mouvement fut .pdf


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Pivotement d'un fût autour d'un axe horizontal xe
H

2R

F

G

A

Rs
Uz

j

k

O

i

P

θ

111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111
sol horizontal

Position du problème
référentiel : la terre (référentiel galiléen)
système : le fût de masse m supposé complètement rempli de façon à pouvoir être assimilé à un solide homogène
de centre de gravité G, de hauteur H, de rayon R. Le problème serait analogue appliqué à un solide homogène en
forme de parallèlépipède rectangle de hauteur H et de largeur 2R.
actions extérieures :
* le poids :




P = −m.g.−
u
z




Rs = Rs.−
u
z




supposée verticale : F = Fz .uz

* la réaction du sol supposée verticale :
* l'action du manutentionnaire

On se place dans l'aproximation quasi statique : le mouvement de pivotement autour de l'axe
supposé su samment lent pour que chaque position du fût, repérée par l'angle

θ,





O, k

est

puisse être assimilée à une

position d'équilibre. Cela revient à négliger le produit de l'accélération angulaire du fût par son moment d'inertie
calculé par rapport à l'axe





O, k .

Mise en équations
La somme des moments des forces par rapport au point O est nulle.

−−→ →
− −→ →



OG ∧ P + OA ∧ F = 0
−−→ H →



OG = . i + R. j
2

−→


OA = H. i





→=→
u
i . sin (θ) + j . cos (θ)
z

Donc :




H →












− →

. i + R. j ∧ −m.g. sin (θ) .i − m.g. cos (θ) . j + H. i ∧ Fz . sin (θ) . i + Fz . cos (θ) . j = 0
2

Les produits vectoriels sont soit nuls soit colinéaires à





k ;

nous obtenons :

H
.m.g. cos (θ) + R.m.g. sin (θ) + H.Fz . cos (θ) = 0
2

Soit :

1

Fz = m.g.

−R. sin (θ) + H2 . cos (θ)
H. cos (θ)

En simpli ant :



m.g
R
Fz =
. 1 − 2. . tan (θ)
2
H

Conclusion
On constate que l'action du manutentionnaire est maximale pour décoller le solide du sol, c'est à dire pour

θ = 0;

Cette valeur maximale ne représente que 50% du poids. Il est donc beaucoup plus facile de faire

pivoter le solide que de le soulever.

2

En choisissant : m = 100kg ; g = 9,8m/s ;H = 1,6m ; R = 0,50m, on obtient les variations de Fz en fonction de
représentées ci-dessous. Fz décroit en fonction de

θ

au point G à la verticale du point O, soit, dans ce cas pour

θ≈

θ

H
2R . Cette position correspond
58°. Pour des valeurs de θ plus grandes, le poids

jusqu'à s'annuler pour

tan (θ) =

favorise la rotation au lieu de s'y opposer, le manutentionnaire doit exercer une force verticale vers le bas pour
maintenir l'équilibre. En pratique, si le fût n'est pas fragile, il le lâche tout simplement pour le laisser prendre sa
position d'équilibre. Si le fût est fragile, le manutentionnaire à intérêt à le ralentir en exerçant une force horizontale
vers la droite : cette force sera d'intensité plus faible que celle qu'il devrait exercer verticalement vers le bas :
question de bras de levier !


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