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Résolution des Systèmes d'Équations
Linéaires :
Méthode du Pivot de Gauss

Cours et Exer i es ave Solutions

M. Mouçouf

23 novembre 2013

Table des matières

1 Résolution des systèmes d'équations linéaires : méthode du pivot
de Gauss
1
1.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Matri es é helonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4 Systèmes d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5 Résolution d'un système d'équations linéaires é helonné . . . . . . .

5

1.6 Résolution d'un système d'équation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Résolution d'un système ave paramétres . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8 Opérations autorisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Exer i es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i

Chapitre 1

Résolution des systèmes d'équations
linéaires : méthode du pivot de
Gauss

Dans tout e hapitre K désigne R ou C.

1.1

Introdu tion

Il existe plusieurs méthodes de résolutions des systèmes d'équations linéaires.
Néanmoins, la méthode de Gauss reste la plus pratique. Elle onsiste à transformer le système d'équations en un système é helonné équivalent, dont la résolution
est beau oup plus fa ile.

1.2

Matri es é helonnées

Dé nition 1.

On appelle matri e à

p lignes et n

olonnes tout tableau de la forme

a1,1 a1,2 ... a1,n
a2,1 a2,2 ... a2,n “
– .
.
. —
–
.
. —
– .
—
.
.
. •
”
ap,1 ap,2 ... ap,n
’

1

Université Chouaib Doukkali


ai,j , 1 D i D p

et

1 D j D n,

M. Mouçouf
sont des éléments de

matri es. On note ette matri e

Dé nition 2.

Y

K

appelés les oe ients des

ai,j  1DiDp .

ˆ

1Dj Dn

On appelle pivot d'une ligne d'une matri e le premier oe ient

non nul de ette ligne.
Y

On dit qu'une matri e est à lignes é helonnées ou tout simplement é helonnée si

le pivot de haque ligne est à droite de elui de la ligne pré édente.
Y

Le nombre de pivots d'une matri e é helonnée est appelé le

Y

Une matri e é helonnée est don de la forme :

rang

de ette matri e.

0 ............ 0 α1 ‡ ...................... ‡ “
0 ............... 0 α2 ‡ ................. ‡
–
—
– 0 .....................0 α3 ‡ ............ ‡ —
–0 ............................................. ‡ —
–
—
–0 ............................................. ‡ —
–
—
– 0 ............................... 0 αr ‡ ... ‡ —
– 0 ............................................. 0 —
—
–
.................................................
”
0 ............................................. 0 •
’



α1 x 0, . . . , αr x 0.

Remarque 3.

En réalité, il y a quatre types de matri es à lignes é helonnées :

0 ... 0 α1 ‡ ............... ‡ “
0 .......................... 0 “
’
..............................
0
......
0
α
‡ ........... ‡
2
–
–
—
0
.......................... 0 —
0
.............................
‡
–
–
—
—
–
– ‡... ‡ α 0 ............ 0 —
—
ˆI 
0 ............... 0 αr ‡ ... ‡ — ˆII  –
r
–
—
– 0 ............................. 0 —
– ‡ .......................... 0 —
–
–
—
—
‡ ....... ‡ α2 0 ........ 0
.................................
”
”
•
0 ............................. 0 •
‡ ........... ‡ α1 0 ... 0
’

0 ........................... 0 “
‡ ............ ‡ α1 0 ... 0
’
“
...............................
‡ .......... ‡ α2 0 ...... 0
–
–
—
—
– 0 ........................... 0 —
–‡ ............................ 0 —
– 0 ............. 0 α
—
–
ˆIII 
r ‡ ... ‡ — ˆIV  – ‡... ‡ αr 0 .............. 0 —
–
—
– 0 ........................... ‡ —
– 0 ............................ 0 —
–
—
–
0 ..... 0 α2 ‡ ........... ‡
................................ —
”
•
”
0 ... 0 α1 ‡ .............. ‡
0 ............................ 0 •
’

Mais dans la littérature, 'est la matri e de type

ˆI

qu'on onsidère omme é he-

lonnée.

1.3

Méthode du pivot de Gauss

La méthode de Gauss est un algorithme e a e permettant de transformer
toute matri e en une matri e é helonnée.
Fa ulté Des S ien es El Jadida

2

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Dé nitions 4. On appelle opération élémentaire sur une matri e (ou sur les lignes
de ette matri e) une des opérations suivantes :

1.

Permuter deux lignes.

2.

Multiplier une ligne par un s alaire non nul.

3.

Ajouter à une ligne une autre ligne multipliée par un s alaire quel onque.

Proposition 5.
Il existe une suite nie d'opérations élémentaires qui transforme une matri e donnée en une matri e é helonnée.

Notation .

Pour fa iliter la le ture, on utilise souvent les notations suivantes :

désigne la ième ligne de la matri e.

Y

Li

Y

L'é riture

Li

Y

L'é riture

kLi

Y

L'é riture

Lj veux dire qu'on a permuté la i

ème

Li

ligne et la

signi era qu'on a multiplié la ième ligne par

Li kLj

Li

signi era qu'on a ajouté à la

ème

i

j ème

ligne.

k.

ligne la ligne

kLj .

Remarques 6.
1) Par omodité, on e e tue souvent les deux dernières opérations en même temps,

kLi tLj

soit :

Li

kx0



et

i x j.

Cette dernière opération e n'est que la on aténation des deux opérations élémen-

kLi

taires

Li ,

puis

Li tLj

Li .

Plus généralement, on peut utiliser l'opération
et

j, . . . , t

sont distin ts de

opérations élémentaires

i.

kLi

kLi tLj



sLt

Li



kx0

En e et, ette opération 'est la on aténation des

Li , Li tLj

Li , . . . ,

puis

Li sLt

Li .

2) On peut utiliser des permutations er ulaires des lignes :

Li1
Par exemple, l'opération

Lj

Li

Li2

...

Li1

Lj est exa tement la permutation er ulaire Li

Li .

3) Dans une transformation d'un système
même notation

Li

pour les lignes de

i hes sont elles de



ˆ



ˆ

en un système

S œ ,

ˆ



ˆ

et les lignes après les è hes sont elles de
ˆ





lignes de (S)

Fa ulté Des S ien es El Jadida

on utilise la

et de ˆS œ , sauf que les lignes avant les

lignes de (S')

3

S œ .

ˆ

S œ

ˆ

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M. Mouçouf

Des ription de la méthode du pivot de Gauss
- Re her her parmi les oe ients de la première olonne un qui n'est pas nul ;
soit k l'indi e de sa ligne. Ce oe ient est appelé le pivot de l'étape 1.
- Permuter les lignes d'indi es 1 et k.
- Utiliser des transfomations élémentaires sur ha une des p 1 dernières lignes
pour que le premier oe ient de ha une de es lignes soit égal à 0. La matri e
ainsi obtenue est le début d'une matri e é helonnée.
On re ommen e es opérations sur la sous matri e obtenue en "oubliant" la première ligne et la première olonne du nouvelle matri e et ainsi de suite, on aboutit
à une matri e é helonnée.


1.4

Systèmes d'équations linéaires

Dé nitions 7.

Soient

pE1

et

nE1

deux nombres entiers. On appelle

linéaires de p équations à n in onnues à oe ients dans K

Système

un ensemble

d'équations de la forme (S) :

S

¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤

ˆ

a1,1 x1







a1,n xn

b1

a2,1 x1







a2,n xn

b2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ap,n xn

bp

ap,1x1







où :
Y

les

ai,j , 1 D i D p, 1 D j D n

sont des s alaires dans

du système ;
Y

les

bi , 1 D i D p

système. Le
Y

les

est le

sont des s alaires dans

p-uplet b

xi , 1 D i D n

b1 , ..., bp 

ˆ

sont les

-uplet in onnu

n

K,

de K p est le

in onnues

K,

appelés les

oe ients

se onds membres
se ond membre
appelés les

, que l'on her he dans

du

du système ;

K ; ˆx1 , ..., xn  > K n

.

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4

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Y

M. Mouçouf

Le tableau des oe ients

a1,1 a1,2 ... a1,n
a2,1 a2,2 ... a2,n “
– .
.
. —
–
.
. —
– .
—
.
.
. •
”
ap,1 ap,2 ... ap,n
’

est appelé la matri e des oe ients du système
Y

Le tableau suivant
’
–
–
–
–
”

ˆ

S .

a1,1 a1,2 ... a1,n b1
a2,1 a2,2 ... a2,n b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ap,1 ap,2 ... ap,n bp

“
—
—
—
—
•

est appelé le tableau omplet ou la matri e omplète du système
pelle aussi la matri e augmentée de
oe ients du système



ˆ

S ,

ˆ



ˆ

et on l'ap-

obtenu en adjoignant à la matri e des

et la olonne des se onds membres de e système.

Solution et ompatibilité
Un n-uplet x1 , ..., xn > K n est une solution de S si elle véri e les p équations
du système ;
Résoudre S 'est dé rire l'ensemble S des solutions de S ;
Le système S est ompatible (ou possible) s'il admet au moins une solution ;
sinon, S est dit in ompatible ou (impossible) ;
On dit que S est un système homogène si le se ond membre b est nul ;
Le système linéaire obtenu lorsqu'on rempla e dans S le n-uplet b par le n-uplet
0, ..., 0 s'appelle le système homogène asso ié à S .

Y

ˆ

Y

ˆ

Y

ˆ

Y



ˆ





ˆ

ˆ



ˆ





Y

ˆ

ˆ



ˆ

Remarque 8.
n-uplet ˆ0, ..., 0

1.5







Un système homogène est toujours ompatible puisqu'il admet le
omme solution.

Résolution d'un système d'équations linéaires
é helonné

Dé nitions 9.
Y

On dit qu'un système d'équations linéaires

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5



ˆ

est

é helonné

si sa matri e des

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oe ients est é helonnée.

rang

Y

le

Y

les in onnues orrespondant aux pivots d'un système é helonné sont appelées

in onnues

d'un système é helonné est elui de sa matri e des oe ients.

prin ipales

et les autres in onnues sont dites

se ondaires

.

Remarques 10.
1) Le rang

r d'un système é helonné ˆS  est toujours inférieur ou égal au minˆp, n.

2) Le rang

r

d'un système é helonné est égal au nombre des pivots de e système et

'est aussi le nombre des in onnues prin ipales, et don le nombre des in onnues
se ondaires est égal à

Proposition 11.

n r.

(Compatibilité)

Considèrons le système é helonné suivant qui a pour tableau omplet

α1 . . . . . . . . . . . . .

b1

.............
0 αr

br

.............
0
Y

Si

r

Y

Si

r p

p

............. 0

bp

les (p-r)

. . . . . . . . . . . . . 0 br 1

onditions de

0



ompatibilités



³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µ

0

: Le système linéaire est ompatible.
: les

p r

ˆ

dernières équations ont leurs premiers membres nuls, don

le système est ompatible si et seulement si les
sont aussi nuls. On a don

ˆ

p r

p r

ˆ

derniers se onds membres

onditions de ompatibilité à véri er.

Y

Si le système est in ompatible son ensemble de solutions est par dé nition vide.

Y

Si on a l'égalité

n

r

( 'est à dire il n'y a pas d'in onnues se ondaires), alors,

si la solution existe, elle est unique. Dans le as parti ulier :

r

p

n,

le système

est dit de ramer, il a une solution unique.

Remarque 12.

Dans un tableau é helonné, ne pas onfondre

0Sa

ave

a S 0.

Exemples .
1.

S

ˆ

¢
¨
¨

¨
¨
¤

2x1



x2



4x3

3

x2



3x3

6

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6

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r

p

2

n

et

3,

M. Mouçouf

le système est ompatible et le rang est égal à

x3

les in onnues prin ipales,

est l'in onnue se ondaire,

2

et

1

2. x1 et x2

sont

sont les pivots du

système.

2.
r

S

ˆ

p

¢
¨
¨

¨
¨
¤

2

2x1

n

et

x2



3,



3x3

6



4x3

3

le système est ompatible et le rang est égal à

les in onnues prin ipales,

x2

est l'in onnue se ondaire,



4x3

3

0

b

2

et

3



2. x1 et x3

sont

sont les pivots du

système.
¢
¨
¨

3.

2x1

S3 

x2



ˆ

¨
¨
¤

1 p

r

est égal à

2

2

et

1. x1

n

3,

le système est ompatible si et seulement si

est l'in onnue prin ipale,

x2

et

x3

b

0.

Le rang

sont les in onnues se ondaires,

est le pivot du système.

4.

r

S

ˆ

p

¢
¨
¨
¨
¨
¨

4
¨
¨
¨
¨
¨
¤

n

2x1
3x1



5x2

x1



x2

3,

6


4x3

3.

sont les in onnues prin ipales, il n'y a pas d'in onnue se ondaire,

2,

et

5

sont les pivots du système.

4

9

le système est de Cramer. Il est ompatible et le rang est égal à

x1 , x2
et

x3

3

Remarque 13.

Les systèmes

de type (IV), le système

ˆ

S4 

ˆ

S1 

et

S3 

ˆ

sont de type (I), le système

S2 

ˆ

est

est de type (III) et si on permute la première et la

troisième équations de e dernier système on obtient un système de type (II).

ˆ

Le tableau suivant regroupe tous les as possibles pour un système
S é helonné :


r D minˆn, p

r

r n

n

Les p r
toutes véri ées
onditions
S est un singleton.
n r paramétres
de
Cas parti ulier r p n :
S est in ni
ompatibilités
S est de Cramer
sont
non toutes véri ées : S
ˆ







ˆ



g

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Remarques 14.
1) Pour avoir une idée sur la ompatibilité de
on ompare

r

et

n

S ,

ˆ

on ompare

r

et

p

et par suite

pour avoir une idée sur le nombre de solutions.

2) En réalité, e sont les in onnues se ondaires qui sont responsables de l'in nité
des solutions d'un système é helonné ompatible.

Méthode de résolution d'un système linéaire é helonné :
On ommen e par déterminer r, p et n puis on dresse la liste des as possibles :
Si les p r onditions de ompatibilités ne sont pas toutes véri ées, alors le
système n'est pas ompatible et don l'ensemble des solutions est vide.
Si les p r onditions de ompatibilités sont toutes véri ées, on fait passer les
n r in onnues se ondaires dans le se ond membre on les onsidèrant omme
des paramètres et on résoud le système en ommençant par al uler l'in onnue
prin ipale orrespondant à la dernière équation et en remontant.

Y

Y

ˆ

Y

ˆ

ˆ



S

ˆ









Exemples .
1.



¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

Résoudre dans

2x1



p

n

Étape 2

3



4x3

3

5x2



3x3

6



4x3

9

: 'est un système de Cramer, il admet une unique solution.

Il se résoud à partir de

3 x2 4x3
2

x1
2.

S

ˆ

¢
¨
¨

¨
¨
¤

les systèmes suivants

x2

Étape 1
r

R3

2x1





171
.
40

x3 ,

9
x3
, puis x2
4
171 51 9
˜ˆ
, , .
40 20 4

on obtient

Don

S1

x2



3x3

6

x2



4x3

3

Fa ulté Des S ien es El Jadida

8

6 3x3
5

51
20

et en n

23 novembre 2013

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M. Mouçouf

Étape 1
r

p

2

n

et

3,

le système est ompatible. Les solutions dépendent d'un para-

mètre.

Étape 2
x1

et

x2

x3

sont les in onnues prin ipales,

au se ond membre omme un paramètre
¢
¨
¨

¨
¨
¤

2x1



x2

6





x2

3





x2 ,

puis, on résoud à partir de

3 7α
.
2



3.

S

ˆ

Étape 1
p

r

est l'in onnue se ondaire. On passe

α>R

on obtient

2

2x1

n

et

x2



3,



4x3

3



3x3

6

:

3 4α x2
6 3α et en n x1
2
3 7α
S2 ˜ˆ
, 6 3α, α~α > R.
2

x2

L'ensemble des solutions est don
¢
¨
¨

¨
¨
¤

x3

le système est ompatible. Les solutions dépendent d'un para-

mètre.

Étape 2
x1 et x3

sont les in onnues prin ipales,

x2

au se ond membre omme un paramètre
¢
¨
¨

¨
¨
¤

2x1



4x3

3 α



3x3

6

puis, on résoud à partir de

x3

2

et



11 α
.
2

x1

x3 ,

est l'in onnue se ondaire, On passe

α>R

x2

:

on obtient

L'ensemble des solutions est don

S3

˜ˆ

11 α
, α, 2~α >
2

R.

4.

S

ˆ

Étape 1
r

1 p

¢
¨
¨

¨
¨
¤

2

2x1

et

n



3,

x2



4x3

3

0

b

il y a une seule ondition de ompatibilité : le système est

Fa ulté Des S ien es El Jadida

9

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M. Mouçouf

ompatible si et seulement si

Étape 2

b

x1

est l'in onnue prin ipale,

x2

et

x3

1er

S4
2ème

et

x3

sont les in onnues se ondaires, On passe

au se ond membre omme des paramètres

as

2x1

0.

b

0

et

x3

λ > R.

:

3 α 4λ
3 α 4λ et don x1
.
2
3 α 4λ
˜ˆ
, α, λ~α, λ > R.
2
g.
as b x 0 : S4

1.6

α>R

x2

x2

L'ensemble des solutions est don

Résolution d'un système d'équation linéaire

Dé nitions 15.
Y

On appelle opération élémentaire sur un système

S  toute

ˆ

opération élémentaire

sur les lignes de sa matri e omplète.
Y

Deux systémes linéaires sont

équivalents

s'ils peuvent être obtenus l'un à partir

de l'autre ave uniquement des opérations élémentaires.
Y

Le rang d'un système linéaire

équivalent à

ˆ



est égal à elui d'un système linéaire é helonné

S .

ˆ

Proposition 16.

Deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions

et le même rang.

La méthode de Gauss de résolution d'un système linéaire S
onsiste à :
É rire la matri e omplète du système ;
Transformer ette matri e en une matri e omplète d'un système linéaire é helonné T ;
Trouver l'ensemble des solutions de T qui est exa tement
elui de S .
ˆ



Y

Y

ˆ



Y

ˆ

ˆ





Remarques 17.
1. Il faut garder à l'esprit qu'après une transformation d'une matri e omplète donnée, toutes les matri es omplètes obtenues représentent des systèmes équivalents.

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2.

M. Mouçouf

Si au ours de l'é helonnement de la matri e omplète d'un système donné

0 S c,

une ligne de la forme



cx0

apparait, alors le système



ˆ

est in ompatible

et il est untile de poursuivre l'é helonnement.

3.

On peut, en as de besoin, utiliser des permutations de olonnes de la

des oe ients

de

et

matri e

S , e qui revient à faire subir aux in onnues du système ˆS 

ˆ

les mêmes permutations. On notera

Ci

S ,

ˆ

Ci

Cj , l'opération permuter les olonnes

Cj .

4.

Sur les olonnes, Les permutations sont les seules opérations autorisées.

5.

Quand on a l'idée de faire des permutations sur les olonnes, il est onseillé de

noter elles- i par les in onnues qui leurs sont asso iées a n de ne pas oublier de
tenir ompte du nouveau ordre des in onnues.

6.

En général, un système donné



ˆ

peut-être transformé en plusieurs systèmes

é helonnés. Tout dépend du hemin emprunté pour réduire la matri e omplète de



ˆ

à une forme é helonnée ( hoix des pivots et des opérations élémentaires uti-

lisés). Il y a des hemins ourts et des hemins longs. Mais 'est par la pratique
qu'on peut prévoir un hemin relativement ourt. Noter que es di érents hoix de
hemins peuvent onduire à é rire la solution générale du système sous des formes
di érentes. Ce qu'on peut s hématiser par

ˆ

T S

T

T œ



ˆ

Un hemin



ˆ

T œœ

T œœ 

ˆ

On obtient des tableau omplets é helonnés di érents mais il y a uni ité de l'ensemble des solutions.
Par exemple, onsidérons le système suivant

S x y

ˆ

1

qui a pour ensemble de solutions

on a onsidéré

x

omme in onnue prin ipale et

S
y

1 y, y ~y > R.

˜ˆ

'est à dire,

omme in onnue se ondaire.

Maintenant si on permute les deux olonnes de la matri e des oe ients de

y

devient prin ipale et

x

se ondaire, et on a

S

x, 1 x~x > R.

˜ˆ

S ,

ˆ

On obtient le

même ensemble de solutions, mais la solution générale est é rite sous deux formes
di érentes.

Fa ulté Des S ien es El Jadida

11

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
7.

M. Mouçouf


Si la matri e des oe ients d'un système donné

omporte des olonnes

ˆ

nulles, alors dans e as, pour alléger les al ules, on peut les supprimer en gardant à l'ésprit que les in onnues qui leurs asso iées sont se ondaires.

8.

On peut toujours é rire les solutions d'un système



αn r sn r



s

est une solution (parti ulière) de

tions (parti ulères) du système homogène

S0 

ˆ



ˆ

sous la forme

S , s1 , . . . , sn r

ˆ

asso ié à



ˆ

S4 

3
1
, 0, 0 ሠ, 1, 0 λˆ 2, 0, 1 où α, λ > R. Dans
2
2
1
solution (parti ulière) de ˆS4  et ˆ
, 1, 0, ˆ 2, 0, 1
2
lières) du système homogène asso ié à ˆS4 .
9.

e as,

s

ˆ

sont

de la page

ˆ

les solutions de e système s'é rivent sous la forme :
ˆ

sont des solu-

α1 , . . . , αn r

et

les in onnues se ondaires. Considérons par exemple le système

s α1 s 1

3
, 0, 0
2

9,

est une

sont des solutions (parti u-

Pour avoir une solution parti ulière d'un système donné on rempla e les in on-

nues se ondaires par

0.

Si un système a une in nité de solutions, alors il a une

in nité de solutions parti ulières. Chaque fois qu'on donne aux in onnues se ondaires des valeurs on obtient une solution parti ulière

10.

Pour véri er le résultat :



ˆ

Y



Phase d'é helonnement de (S)

Il su t, d'aprés la remarque

n-uplets s1 , , sn r

8,



ˆ



Phase de résolution de (T)

d'inje ter le

dans le système

n-uplet s

S

dans le système



ˆ

et les

S0 .

ˆ

Y

On peut aussi inje ter la solution générale dans

Y

Si on avait inje té la solution dans

T ,

ˆ

S .

ˆ

on aurait fait seulement la véri ation

du al ul e e tué dans la phase de résolution de
Y

T

T .

ˆ

Il est lair que si le système est in ompatible, on peut pas faire de véri ations.

Ce qu'on peut faire dans e as, 'est s'assurer des al uls déjà faits.

1.7

Résolution d'un système ave paramétres

On dit qu'un système d'équations linéaires est un système d'équations ave
paramétre(s) si l'un au moins des oe ients du premier membre ou du se ond
membre est un paramétre.
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12

23 novembre 2013

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M. Mouçouf

Il est à noter qu'un système d'équations ave paramétre(s) se résoud souvent par
distin tion de as.
Dans le but de donner une méthode générale et a n qu'on puisse résoudre aisément
e genre de système, nous allons systématiser la pro édure à suivre en établissant
la stratégie suivante :
1) On transforme le tableau omplet en un tableau é helonné ou en un tableau
presque é helonné.
On dira que le tableau
0 ............ 0 α1 ‡ ...................... ‡ “
0 ............... 0 α2 ‡ ................. ‡
–
—
– 0 .....................0 α3 ‡ ............ ‡ —
–0 ............................................. ‡ —
–
—
–0 ............................................. ‡ —
–
—
– 0 ............................... 0 αr ‡ ... ‡ —
–
0 ............................................. 0 —
–
................................................. —
”
0 ............................................. 0 •
’

est presque é helonné si l'un au moins des oe ients αi désigne une expression qui
dépend d'un paramétre et qui s'annule pour une ertaine valeur de e paramétre.
Par exemple, le tableau
2a 1 2
0

6 1

est presque é helonné, puisqu'il a l'allure d'un tableau é helonné, mais il ne l'est
pas pour a 0.
Il faut noter que dans ette étape la distin tion des as proviennent du fait que les
opérations kLi Li et kLi ombinaison linéaire des autres lignes
Li
ne sont autorisées que lorsque k x 0, et don si k dépend d'un paramétre qui peut
l'annuler, il faut distinguer les as k 0 et k x 0.
2) On onsidère le tableau ainsi obtenu, et on ommen e la distin tion des as à
partir de la dernière équation et on remonte.
ˆ



Remarques 18.
1. En général, la résolution d'un système omportant des paramètres dans le premier membre est plus déli ate que si les paramètres sont uniquement dans le se ond
membre.
2. Si dans un as, on veut donner des valeurs à un ou plusièures paramètres, alors

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13

23 novembre 2013

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M. Mouçouf

il est préférable de le faire dans le tableau d'où provient e as.
3. On sait que si on a deux propositions

q ),

que

alors la proposition (p et

q)

p

q

et

telles que

p

q (p est plus forte

est la même que la proposition

p

(dans une

onjon tion de propositions, la plus forte l'emporte). Par exemple le as (λ

λ

2)

est le même que le as

λ

x0

et

2.

4. Le nombre de as possible dépend du hemin emprunté.
5. Pour n'omettre au un as il est re ommandé parfois de dessiner un arbre mettant en éviden e tous les as possibles. Chaque bran he de et arbre représente un
as.

Exemples .

Desssiner un arbre des as possibles des tableaux omplets suivants

(sans faire la résolution des systèmes asso iés)
1)

2 1 3

1

0 a 0 b 1
0 0 b c 2
2)

a 1

b

c 1

2

0

ab

bc

c 1

0

0

0

bˆa 1ˆc 2

0

0

0

bˆa 1

3)

a b c 0
b c a 0
b 0 deux as se présente c

1) Pour
les as

a

0

et

a x 0,

et pour

a

0



2 et c x 2, et pour c

on doit envisager les as

Pour

bx0

b x 1.

Don un arbre des as possible est

0

c x 2
c 2

bx0

ax0
a 0

b

a

deux as se présente

0

c

2, b x 0

et

et

ax0
a 0
bx1
b 1

a x 0, b >~ ˜0, 1

Fa ulté Des S ien es El Jadida

et

a x 0,

et pour

a

b

0

1

et

b x 1.

on a les as

b

1

et

bx1
b 1

Don il y a six as possibles qui sont :
et

2 on doit distinguer



a

b

0

0, b

14

et

1

c x 2, b
et

a

0

et

c

2

et

a x 0, b

a

0

0.

23 novembre 2013

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M. Mouçouf

2) On a l'arbre des as possible suivantes

0

cx1
c 1

bx0

ax1
a 1

b

ax1
a 1
c x 2
c 2
b

IL y a sept as possibles qui sont :

a
et

c
a

1, b x 0
1

et

c

a x 1, b x 0

et

cx1
c 1
b x 32
b 32
0 et c x 1, b

a

et

1

et

0

c x 2, b >~ ˜0,

c

et

3
2  et

1
a

a x 1, b

et

1

et

c

0

et

2, b

3
2

b2

ac



2.



3) On trouve qu'un arbre des as possibles est

b2 ac
b2 x ac
b 0
bx0

ax0
a

0

Il y a six as possibles :
et

a2 x bc, a

0

1.8

b x 0, a

et

Remarquer que si

a2 x bc
a2 bc
c 0
cx0
a x 0 et b2 x ac, a x 0

a, b, c > R,

b

c

0, a

alors

ax0

b
et

0
b2

et

b2

ac

et

c x 0.

ac

et

a2

et

a2

bc

bc, a x 0

a

b

et

c x 0.

Opérations autorisées

Dans la méthode de Gauss pour la résolution des systèmes d'équations linéaires,
il faut remarquer qu'on utilise un seul pivot dans haque étape. C'est en prin ipe
la raison pour laquelle les systèmes obtenus par la méthode de Gauss sont équivalents. L'exemple suivant montre qu'on ne peut pas toujours utilisé plusieurs pivots
dans une même étape.
On onsidère le système
S

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

x



y



z

0

L1

x



y



2z

0

L2

2x



y



z

0

L3

On propose la résolution suivante :


ˆ

L1 L2
2L2 L3
L3 2 L1

L1
L2

L

S œ

ˆ

3

Nous allons voir si ette résolution permet de trouver les solutions du système S .
ˆ

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15



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On a

œ
ˆS

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

M. Mouçouf

2y



3z

0

3y



3z

0

y



3z

0.

La première et la deuxième équation montrent que y 0, et si on rempla e y par
0 dans l'une des trois équations on trouve z 0, e qui fait que


x, 0, 0~x > R.

˜ˆ

Maintenant, on onstruit la matri e omplète de S et on applique la méthode
de Gauss
ˆ

1
1
2



1

1


1

1

0

2 0



L2 L1
L3 2 L1

1

L2
L3



1 0



1



1

0

2



0

1



0



1


2L3 L2

3 0

L3

3 0

1



1

0

2



0

0



0

3 0
3 0

Par suite S admet une seule solution. Plus pré isement, on a S
0, 0, 0 .
On a S b S œ et ela est dû au fait que le système S entraîne le système S œ .
Les deux systèmes S et S œ n'ont pas les mêmes ensembles de solutions, et ela
est dû au fait que les deux systèmes S et S œ ne sont pas équivalents. C'est à
dire on a S Ô S œ , mais on a pas S
S œ . En on lusion, la méthode
proposée est fausse, 'est à dire les opérations utilisées ne sont pas autoriséés.
D'où la question omment savoir si dans une étape les opérations utilisées sont
autorisées.
Il y a deux méthodes :
La première utilise la notion de matri e inversible.
La deuxième est simple et onsiste à onsidérer les objets Li omme des ve teurs
linéairement indépendants, 'est à dire
ˆ



˜ˆ

ˆ

ˆ



ˆ



ˆ

ˆ





ˆ

ˆ









ˆ

ˆ





ˆ



Y
Y

α1 , . . . , αk > R α1 L1 αk Lk



0

Ô α1

αk



0.

Une ondition né essaire et su sante pour que plusieurs opérations e e tuées simultanément soient autorisées est que es dernières, onsidérées omme des ve teurs, soient linéairement indépendants.
Reprenons l'exemple pré édent, on a la relation de dépendan e linéaire


2ˆ L1



L2  ˆL2

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L1  ˆL3

16



2 L1 

0.

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M. Mouçouf

Ce qui montre que les opérations e e tuées ne sont pas autorisées.
Maintenant, on onsidère la méthode de Gauss utilisée dans la première étape. On
a e e tué les opérations suivantes :
L1

L1 , L2



L1

L2 , L3



2 L1

L3

On a α1 L1 α2 L2 L1 α3 L3 2 L1 0 α1 α2 2α3 L1 α2 L2 α3 L3 0,
d'où α1 α2 α3 0.
On peut montrer d'une manière analogue que les opérations utilisées dans la méthode de Gauss sont toujours linéairement indépendantes. Ce qui justi e leur utilisation.


Exer i e.

ˆ





ˆ





ˆ











Montrer qu'une permutation ir ulaire des lignes d'un tableau omplet

est une opération autorisée.

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17

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1.9

M. Mouçouf

Exer i es

Questions de ours
1. Montrer que si s et sœ sont deux solutions d'un système d'équations S , alors
s sœ est une solution du système homogène asso ié à S .
2. Montrer que si un système d'équations S admet deux solutions distin tes s et
sœ , alors il en admet une in nité.
3. Un système qui a plus d'équations que d'in onnues est-il toujours in ompatible ?
4. Un système qui a plus d'in onnues que d'équations est-il toujours ompatible ?
5. Montrer que si un système ompatible a plus d'in onnues que d'équations, alors
il admet une in nité de solutions.
ˆ



ˆ

ˆ







Exer i e 1.
Résoudre dans

S1  š 2x

ˆ

S

ˆ

S

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

2
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
¢
¨
¨
¨
¨
¨

3
¨
¨
¨
¨
¨
¤



R

les systèmes suivants :

5y

3z



9

x1



x2



3x3

1

2x1



x2



2x3

1

x1



x2



x3

3

x1



2x2



3x3

1



x1



2x2



x3



x4

x1



2x2



x3



x4

x1



2x2



x3



5x4

1


1
5

Exer i e 2.
Résoudre dans

S

S

¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

2
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

ˆ

R les systèmes suivants :
y 3z 2t
2

x



2x



3y



4z



t

3x



7y



z



6t



6

2x1



x2



x3

2

x1



3x2



x3

5

x1



x2



5x3



2x1



3x2



3x3

14

Fa ulté Des S ien es El Jadida

1

7

18

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Université Chouaib Doukkali

S

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

3
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤

M. Mouçouf

2x1



x2



x3

1

x1



3x2



x3

2

x1



x2



5x3

0

2x1



3x2



3x3

4

Exer i e 3.
R

Résoudre dans

S

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

le système suivant :

x



y

1

2x



y



z



t

2

x



y



2z



t

1

Exer i e 4.
Résoudre dans

S

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

R

le système non linéaire suivant :

x3 y 2z 6

1

x4 y 5 z 12

2

x2 y 2z 5

3

Exer i e 5.
Résoudre dans

S

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

R

le système non linéaire suivant :

x4 y 8 z 4

1

x2 y 6 z 8

4

x2 y 16 z 44

36

Exer i e 6.
Soit

S

ˆ

λ

λ 1 z

R le
λ

ˆ

λ 1 z

λ

2λ 5z

1

un réel quel onque, résoudre dans

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨ ˆ
¤

λx



λy



ˆ

λx



λy



λ 1 x



λy



ˆ

système suivant

Exer i e 7.
Soient

u, v

et

w

trois ve teurs d'un

C-espa e

ve toriel

E

et onsidérons le système

suivant

ˆ

S

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

u1



u2



u3

u

u1



ju2



j 2 u3

v

u1



j 2 u2



ju3

w

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19

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j

M. Mouçouf
1

est une ra ine di érente de

de l'équation

x3

1.

1. Montrer qu'on peut e e tuer simultanément les opérations suivantes

L1 , j 2 L2 jL3 L1

L1 L2 L3

2. Résoudre le système



L2

et

j 2 L3 jL2 L1

L3 .

en e e tuant les opérations de la première question.

ˆ

Exer i e 8.
Soit

S

ˆ

a

et

b

deux réels quel onques, résoudre dans

¢
¨ ˆ 2
¨

¨
ˆ

¨
¤

a

1x



a 1x



ˆ

12 y

a 1

b 1y

b

b

ˆ

C

le système suivant

R

le système suivant

Exer i e 9.
Soit a et b deux réels quel onques, résoudre dans

S

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤

x



ay



bz

a

x



by



az

b

ax



y



bz

a

bx



y



az

b

Exer i e 10.
x1



x2



3x3



2x4



a, b, c, d, k > R
5x5
0

2x1



x2



x3



x4



3x5

0

x1



5x2



7x3



kx4



9x5

0

x1



3x2



2x3

a

2x1



x2



3x3

b

x1



4x2



5x3

c

5x1



6x2



x3

d

Résoudre dans

S

ˆ

S

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

2
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤

R

les systèmes suivants :

ˆ

Exer i e 11.
R le système suivant :
ˆ1 mx

2y
mz

Résoudre dans

ˆ

S

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨ ˆ
¤



m

2mx



2y



3mx



4y





m2



2

m 2z

1

2m 4z

m 1

ˆ
ˆ

est un paramètre réel.

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20

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M. Mouçouf

Exer i e 12.
Résoudre dans

S

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

R le système
y z

suivant :

mx



x



my



z

b

x



y



dz

c

a, b, c, d, m > R

ˆ

a

Exer i e 13.
Résoudre dans

S

ˆ

S

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

R les systèmes suivants
by z
1

ax



x



aby



z

b

x



by



az

1

¢
¨ ˆ
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

2
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤

1 mx



x



x
x

:

a, b, c, d, m > R

ˆ

y



z



t

a

1 my



z



t

b



y



1 mz



t

c



y



z



1 mt

d

ˆ

ˆ

ˆ

Exer i e 14.
Équilibrer les équations himiques suivantes : 1)

P bN6 CrMn2 O8

P b3 O4 Cr2 O3 MnO2 NO.

2)

NO2 H2 O

Exer i e 15.

HNO3 NO.

(Pont de Wheatstone)

On onsidère le ir uit suivant appelé pont de Wheatstone :

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21

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M. Mouçouf
i3

R1

R3

i5

i1
R5

i2
R2

R4
i4

E

i6

R6
où ik désignent les intensités et

Rk

les résistan es.

En utilisant la loi d'Ohm et les lois de Kir hho ( 'est à dire, la loi des noeuds et
la loi des mailles), déterminer les intensités ik ,

1 B k B 6.

Exer i e 16.
Une pis ine est alimentée par
net

k

n

1

robinets numérotés de

à

n.

Si on ferme le robi-

et on laisse tous les autres ouler ensemble, la pis ine est remplie en

pn k 1

heures.
1. Combien de temps haque robinet, oulant seul, mettrait-il pour remplir la pis ine ?
2. En déduire ombien de temps mettront-ils pour remplir la pis ine, si les

n

robi-

net oulent ensemble ?
3. Donner une ondition né essaire et su sante sur les

pi

pour que le problème ait

un sens.
4. Appli ation numérique :
Une pis ine est alimentée par trois robinets. Si les robinets
la pis ine est remplie en

1 jour et 16 heures ; si les robinets 2 et 3 oulent ensemble,

la pis ine est remplie en
pis ine est remplie en

2

1 et 2 oulent ensemble,

30

heures et, si les robinets

1

et

3

oulent ensemble, la

jours et demi.

Combien de temps haque robinet, oulant seul, mettrait-il pour remplir la pis ine ?

Fa ulté Des S ien es El Jadida

22

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali

M. Mouçouf

Combien de temps mettront-ils tous ensemble pour la remplir ?

Exer i e 17.

Pour fabriquer les trois produits

P1 , P2

subir su essivement des opérations sur trois ma hines,

et

P3 ,

on doit leur faire

M1 , M2

et

M3 .

Les temps

d'exé ution sur ha une des ma hines sont fournis dans le tableau suivant.

M1

M2

M3

P1

11mn

12mn

16mn

P2

22mn

12mn

16mn

P3

11mn

24mn

16mn

Par exemple on peut noter que le temps d'exé ution de la piè e

M2

est de

12

P1

sur la ma hine

minutes. On suppose que les ma hines n'ont pas de temps mort par

suite d'une attente d'un produit en opération sur une autre ma hine. Les heures
disponibles de haque ma hine pour une a tivité d'un mois sont :


165

heures pour la ma hine

M1 ,

140

heures pour la ma hine

M2 ,

160

heures pour la ma hine

M3 .




Dans es onditions, ombien doit-on fabriquer mensuellement de produits
et

P3

P1 , P2

si l'ont désire utiliser les trois ma hines à pleine apa ité ?

Fa ulté Des S ien es El Jadida

23

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
1.10

M. Mouçouf

Solutions

Questions de ours
1) Soit

a1 x1

ˆ†



b l'une des équations du système ˆS . Soient s

an xn

œ
œ
ˆα , . . . , α 

deux solutions de S . Si on rempla e s et sœ dans
l'équation
et on fait la di éren e, on obtient a1 α1 α1œ
an αn αnœ
0,
e qui fait que s sœ est bien une solution du système homogène asso ié à S .
2) D'après la question pré édente, on a s sœ est une solution non nulle du système
homogène S0 asso ié à S et par suite β s sœ est aussi une solution de S0 et
e i pour tout β > R. Or il est évident que la somme d'une solution de S et d'une
solution de S0 est une solution de S . Par suite s β s sœ est une solution de
S pour tout β > R. D'où le résultat.
3) Il n'est pas toujours in ompatible. en e et, il su t de onsidérer un système
homogène dont le nombre d'équations est plus grand que elui des in onnues.
4) Il n'est pas toujours ompatible. En e et, onsidèrons l'exemple suivant :
ˆ

α1 , . . . , αn  et



ˆ

n

1

ˆ†



ˆ





ˆ





ˆ









ˆ

ˆ



ˆ





ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

¢
¨
¨

¨
¨
¤



ˆ





ˆ











x



y



z

5

0

4

Il est lair que le nombre d'équations de e système, qui est égal à 2, est stri tement
inférieur au nombre d'in onnues, malgré que e système est in ompatible.
5) Soient p et n respe tivement le nombre d'équations et le nombre d'in onnues de
e système, et soient pœ et nœ respe tivement le nombre d'équations et le nombre
d'in onnues d'un système é helonné T équivalent à S , obtenu par la méthode
de Gauss. Il est évident que n nœ et r B pœ B p, où r est le rang du système T .
Puisque p n, alors r n. De plus, T étant ompatible par e que S l'est, il s'en
déduit que T , et don S , admettent une in nité de solutions (voir le tableau
dans la page 7).
ˆ



ˆ



ˆ

ˆ

ˆ



Remarque 19.

ˆ

l'inégalité



ˆ







r B inf ˆp, n

est toujours valable même si le système

n'est pas é helonné.

Exer i e 1.
Le tableau omplet du système

S1 

ˆ

Fa ulté Des S ien es El Jadida

qui est

24

2

5 3 9



est déjâ sous une forme

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali

M. Mouçouf
x

é helonée. De e tableau on tire que

S1

˜ˆ

est l'in onnue prin ipale et que

9 3z 5y
, y, z ~y, z > R.
2
S2  et
3 1

On onstruit la matri e augmentée de

1 1

3

2 1

2

1

1

3

3

1



1 1
1 2

1



1



2 L L
LL
L L
2

3

4

3

0

4

1

1

3

1

0

0

0

0

L4

3



0

2

L4 L1

1
7 L L
L

1

1
1



on applique la méthode de Gauss

ˆ

8

3

2

4

6

2



0

0



0

1



1

L L
L

4

2

1

0

4



3

1

0

0

0

0

1





8

3



2

4

14

5



1



8

3

2

4




23

0



Une ondition de ompatibilité n'est pas véri ée, e qui fait que le système est in ompatible, 'est à dire,

S2

g.

S3 
1 2 1 1

On fait le même travail pour le système

1

2 1



1



2 1

1



2 1

1

1

1

L2 L1
L3 L1



1





5

L2
L3

5

lair que

x4

2
2

1

x1

et

0

1

2


L3 2 L2

0

0

0

0 0 4 4
x1 et x4 sont les

Le système est ompatible et on a


ˆ

2





1 x4 x3 2x2

L3

1

2 1



0

0

0

0

0

0

1


1

2

2



0

0

in onnues prin ipaux. Il est

2x2 x3 ,

et par suite

2x2 x3 , x2 , x3 , 1~x2 , x3 > R.

S3

˜ˆ

Exer i e 2.
S1 
3
2

On onsidère la matri e omplète du système

1 1 3
Gauss

2 3 4
3 7 1

2

2



1

1



6

L 2 2 L 1
L 3 3 L 1



0 1

6



Le système est ompatible et on a
tableau, on tire que

1 1

L2
L3

y

S1

3 3t 2z

x

et

et

ˆ

2



L3

1 1

2 2t 3z y

5 5t 5z .



2



Par suite

5 5t 5z, 3 3t 2z, z, t~z, t > R.

˜ˆ

On remarque que les systèmes

S2 

ˆ

et

S3 

ˆ

ont la même matri es des oe ients

et don on peut résoudre les deux systèmes à la fois par appli ation de la méthode

Fa ulté Des S ien es El Jadida

2

2



0



0 1

3

0 4 8 12 12
0 0 0 0
y sont les in onnues prin ipales. Du dernier



3

L3 4 L2

3



3



3

x

2

et on applique la méthode de

25

23 novembre 2013



Université Chouaib Doukkali

M. Mouçouf

de Gauss

2 1

1

1 3

1

1 1

5

2 3

2

2 1

1

5

L L
2L

2L L
L

2

7 0



2

1

3

1

L4 L1

2

0 5

1

3

0 1

9

L4

0 2

3 14 4



L L
2L
4

3

4

1

2 1

1

2

1

0 5

1

8

3

0 0 44
0 0

88



0

10



0

Il est lair que le système

ˆ

2

1

8
16

4



12

L3
L4



3





5L3 L2
5L4 2 L2

1

2 1

1

2

1

0 5

1

8

3

0 0

44

0 0

3



88



22

44

8

S3 

est in ompatible et don

S3

g,

alors que

S2 

ˆ

3

ompatible puisque Le rang du système é helonné équivalent est égal à

est

qui est

égal aussi au nombre d'équations de e système.

88
44



x3

On a



8 x3
5

2, x2

2

et

2 x3 x2
2

x1

1.

Don le système admet

une seule solution. Plus pré isement,

S2

Exer i e 3.
1 1 0

La méthode de Gauss appliquer au tableau omplet de

0

2 1 1
1 1 2

1, 2, 2.

˜ˆ

1

1

2

1

1




L3 L2

L3

1

1

0

0

1

3

2

3

0

3

1

1

2

1

1



Le dernier tableau est à lignes é helonnées de type
sont

y, z

et

t,

et

le rang est égal à

x

1 x, z

donne

III . Les in onnues prin ipales

ˆ

est une in onnue se ondaire (les pivots sont

3).



ˆ

1, 3

et

1,



et

Le système est ompatible ave une in nité de solutions.
3 3x 2y
3

On a

y

1 x

S

x, 1 x, 1 x, 2x 2~x > R.

et

t

x y



2z



1

2x 2.



Par suite

˜ˆ

Exer i e 4.

Il est lair que

y 2z 6 A 0

x3 A 0

don

alors

x x 0, y x 0

et

z x 0.

D'autre part, on a

1 A 0

et

x A 0.

De la même façon de la deuxième équation on montre que

z A 0.
3 lnˆx 2 lnˆy  6 lnˆz 

0

4 lnˆx 5 lnˆy  12 lnˆz 

lnˆ2

2 lnˆx 2 lnˆy  5 lnˆz 

lnˆ3

yA0

et de la troisième

équation, on montre que

On a :



ˆ



¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

Fa ulté Des S ien es El Jadida

26

23 novembre 2013

8



9

Université Chouaib Doukkali

M. Mouçouf

On onsidère le tableau omplet de e dernier système et on applique la méthode
de Gauss :

3 2

6

0

3L2 4 L1
3L3 2 L1



4 5 12 lnˆ2
2 2

5

3 2

L2
L3



L3

0 2

3 2

6

3

3 lnˆ3

0

0 7 12
0 0

0

0 7 12 3 lnˆ2

lnˆ3

7L3 2 L2

6

3 lnˆ2

3 21 lnˆ3 6 lnˆ2.



Du dernier tableau, on tire que

21 lnˆ3 6 lnˆ2
22
22
7 lnˆ3 2 lnˆ2
lnˆ 7 , et don z
,
3
3
37
3 lnˆ2 12 lnˆz 
312
312
3 lnˆ2 12 lnˆ3
lnˆ 3 , et don y
7
2
23
2 lnˆy  6 lnˆz 
36
lnˆx
2 lnˆ2 6 lnˆ3
lnˆ 2 , et don x
3
2

lnˆz 
lnˆy 
et que

36
.
22

En on lusion,

S1

Exer i e 5.
ˆ





¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

˜ˆ

36 312 22
,
, .
22 23 37

4 ln SxS



x x 0, y x 0 et z x 0 puisque x4 y 8z 4
8 ln Sy S 4 ln Sz S
0

2 ln SxS



6 ln Sy S



8 ln Sz S

2 lnˆ2

2 ln SxS



16 ln Sy S



44 ln Sz S

6 lnˆ3

Il est lair que

1.

De plus

On onsidère le tableau omplet de e dernier système et on applique la méthode
de Gauss :

4

8

4

0

2

6

8

2 lnˆ2

2 16 44 6 lnˆ3

L3


L3 6L2

1
L
4 1
1
L
2 2

L1
L2


L
L
1
2

3

1 2

1

0

1 3

4

lnˆ2

3

L2 L1
L3 L1



1 8 22 3 lnˆ3

1 2 1

0

0 1 3

lnˆ2

L2
L3

1 2

1

0

0 1

3

lnˆ2

0 6 21 3 lnˆ3

0 0 3 3 lnˆ3 6 lnˆ2.
Du dernier tableau, on tire que

ln Sz S
ln Sy S
ln SxS

3
,
22
27
7
lnˆ2 3 ln Sz S lnˆ 233 , 'est à dire, Sy S
33
35
5
2 ln Sy S ln Sz S
lnˆ 2312 , 'est à dire, SxS
.
212

lnˆ3 2 lnˆ2

lnˆ 232 ,

'est à dire,

Fa ulté Des S ien es El Jadida

27

zS

S

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
Les exposants de

ˆ

x, y

z

et



x, y, z  > S

M. Mouçouf

sont tous pairs alors

ˆ

x, y, z  > ›

35 35
27 27
3 3
  ›
,
, 3   › 2 , 2   .
12
12
3
2 2
3 3
2 2



En on lusion,

35 35
27 27
3 3
,
  ›
, 3   › 2 , 2   .
12
12
3
2 2
3 3
2 2



S

›

Remarque. Pour déterminer expli itement S sans omettre au unes des solutions,
on tra e l'arbre des as possibles :
3
22

z
27
33

y

z

3
22

35
212

x
b



3
22

z
y



27
33

z



3
22

z
y

27
33

z
x
b



3
22



3
22

35
212

z
y



3
22

27
33

z



3
22

Chaque bran he de et arbre représente une solution de

S .

ˆ

Exer i e 6.
On onsidère le tableau omplet du système
x

y

z

λ

λ

λ 1

λ

λ

λ

λ 1

λ

C2


C1

λ 1 λ 2λ 5 1
y

L3


L2

1

er as :

x

S  et on applique la méthode de Gauss

ˆ

y

x

z

λ

λ

λ 1

λ

λ

λ 1

y

λ
λ


L L
L
L2 L1
3

λ λ 1 2λ 5 1

1

L2

x

z

λ λ λ 1

λ

0 0

0

2



3

0 1 λ 6 1 λ

z

λ λ λ 1

λ

0 1 λ 6 1 λ
0 0
λx0

On obtient

z

2

0

0, x

1 λ



et

λy

Fa ulté Des S ien es El Jadida

λ λx,

'est à dire

28

y

λ. Don S

1 λ, λ, 0.

˜ˆ

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
2ème

as :

λ

0
λ

on rempla e
y

x

z

0 0

1

M. Mouçouf

par

0

dans le dernier tableau pour obtenir

0

0 1



6 1

0 0



2 0
y est une in onnue se ondaire. on fait alors l'opération 2L1 L2

Il est lair que

L1

pour obtenir
y

x

z

0 0

0

0

0 1



6 1

0 0



2 0

Le tableau pré édent montre que

z

0, x

1

et

Exer i e 7. Remarquer que puisqu'on a x3 1


De plus j 3

1

entraîne que j 4

y > R.

Don

1, y, 0~y > R.

S

˜ˆ

x 1ˆx2 x 1, alors j 2 j 1

ˆ

0.

j.

α, β, γ > C. On a
αˆL1 L2 L3  ⠈j 2 L2 jL3 L1  㠈j 2 L3 j 2 L2 L1 

1. Soient




α β 㠍L1 ˆα j 2 β j㠍L2 ˆα jβ j 2 㠍L3
α



β



γ

0

α



j2β





0

α







j 2γ

0

La somme des trois équations entraîne que

α

0

ˆ

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

par

0,



0,

et don

on trouve, d'après les deux premières équations,

2. On onsidère le tableau omplet du système



ˆ

0

β

α
γ

0.

Si on rempla e

0.

et on applique les trois opéra-

tions de la question 1.

1

1

1

u

1

j

j2

v

3 0 0

L1 L2 L3 L1
j 2 L2 jL3 L1 L2


j L j L L
L
2

3

2

1

u v w

0 3 0 u j 2 v jw

3

0 0 3 u jv j 2 w
1
1
1
2
2
Le système est de Cramer et on a S
˜ˆ ˆu v w ,
3
3 ˆu j v jw , 3 ˆu jv j w .
1 j2

j

w

Remarque.

Une erreur ourante

(

)

On peut penser utiliser la méthode de résolution
ˆ



les trois équations de

ˆ

S .

On a

ˆ†

1 ˆ2 ˆ3

ˆ

suivante : notons

donne

3u1

1, ˆ2

ˆ

u v w

et

et don

1
1
2
2
3 ˆu v w . De la même façon, j ˆ2 j ˆ3 ˆ1 donne u2
3 ˆu j v jw 
1
1
1
2
et j 2 ˆ3 j ˆ2 ˆ1 donne u3
˜ˆ ˆu v w ,
3 ˆu jv j w . Par suite S
3
3 ˆu

u

Fa ulté Des S ien es El Jadida

29

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
j 2 v jw , 13 ˆu jv j 2 w .
en ˆS œ

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

M. Mouçouf

Le raisonnement qu'on a utilisé pour transformer

3u1

u v w
u j 2 v jw

3u2

u jv j 2 w

3u3

n'assure pas l'équivalen e entre es deux systèmes. En e et, on a seulement
ˆ

S œ . Ce qui fait on ne peut pas on lure que S

jv j 2 w .

˜ˆ

Il est par suite naturel de se poser la question si l'égalité

Considérons un système

S b Sœ



ˆ

et don si

ˆ

S œ

et un autre système

S œ





ˆ

1
1
1
2
3 ˆu v w , 3 ˆu j v jw , 3 ˆu

une simple oin iden e, sinon pourquoi alors on a ette égalité.

lair que



ˆ

tel que

ˆ



ˆ





S
S œ .

ˆ

est

Il est

est ompatible ave une seule solution, on aura



ˆ

est ou bien in ompatible ou bien ompatible ave une seule solution qui est elle de
ˆ

S œ .

Notre système véri e bien ette dernière ondition. On en déduit que si on

utilise la résolution

ˆ†,

et e i est dû au fait que

on va trouver



ˆ

S

même si le raisonnement utilisé est faut,

est ompatible et

S œ

admet une seule solution. Pour

ˆ

s'en onvain re, Considérons le système

ˆ

S

¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

x



y

1

ˆ



x



2y

2

ˆ

x



y

3

ˆ




La somme des trois équations de

2ˆ1 ˆ2 ˆ3

3y

donne



3,

S1 

ˆ

3x

donne

'est à dire

y

6,


1.

résolution que nous avons utilisée mène à la solution

S1 

ˆ

est in ompatible ( omparer les équations



ˆ

et

'est à dire

x

2.

Puis

Ce qui fait la méthode de

2, 1.

˜ˆ

Or notre système

3).

ˆ

Exer i e 8.
S  et on applique la méthode de Gauss
b 1
b
L2 ˆa 1L1 L2

On onsidère le tableau omplet du système

a2



1

a 1

b

ˆ

1 2

b 1

a 1

1

b

b 1

0

ˆ

2

a 1
a2 1

b 12 a 1

ˆ



b

0
ˆb 1ˆb a
Si b a, on obtient
a 1 a 1
a
0

L
L

a 1

ˆ

a 1ˆ1 b.

ˆ

a 1 2 .

Le système est ompatible si et seulement si

Fa ulté Des S ien es El Jadida

30

a

1.

D'où

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
1er

as :

M. Mouçouf

bx1

a

S

Le système est in ompatible et on a

2ème as : a
2 0 1

b

1.

a

Si on rempla e

g.

1,

par

on obtient

0 0 0.
Il est lair que

S

˜ˆ

1
2 , y ~y

> C.

1, on obtient
a 1 0 1

Si

b

0 0.

0

On distingue deux as

a x 1

3ème

1

as :

b

1

et

a



et

a

1.



S

Le système est in ompatible et on a

4ème

as :

b

1

et

a x 1

Le système est ompatible et on a
Si maintenant

5ème

as :

b >~ ˜a, 1.

b >~ ˜a, 1

et

b >~ ˜a, 1 et a
0
b 1
0

ˆ

b 1ˆb 1

1.



S

2ˆ1 b.



1
b 1

2

, 1b aa .

0 b 1

2

b

b 1 L b 1 L
L

ˆ

0 b 1 2.
seulement si b2 b 2 0.

 2 ˆ

 1

2

0 b 1
0

0

Les ra ines de ette der-

1 i 7
2 .

1 i 7
et a 1
2
º
ˆ1 i 72
On a S
˜ˆx,
~x > C.
º 8
7ème as : b 1 i2 7 et a 1
º
ˆ1 i 72
On a S
˜ˆx,
~x > C.
º8
º
1 i 7 1 i 7
ème
8
as : b >
~ ˜
,
2
2 , 1, 1 et

as :

b2 b a 1

ˆa 1ˆb a

˜ˆ

L
L


º

6ème

1.



On obtient

Le système est ompatible si et
º

> C.
a x 1 et a

1
a 1 , y ~y

˜ˆ

a x 1

b

nière équation sont

S

On distingue deux as

Le système est de Cramer et on a
Si

g.

b

a

1



Le système est in ompatible et on a don

S

g.

Exer i e 9.
On onstruit la matri e augmentée du système

Fa ulté Des S ien es El Jadida

31

S  et applique la méthode de Gauss

ˆ

23 novembre 2013

b
2
b



b 2.

Université Chouaib Doukkali
1 a b a

M. Mouçouf

1
L L
L

L L
L

1 b a b
a 1 b a

2

1

2

4

3

4

a

0

b 1 a b
b x a,

b

a

b a a b b a

a

1

b a

0

a

b

ˆ†.

a b b a

Si

1

on utilise les deux opérations b a L2

1 a
0 1
a 1
1 0

b

1

L2

L3

et b a L3

pour obtenir

a

1 1



a

b

.

1 1



puis on applique la méthode de Gauss à e dernier tableau

1 a
0 1
a 1
1 0

b

a

L
L

1 1



b

1

a

4

1 1



1 0



0 1



1

1

1

1

0 0 b a 1

1



1 0



1 1

0 1



1 1

a 1

b

a

1 a

b

a

L L
L
4

0 0 b a 1 1
1er as : a x b et a b 1

3

4

a L L
LL
L L
3

1

4

1

as :

axb

et

1 0



0 1



a

b,

b

on rempla e



1

1

1
0

L L
LL
a L L
3

4

2

2

3

4

1

1

1

1

0 0

1



0

0

0

Le système est de Cramer et on a

Si

0 1

1

0 1 b a

4

0 0 b a 1

a b 1 x0

S



0 a b 1 a 1

S

Le système est in ompatible et on a don

2ème

3

1 0

˜ˆ

par

z

g.

1
a b 1


et

x

y

1 z

a b
.
a b 1

D'où

a b
1
a b

,
,
a b 1 a b 1 a b 1
a

dans le tableau

ˆ†

et on applique la méthode de

Gauss

1 a a a
0 0 0 0
a 1 a a

L aL
L


0 0 0 0
3ème as : a b

3

1

3

1

a

a

a

0

0

0

0

0 1 a2 a a2 a a2
0

0

0

0

1

Fa ulté Des S ien es El Jadida

32

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali

4ème

z

On a

5

ème

On

S

a

as :

1

1 y z, y, z ~y, z > R.

S

Il est lair que

b

˜ˆ

1



x

et

M. Mouçouf

y.

Par suite

y, y, 1~y > R.

S

˜ˆ

a b et a x 1 et a x 1
a a2 ˆa a2 z
a
a y
ˆ1 z 
2
1 a
1 a
a
a
˜ˆ
ˆ1 z ,
ˆ1 z , z ~z > R.
1 a
1 a
as :

Remarque.

x

et

aˆ1 z

a
1 a

1 z 

y.

ˆ

Don

Noter qu'on a adapté la méthode de Gauss dans le but d'avoir un

minimum de as possibles.

Exer i e 10.
S1 et
1 1 3

On onsidère la matri e augmentée de

1

1 3



2

1

2 5 0



1

1

3 0

5 7

k

9 0

L
L L
L 2 2 L 1
3

1



1
0



1



3

3



5

2

5

5



1

L2

0

3

on applique la méthode de Gauss


5

2

5



5


0

7 0

3

0

L 2 L
L

3

2

3

6 10 k 2 14 0



0

7 0



0 0 0 k 8
1er as : k x 8

0

0

On a le rang du système é helonné est égal à

3

qui est égal aussi au nombre

d'équations de e système, et e i entraîne que e système est ompatible.
Il est lair que

x1 , x2
S1

2ème

k

as :

x4 sont les in onnues prin ipales. Plus pré isement
4x3 8x5 5x3 7x5
˜ˆ
,
, x3 , 0, x5 ~x3 , x5 > R.
3
3
et

on a

8

Le système est ompatible, et on a

x1

x2

et

sont les in onnues prin ipales. Plus

pré isement on a

S1

On onstruit la

1

3



8x5 x4 4x3 7x5 5x4 5x3
,
, x3 , x4 , x5 ~x3 , x4 , x5 > R.
3
3
matri e augmentée de S2 et on applique la méthode de
1 3 2
a
1 3 2


˜ˆ

2 a



2

1

3

b

1

4

5

c

5

6

1

d

2 L L
LL
L L
2

3

1

1

L 4 5 L 1

2

3

L4

0

7

7

b 2a

0

7

7

c a

0 21 11 d 5a

Fa ulté Des S ien es El Jadida

33

L3 L2
L4 3 L2

L3
L4



Gauss

a

0

7

7

b 2a

0

0

0

a c b

0

0



10 a d 3b

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
1

3



2

a

7

b 2a



L
L

0

7

0

0

1er

0 0
0
a c b
a c bx 0

3

4

as :



10 a d 3b

S2

Dans e as on a

2ème

a c b

as :

M. Mouçouf

g.

0

Le système est ompatible ave une seule solution.
On a

x3

Don

S2

a d 3b
13a 11b 7d
a b d
, x2
et x1
.
10
30
2
a d 3b
a b d 13a 11b 7d
˜ˆ
,
,
.
2
30
10



Exer i e 11.
On onsidère la tableau omplet du système
y

x

1 m


2

2m

m

2

2

m 2

1

C2

x

2

m

m 1

0

2



y

0



2



4 m 1



x

z

1 m
m 1



On

1er

as :

2
0
0

z

0


2

0

x

1
1



0

as :

m

L2

1

1

3

x

z

2 m

1 m

0



2

0



4 m2 m 2 m 1



m 1

2


1

L 2 L L

3

2

3

On distingue don trois as

m

par

0

on obtient

2
1 .



1


Le système est

2ème

3

0

Si on rempla e
y

m 2



L2 L1

2 L L
L

.

1



m

2m

2

2

0 m2 m m 1
a m2 m mˆm 1.

0

C3


C2

1



0 m2 m 2
2 m

2

m

4 m2 3m 2m 4 m 1
y

z

1 m

z

1 m

2

m2 3m 4 2m 4 m 1
y

x

2


C1

S  et on applique la méthode de Gauss

ˆ

y

z

ˆ

in ompatible et don

S

g.

1



Si on rempla e

m

par

1



on obtient

Fa ulté Des S ien es El Jadida

34

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
y

x

z

1 2

2



0



2
1 .

2 0

0



0

0
S  est ompatible ave une in nité de solutions. Les in onnues y

Le système est

z

M. Mouçouf

ˆ

x est se ondaire. il est lair que S

sont prin ipales et l'in onnue

et

x, 5 44x , 12 ~x >

˜ˆ

R.
3ème

m >~ ˜ 1, 0

as :

Le système



ˆ

est de Cramer et on a

m 1
m2 m

x

2 ˆm 1x mz
2

7m 2
4m .
1 7m 2
1
˜ˆ
m , 4m , 2m .

S

D'où

1
m,

z 1 ˆ m2 1x



1
2m et

y

Exer i e 12.
S  et on applique la méthode de Gauss
1
m
1
b
L2 m L1 L2

On onsidère la tableau omplet du système

m

1

1 a

1

m 1 b

1

1

L3


L2

L2


L1

d c
1

m

0

1 m

1

m 1 b

m

1

1 a

1

1

d c

1

b

ˆ

L L
L

3

1

3

0 1 m2 1 m a bm
0

1 m

d m c bm

L m 1 L L

3

d m c bm

ˆ



2

2

0 1 m2 1 m a bm
1

m

0 1 m
0
Si

1

b

d m

c bm

0
m2 dm 1 d bm2 cm a c
m 1, on rempla e m par 1 dans e dernier

tableau et on applique la méthode

de Gauss

1 1
0 0

1

b

d 1

c b

L3


L3 2L2

0 0 2ˆ1 d b a 2c

1 1

1

b

0 0 d 1 c b
0 0

0

a b

L'arbre des as possibles de e système est :

m
b

axb
a b

1

dx1
d 1

b c
bxc

Ona alors

1er

as :

m

1

et

axb

Le système est in ompatible, don

Fa ulté Des S ien es El Jadida

S

g.

35

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
2ème

as :

m

1, a

b

et

M. Mouçouf

dx1

Le système est ompatible et on a

x

l'in onnue se ondaire.
Il est lair que

c b
d 1

z

et

3ème

as :

m

d

1

et

a

˜ˆ

b

c b
d 1

bd c
y.
d 1

bd c
d 1

y, y,

c b
~y > R.
d 1



x

in onnues se ondaires. Il est lair que

as :

m

d

1, a

b

m x 1,

D'où

est l'in onnue prin ipale,

x

b y z.

y

et

˜ˆ

et

bxc

on onsidère l'ensemble

S

T ˆd

des

m>R

m>R

qui sont solutions de l'équation

et

bm2 cm a c

0.

On a dans e as l'arbre des as possibles suivant

T ˆa, b, c

elui des

m >~ T ˆd

as :

mx1

et

qui sont solutions de l'équation

m > T ˆa, b, c

m > T ˆd

m ~> T ˆa, b, c

Ona alors

5ème

sont les

g.

0

mx1

z

D'où

m2 dm 1 d

b

est

b y z, y, z ~y, z > R.

S

Le système est in ompatible, don
Si

y

c

Le système est ompatible et on a

4ème

sont les in onnues prin ipales et

b y

x

S

z

et

m >~ T ˆd

Le système est de Cramer, il admet une seule solution.
Il est lair que

x

bm2 cm a c
c bm z ˆd m
, y
et
m2 dm 1 d
1 m
bm3 ˆa bdm2 ˆa c adm a c
b
.
2
ˆm dm 1 dˆ1 m

z

b z my

Après simpli ation, on trouve

S

6ème

ˆ
˜ˆ

as :

b am2 ˆa b c adm a b c bd c ad ˆa b c bdm
,
,
2
2
ˆm dm 1 dˆ1 m
ˆm dm 1 dˆ1 m

mx1

et

bm2 cm a c
.
m2 dm 1 d
m > T ˆd T ˆa, b, c

Le système est ompatible et on a

Fa ulté Des S ien es El Jadida

x

et

y

36

sont les in onnues prin ipales et

z

est

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali

M. Mouçouf

l'in onnue se ondaire.

a bm ˆ1 mz
1 m2

y

Il est lair que

et

x

b my z .

Après simpli ation, on trouve

S
7ème

˜ˆ

b z ˆz am a bm ˆ1 mz
,
, z ~z > R.
1 m2
1 m2

m x 1 , m > T ˆd 

as :

et

m >~ T ˆa, b, c

Le système est in ompatible, et don

S

g.

Exer i e 13.
On onsidère la tableau omplet du système

a

b

1 1

1 ab 1 b
1

b

a

b

Les ra ines

1,
1 b 1

L2 L1 L2
L3 a L1 L3



et on applique la méthode de gauss

1

b

0 bˆa 1

a

1

1 a

b 1

L L
L
3

2

0 bˆ1 a 1 a2 1 a

1 1

1

1 a

b 1

ˆ†

a2

0
a

a 1

b

a

0 bˆa 1
0

b

1 ab 1 b

a 1

1

Si

1

L3


L1



ˆ

2 a
b a
2
de 2 a a sont 1

on rempla e

a

par

1

et

2.



On a don

dans le tableau

ˆ†

2 a a2

a 1ˆa 2.

ˆ

pour obtenir

1

0 0 0 b 1
0 0 0 b 1
Deux as se présentent

1er

as :

a

1

et

bx1

Le système est in ompatible et don

2ème

a

as :

b

a

1
0
0

2,



b

on rempla e

2

1

3b

3

b 1

0

0

b 2





g.

1

Le système est ompatible et on a
Si

S

a

par

2



1 y z, y, z ~y, z > R.

S

˜ˆ

dans le tableau

ˆ†

pour obtenir

Deux as se présentent

3ème

as :

a

2



et

b x 2

Le système est in ompatible et don

Fa ulté Des S ien es El Jadida

S

g.

37

23 novembre 2013

3

Université Chouaib Doukkali
4ème

as :

a

b

M. Mouçouf

2



Le système est ompatible et on a

5ème

as :

z, 1 2z , z ~z > R.

S

˜ˆ

S

˜ˆ

a ~> ˜ 2, 1

Le système est de Cramer et on a

Exer i e 14.

b a
ab b 2
b a
2 a a2 , bˆ2 a a2  , 2 a a2 .

On onsidère le tableau omplet du système



ˆ

et on applique la

méthode de Gauss

1 m

1

1

1

a

1

1 m

1

1

b

1

1

1 m

1

c

4 m 4 m 4 m 4 m a b c d
L L L L
L
1

2

3

4

1

1
1
1
1 m d
m x 4, on obtient
4 m 4 m 4 m 4 m a b c d

1

1 m

1

1

b

1

1

1 m

1

c

1

1

1

1 m

d

1

1

1

a b c d
m 4

1

1

b

Si

1

1 m

1

1

b

1

1

1 m

1

c

1

1

1

1 m

d

1
L
L L

L L
L
2

1

2

3
L4

1
L1

3
L4



1

1

1

0 m

0

0

0

0

m

0

0

0

0

m

On distingue deux as

1er

as

On a

t

d
m


Par suite,

S

m 0, on
1 1 1 1

Si

L L

1
m 4

y

a b c d
mˆm 4

z

1

1 1 m
1

1

1 m

1

c

1

1

1

1 m

d

∆.

ˆm 3d ˆa b c
,
mˆm 4
ˆm 3a ˆb c d


.
mˆm 4
ˆm 3a ˆb c d ˆm 3b ˆa c d
˜ˆ
mˆm 4
mˆm 4



1

ˆ

m >~ ˜ 4, 0

a b c d
m 4

x

a b c d
m 4
b a mb c4 d
c a mb c4 d
d a mb c4 d

1

z

ˆm 3c ˆa b d
,
mˆm 4

y

ˆm 3b ˆa c d
mˆm 4

et

t

,

rempla e

m

par

0

a b c d
4
a b c d
0 0 0 0 b 4
.
0 0 0 0 c a b 4c d
0 0 0 0 d a b 4 c d
a b c d
On remarque que b
4

dans le

0

ssi

3c ˆa b d d
a b c d
, ˆm m
,m m
.
ˆm 4
ˆm 4
système ˆ∆ pour obtenir

a 3b c d

0.

Pour avoir des as é rite

d'une faàon simple, on onsidère les onditions de ompatibilités omme si on a
un système homogène dont les in onnues sont

Fa ulté Des S ien es El Jadida

38

a, b, c

et

d.

on onstruit le tableau

23 novembre 2013

ˆ†.

Université Chouaib Doukkali

M. Mouçouf

de e système et on applique la méthode de Gauss

1

3

1



1

3

1



1

0

1

.

0

3

1

1

1

1


L L
L
L2 L1

L2

2



0

3

4

1

1

0

4

0

0



.

3

3 0



Do l'ensemble de solutions est

0 0 4 4 0
˜ˆd, d, d, d~d > R.

On distingue alors deux as

2ème

as

m

a

b

c

d

0

Le système est ompatible et on a

3ème

as

m

0

et l'une des égalités

m

4,



on rempla e

m

par

de Gauss après avoir dépla é

1

3



1

1

b

3

1

c

3

d

0

a b c d

1

1

1

1

1

0

0

0







L1

4

˜ˆ

a

Le système est in ompatible et don
Si

a y z t, y, z, t~y, z, t > R.

S

b
S

c

d

n'est pas véri ée.

g.

dans le système

et on applique la méthode

ˆ†

à la quatrième ligne

1
L L
L

L L
L

3



1

1

b

4

0

c b

4

d c

0

a b c d

2

1

2

0

4

3

2

3

0

0

4

0

0

0





.

On distingue deux as

4ème

as

m

4



et

a b c dx0

Le système est in ompatible et don

5ème

as

m

4



et

a b c d



g.

0

Le système est ompatible et on a
d a
4

S

z

d c
4 t,

y

d b
4 t et

x

b c 2d
t
4

b c d d
t
4

t.

Par suite

S

˜ˆ

d a
4



t, d 4 b t, d 4 c t~t > R.

Exer i e 15.
1) Considérons les entiers naturels suivants :

x1

le nombre des molé ules de

P bN6

x2

le nombre des molé ules de

CrMn2 O8

x3

le nombre des molé ules de

P b3 O4

x4

le nombre des molé ules de

Cr2 O3

x5

le nombre des molé ules de

MnO2

x6

le nombre des molé ules de

NO

Fa ulté Des S ien es El Jadida

39

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali

M. Mouçouf

pour lesquels l'équation himique suivante est équilibrée

x1 P bN6 x2 CrMn2 O8

x3 P b3 O4 x4 Cr2 O3 x5 MnO2 x6 NO.

Les onditions d'équilibre pour haque élément donnent le système d'équations linéaire suivant :
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤

x1



6x1



3x3

0
x6

x2



2x2



8x2



0

2x4

0
x5

4x3



3x4

0

2x5





x6

0

On trouve que e système a une in nité de solutions

˜ˆ

44
1
22
88
1
x6 , x6 , x6 , x6 , x6 , x6 ~x6 > R.
6
90
18
90
90
44

On rend aux formes réduites toutes les fra tions rationnelles. On a 90
88

et 90

44
45 . La plus petite solution entière est obtenue alors pour

(le plus petit ommun multiple). Il est lair que
multiple de

x1
22

6.

2 5 3
5
6
1
( 2 x2 ), et

On a

2



3

x5

45

5 32

15, x2
44 2 5 32
5 32

18

et

22 2 5 3
5 32

2

88

44, x3

2x2 ).

(

15P bN6 44CrMn2 O8

32 2,

x6

don

x6

2 5 3
2 32

2

2 5 32
5

(

1
3 x1 ),

11
45

pp mˆ6, 45, 18

pp mˆ45, 18 ar

x6

22 22
45 , 90

90.
x4

18

est un

Par suite
11 2 5 32
5 32

L'équation équilibrée est don :

5P b3 O4 22Cr2 O3 88MnO2 90NO.

2) Considérons les entiers naturels suivants :

x

le nombre des molé ules de

NO2

y

le nombre des molé ules de

H2 O

z

le nombre des molé ules de

HNO3

t

le nombre des molé ules de

NO

pour lesquels l'équation himique suivante est équilibrée

xNO2 yH2O

zHNO3 tNO.

Les onditions d'équilibre pour haque élément, donne le système d'équations linéaire suivant :

Fa ulté Des S ien es El Jadida

40

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

x



z

2x



y

t

0



3z



z

2y

M. Mouçouf



t

0

0



On trouve que e système a une in nité de solutions

3t, t, 2t, t~t > R.

˜ˆ

La plus petite solution entière est obtenue alors pour

t

1.

L'équation équilibrée

est don :

3NO2 H2 O

Remarque.
tiers

2HNO3 NO.

Pour déterminer le plus petit multiple ommun (le pp m) des en-

n1 , . . . , nk ,

on dé ompose es entiers en produits de nombres premiers et on

onsidère le produit des nombres premiers ommuns dans tous les nombres

ni

ave

l'exposant le plus garand possible.
Par exemple, onsidérons les nombres

n1

37 25 52 13, n1

114 24 72 52 , n3

75 36 113 52 134 .

On a alors

110

37

25

70

52

131

n1

114

30

24

72

52

130

n3

113

36

20

75

52

134

n1

=

pp mˆn1 , n2 , n3 

=

114

37

25

75

52

134

pg dˆn1 , n2 , n3 

=

110

30

20

70

52

130

Exer i e 16.
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤

i1

i3





25

La loi des n÷uds de Kir hho fournit le système suivant

i2
i1

=



i4



i5

0



i5

0

i2
i3



i4



i6

0



i6

0

et d'après la loi des mailles de Kir hho et la loi d'Ohm on obtient le système
suivant
¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

R1 i1



R2 i2



R2 i2

On a don un

R3 i3
système à 7




R4 i4



R4 i4

R5 i5

0




R5 i5

R6 i6

E
0

équations dont le tableau omplet est.

Fa ulté Des S ien es El Jadida

41

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0



1

0

0

0

1

1

0



1

0

R2

0

0

R5

0

0

0

R2

0

R4

0

0

0

R1

1

0

M. Mouçouf









R3 R4 R5



Remarquons d'abord que

R6 E
0 0
L4 L2 L1

L3 ,

et don la troisième équation est su-

per ue ( e n'est pas une nouvelle ontrainte sur les in onnues), plus pré isement,
si on fait l'opération

L3 ˆL4 L2 L1 

L3

on aurait une ligne nulle. Don on

peut ne pas onsidérer ette ligne.
En utilisant des permutations apropriées nous obtenons

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

R2

0

R4

0

R2

0

0

R5

R1

0

0

1

1

1

0



R3 R4 R5





1

0

0

0

1

0

0

0





R6 E
0

0

Si maintenant on fait les opérations

L4 ,
1

L6 , L5 R2 L2

L5

et

L4 R3 L3

on obtient

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0 R3 R4

0

0

0 R2 R4

0

L6 R1 L1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

R3

0

R2

R6

E R2

R5

R1

0



R1 R2  0

ˆ

0

R5


Faisons maintenant les opérations

R4 L4

L5






L6 ˆR1 R2 L2

L6

et

R3 R4 L5 ˆR2

ˆ

pour avoir

Fa ulté Des S ien es El Jadida

42

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
1 1 0

M. Mouçouf

0

0

1

1

0 0 1

1

0

0 0 0

R3 R4

R5

0 0 0

0

A

0 1 0



0 0 0

ˆ

A

R5 ˆR2



R4  R2 ˆR3

0 1 0

0

R3

0



E R2 ˆR3 R4 

B
R1

R4 



ˆ

B

et

0
R3 ˆR2



1

1

1

0

0

0

1

0

R3

0




0 0 0

0

A

B

0 0 0

0

C

D

C

1

1 1 0
0 1 0
0 0 1

1

1

1

0



0 0 0

0

A

0 0 0

0

0

R4 

et, si

on obtient

0
D

et

1

AL6 CL5
0

0

0

1

0

R3

0

fait l'opération




0 0 0 R3 R4 R5



E R2 ˆR3 R4 

R3 R4 ˆR1 R2 R5  R5 ˆR1 R2 
A x 0, on
0
0

R4  R6 ˆR3

ˆ

ˆ

En n, puisque



L6 ,

ˆ

0 0 0 R3 R4 R5



0

0


0 0 1

0

R3 R4 L6 ˆR1 R2 L4
0 1
0

on utilise l'opération

1 1 0

0



R1 R2  R1 R2 R5


1





B

R1 R4 R2 R3 .
L6 ,

pour avoir

E R2 ˆR3 R4 

ˆ

AD BC C ˆE R2 ˆR3 R4 

On a

AD

(
((

((

(
2
((
(5(
R1 R4 R5 ˆR2 R4  R1 R2 R4 ˆR3 R4  (
R2(R(
ˆR2 R4  R(
R(
3 ˆ(
3R
3 R4 
(2 R(

et


BC

(((
R22(R(
R(
3 ˆ(
3 R4 
(

R1 R3 R5 ˆR2

R2 R3 R4 ˆR3



R4  R3 ˆR2

(
((((
(
(
R4  R2 R
R
ˆR2 R4  R6 ˆR3
(
3
5
(
(





R4 ˆR3



R4 ˆR1



R5 

R4 2 ˆR1 R2 R5  R5 R6 ˆR1

R2 ˆR3 R4 .
Dans la somme

AD BC

les termes barrés serons simpli és et il ne reste que des

termes stri tement positifs, e qui fait que

Fa ulté Des S ien es El Jadida

43

AD BC x 0.

Par suite, notre système

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali

M. Mouçouf

est de Cramer qui admet don une seule solution. La méthode de résolution d'un
système é helonné entraîne que

C ˆE R2 ˆR3 R4 
AD BC
C ˆE R2 ˆR3 R4 
ˆE R2 ˆR3 R4  B
AD BC

A

i6
i5

R2 ˆR3 R4 
R3 C ˆE AD
BC

i4

ˆE R2 ˆR3 R4  B

R5
R3 R4



A

C ˆE R2 ˆR3 R4 
AD BC

ˆE R2 ˆR3 R4  B

C ˆE R2 ˆR3 R4 
R5
C ˆE R2 ˆR3 R4  R3
AD BC

AD BC
R3 R4

i3

R2 ˆR3 R4 
R3 C ˆE AD
BC

i2

ˆE R2 ˆR3 R4  B

R5
R3 R4



A

C ˆE R ˆR

C ˆE R2 ˆR3 R4 
AD BC

R



R2 ˆR3 R4 
E R2 ˆR3 R4  B C ˆE AD
BC
A

ˆ


2
3
4
C ˆE R2 ˆR3 R4  R3
AD BC

AD BC
C ˆE R2 ˆR3 R4 
ˆE R2 ˆR3 R4  B
AD BC
.
A

i1

A

ˆE R2 ˆR3 R4  B

R5
R3 R4



C ˆE R2 ˆR3 R4 
AD BC

A

C ˆE R2 ˆR3 R4 
AD BC



Exer i e 17.
La formule qu'on va utiliser est la suivante

V
Si

di

V

ˆVolume

désigne le débit du robinet i,
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤



d T

i

débit temps.

1, . . . , n.

Alors on a le système suivant :

p1 d 1



p1 d 2







p1 dn 1



0

V

p2 d 1



p2 d 2







0



p2 d n

V

...........................................................
pn 1 d1



0



pn 1 d3

0



pn d 2









est le volume de la pis ine. En remplaçant

par le robinet

i

di



pn 1 dn

V



pn d n

V

par

V
,
ti



ti

est le temps mis

pour remplir la pis ine, dans le système pré édent et après avoir

Fa ulté Des S ien es El Jadida

44

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali
simpli é

V

M. Mouçouf

dans es équations on obtient
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤

p1 t11



p1 t12







p1 tn1 1



0

1

p2 t11



p2 t12







0



p2 t1n

1

........................................................
pn 1 t11



0



pn 1 t13

0



pn t12









où l'on a posé

pn 1 t1n

1



pn t1n

1

1
Li
pi

De plus, si on utilise les opérations élémentaires
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤



x1



x2







xn 1



0

x1



x2







0



xn

Li ,

on obtient
1
p1
1
p2

............................................
x1



0



x3

0



x2











xn



xn

1
pn 1
1
pn

1
.
ti

xi

Maintenant si on applique à e dernier système les opérations

2Ln i 1 Ln i 2 Ln

Li

L1 Ln i ˆn

on aura le système trianguilaire suivant ( e système

est même diagonale)
¢
¨ ˆ
¨
¨
¨
¨
¨
¨ ˆ
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨ ˆ
¤

1
p1
1
p1

n 1x1
n 1x2



...........







1
pn 2





1
pn 1

n 2 pn1 1

ˆ




n 2 p1n

ˆ

1
pn

n 1 p1n

P
P

ˆ

n 1 pn1 1

ˆ

............................................................................
n 2 p11

n 1xn



P

ˆ

1

Pnk 1 p



1
p2



1
pn 1





1
pn

P

. Ce qui entraîne bien qu'on a

k

xi
et

ti

2) Le temps



P

1

n 1



pn i 1

n 1
.
P ˆn 1 pn 1i 1

t mis par les n robinets oulant ensemble pour remplir la pis ine véri e

l'équation

td1 tdn

Fa ulté Des S ien es El Jadida

45

V.

23 novembre 2013

n 1 p11

ˆ

Université Chouaib Doukkali

M. Mouçouf

Après simpli ation, on obtient

1

t

P

n 1
i 1 ti

.

3) Remarquons d'abord qu'on a un système paramétrique dont les paramétres sont
les

pi .

On a montré que notre prolème admet toujours une seule solution. Mais est- e que
ette solution est on rète ?
La ondition né essaire et su sante pour que ette solution soit on rète est que
les temps

ti

obtenus ne soient pas négatifs.

n 1
P ˆn 1 pn 1i 1

Pour ela, puisque ti

ti A 0


P A

et

n 1 C 0,

n 1

ˆ

1
pn i 1

alors

, 1 B i B n.

En on lusion, pour que notre problème soit on rèt il faut et il su t que

1
P A ˆn 1 , 1 B i B n.
pi
4) Il faut :

10

jours pour remplir la pis ine ave le premier robinet ;

2

jours pour remplir la pis ine ave le deuxième ;

3

jours et

1

jour,

2

8

heures pour remplir la pis ine ave le troisième.

heures et

40

minutes est le temps mis par les trois robinets oulant

ensemble pour remplir la pis ine.

Remarque. Si l'un des ti est négatif, alors dans e as il ne s'agit pas d'un robinet
mais d'une vanne d'éva uation de la pis ine.
Ce qui fait notre problème peut se généraliser au as de

k

1

Dans e as, on trouve

à

k

et

n k

vannes numérotées de

k



1

jusqu'à

n.

aussi les mêmes formules que dans le as du problème de
modi ation au niveau des
s'agit d'un robinet et

εˆi

pi

n

qu'on doit les rempla er par

1



Fa ulté Des S ien es El Jadida

robinets numérotés de

robinets ave un légère

εˆipi



εˆi

1

s'il

s'il s'agit d'une vanne d'éva uation de la pis ine.

46

23 novembre 2013

Université Chouaib Doukkali

Exer i e 18.

M. Mouçouf

Pour résoudre e problème plus fa ilement, on le traduit d'abord en

langage mathématique.

Soit

La ma hine

M1

désire fabriquer

N1

la quantité fabriquée du produit P1

N2

la quantité fabriquée du produit P2

N3

la quantité fabriquée du produit P3

N1

N2 ,

(resp.

total, elle doit fon tionner

resp.

(resp.

N3 )

16N1 16N2 16N3 )

M2

(resp.

22N2 ,

produits de

11N1 22N2 11N3

De la même façon la ma hine
(resp.

11N1

doit fon tionner

M3 )

resp.

P1

11N3 )

(resp.

minutes si l'on

P2 ,

resp.

P3 ).

Au

minutes.

doit fon tionner

12N1 12N2 24N3

minutes.

Le problème peut être représenté à l'aide du système suivant
¢
¨
¨
¨
¨
¨

¨
¨
¨
¨
¨
¤

11N1



22N2



11N3

165 60

12N1



12N2



24N3

140 60

16N1



16N2



16N3

160 60

On onstruit le tableau omplet de e système et on applique la méthode de Gauss

11 22 11 165 60
12 12 24 140 60
16 16 16 160 60
0 1 0

5 60

0 0 3

5 60

1 1 1 10 60
On trouve N2
300, N3

1
L
4 2
1
L
11 1

L2
L1


L
L
1
16

3

1 2 1 15 60
3 3 6 35 60

L L
L

L 3L
L
1

2

3

3

3

1
2

1 1 1 10 60

100

et

Fa ulté Des S ien es El Jadida

N1

200.

47

23 novembre 2013


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