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1. INTEGRALES DOUBLES

Intégrales Multiples

• Préliminaires

1 INTEGRALES DOUBLES
2 AIRE ET VOLUME ET CENTRE DE GRAVITE
3 INTEGRALES DOUBLES EN COORDONNEES
POLAIRES
4 AIRE DE SURFACE
5 INTEGRALES TRIPLES
6 COORDONNEES CYLINDRIQUES
7 COORDONNEES SPHERIQUES

La définition suivante généralise l'intégration en supposant
que la partition est irrégulière (c'est-à-dire tous les sousintervalles n’ont pas la même largeur):

1

1. INTEGRALES DOUBLES

CHAP 1

2

1. INTEGRALES DOUBLES

DEFINITION 1.1

• Intégrales Doubles sur un Rectangle

Pour toute fonction f définie sur l'intervalle [a, b],
l'intégrale définie de f sur [a, b] est

Pour une fonction f (x, y), où f est continue et f (x, y) 0
pour tout a x b, c y d, on veut déterminer le volume
du solide se trouvant en dessous de la surface z = f (x, y) et
au-dessus du rectangle R = {(x, y) | a x b, c y d} dans
le plan xy.

à condition que la limite existe et est la même pour tous
les choix des points d'évaluation ci [xi-1, xi], pour i = 1,
2,. . . , n.
Dans ce cas, on dit que f est intégrable sur [a, b].
P (la norme de la partition) est le plus grand de tous les
xi
3

CHAP 1

1. INTEGRALES DOUBLES

CHAP 1

4

1. INTEGRALES DOUBLES

• Intégrales Doubles sur un Rectangle
Vi la hauteur × aire de la base = f(ui,vi)

EXEMPLE 1.1 Approximation du volume situé sous une
surface
i

Donner une approximation du volume se trouvant sous la
surface

Somme de Riemann

et au-dessus du rectangle R = {(x, y)|0 x 6, 0 y 6}.

CHAP 1

5

CHAP 1

6

1

1. INTEGRALES DOUBLES

1. INTEGRALES DOUBLES

EXEMPLE 1.1 Approximation du volume située sous une
surface

EXEMPLE 1.1 Approximation du volume située sous une
surface

Solution

Solution
Choisissez les points
d'évaluation (ui, vi ) comme
étant les centres des quatre
carrés, c'est-à-dire

7

CHAP 1

1. INTEGRALES DOUBLES

8

CHAP 1

1. INTEGRALES DOUBLES

EXEMPLE 1.1 Approximation du volume située sous une
surface

EXEMPLE 1.1 Approximation du volume située sous une
surface

Solution

Solution
On peut améliorer
l'approximation en
augmentant le nombre de
rectangles dans la partition.

9

CHAP 1

1. INTEGRALES DOUBLES

Volume
Approximatif
286,38
280,00

36

276,25

144

275,33

400

275,13

900

275,07

CHAP 1

10

1. INTEGRALES DOUBLES

NOTE
Le choix du centre de chaque carré comme le point
d'évaluation, tel qu'il est utilisé dans l'exemple 1.1,
correspond au point milieu de la règle pour
l'approximation de la valeur d'une intégrale définie d'une
fonction d'une seule variable.
Ce choix de points d'évaluation produit généralement une
assez bonne approximation.

CHAP 1

Nb de carrés dans
la partition
4
9

11

DEFINITION 1.2
Pour toute fonction f définie sur le rectangle
R = {(x, y) | a x b et c y d}, on définit l'intégrale
double de f sur R par

à condition que la limite existe et est la même pour tous
les choix des points d'évaluation (ui, vi ) dans Ri, pour i =
1, 2,. . . , n.
Dans ce cas, on dit que f est intégrable sur R.

CHAP 1

12

2

1. INTEGRALES DOUBLES

1. INTEGRALES DOUBLES

• Intégrales Doubles comme Intégrales itérées

CHAP 1

• Intégrales itérées

13

1. INTEGRALES DOUBLES

CHAP 1

14

1. INTEGRALES DOUBLES

• Intégrales itérées
Pour simplifier, on écrit les intégrales sans les parenthèses :

THEOREME 1.1 (Théorème de Fubini)
Supposons que f est intégrable sur le réctangle
R = {(x, y)|a x b and c y d}.
Alors on peut écrire l'intégrale double de f sur R comme
l'une des Intégrales itérées :

CHAP 1

15

1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.2

16

1. INTEGRALES DOUBLES

Intégrale Double sur un Réctangle

EXEMPLE 1.2
Solution

Si R = {(x, y)|0 x 2 and 1 y 4}, calculer

CHAP 1

CHAP 1

17

Intégrale Double sur un Réctangle

CHAP 1

18

3

1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.2

1. INTEGRALES DOUBLES
• Intégrales Doubles sur une Région Quelconque

Intégrale Double sur un Réctangle

Partition intérieure

Solution
Nous laissons comme exercice pour montrer qu’on obtient
la même valeur en intégrant d'abord par rapport à y, c'està-dire

19

CHAP 1

1. INTEGRALES DOUBLES

20

1. INTEGRALES DOUBLES

• Intégrales Doubles sur une Région Quelconque
Vi la hauteur × aire de la base = f(ui,vi)

CHAP 1

• Intégrales Doubles sur une Région Quelconque
Notons que lorsque P devient plus petit, la partition
intérieure remplit bien R et le volume approximatif devrait
se rapprocher de plus en plus du volume réel.

i

On Définit la norme P de la
partition intérieure comme la
plus grande diagonale des
rectangles R1, R2, . . . , Rn.

CHAP 1

21

1. INTEGRALES DOUBLES

CHAP 1

22

1. INTEGRALES DOUBLES

• DEFINITION 1.3
Pour toute fonction f définie sur une région délimitée
R
, on définit l'intégrale double de f sur R par

THEOREME 1.2
On suppose que f est continue
dans la région définie par R =
{(x, y)|a x b et
g1(x) y g2(x)}, pour g1 et g2
fonctions continues, avec g1(x)
g2(x), pour tout x dans [a, b].

à condition que la limite existe et est la même pour tous
les choix des points d'évaluation (ui, vi) dans Ri , pour i =
1, 2, . . . , n.

Alors,

Dans ce cas, on dit que f est intégrable sur R.
CHAP 1

23

CHAP 1

24

4

1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.3

1. INTEGRALES DOUBLES

L'évaluation d'une intégrale double

EXEMPLE 1.3

Soit R la région délimitée par les graphes de y = x, y = 0 et
x = 4. Calculer

CHAP 1

Solution

25

1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.4

CHAP 1

26

1. INTEGRALES DOUBLES

Limites approximatives de l'intégration

EXEMPLE 1.4
Solution

Evaluer
, où R est la région délimitée par
les graphes de y = cos x et y = x2.

CHAP 1

L'évaluation d'une intégrale double

27

1. INTEGRALES DOUBLES

Limites approximatives de l'intégration

CHAP 1

28

1. INTEGRALES DOUBLES

THEOREME 1.3
On suppose que f est
continue dans la région
définie par R = {(x, y)|c y d
et
h1(y) x h2(y)}, pour h1 et h2
fonctions continues, avec
h1(y) h2(y), pour tout y dans
[c, d].

EXEMPLE 1.5

Intégration d'abord par rapport à x

Ecrire
comme intégrale itérée, où R est la région délimitée par les
courbes de x = y2 et x = 2 y.

Alors,
CHAP 1

29

CHAP 1

30

5

1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.5
Solution

1. INTEGRALES DOUBLES

Intégration d'abord par rapport à x

EXEMPLE 1.5

Intégration d'abord par rapport à x

Solution

Intégrer d’abord par rapport à x.

y=-2 et y=1

CHAP 1

31

1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.6

CHAP 1

32

1. INTEGRALES DOUBLES

L'évaluation d'une intégrale double

EXEMPLE 1.6

L'évaluation d'une intégrale double

Solution
Soit R la région délimitée par les graphes de
x = 0 et y = 3.
Evaluer

CHAP 1

33

1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.7

CHAP 1

34

1. INTEGRALES DOUBLES

Un cas où on doit changer l'ordre de
l'intégration

EXEMPLE 1.7

Un cas où on doit changer l'ordre de
l'intégration

Solution
Evaluer l’intégrales itérée
On ne peut pas évaluer l'intégrale sous cette forme
puisqu’on connait pas une primitive pour

CHAP 1

35

CHAP 1

36

6

1. INTEGRALES DOUBLES
EXEMPLE 1.7

1. INTEGRALES DOUBLES

Un cas où on doit changer l'ordre de
l'intégration

EXEMPLE 1.7

Solution

Un cas où on doit changer l'ordre de
l'intégration

Solution

CHAP 1

37

1. INTEGRALES DOUBLES

CHAP 1

38

1. INTEGRALES DOUBLES

THEOREME 1.4
Soient f et g deux fonctions intégrables sur la région R
et soit c une constante.

THEOREME 1.4
(iii) Si R=R1 U R2 , où R1 et R2 deux régions qui ne se chevauchent
pas, alors

Alors on a :

CHAP 1

39

CHAP 1

40

7



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