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Superposition de deux signaux sinusoïdaux
s1 = S1 cos (ωt + ϕ1 )

s2 = S2 cos (ωt + ϕ2 )

À chaque grandeur sinusoïdale, on associe un complexe dont le module est l'amplitude de la grandeur sinusoïdale
et l'argument : la phase. Cela donne :

s1 = S1 ej(ωt+ϕ1 )

s2 = S2 ej(ωt+ϕ2 )

On démontre en math que la somme de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence est un signal sinusoïdal
de même fréquence.
À la somme :

s = s1 + s2 = S. cos (ωt + ϕ)

on associe le complexe

s = S.ej(ωt+ϕ) = s1 + s2

L'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude :

I = k.S 2 = k.s∗ .s
Ceci est un classique du cours de math : le carré du module d'un complexe est le produit du complexe par le
conjugué du complexe (noté avec une *).
Cela donne :

h
i h
i
I = k. S1 e−j(ωt+ϕ1 ) + S2 e−j(ωt+ϕ2 ) . S1 ej(ωt+ϕ1 ) + S2 ej(ωt+ϕ2 )



I = k. S12 + S22 + S1 .S2 . ej(ϕ2 −ϕ2 + e−j(ϕ2 −ϕ2 )
Cours de math :

ejx + e−jx = 2 cos (x) ;


I = k. S12 + S22 + 2.S1 .S2 . cos (ϕ2 − ϕ2 )

La valeur maximale est obtenue lorsque :

cos (ϕ2 − ϕ2 ) = 1, c'est

à dire lorsque

ϕ1 = ϕ2

. Les deux signaux sont

dans ce cas particulier en phase . Évidemment :

2
Smax
= S12 + S22 + 2.S1 .S2 = (S1 + S2 )
La valeur minimale de l'intensité est obtenue lorsque :

2

soit

Smax = S1 + S2

cos (ϕ2 − ϕ2 ) = −1,

c'est à dire lorsque

deux signaux sont dans ce cas particulier en opposition de phase . Évidemment :

2

2
Smin
= S12 + S22 − 2.S1 .S2 = (S1 − S2 )

Smin = |S1 − S2 |

soit

Le facteur de contraste entre les maximum et les minimum d'intensité vaut :

2

C=
En posant :

x=

2

(S1 + S2 ) − (S1 − S2 )
2S1 S2
Imax − Imin
=
2
2 = S2 + S2
Imax + Imin
(S1 + S2 ) + (S1 − S2 )
1
2

S2
S1 , le facteur de constraste s'écrit :

C=

2x
x2 + 1

Les variations de C en fonction de x sont représentées ci-desous :

1

ϕ1 = −ϕ2

. Les

Variations du facteur de contraste
1
0.9
0.8
0.7

C

0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x
C est maximum (100%) lorsque les deux signaux sont de même amplitude. Cela semble logique dans la mesure
où dans ce cas particulier, les minimums d'intensité sont de valeur nulle.

2


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