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1. INTEGRALES DOUBLES
Intégrales Multiples
• Préliminaires
1 INTEGRALES DOUBLES
2 AIRE ET VOLUME ET CENTRE DE GRAVITE
3 INTEGRALES DOUBLES EN COORDONNEES
POLAIRES
4 AIRE DE SURFACE
5 INTEGRALES TRIPLES
6 COORDONNEES CYLINDRIQUES
7 COORDONNEES SPHERIQUES
La définition suivante généralise l'intégration en supposant
que la partition est irrégulière (c'est-à-dire tous les sousintervalles n’ont pas la même largeur):
1
1. INTEGRALES DOUBLES
CHAP 1
2
1. INTEGRALES DOUBLES
DEFINITION 1.1
• Intégrales Doubles sur un Rectangle
Pour toute fonction f définie sur l'intervalle [a, b],
l'intégrale définie de f sur [a, b] est
Pour une fonction f (x, y), où f est continue et f (x, y) 0
pour tout a x b, c y d, on veut déterminer le volume
du solide se trouvant en dessous de la surface z = f (x, y) et
au-dessus du rectangle R = {(x, y) | a x b, c y d} dans
le plan xy.
à condition que la limite existe et est la même pour tous
les choix des points d'évaluation ci [xi-1, xi], pour i = 1,
2,. . . , n.
Dans ce cas, on dit que f est intégrable sur [a, b].
P (la norme de la partition) est le plus grand de tous les
xi
3
CHAP 1
1. INTEGRALES DOUBLES
CHAP 1
4
1. INTEGRALES DOUBLES
• Intégrales Doubles sur un Rectangle
Vi la hauteur × aire de la base = f(ui,vi)
EXEMPLE 1.1 Approximation du volume situé sous une
surface
i
Donner une approximation du volume se trouvant sous la
surface
Somme de Riemann
et au-dessus du rectangle R = {(x, y)|0 x 6, 0 y 6}.
CHAP 1
5
CHAP 1
6
1
1. INTEGRALES DOUBLES
1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.1 Approximation du volume située sous une
surface
EXEMPLE 1.1 Approximation du volume située sous une
surface
Solution
Solution
Choisissez les points
d'évaluation (ui, vi ) comme
étant les centres des quatre
carrés, c'est-à-dire
7
CHAP 1
1. INTEGRALES DOUBLES
8
CHAP 1
1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.1 Approximation du volume située sous une
surface
EXEMPLE 1.1 Approximation du volume située sous une
surface
Solution
Solution
On peut améliorer
l'approximation en
augmentant le nombre de
rectangles dans la partition.
9
CHAP 1
1. INTEGRALES DOUBLES
Volume
Approximatif
286,38
280,00
36
276,25
144
275,33
400
275,13
900
275,07
CHAP 1
10
1. INTEGRALES DOUBLES
NOTE
Le choix du centre de chaque carré comme le point
d'évaluation, tel qu'il est utilisé dans l'exemple 1.1,
correspond au point milieu de la règle pour
l'approximation de la valeur d'une intégrale définie d'une
fonction d'une seule variable.
Ce choix de points d'évaluation produit généralement une
assez bonne approximation.
CHAP 1
Nb de carrés dans
la partition
4
9
11
DEFINITION 1.2
Pour toute fonction f définie sur le rectangle
R = {(x, y) | a x b et c y d}, on définit l'intégrale
double de f sur R par
à condition que la limite existe et est la même pour tous
les choix des points d'évaluation (ui, vi ) dans Ri, pour i =
1, 2,. . . , n.
Dans ce cas, on dit que f est intégrable sur R.
CHAP 1
12
2
1. INTEGRALES DOUBLES
1. INTEGRALES DOUBLES
• Intégrales Doubles comme Intégrales itérées
CHAP 1
• Intégrales itérées
13
1. INTEGRALES DOUBLES
CHAP 1
14
1. INTEGRALES DOUBLES
• Intégrales itérées
Pour simplifier, on écrit les intégrales sans les parenthèses :
THEOREME 1.1 (Théorème de Fubini)
Supposons que f est intégrable sur le réctangle
R = {(x, y)|a x b and c y d}.
Alors on peut écrire l'intégrale double de f sur R comme
l'une des Intégrales itérées :
CHAP 1
15
1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.2
16
1. INTEGRALES DOUBLES
Intégrale Double sur un Réctangle
EXEMPLE 1.2
Solution
Si R = {(x, y)|0 x 2 and 1 y 4}, calculer
CHAP 1
CHAP 1
17
Intégrale Double sur un Réctangle
CHAP 1
18
3
1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.2
1. INTEGRALES DOUBLES
• Intégrales Doubles sur une Région Quelconque
Intégrale Double sur un Réctangle
Partition intérieure
Solution
Nous laissons comme exercice pour montrer qu’on obtient
la même valeur en intégrant d'abord par rapport à y, c'està-dire
19
CHAP 1
1. INTEGRALES DOUBLES
20
1. INTEGRALES DOUBLES
• Intégrales Doubles sur une Région Quelconque
Vi la hauteur × aire de la base = f(ui,vi)
CHAP 1
• Intégrales Doubles sur une Région Quelconque
Notons que lorsque P devient plus petit, la partition
intérieure remplit bien R et le volume approximatif devrait
se rapprocher de plus en plus du volume réel.
i
On Définit la norme P de la
partition intérieure comme la
plus grande diagonale des
rectangles R1, R2, . . . , Rn.
CHAP 1
21
1. INTEGRALES DOUBLES
CHAP 1
22
1. INTEGRALES DOUBLES
• DEFINITION 1.3
Pour toute fonction f définie sur une région délimitée
R
, on définit l'intégrale double de f sur R par
THEOREME 1.2
On suppose que f est continue
dans la région définie par R =
{(x, y)|a x b et
g1(x) y g2(x)}, pour g1 et g2
fonctions continues, avec g1(x)
g2(x), pour tout x dans [a, b].
à condition que la limite existe et est la même pour tous
les choix des points d'évaluation (ui, vi) dans Ri , pour i =
1, 2, . . . , n.
Alors,
Dans ce cas, on dit que f est intégrable sur R.
CHAP 1
23
CHAP 1
24
4
1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.3
1. INTEGRALES DOUBLES
L'évaluation d'une intégrale double
EXEMPLE 1.3
Soit R la région délimitée par les graphes de y = x, y = 0 et
x = 4. Calculer
CHAP 1
Solution
25
1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.4
CHAP 1
26
1. INTEGRALES DOUBLES
Limites approximatives de l'intégration
EXEMPLE 1.4
Solution
Evaluer
, où R est la région délimitée par
les graphes de y = cos x et y = x2.
CHAP 1
L'évaluation d'une intégrale double
27
1. INTEGRALES DOUBLES
Limites approximatives de l'intégration
CHAP 1
28
1. INTEGRALES DOUBLES
THEOREME 1.3
On suppose que f est
continue dans la région
définie par R = {(x, y)|c y d
et
h1(y) x h2(y)}, pour h1 et h2
fonctions continues, avec
h1(y) h2(y), pour tout y dans
[c, d].
EXEMPLE 1.5
Intégration d'abord par rapport à x
Ecrire
comme intégrale itérée, où R est la région délimitée par les
courbes de x = y2 et x = 2 y.
Alors,
CHAP 1
29
CHAP 1
30
5
1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.5
Solution
1. INTEGRALES DOUBLES
Intégration d'abord par rapport à x
EXEMPLE 1.5
Intégration d'abord par rapport à x
Solution
Intégrer d’abord par rapport à x.
y=-2 et y=1
CHAP 1
31
1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.6
CHAP 1
32
1. INTEGRALES DOUBLES
L'évaluation d'une intégrale double
EXEMPLE 1.6
L'évaluation d'une intégrale double
Solution
Soit R la région délimitée par les graphes de
x = 0 et y = 3.
Evaluer
CHAP 1
33
1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.7
CHAP 1
34
1. INTEGRALES DOUBLES
Un cas où on doit changer l'ordre de
l'intégration
EXEMPLE 1.7
Un cas où on doit changer l'ordre de
l'intégration
Solution
Evaluer l’intégrales itérée
On ne peut pas évaluer l'intégrale sous cette forme
puisqu’on connait pas une primitive pour
CHAP 1
35
CHAP 1
36
6
1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.7
1. INTEGRALES DOUBLES
Un cas où on doit changer l'ordre de
l'intégration
EXEMPLE 1.7
Solution
Un cas où on doit changer l'ordre de
l'intégration
Solution
CHAP 1
37
1. INTEGRALES DOUBLES
CHAP 1
38
1. INTEGRALES DOUBLES
THEOREME 1.4
Soient f et g deux fonctions intégrables sur la région R
et soit c une constante.
THEOREME 1.4
(iii) Si R=R1 U R2 , où R1 et R2 deux régions qui ne se chevauchent
pas, alors
Alors on a :
CHAP 1
39
CHAP 1
40
7
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integrales
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double
surface
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