Serie TD 1 Math 3 .pdf


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Universit´
e Abou-Bakr-Belkaid (Tlemcen)

Ann´
ee 2015-2016

Facult´
e des Sciences

L2-Physique


epartement de Physique


eries et Equations Diff´
erentielles

erie 1 de T.D.

Int´
egrales simples et multiples

EXERCICE 1.
Calculer la somme de Riemann de la fonction suivante sur la r´egion indiqu´ee, avec une partition
de 4 rectangles de mˆeme taille et les points d’´evaluation sont les centres des rectangles.
1) f (x, y) = x + 2y 2 , 0 6 x 6 2, −1 6 y 6 1.
2) f (x, y) = 4x2 + y, 1 6 x 6 5, 0 6 y 6 2.
EXERCICE 2.
Calculer
∫ ∫ les int´egrales doubles suivantes :
1)
(x2 − 2y)dA, o`
u R = {0 6 x 6 2, −1 6 y 6 1}.
∫∫

R

(1 − yexy )dA, o`
u R = {0 6 x 6 2, 0 6 y 6 3}.

2)
R

EXERCICE 3.
Repr´
∫ e1senter
∫ 1 le solide dont le volume est donn´
∫ 1 ∫e1par la double int´egrale suivante :
1)
(6 − 2x − 3y)dydx,
2)
(4 − x2 − y 2 )dxdy.
−1 0

−1 0

EXERCICE 4.
Evaluer les int´egrales doubles suivantes :
∫ 1∫ 2x
∫ 1∫ 2y

1)
(x + 2y)dydx, 2)
(4x y + y)dxdy,
0

0

0

0

∫ 2∫
3)

2y

y2

e dxdy,
0

0

∫ 1∫
4)

1/x

cos(xy)dxdy.
0

0

EXERCICE 5.
Changer l’ordre d’int´egration.
∫ 1∫ 2x
f (x, y)dydx,
1)
0

0

∫ 2∫

ln y

(4 − x2 − y 2 )dxdy.

2)
1

0

EXERCICE 6.
Utiliser une int´egrale double pour d´eterminer l’aire de la surface d´elimit´ee par les courbes suivantes :
1) y = x2 , y = 8 − x2 ,
2) y = 2x, y = 3 − x, y = 0.

EXERCICE 7.
Calculer le volume du solide d´elimit´e par les surfaces suivantes :
1) 2x + 3y + z = 6 et les trois plans x = 0, y = 0 et z = 0.
2) z = 1 − y, z = 0, y = 0, x = 1, x = 2.
3) z = x2 + y 2 + 3, z = 1, y = x2 , y = 4.
EXERCICE 8.
Trouver la masse et le centre de gravit´e de la lame dont la densit´e est donn´ee par ρ(x, y).
1) Lame delimit´ee par y = x3 et y = x2 , ρ(x, y) = 4.
2) Lame delimit´ee par x = y 2 et x = 1, ρ(x, y) = y 2 + x + 1.
EXERCICE 9.
Utiliser
les coordonn´ees polaires pour calculer les doubles int´egrales suivantes :
∫∫ √
1)
x2 + y 2 dA, o`
u R est le disque x2 + y 2 6 9.
R
∫∫
2
2
2)
e−x −y dA, o`
u R est le disque x2 + y 2 6 4.


R
2



3)
−2



4−x2


− 4−x2


x2 + y 2 dydx.

EXERCICE 10.
Trouver l’aire de la surface indiqu´ee ci-dessous :
1) La portion de z = x2 + 2y entre y = x, y = 0 et x = 4.
2) La portion de z = 4 − x2 − y 2 au-dessus du plan xy.
EXERCICE 11.
Calculer
∫ ∫ ∫ les int´egrales triples suivantes :
1)
(2x + y − z)dV, o`
u Q = {(x, y, z)|0 6 x 6 2, −2 6 y 6 2, 0 6 z 6 2}.
∫∫∫

Q

2)

4yzdV, o`
u Q est le t´etra`edre d´elimit´e par x + 2y + z = 2 et les plans des coordonn´ees.
Q

EXERCICE 12.

∫∫∫

Ecrire la triple int´egrale

f (x, y, z)dV en coordonn´ees cylindriques.


1) Q est la r´egion au-dessus de z = x2 + y 2 et en-dessous de z = 8 − x2 − y 2 .

2) Q est la r´egion au-dessus du plan xy et en-dessous de z = 9 − x2 − y 2 .
Q

EXERCICE 13.
Calculer
coordonn´ees sph´eriques.
∫ ∫ ∫ les int´egrales triples suivantes en utilisant les √
(x2 +y 2 +z 2 )3/2
1)
e
dV , o`
u Q est d´elimit´ee par z = 4 − x2 − y 2 et le plan xy.
Q

∫∫∫ √

2)
x2 + y 2 + z 2 dV , o`
u Q est d´elimit´ee par z = − 9 − x2 − y 2 et le plan xy.
Q


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