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2015-2016

Intervalles de confiance
Intervalles de confiance

– UE VIII : Sciences analytiques –
Semaine : n°2 (du 14/09/15 au
18/09/15)
Date : 15/09/2015

Heure : de 8h00 à
9h00

Binôme : n°34

Professeur : Pr. LEMDANI
Correcteur : n°36

Remarques du professeur

PLAN DU COURS

I)

Introduction

II)

Intervalle de confiance pour la moyenne

A)

L'Intervalle de confiance (IC)

B)

Le niveau de confiance

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2015-2016

I)

Intervalles de confiance

Introduction

La confiance est associée à la précision, donc au fait que l'on a une petite valeur aléatoire.
Cas général : Variable quantitative X observée sur un échantillon n. Avec la moyenne et la variance, on obtient
la tendance centrale et la dispersion.
• Moyenne de X : µ (vraie valeur de la moyenne → moyenne au niveau de la population)
• Variance de X : σ2 (au niveau de la population)
• Ecart type de X : σ
L'objectif est d'estimer µ et σ2.
Estimation ponctuelle :

→µ

et

s2 → σ 2

La question essentielle est de déterminer la précision de l'estimation de µ .
Cela dépend de :
–

l'écart type
Si sigma est petit, l'estimation est plus précise.

–

la taille de l'échantillon n.
Si n est grand, l'estimation est plus précise.

–

la distribution de X
On suppose ici que la variable suit la loi Normale.

Cas de normalité :
Si X ~ N (µ;σ), alors X - µ ~ N(0;1)
σ
On peut donc utiliser la table de la loi Normale centrée réduite.
On sait donc que entre -1,96 et 1,96, on a 95% des valeurs.
P(-1,96 ≤ X – µ ≤ 1,96) = 95% = 0,95
σ
P(-1,96 σ ≤ X - µ ≤ 1,96 σ) = 0,95
et [X – 1,96 σ ≤ µ ≤ X + 1,96 σ] = 0,95
Ceci est un intervalle de confiance pour une seule observation.

II)
A)

Intervalle de confiance pour la moyenne
L'Intervalle de confiance (IC)

Suite d'observations (mesures) : X1, X2, …, Xn.
On se place dans les conditions de la loi Normale :
→ X1 ~ N(µ ; σ), X2 ~ N (µ ; σ)
→ X = 1 ∑ Xi
n

~ N (µ ; σ / √n )

P( X - 1,96 σ /√n ≤ µ ≤ X + 1,96 σ/ √n) = 95% = 0,95
2/3

95%

2015-2016

Intervalles de confiance
C'est l'intervalle de confiance de µ de niveau 95%
On peut l'utiliser si :
–

X suit la loi Normale

–

σ est connu

Si σ est inconnu, alors on ne peut pas utiliser cette formule de l'IC. On doit transformer σ en s (écart type estimé)
σ→s
Attention : on ne pourra donc pas utiliser la valeur 1,96 qui provient de la loi Normale. Il faudra donc
utiliser une valeur qui provient de la table de la loi de Student.
(X - ? s /√n ≤ X + ? s/√n)

B)

? = valeur lue sur la table de Student

Niveau de confiance

Cas général : 1 – α
•

Si σ est connu et X ~ N (µ ; σ ):

•

Si σ est inconnu et X ~ N(µ;σ) :
On lit t alpha sur la table de
Student.

u

u

ν

ν

→ Si on a absence de Normalité, les 2 formules ne sont pas exactes mais peuvent être utilisées (à titre
approximatif si n est « grand » (n≥30)
Exemple : Données titrage : 12,12 ; 12,18 ; 12,09 ; 13,14 ; 12,21 ; 12,17 ; 12,15 mL
x = 12,15333333 mL

et

s= 0,04320494 mL

13,14 est une valeur aberrante → on a donc 6 observations : n=6.
On cherche à déterminer un IC de µ de niveau 95%. On a un petit échantillon, donc on doit avoir la Normalité.
On admet que X suit N(µ;σ)
IC :

=5

ν est le nombre de degré de liberté
ν étant le nombre de degré de liberté = n-1
cf table de la loi de Student : on a le nombre de degré de liberté en
colonne et alpha en ligne.
•

Niveau 5% T α, ν = t0,05;5 = 2,571
12,107985 < µ < 12,19868
[12,108 mL < µ < 12,199 mL ]

•

95%

99%

Niveau 1% T α, ν = t0,01;5 = 4,032
12, 082 ≤ µ ≤ 12,224 mL

Remarque : plus on a de précision, moins on a de confiance → l'intervalle de confiance est plus large.
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