T,V),(T,P) ou (V,P) que l’on choisit comme variables
d’état, la quantité de chaleur élémentaire échangée par
un gaz contenant n moles lors d’une transformation
quasi-statique :

δQ = Cv dT + ldV
δQ = CP dT + hdP

δQ = λdP + µdV
C v ,C p ,

l,

h,

λ

et

μ

sont

appelés

les

coefficients

calorimétriques du système étudié, dépendant a priori
de deux variables . C v et C p sont aussi appelées
respectivement capacités thermiques (calorifiques) à
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volume

constant

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et

à

pression

constante

elles

s’expriment en JK-1. On rappelle que les capacités
thermiques molaires :

C v =nC Vm =mc v

et

C P =nC Pm =mc p
Dans ces expressions, l’indice m indique que les
capacités thermiques correspondent à une seule mole.
C v = mc v

et

C P =mc p

c v et c p sont respectivement les capacités thermiques
massiques à volume constant et à pression constante,
elles s’expriment en JK-1g-1.
* Unités :
- Système MKS (ou SI )











temps en [s]
température en degré [K], avec T [K] = t °C +
273
pression en Pascal [Pa] ou [N/m2]
P = [Pa] = [N/m2] et 1bar = 105 Pa = 750 Torr
1 atm= 760 mm Hg = 1,013 bar = 760 Torr
l'énergie en Joule [J], et 1cal = 4,184 Joules
la puissance P en Watt [W], et 1W = 1J/s
1l = 1dm3 = 10-3 m3
R=8,31451 J.K-1.mol-1
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I-3 Nature des transformations
a) Transformation quasi-statique
Le passage d’un état d’équilibre à un autre s’appelle transformation.
Une transformation quasi-statique est une transformation lente composée
d’une suite continue d’états d’équilibre infiniment voisins, allant de l’état
initial à l’état final. L’équilibre mécanique et thermique à chaque instant t de
la transformation entre un fluide (de pression P et de température T à
l’instant t) et le milieu extérieur (de pression P e et de température T e à
l’instant t) impose P=P e : au niveau de toute paroi mobile et T=T e au niveau
de toute paroi diathermane.
b) Transformation réversible ou irréversible
• Une transformation réversible est une transformation
pour

laquelle

le

système

étudié

passe

par

une

succession d’états d’équilibres internes, également en
équilibre avec le milieu extérieur. On doit pouvoir repasser par tous les états
antérieurs en modifiant en sens inverse les différents paramètres qui ont
provoqué la transformation. Toute transformation réversible est quasi-

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statique ; l’inverse n’est pas vrai

• Une transformation irréversible se traduit par une
brusque rupture d’un état d’équilibre initial. Il n’est
alors pas possible de définir la température T et la
pression P du système à chaque instant. On ne connaît
précisément que leurs valeurs dans les états initials (avant la rupture de
l’équilibre) et final (dans le nouvel état d’équilibre).
Remarque : Au niveau des exercices et problèmes du 1

ier

principe, confondre

transformation quasi-statique ou réversible est sans conséquence. Néanmoins,
nd

il faudra être conscient de la différence au niveau du 2 principe.
c) Transformations particulières
Une transformation peut être :
– isobare : la pression P est constante en tout point du
système ;
– monobare : la pression extérieure est constante ; Pe

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– isotherme : la température T est constante en tout point du système ;
– monotherme : les échanges de chaleur ont lieu avec un
thermostat à température extérieure constante ; Te
– isochore : le volume du système reste constant (parois
indéformables) ;
– adiabatique : le système n’échange pas de chaleur avec le milieu extérieur
(paroi athermane) ;
– cyclique : si l’état final coïncide avec l’état initial.

Utilisation des préfixes appropriés

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EXERCICES
Un récipient contient un gaz dont la pression est de 1,1 105 Pa et la température de 50°C. Le gaz
est refroidi à volume constant jusqu'a la température de 10°C.

1. Quel est alors la pression du gaz ?
2. Quel est la quantité de matière du gaz si son volume est de 1 L, 2 L et 0,5 L ?
R= 8,31 J mol-1 K-1.

corrigé
masse de gaz et volume du gaz sont constants, donc P/T = constante
P départ / T départ = P fin / T fin
mettre les températures en kelvin.
T départ =273+50 = 323 K ; T départ =273+10 = 283 K ;
P fin =P départ *T fin / T départ = 1,1 105 *283/323 = 9,64 104 Pa.
n= PV/(RT) avec V= 10-3 m3.
n= 1,1 105 *10-3 /(8,31*323)= 0,041 mol.
si V= 2L alors 0,082 mol
si V= ½ L alors 0,0205 mol.
*Deux récipients sont reliés par un tube de volume négligeable muni d’un robinet. Les 2
récipients contiennent un gaz parfait. La température de 27° ne varie pas pendant l’expérience.
La pression P 1 et le volume V 1 (récipient 1) sont respectivement : 2,0.105 Pa et 2,0 L.
La pression P 2 et le volume V 2 (récipient 2) sont respectivement : 1,0.105 Pa et 5,0 L.

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R= 8,31S.I
1. Calculer les quantités de matière n 1 et n 2 de gaz dans chaque récipient.
2. Déterminer P t , la pression du gaz lorsque le robinet est ouvert.

corrigé
il faut utiliser l'équation d'état des gaz parfaits PV = nRT
n 1 = P 1 V 1 /(RT) avec V 1 = 2 10-3 m3 et T =273+27 = 300 K
n 1 =2 105*2 10-3 / (8,31*300)=0,16 mol.
n 2 = P 2 V 2 /(RT) avec V 2 =5 10-3 m3 et T =273+27 = 300 K
n 1 =1 105*5 10-3 / (8,31*300)=0,2 mol.
Volume total V t occupé par le gaz. = V 1 + V 2 = 7 10-3 m3.
La quantité de matière présente est n = n 1 + n 2 = 0,16+0,2 = 0,36 mol.
La pression finale est P f = nRT/V t = 0,36*8,31*300 /7 10-3 =1,28 105 Pa.

Chaleur massique du plomb:
*On sort un bloc de plomb de masse m 1 =280g d'une étuve à la température θ 1 =98°C. On le
plonge dans un calorimètre de capacité thermique C=209J.K-1 contenant une masse m 2 =350g
d'eau. L'ensemble est à la température initiale θ 2 =16°C. On mesure la température d'équilibre
thermique θ e =17,7°C.
Déterminer la chaleur massique du plomb.
Données:
Chaleur massique de l'eau : c e =4185 J.kg-1.K-1
Masse volumique de l'eau : µ=1000 kg.m-3.
Chaleur massique du plomb:
Soit Q 1 la quantité de chaleur cédée par le bloc de plomb:
Q 1 =m 1 .c Pb .(θ e - θ 1 ).
Soit Q 2 la quantité de chaleur captée par l'eau froide et le calorimètre:
Q 2 =(m 2 .c e + C).(θ e - θ 2 ).

21

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Le système {eau + calorimètre + plomb} est isolé:
Q 1 +Q 2 =0
m 1 .c Pb .(θ e - θ 1 ) + (m 2 .c e + C).(θ e - θ 2 ) = 0
m 1 .c Pb .(θ e - θ 1 ) = - (m 2 .c e + C).(θ e - θ 2 )
(m 2 .c e + C).(θ e - θ 2 )
c Pb=
m 1 .(θ 1 - θ e )
(350.10-3.4185 + 209).(17,7 - 16)
c Pb=
280.10-3.(98 - 17,7)
c Pb =126,5 J.kg-1.K-1

22

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CHAPITRE II : PREMIER PRINCIPE
II-1 Energie interne d’un système
L’énergie interne U représ ente la somme des énergies cinétiques et
potentielles de t ous les constituants d’un système. La valeur de
l’énergie interne dans un ét at d’équilibre donné ne dépend que de
l’état du s ystème, c’est-à-dire des variables d’état qui le décriv ent.
On appelle fonction d’état une telle grandeur.
Au cours d’une transformation d’un état d’équilibre 1 à un autre
noté 2, la variation d’énergie interne est notée ΔU =U2−U1; cette
variation ne dépend que des états initial et final, puisque U2 ne
dépend que de la valeur des variables d’état dans l’état 2 et U1 des
valeurs des variables d’état dans l’état 1. La variation d’une fonction
d’état est indépendante de la façon dont on passe de l’état 1 à l’état
2.
En thermodynamique, on note dU la variation élémentaire d’énergie
interne. La notation “d” (d droit) permet d’indiquer que c’est la
différentielle d’une fonction d’état.
II-2 Energies échangées : travail et chaleur
23

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Le travail et la chaleur échangés avec le milieu extérieur au cours
d’une transformation peuvent dépendre de la façon dont le
processus se déroule ; c’est-à-dire, ce ne s ont pas des fonctions
d’état. Ne pouvant pas définir le travail et la chaleur dans un état
d’équilibre donné, on ne v oit pas ce que po urrait être leurs
variations, mais on parlerai plutôt de travail ou de chaleur échangé
pendant la transformation. Pour cette raison, on utilise la notation δ
(au lieu de d) lorsqu’on écrit le travail et la chaleur élémentaires échangés : δw
et δQ.
a) Expression du travail des forces de pression

Le travail échangé avec le milieu extérieur au cours d’une transformation
élémentaire s’écrit :
δ W=-Pext dV
où Pext est la pression extérieure qu’exerce le milieu extérieur sur le système
au niveau de la frontière qui les sépare.

Entre deux états d’équilibre 1 et 2, le travail s’écrit :
2

W = ∫ − Pext dV
1

24

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Lorsque la transformation est quasi-statique, le système est, à chaque instant,
en équilibre avec le milieu extérieur. La pression du système P est égale à la
pression extérieure Pext et le travail prend la forme suivante :
2

δ W=−PdV

et

W = ∫ − PdV
1

Cas particuliers importants

– transformation isochore (V constant) : W = 0 ;
– transformation monobare : action d’un milieu exterieur de pression
constante (Pe =Cte)
2

W = − ∫ Pe dV = − Pe (V2 − V1 )
1

– transformation isobare : transformation monobare et quasi-statique
(P=Pe =Cte à chaque instant)
W= - Pe(V2-V1) = -P(V2-V1).
Aspect graphique

Dans un diagramme de Clapeyron P= f (V), le travail échangé dans une
transformation quasi-statique (P définie à chaque instant, donc le graphe est
possible) correspond mathématiquement à une aire (algébrique) :
2

A = ∫ PdV = −W
1

25

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b) Expression de la quantité de chaleur
L’expression de la quantité de chaleur élémentaire δQ échangée par le système
avec le milieu extérieur diffère suivant que le système est composé d’un gaz,
d’un liquide ou d’un solide.
Pour un gaz

Si le système est composé d’un gaz de masse m contenant n moles, on peut
écrire, suivant les variables (T,V),(T,P) ou (V,P) que l’on choisit comme
variables d’état, la quantité de chaleur élémentaire échangée par un gaz
contenant n moles lors d’une transformation quasi-statique :

δQ = Cv dT + ldV

δQ = CP dT + hdP
δQ = λdP + µdV
C v ,C p , l , h, λ et μ sont appelés les coefficients calorimétriques du système
étudié, dépendant a priori de deux variables . C v et C p sont aussi appelées
respectivement capacités thermiques (calorifiques) à volume constant et à
26

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pression constante elles s’expriment en JK-1 (cf. chapitre 2, IV-1 et IV-2). On
rappelle que les capacités thermiques molaires :

C v =nC Vm =mc v

et

C P =nC Pm =mc p

Dans ces expressions, l’indice m indique que les capacités thermiques
correspondent à une seule mole.
C v = mc v

et

C P =mc p

c v et c p sont respectivement les capacités thermiques massiques à volume
constant et à pression constante, elles s’expriment en JK-1g-1.
Cas particuliers importants


transformation isochore :
2

2

1

1

Q = ∫ CV dT = n ∫ CVm dT
– transformation isobare :
2

2

1

1

Q = ∫ C p dT = n ∫ C pm dT


transformation adiabatique : Q=0

Pour les liquides et les solides

Pour une phase condensée, liquide ou solide, les capacités thermiques sont
quasiment constantes et égales entre elles. Nous pourrons alors écrire :
Cv≈C p que nous noterons simplement C, et

27

δQ=C dT

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II-3 Enoncé du premier principe

Le premier principe de la thermodynamique n’est rien d’autre que la
conservation de l’énergie. Il nous enseigne que la variation d’énergie interne
d’un système résulte d’échanges d’énergie avec l’extérieur sous forme de
chaleur ou de travail. Pour une transformation infinitésimale, le premier
principe s’écrit sous forme différentielle :

dU= δW + δQ
Pour une transformation entre deux états d’équilibre, le premier principe
s’écrit sous forme intégrale :
ΔU = W + Q.
III- APPLICATIONS AUX TRANSFORMATIONS DES GAZ PARFAITS
III-1 Lois de Joule

Pour un gaz parfait, l’énergie interne ne dépend que de la température et son
expression différentielle s’écrit :
dU=C v dT
Ce résultat est connu sous le nom de la “première loi de Joule”.
Pour gaz parfait, on peut écrire, pour une transformation quelconque entre
deux états d’équilibre 1 et 2 :

∆U = U 2 − U1 =

28



T2

T1

CV dT

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De la même façon, l’enthalpie

H=U+PV

ne dépend que de la température et son expression différentielle s’écrit :

dH = C p dT.
Ce résultat constitue la “deuxième loi de Joule”.
On a donc pour la même transformation que précédemment :

∆H = H 2 − H1 =



T2

T1

C p dT

III-2 Calcul des coefficients thermiques pour un gaz parfait
Au cours de la transformation réversible d’un système de masse m contenant n moles, le
premier principe s’écrit :

dU= δW + δQ = δQ - PdV
δQ s’exprime en fonctions des coefficients calorimétriques :
δQ = C v dT+ l dV
Il vient donc :

dU=C v dT + (l – P)dV.
Par identification avec la première loi de Joule, on obtient :
P=.
On a donc, pour un gaz parfait
δQ=C v dT + PdV

De même pour l’enthalpie :

29

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dH = dU+d(PV)= δQ + VdP = C p dT + (h+V)dP
dH = C p dT + (h + V)dP
Par identification avec la deuxième loi de Joule, nous obtenons :
h=-V
Ainsi, pour un gaz parfait
δQ = C P dT- VdP
III-3 Lois de Laplace pour une transformation adiabatique réversible
Les lois de Laplace définissent des relations existant entre les variables d’état au cours
d’une transformation adiabatique réversible. Elles se démontrent facilement à partir du
premier principe et de la première loi de Joule pour un gaz parfait.
• Variables (T, V)
Le premier principe donne :
dU = δW + δQ
Pour une transformation adiabatique: δQ=0, et comme, en plus, elle est réversible: δW=−PdV.
On a donc :
dU=−PdV.
D’après le première loi de Joule, on a : dU=C v dT . On peut alors écrire :
−PdV=C v dT.
Puisque le gaz est parfait, son équation d’état permet d’écrire : P =



nRT
dV = Cv dT .
V

30

nRT
, d’où
V

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Cp =

Avec

Cv =

nR
γ − 1 , il vient :

nRγ
γ −1

1 dT
dV
+
=0
(γ − 1) T
V

Par intégration, on obtient :
(γ-1) lnV + lnT = Constante
Ou encore



Variables (T, P)
On a

V =

TV (γ −1) = Cte

nRT
d’où
P

 nRT 
T

 P 

( γ −1)

= (nR)(γ −1) T γ P (1−γ ) = Cte

(nR) (γ −1) Étant constant, il vient :

T γ P (1−γ ) = Cte
• Variables (P, V)
On a

T =

PV
, d’où
nR

PV
 1  γ
V (γ − 1) = 
 PV = Cte
nR
 nR 

 1 
  Étant constant, il vient :
 nR 

PV γ = Cte
31

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En résumé :

2012-2013

PV γ = Cte
T γ P (1−γ ) = Cte
TV (γ −1) = Cte

Ces relations sont appelées « lois de Laplace ». Rappelons qu’elles ne sont valables que pour un
gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible.
IV LES TRANSFORMATIONS REVERSIBLES D’UN SYSTEME FERME

Les transformations réversibles d'un système sont des transformations idéales qui
jouent un rôle important dans les processus thermodynamiques. On ne considère
alors que des processus sans frottement c.à.d sans dissipation d'énergie, qui sont
facilement calculables.
Systèmes Fermés
Dans les systèmes fermés, la masse de matière enfermée peut subir différentes
transformations. On considère les différentes transformations simples et réversibles
suivantes :
IV-1 Transformation isochore (V = cte)
Soit un gaz supposer idéal et enfermé dans une enceinte rigide (non déformable dV
= 0).
Etat initiale : P 1 V 1 = nRT1

Etat finale: P 2 V 2

isochore (V 1 = V 2 =V = cte) d’où dV = 0 donc
+ Travail :
on a, dW = -pdV => W 12 = -∫ 12 pdV
l'enceinte étant indéformable (dV = 0), W 12 = 0
+ Chaleur

32

= nRT 2

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on a, ∆ U = W 12 + Q 12
soit, Q 12 = U 2 - U 1 = mc v (T 2 - T 1 )= nC v (T 2 - T 1 )
Energie interne et enthalpie
on a, ∆ U = Q 12 + W 12 (avec W 12 = 0)
soit, l'énergie interne ∆ U = Q 12 = mc v (T 2 - T 1 ) ou ∆ U = Q 12 = nC v (T 2 - T 1 )
et l'enthalpie, ∆ H = H 2 - H 1 = mc p (T 2 - T 1 ) ou Q 12 = H 2 - H 1 = nC p (T 2 - T 1 )
IV-2 Transformation isobare (p = cte)
Etat initiale : P 1 V 1 = nRT1
P 1= P 2 ;

Etat finale:

P 2 V 2 = nRT 2 ,

P ext =P = cte , dp = 0
+ Travail

d'où, W 12 = -P(V 2 - V 1 ) = -P 2 V 2 +P 1 V 1 = nR(T 1 - T 2 ) car (P 1 = P 2 )
+ Chaleur
On a, dH = dQ + Vdp (or dP = 0) => dQ = dH
Q 12 = H 2 - H 1 = mc p (T 2 - T 1 ) = ou Q 12 = H 2 - H 1 = nC p (T 2 - T 1 )
+ Energie interne et enthalpie
on a, ∆ U = Q 12 + W 12 , ∆ U = mc v (T 2 - T 1 ) et ∆ H = Q 12 = mc p (T 2 -T 1 )
IV-3 Transformation isotherme (T = cte)
Etat initiale : P 1 V 1 = nRT1
P1V1 = P2V2

Etat finale: P 2 V 2 = n RT 2 , T 1= T 2 soit =>

33

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+ Travail

Car p 2 /p 1 =V1 /V 2
+ Chaleur
Comme, T = cte, dT= 0 et U = f(T) uniquement on a ∆ U = 0:
Q 12 = - W 12 = - nRT lnp 2 /p 1 =nRT lnp 1 /p 2

(car ∆ U = 0)

+ Energie interne et enthalpie
On a, ∆ U = 0 car, U = f(T) ; dT=0
d'où, ∆ H = 0 car, H = f(T) ; dT=0
IV- 4 Transformation isentrope (ou adiabatique réversible) Q = O
Or, dU = dQ + dW

(et dQ = 0)

Donc dQ = dU + PdV = mc v dT + PdV = 0
Aussi on a dQ = dH - VdP = mc p dT - Vdp = 0
=> mc p dT = +VdP (1)
mc v dT = - pdV (2) (1)/ (2)
c p /c v )dV/V

=> c p /c v = VdP/(-PdV) => dP/P= - (

En intégrant cette relation, on obtient l'équation bien connue d'un gaz subissant
une transformation isentrope ou adiabatique réversible:
PVγ = cte => ou P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ
+ Travail

34

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soit, W 12 = nR(T 2 - T 1 )/(γ -1) = (P 2 V 2 -P 1 V 1 )/(1-γ )
+ Chaleur
Transformation adiabatique, Q 12 =0
+ Energie interne et enhalpie
∆ U = mc v (T 2 - T 1 ) ou ∆ U = nC v (T 2 - T 1 )
ou, ∆ U = W 12
et ∆ H = mc p (T 2 - T 1 ) = γ ∆ U, et ∆ H = nC p (T 2 - T 1 )
IV-5 Pentes comparées des isothermes et isentropes

et γ > 1
Courbes isotherme et isentrope

TABLEAU RÉCAPITULATIF

Isochore
Isobare

Loi
V = cst
P/T = cst
P = cst
V/T = cst

Travail
W=0
W = -P.∆V

35

Chaleur
Qv =
nCv∆T
Qp =

∆U
Qv
Qp

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Isotherme

T = cst
PV = cst

Adiabatique

PV γ = Cte

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W = nRT.ln
(V i /V f )
(P f V f -P i V i )/(γ1)

nCp∆T
Q=-W

0

Q=0

W

Isotherme :
Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par ( P i , V i et T i ) ; l'une des parois
du récipient contenant ce gaz est un piston mobile ; elle est en contact thermique
avec l'extérieur dont la température est constante, égale à T 0 = T i . En déplaçant
lentement le piston, la pression du gaz atteint la valeur P 0 .
1. Exprimer la température finale T f et le volume final V f du gaz en fonction de
P i , V i et P 0 .
2. Exprimer le travail reçu par le gaz en fonction de P i , V i et P 0 .
3. Exprimer la quantité de chaleur reçue par le gaz en fonction de P i , V i et P 0 .
corrigé
Isotherme :
La transformation est réversible, étant suffisamment lente pour être à chaque
instant en équilibre thermique avec le milieu extérieur ; la transformation est
isotherme. T f =T 0 = T i .
équation des gaz parfaits : P f V f = RT soit V f = RT/P f = RT 0 /P 0 .
de plus P i V i = RT 0 d'où : V f =P i V i /P 0
travail reçu par le gaz : la transformation est réversible PV=
RT 0 = P i V i
dW= -PdV = -P i V i dV / V = -P i V i d ln(V)
intégrer entre V i et V f : W= -P i V i ln(V f /V i ) avec V f /V i =
P i /P 0
W= -P i V i ln (P i /P 0 )
36

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quantité de chaleur reçue : l'énergie interne du gaz parfait ne dépendant que de la
température ∆U=0 ( isotherme)
premier principe : Q+W=∆U=0 soit Q= -W= P i V i ln (P i /P 0 )
sobare :
Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( P i , V i et T i ) ; ce gaz est placé
dans un cylindre calorifugé, muni d'un piston. La pression extérieure est P 0 =P i =
constante. On chauffe lentement le gaz par une résistance électrique jusqu'à la
température notée T f .
1. Exprimer la pression finale P f et le volume final V f en fonction de P i et T f .
2. Exprimer le travail reçu par le gaz.
3. Exprimer la quantité de chaleur reçue par le gaz et la durée de l'opération.
Isobare :
La transformation peut être considérée comme réversible, l'équilibre mécaniques
étant réalisé à chaque instant entre le système et le milieu extérieur : la
transformation est isobare.
Equation d'état du gaz parfait : V f = RT f /P f =RT f /P 0 .
La transformation est réversible : δW= - PdV = -P 0 dV et W= -P 0 (V f -V i )= P 0 (V i V f ) =R(T i -T f )
Energie fournie par effet Joule au gaz pendant la durée ∆t de la transformation : Q=
RI²∆t
variation d'énergie interne du gaz : ∆U= C V, m (T f -T i )
∆ U= Q+W ( premier principe) C V, m (T f -T i ) = R(T i -T f ) +
RI²∆t
∆t = [(C V, m +R)(T f -T i )]/ (RI²)
en utilisant la fonction enthalpie, on trouve, à pression
constante : ∆ H= C P, m (T f -T i )= RI²∆t
et ∆t = [C P, m (T f -T i )]/ (RI²) avec C V, m +R = C P, m
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Adiabatique réversible :
Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( P i , V i et T i ) ; ce gaz est placé
dans un cylindre calorifugé, muni d'un piston. La pression extérieure est P 0 =
constante. Ce gaz subit une transformation adiabatique. Le piston est lentement
déplacé jusqu' à ce que la pression du gaz devienne P 0 .
1. Exprimer la température finale T f et le volume final V f en fonction de P 0 , P i ,
V i et T i .
2. Exprimer le travail reçu par le gaz.
3. Exprimer la quantité de chaleur reçue par le gaz et la durée de l'opération.

corrigé
Adiabatique réversible :
loi de Laplace : PVγ=Cte ; P i V i γ=P f V f γ soit V f = V i (P i /P f )1/γ ; V f = V i (P i /P 0 )1/γ
γ : rapport des chaleurs massiques à pression et à volume constant, supposé
indépendant de la température
équation du gaz parfait : P f V f =P 0 V f = RT f soit T f =P 0 V f / R= V i P 0 (P i /P 0 )1/γ / R =
V i P i 1/γ P 0 1-1/γ / R
or V i P i / R = T i ; T f =T i (P i / P 0 )1/γ-1
travail reçu par un gaz parfait au cours d'une transformation adiabatique réversible :
travail élémentaire : dW= -PdV = -Cte /Vγ dV=-Cte V-γ dV= -Cte/(-γ+1) d V-γ+1
intégrer entre V i et V f : W=-Cte /(-γ+1) (Vf -γ+1- V i -γ+1 ) avec Cte =P i V i γ=P 0 V f γ
W=-( P 0 V f γ V f -γ+1- P i V i γ V i -γ+1 ) /(-γ+1)= (-P 0 V f + P i V i ) /(-γ+1)
La quantité de chaleur reçue au cours d'une transformation adiabatique est nulle.

38

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CHAPITRE III : Le Second Principe de la Thermodynamique
I. Introduction
Le premier principe de la thermodynamique reflète le principe de la conservation de l’énergie
lors d’une transformation. Mais il n’explique pas tout.
L’expérience montre que certaines transformations qui satisferaient le Premier Principe ne se
produisent pas, par exemple,


l’énergie thermique se transfère spontanément du corps chaud vers le corps froid



lors du freinage d’une voiture la température des freins s’élèvent ; de l’énergie cinétique a
été transférée sous forme thermique au système de freinage. Inversement, il n’est pas
possible de mettre en marche une voiture en prenant de l’énergie thermique aux freins.



etc.

il est donc nécessaire d’introduire un Second Principe.
Le second principe de la Thermodynamique postule l’existence d’une fonction et qui
s’appelle entropie .
II. Le Second Principe pour un système fermé
II.1. Enoncé
A tout système thermodynamique est associée une fonction d’état appelée entropie du système
et notée S.
L’entropie est une grandeur additive. Pour une transformation réversible,

S : entropie en JK-1
T : température en K
δQ rev : chaleur échangée sur le chemin réversible en J
Pour une transformation irréversible,

II.2.Bilan entropique
39

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Définition : On définie S e , l’entropie échangée entre le système et le milieu extérieur
On appelle source de chaleur tout milieu extérieur envisagé dans sa capacité à échanger de
l’énergie calorifique (thermique) avec le système.
Entropie échangée

S e : entropie en JK-1
T s : température de la source extérieure en K
δQ e : chaleur échangée sur le chemin réellement suivi en J
Cas réversible : ( quasi- statique, T=T ext , P=P ext ).
∆S = S e , ou

et T = T s donc

La variation d’entropie du système est égale à l’entropie échangée avec le milieu extérieur.
Cas irréversible : (spontanée, brusque)
δQ e = δQ irrev donc ∆S >S e,
La variation d’entropie du système est supérieure à l’entropie échangée avec le milieu extérieur.
.
On a donc dans le cas général
Définition : On appelle CREATION D ENTROPIE le terme S cre tel que :
∆S = S e + S cre
-1
S cre : création d’entropie en JK
S cre =0 pour une transformation réversible, S cre >0 si la transformation est irréversible.
Le caractère irréversible d’une transformation est à l’origine de la création d’entropie.
Remarque : S e et S cre ne sont pas des fonctions d’état.


Cas d’une source de chaleur à température constante

Le milieu extérieur échange de la chaleur sans changer de température -milieu extérieur régulé en
température (thermostat) ou à très forte capacité calorifique (eau d’un lac, d’une rivière, de mer,
air atmosphérique, ...).
Pendant l’intervalle de temps ∆t où système et milieu extérieur sont en contact thermique à la
température Ts, ils échangent une quantité de chaleur Q et une entropie S e = Q / T S .


Cas de n sources de chaleur à température constante

40

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Soit Q i la quantité de chaleur échangée par le système avec la source i à température T i . Au
cours de la transformation, les sources sont successivement ou en même temps en contact
thermique avec le système.
L’entropie échangée est :



Cas d’une transformation réversible

II.3.Principe d’évolution
a. cas d’un système isolé
Un système isolé n’échange ni matière ni énergie avec l’extérieur.
donc
Transformation réversible ∆S = S e = 0 l’entropie du système ne varie pas.
Transformation irréversible ∆S = S e + S cre , S cre > 0 l’entropie du système augmente sans rien
échanger avec le milieu extérieur.
L’entropie d’un système isolé ne peut qu’augmenter. L’entropie augmente jusqu’à l’équilibre et
sa valeur est maximale à l’équilibre.
b. cas d’un système non isolé
avec
S cre ≥0
∆S = S e + S cre
Se > 0
Le système a reçu de l’entropie du milieu extérieur.
Se < 0
Se = 0

Le système donne de l’entropie au milieu extérieur.
Pas d’échange d’entropie avec le milieu extérieur.

Au total, ∆S peut être de n’importe quel signe. Seul condition S cre ≥ 0
II.4.Expression différentielle du second principe

δQirrev

δQirrev

+ δScre .
T
T
Pour une transformation réversible on a dU = δQ + δW avec δW = - PdV et δQ = TdS.
On a donc
dU =TdS –PdV équation fondamentale de la thermodynamique
Cette formule est démontrée dans le cas réversible mais elle est valable tout le temps

Pour une transformation infinitésimale, dS =

41

ou dS =

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dU PdV
+
T
T
∂S
∂S
dS =
)V dU +
) dV
∂U
∂V U
En comparant les deux expressions de dS on déduit
P ∂S
1 ∂S
Donc : =
)V et
)
=
T ∂V U
T ∂U
Ou encore
H = U + PV ⇒ dH = dU + d ( PV ) ⇒
dS =

dH = dU + PdV + VdP

dH = TdS - PdV + PdV + VdP

dH = TdS + VdP

dS =

dH - VdP
T

II.4.Propriété de l’entropie
L’entropie est une grandeur extensive en JK-1. Elle est une fonction d’état ∆S ne dépend pas du
chemin suivi mais juste de l’état initial et l’état final.
On peut toujours imaginer pour un état fictif allant de l’état initial à l’état final pour calculer la
δQ
variation d’entropie par un chemin irréversible. On peut utiliser dS = rev mais tout en sachant
T
que
δQ rev δQ irrev

∆S irrev = ∆S rev = S F - S I
III Les énoncés historiques de Clausius et Thomson
III.1. Enoncé de Clausius
La chaleur passe naturellement d'un corps chauds à un corps froid, mais elle ne passe pas
spontanément d'un corps froid à un corps chaud. Partant de cette observation courante, R.
Clausius présenta en 1850 l'énoncé qui porte maintenant le nom d'énoncé de Clausius du
deuxième principe de la thermodynamique:
IL EST IMPOSSIBLE POUR UN SYSTEME CYCLIQUE DE FAIRE PASSER LA CHALEUR
CONTINUELLEMENT D'UN RESERVOIR THERMIQUE FROID A UN RESERVOIR
THERMIQUE CHAUD SANS APPORT DE TRAVAIL OU AUTRE EFFET SUR LE MILIEU
ENVIRONNANT.

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Fig 1 : Réfrigérateur parfait IMPOSSIBLE A
REALISER

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Fig 2 : Lorsqu’on fournit un travail W à un
réfrigérateur, il absorbe une quantité de chaleur Q F
d’un réservoir froid et cède une quantité de chaleur
plus grande Q C à un réservoir chaud.

La figure 1 représente un réfrigérateur « parfait », impossible à réaliser. Il est possible de faire
passer la chaleur d'un réservoir thermique froid à un réservoir thermique chaud, à condition
d'avoir un réfrigérateur. Un réfrigérateur (ou une pompe à chaleur) est un moteur thermique qui
fonctionne en sens inverse. Le travail est fourni au système, qui absorbe la quantité de chaleur Q F
d'un réservoir thermique à basse température (le contenu du réfrigérateur) et qui cède une
quantité de chaleur plus élevée Q C à un réservoir thermique à température plus élevée (l’air
ambiant) (figure 2). Une pompe à chaleur prélève de la chaleur à l'air extérieur froid et cède une
quantité de chaleur plus grande à l'air chaud dans une pièce. Le processus étant cyclique, l'énergie
interne du moteur ne varie pas et le premier principe permet donc d'écrire |Q C | = W + |Q F |
III.2. ÉNONCE DU DEUXIEME PRINCIPE (SELON KELVIN-PLANCK)
IL EST IMPOSSIBLE POUR UN MOTEUR THERMIQUE EFFECTUANT UN PROCESSUS
CYCLIQUE DE CONVERTIR INTEGRALEMENT EN TRAVAIL LA CHALEUR QU'IL
ABSORBE.

Fig 3 : Moteur thermique parfait IMPOSSIBLE A REALISER
Soulignons que l'énoncé parle d'un système « effectuant un processus cyclique ». Il est possible
de convertir intégralement de la chaleur en travail lors de la détente isotherme d'un gaz parfait.
Mais dans ce cas, le système ne reviendrait pas à son état initial: son volume serait plus grand et
sa pression plus faible. L'énoncé du deuxième Principe affirme que Q F est toujours différente de
zéro; il doit toujours y avoir un réservoir froid pour recevoir la chaleur cédée par le moteur. La

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figure 3 représente un moteur thermique « parfait » (impossible à réaliser). Si l'énoncé de Kelvin
Planck n'était pas vrai, il serait possible d'utiliser l'énorme quantité d'énergie interne de l'océan
pour fournir de l'énergie à un navire sans avoir besoin d'un réservoir thermique à température
plus basse.
IV Calcul d’entropie d’un gaz parfait subissant une transformation réversible
Soit une transformation élémentaire réversible entre 2 états d’équilibre :
δQ
(P,V,T) → (P + d P,V + dV,T + dT).
, dS = rev
T
a) Transformation adiabatique :
δQ = 0
→ dS = 0 →
∆S = 0
b) Transformation isochore :
dU = δQ = n C v dT
car δW = 0

Avec CV =



R
en JK-1
γ -1

La relation de Mayer
S’écrit

CP =


, en JK-1
γ -1
en JK-1
en JK-1mol-1

C P - C V = nR
C P ,m - C V,m = R

c) Transformation isobare :
dH=δQ

= n C P dT →



d) Transformation isotherme :


Calculer les entropies des exercices precédents

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CHAPITRE IV : LES MACHINES THERMIQUES
I. Introduction : Les différents types de machine thermique
I.1. Définitions

+ Sources de chaleur ou source thermique :
Tout système susceptible d’échanger de l’énergie thermique de
manière isotherme.
+ Définition : une machine thermique est un système permettant
d’échanger travail et chaleur.
On s’intéresse à un système thermodynamique en fonctionnement
cyclique.
Cycles monothermes: W  Q (Kelvin)
Cycles dithermes, schéma symbolique :

Fig 1
Moteurs thermiques : qui, après un cycle de fonctionnement, fournissent
du travail au milieu extérieur (W<0), tout en recevant de l’énergie
thermique (chaleur) (Q >0 ).

Fig 2

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Les réfrigérateurs & les pompes à chaleur : qui, après un cycle, reçoivent
du travail du milieu extérieur (W > 0) en fournissant de la chaleur (Q <
0).

Fig 3

Conclusion
Ces machines thermique dithermes permettent de produire :
- Du froid « réfrigérateurs ».
- Du chaud « pompes à chaleur ».
- Du travail « moteurs thermique ».
II- Étude d’une machine ditherme
Comme leur nom l’indique, ces machines fonctionnent avec deux
sources : une source chaude ou le système échange Q1 à la température
constante T 1 (T c , Q c ) et une source froide (T 2 , Q 2 ) ou (T f , Q f ) telle que
T 2 <T 1 dans notre présent cas de figure.
II.1 Principe de fonctionnement
Les machines dithermes fonctionnent entre deux sources thermiques de
températures différentes ; T 1 : source chaude et T 2 : source froide.

Fig 4 : Moteur thermique
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Fig 5 : Machine frigorifique
II.2 Moteur ditherme
S’agissant d’un moteur : Pendant un cycle, le fluide va fournir du travail
à l’extérieur W < 0, de la chaleur à la source froide Q 2 (Q f ), et recevoir
de la chaleur à la source chaude Q 1 (Q C ).
Pour un cycle :
donc
Le premier principe s’écrit : ∆U = W + Q 1 + Q 2 = 0 , W < 0 ,
(Q 1 + Q 2 ) > 0
Q1 Q2
0

S
=
=
S
+
S
=
+
+ Sc , comme
e
c
Le second principe s’écrit :
T1 T2
Sc ≥ 0

Ainsi on déduit l’inégalité de Clausius :

Q1 Q2
+
≤0
T1 T2

C'est l'inégalité de Carnot-Clausius, avec le signe < si la transformation
est irréversible, et = si elle est réversible.
De façon générale, avec n sources, l'inégalité de Carnot-Clausius s'écrit :
Qi

∑T
i

≤0

i

II.3. Application des deux principes au fonctionnement du système
1er principe : ∆U = W + Q1 + Q2 = 0 (cycle)
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Q1 Q2
2 principe : inégalité de Clausius T + T ≤ 0 (cycle)
1
2
+ Si le moteur fonctionne de manière réversible (On pourra se référer à
la figure 4 du présent chapitre), S c = σ = 0 et comme ∆S = 0 (cycle)
implique ∆S e = 0 donc :
nd

Q1 Q2
+
=0
T1 T2
On a alors :

Q1 = −

T1
Q2
T2

Le fluide reçoit lQ 1 l de la source chaude et cède lQ 2 l= -Q 2 à la source
froide.
Le rendement ρ est le rapport entre le travail récupéré par l’utilisateur
(lWl= - W) et pour le récupérer : lQ 1 l Il s’écrit donc :

ρ=

W
Q
ce.qu ' on.veut
W Q1 + Q2
=
=−
=
= 1+ 2
ce.qu ' on.dépense
Q1
Q1
Q1
Q1

Si le moteur fonctionne de façon réversible alors le rendement vaut :
ρ = 1−

Q2
T
T2
=− 2
car
Q1
T1
T1

Si le moteur fonctionne de manière irréversible :
T
ρ ≤ 1− 2
T1
Le rendement maximal est obtenu lorsque le fonctionnement est
réversible et vaut :

ρ max

48

T2
= 1−
T1

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Cette relation constitue le théorème de Carnot : tous les moteurs
dithermes ont le même rendement maximal, correspondant au moteur
réversible de Carnot, qui ne dépend que de la température des sources,
égal à

ρ max

Tf
T2
= 1−
= 1−
T1
TC

Remarque : le rendement est inférieur à 1, on l’exprime parfois en
pourcentage.
Pour une machine à vapeur typique, T f = 300K (atmosphère)
et T c =400K (chaudière). Cela donne un rendement maximal de 0,25=1/4,
ce qui veut dire que plus des 3/4 de la chaleur est rejetée dans
l'atmosphère.
Pour un moteur à explosion, le rendement est meilleur du fait que la
température de la source chaude au moment de l'explosion est plus forte ;
avec T c =1200K on trouve un rendement maximal de 0,75. Le rendement
réel est plus proche de 40% pour un moteur récent en bon état.
Le rendement maximal de Carnot est bien sûr une conséquence du
second principe, qui interdit une transformation intégrale de chaleur en
travail, c'est-à-dire du désordre en l'ordre.
II.3. Machine frigorifique : Réfrigérateur et climatiseur
Différents moyens de produire du « froid » :
Détente isotherme d’un gaz parfait
Vaporisation d’un liquide.
compresseur
gaz
Serpentin (s)
liquéfaction

P+

C

− Q1 > 0

Évaporateur (e)
Q2 > 0

D

liquide

49

P-


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