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Institut préparatoire aux études

2015-2016

d’ingénieurs de Tunis

MP 1 / MP 2

Complement d’Exercice:
Vocabulaire Ensembliste
Exercise 1 .
Pour toutes parties A et B d’un ensemble E, on pose A4B = (A [ B)n(A \ B) .
B
A
1. Montrer qu’une de…nition équivalente est : A4B = (A \ CE
) [ (CE
\ B) .
A4B
A
B
A
B
2. Véri…er que A4B = B4A; CE
= CE
4B = A4CE
), et CE
4CE
= A4B:

3. Calculer A4;; A4A et A4E:
4. On désigne par A; B et C trois partie de E:
(a) Montrer que A \ (B4C) = (A \ B)4(A \ C) .
(b) Véri…er également que A4(B4C) = (A4B)4C:
5. Montrer alors que A1 4A2 4 : : : 4An désigne l’ensemble des él ments de E qui
appartiennent à exactement un nombre impair d’ensembles Ak :
Exercise 2 .
1. Soient f : E ! F; g : F ! G. Etablir les implications suivantes:
(a) gof injective ) f injective
(b) gof surjective ) g surjective
(c) gof injective et f surjective ) g injective
(d) gof surjective et g injective ) f surjective
2. Soient f : E ! F; g : F ! G; h : G ! E trois applications.
Montrer que si, parmi les trois applications hogof, gofoh et fohog, deux sont surjectives et la troisième injective (ou deux sont injectives et la troisième surjective) alors les
trois applications f; g, et h sont bijectives.

e-mail: hafsi.hamza1@gmail.com

1

2015/2016

Exercise 3 .
Soit f une application de E dans F:
1

1. Montrer que pour toute partie B de F; f (f
2. Prouver que f est injective , 8A

E; f

1

(B)) = f (E) \ B

(f (A)) = A

3. Prouver que f est injective , 8(A; B) 2 P(E)2 ; f (A \ B) = f (A) \ f (B) .
4. Prouver que f est surjective , 8B

1

F; f (f

5. Montrer que pour toute partie A de E; f (f

1

(B)) = B

(B) \ A) = B \ f (A)

Exercise 4 .
Soit f une application de E dans F:
On dé…nit l’application g : P(F ) ! P(E) par : 8Y

F; g(Y ) = f

1

(Y )

1. Montrer que g est injective , f est surjective.
2. Montrer que g est surjective , f est injective.
Exercise 5 .
Soient A et B deux parties non vides d’un ensemble E:
1. On considère l’application f ,de P (E) dans P (A)

P (B) dé…nie par:

f (X) = (X \ A; X \ B)
(a) Montrer que f est injective , A [ B = E:
(b) Montrer que f est surjective , A \ B = ;
(c) Dans le cas où f est bijective, déterminer f

1

2. On considère l’application f , de P (E) dans P (E)2 dé…nie par:
f (X) = (X [ A; X [ B)
(a) Montrer que f n’est pas surjective
(b) Montrer que f est injective , A \ B = ; A [ B = E:

e-mail: hafsi.hamza1@gmail.com

2

2015/2016

Exercise 6 .
On dé…nit une relation binaire

x
Montrer que

sur R+ par :
y ssi 9n 2 N; y = xn

est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total ?

Exercise 7 .
Soit la relation R dé…nie sur R par:
xRy si et seulement si xey = yex
1)Montrer que R est une relation d’équivalence.
2)Préciser, pour x …xé dans R, le nombre d’éléments de la classe de x modulo R.
Exercise 8 :
Soient (X; ) et (Y;v) deux ensembles ordonnés .
On dé…nit sur X

Y la relation

(x; y)

(x0 ; y0 ) ssi (x < x0 ) ou (x = x0 et y v y0 )

.
Montrer que

est un ordre et qu’il est total ssi X et Y sont totalement ordonnés..

e-mail: hafsi.hamza1@gmail.com

3

2015/2016


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