SupTSI1112Chap02Cours .pdf

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

II. Fonctions usuelles

1

Fonctions exponentielles et logarithmes

1.1

Fonctions exponentielle n´
ep´
erienne et logarithme n´
ep´
erien

D´
efinition 1. On appelle fonction exponentielle n´
ep´
erienne l’unique fonction d´efinie sur R ´egale `
a sa
x
d´eriv´ee et valant 1 en 0, on la note x 7→ exp(x) ou x 7→ e avec e = exp(1).

y = exp(x)
e

Remarque 1. L’existence de cette fonction est admise.
Propri´
et´
e 1. La fonction exp est d´erivable et exp′ = exp , elle est croisssante et strictement positive, de
plus

lim ex = 0 et

x→−∞

lim ex = +∞ .

x→+∞

D´emonstration. Exigible - On utilise la fonction x 7→ exp(x) exp(−x) pour montrer que la fonction exponentielle n´ep´erienne ne s’annule pas puis le Th´eor`eme des Valeurs interm´ediaires pour montrer la positivit´e
stricte par un raisonnement par l’absurde, on montre que exp(x) > x pour d´eterminer les limites.
Propri´
et´
e 2. La fonction exponentielle n´ep´erienne v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels
x et y et pour tout entier relatif n :
1. ex+y = ex ey
2. e−x =

1
ex

3. ex−y =

ex
ey

4. enx = (ex )n
D´emonstration. Exigible - On ´etudie la fonction x 7→

exp(x + y)
.
exp(x) exp(y)

Propri´
et´
e 3. Si u est une fonction d´erivable, alors la fonction eu est d´erivable et (eu )′ = u′ eu .
Remarque 2. Cette propri´et´e sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de d´erivation d’une fonction compos´ee.

www.emmanuelmorand.net

1/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

II. Fonctions usuelles

D´
efinition 2. On appelle fonction logarithme n´
ep´
erien la fonction ln : x 7→ ln(x) d´efinie sur l’intervalle
y
]0; +∞[ par ln(x) = y avec e = x.
y = ln(x)

e

Remarque 3. L’existence de cette fonction sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de la bijection.
Remarque 4. On a ln(1) = 0 et ln(e) = 1 .
Remarque 5. On a Si x ∈ R , ln(ex ) = x et Si x ∈]0; +∞[ , eln(x) = x .
Propri´
et´
e 4. La fonction ln est d´erivable sur ]0; +∞[ et Si x ∈]0; +∞[ , ln′ (x) =

1
.
x

D´emonstration. Exigible - On admet la d´erivabilit´e.
Remarque 6. La fonction ln est donc la primitive sur ]0; +∞[ de la fonction inverse s’annulant en 1.
Propri´
et´
e 5. La fonction ln est croissante, n´egative sur ]0; 1] et positive sur [1; +∞[, de plus lim ln(x) = −∞
x→0

et

lim ln(x) = +∞ .

x→+∞

D´emonstration. Exigible.
Propri´
et´
e 6. La fonction ln v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels x et y strictement positifs
et pour tout entier relatif n :
1. ln(xy) = ln(x) + ln(y)

1
2. ln
= − ln(x)
x

x
3. ln
= ln(x) − ln(y)
y
4. ln(xn ) = n ln(x)
√
1
5. ln( x) = ln(x)
2
D´emonstration. Exigible.
Propri´
et´
e 7. Si u est une fonction d´erivable et strictement positive, alors la fonction ln(u) est d´erivable
u′
et (ln u)′ =
.
u
D´emonstration. Exigible - On admet la d´erivabilit´e.

www.emmanuelmorand.net

2/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

1.2

II. Fonctions usuelles

Fonctions puissances

D´
efinition 3. On appelle fonction puissance d’exposant a ∈ R, la fonction not´ee x 7→ xa d´efinie sur
R∗+ par xa = ea ln x .
n
Remarque 7. Cette d´efinition g´en´eralise l’´egalit´e xn = eln x = en ln x pour n ∈ Z.
Exercice 1. Montrer que les fonctions x 7→ x, x 7→ x2 , x 7→

√
1
1
, x 7→ x et x 7→ √ sont des fonctions
x
x x

puissances et donner leurs exposants.
Propri´
et´
e 8. La fonction puissance d’exposant a : x 7→ xa , a ∈ R, est d´erivable sur R∗+ et sa d´eriv´ee est
la fonction x 7→ axa−1 .
D´emonstration. Exigible.
Propri´
et´
e 9. On consid`ere a ∈ R, alors :
• Si a = 0, la fonction puissance d’exposant a est constante ´egale `
a 1.
• Si a < 0, la fonction puissance d’exposant a est d´ecroissante sur R∗+
de plus lim xa = +∞ et lim xa = 0.
x→+∞

x→0

• Si a > 0, la fonction puissance d’exposant a est croissante sur R∗+
de plus lim xa = 0 et lim xa = +∞.
x→0

x→+∞

D´emonstration. Exigible.
Remarque 8. La fonction puissance d’exposant a > 0 admettant une limite finie en 0, on peut poser 0a = 0
pour a > 0.
Exercice 2. Repr´esenter graphiquement sur une mˆeme figure les fonctions puissances d’exposants 0, −1,
1
1, 2 et .
2
Propri´
et´
e 10. On consid`ere deux nombres r´eels a et b et x ∈ R∗+ , alors :
xa xb = xa+b

x−a =

xa
= xa−b
xb

1
xa

(xa )b = xab

D´emonstration. Exigible.

1.3

Fonctions exponentielles et logarithmes

D´
efinition 4. Soit a un r´eel strictement positif, on appelle fonction exponentielle de base a et on note
expa , la fonction d´efinie sur R par expa (x) = ex ln a .
Remarque 9. On a expe = exp.
Remarque 10. Comme ex ln a = ax pour a ∈ R∗+ et x ∈ R (cf fonctions puissances), on peut adopter
la notation expa (x) = ax , attention cependant `
a ne pas confondre fonction exponentielle (la variable est
l’exposant) et fonction puissance (la variable est la base).
Propri´
et´
e 11. On consid`ere deux nombres r´eels x et y et a ∈ R∗+ , alors :
ax ay = ax+y

a−x =

ax
= ax−y
ay

1
ax

(ax )y = axy

D´emonstration. Exigible - Voir la propri´et´e 10.

www.emmanuelmorand.net

3/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

II. Fonctions usuelles

Propri´
et´
e 12. La fonction exponentielle de base a : x 7→ ax , a ∈ R∗+ , est d´erivable sur R et sa d´eriv´ee est
la fonction x 7→ (ln a)ax .
D´emonstration. Exigible.
Propri´
et´
e 13. On consid`ere a ∈ R∗+ , alors :
• Si a = 1, la fonction exponentielle de base a est constante ´egale `
a 1.
• Si a < 1, la fonction exponentielle de base a est d´ecroissante sur R
de plus lim ax = +∞ et lim ax = 0.
x→−∞

x→+∞

• Si a > 1, la fonction exponentielle de base a est croissante sur R
de plus lim ax = 0 et lim ax = +∞.
x→−∞

x→+∞

D´emonstration. Exigible.

y = 0, 5x

y = 2x

´
Exercice 3. Etudier
les variations de la fonction x 7→ xx .
D´
efinition 5. Soit a un r´eel strictement positif diff´erent de 1, on appelle fonction logarithme de base a
ln x
et on note loga la fonction d´efinie sur R∗+ par loga (x) =
.
ln a
Remarque 11. On a loge = ln.
Propri´
et´
e 14. On consid`ere deux nombres r´eels x et y strictement positifs et a un nombre r´eel strictement
positif diff´erent de 1, alors :


1
x
loga (xy) = loga (x) + loga (y)
loga
= − loga (x)
loga
= loga (x) − loga (y)
x
y
D´emonstration. Exigible.
Propri´
et´
e 15. La fonction logarithme de base a : x 7→ loga (x), a ∈ R∗+ et a 6= 1, est d´erivable sur R∗+ et
1
sa d´eriv´ee est la fonction x 7→
.
x ln a
D´emonstration. Exigible.
Propri´
et´
e 16. On consid`ere a ∈ R∗+ et a 6= 1, alors :
• Si a < 1, la fonction logarithme de base a est d´ecroissante sur R∗+
de plus lim loga (x) = +∞ et lim loga (x) = −∞.
x→0

x→+∞

• Si a > 1, la fonction logarithme de base a est croissante sur R∗+
de plus lim loga (x) = −∞ et lim loga (x) = +∞.
x→0

x→+∞

D´emonstration. Exigible.

www.emmanuelmorand.net

4/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

II. Fonctions usuelles

y = log2 (x)

y = log0,5 (x)

Nous montrons enfin que les fonctions exponentielle de base a et logarithme de base a sont r´eciproques l’une
de l’autre :
Propri´
et´
e 17. On consid`ere a ∈ R∗+ et a 6= 1, alors :


expa (x) = y
⇐⇒
x∈R



loga (y) = x
y ∈ R∗+

Si y ∈ R∗+ , expa (loga (y)) = y

Si x ∈ R, loga (expa (x)) = x
D´emonstration. Exigible.

1.4

Croissances compar´
ees

Les propri´et´es suivantes permettent de lever les cas d’ind´etermination dans les calculs de limites :
Propri´
et´
e 18. On a :
ln x
(ln x)a
• lim
= 0 et Si a ∈ R∗+ et b ∈ R∗+ , lim
=0
x→+∞ x
x→+∞
xb
x
xa
• lim x = 0 et Si a ∈ R∗+ et b ∈ R∗+ , lim
=0
x→+∞ e
x→+∞ (ex )b
D´emonstration. Exigible - On montre que ln x 6

√

x et ex >

x2
pour x > 0.
2

x2
´
Exercice 4. Etudier
la limite en +∞ de la fonction x 7→ x .
2
Propri´
et´
e 19. On a :
• lim x ln x = 0 et Si a ∈ R∗+ et b ∈ R∗+ , lim xa | ln x|b = 0
x→0
x>0

•

lim xex = 0 et Si a ∈ R∗+ et b ∈ R∗+ ,

x→−∞

x→0
x>0

lim |x|a (ex )b = 0

x→−∞

D´emonstration. Exigible - On utilise la propri´et´e 18.
´
Exercice 5. Etudier
la limite en 0 de la fonction x 7→ x

www.emmanuelmorand.net

5/14

√

x ln x

.

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

1.5

II. Fonctions usuelles

Fonctions hyperboliques

D´
efinition 6. On appelle fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique et on note respectiex + e−x
ex − e−x
vement ch et sh, les fonctions d´efinies sur R par ch(x) =
et sh(x) =
.
2
2
Propri´
et´
e 20. Les fonctions ch et sh sont respectivement paire et impaire.
D´emonstration. Exigible.
Propri´
et´
e 21. Les fonctions ch et sh sont d´erivables sur R et ch′ (x) = sh(x)

,

sh′ (x) = ch(x) .

D´emonstration. Exigible.
Propri´
et´
e 22. La fonction sh est croissante sur R, de plus

lim sh(x) = −∞ et

x→−∞

La fonction ch est d´ecroissante sur R− et croissante sur R+ , de plus

lim sh(x) = +∞ .

x→+∞

lim ch(x) = +∞ et

x→−∞

lim ch(x) = +∞ .

x→+∞

D´emonstration. Exigible.

y = chx
y=x

y = shx

Propri´
et´
e 23. Pour tout x ∈ R, on a :
chx + shx = ex

(chx)2 − (shx)2 = 1

D´emonstration. Exigible.
D´
efinition 7. On appelle fonction tangente hyperbolique et on note th, la fonction d´efinie sur R par
shx
th(x) =
.
chx
Propri´
et´
e 24. La fonction th est impaire.
D´emonstration. Exigible.
Propri´
et´
e 25. La fonction th est d´erivable sur R et th′ (x) =

1
= 1 − (thx)2
(chx)2

D´emonstration. Exigible.

www.emmanuelmorand.net

6/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

II. Fonctions usuelles

Propri´
et´
e 26. La fonction th est croissante sur R, de plus

lim th(x) = −1 et

x→−∞

lim th(x) = 1 .

x→+∞

D´emonstration. Exigible.
y=x
y=1
y = thx

y = −1

Propri´
et´
e 27. Si u est une fonction d´erivable, alors les fonctions chu, shu et thu sont d´erivables et :
(chu)′ = u′ shu

(shu)′ = u′ chu

(thu)′ =

u′
(chu)2

D´emonstration. Exigible - On uilise la propri´et´e de d´erivation de eu .

1.6

Fonctions hyperboliques r´
eciproques

D´
efinition 8. On appelle fonction argument sinus hyperbolique et on note argsh, la fonction d´efinie
sur R par :


argsh(x) = y
shy = x
⇐⇒
x∈R
y∈R
Remarque 12. L’existence de cette fonction sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de la bijection.
Remarque 13. On a Si x ∈ R , sh(argshx) = x et Si y ∈ R , argsh(shy) = y .
Remarque 14. La fonction argsh est impaire.
Exercice 6. Calculer argsh(2).
Exercice 7. D´emontrer que Si x ∈ R , ch(argshx) =

√

x2 + 1 .

Propri´
et´
e 28. La fonction argsh est d´erivable sur R et argsh′ (x) = √

1
x2

+1

D´emonstration. Exigible - On admet la d´erivabilit´e.
Propri´
et´
e 29. La fonction argsh est croissante sur R, de plus

lim argsh(x) = −∞ et

x→−∞

lim argsh(x) = +∞ .

x→+∞

D´emonstration. Exigible.

www.emmanuelmorand.net

7/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

II. Fonctions usuelles

y = argshx

Propri´
et´
e 30. Si u est une fonction d´erivable, alors la fonction argshu est d´erivable et (argshu)′ = √

u′
.
u2 + 1

Remarque 15. Cette propri´et´e sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de d´erivation d’une fonction compos´ee.
D´
efinition 9. On appelle fonction argument cosinus hyperbolique et on note argch, la fonction de
[1; +∞[ dans R+ d´efinie par :


argch(x) = y
chy = x
⇐⇒
x ∈ [1; +∞[
y ∈ R+
Remarque 16. L’existence de cette fonction sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de la bijection.
Remarque 17. On a Si x ∈ [1; +∞[ , ch(argchx) = x et Si y ∈ R+ , argch(chy) = y .
Exercice 8. Simplifier argch(chy) pour y ∈ R− , en d´eduire une simplification de argch(chy) pour y ∈ R.
√
Exercice 9. D´emontrer que Si x ∈ [1; +∞[ , sh(argchx) = x2 − 1 .
Propri´
et´
e 31. La fonction argch est d´erivable sur ]1; +∞[ et Si x ∈]1; +∞[ , argch′ (x) = √

1
x2

−1

.

D´emonstration. Exigible - On admet la d´erivabilit´e.
Propri´
et´
e 32. La fonction argch est croissante sur ]1; +∞[, de plus

lim argch(x) = +∞ .

x→+∞

D´emonstration. Exigible.

y = argchx

Propri´
et´
e 33. Si u est une fonction d´erivable `
a valeurs dans ]1; +∞[, alors la fonction argchu est d´erivable
′
u
.
et (argchu)′ = √
u2 − 1
www.emmanuelmorand.net

8/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

II. Fonctions usuelles

Remarque 18. Cette propri´et´e sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de d´erivation d’une fonction compos´ee.
D´
efinition 10. On appelle fonction argument tangente hyperbolique et on note argth, la fonction de
] − 1; 1[ dans R d´efinie par :


argth(x) = y
thy = x
⇐⇒
x ∈] − 1; 1[
y∈R
Remarque 19. L’existence de cette fonction sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de la bijection.
Remarque 20. On a Si x ∈] − 1; 1[ , th(argthx) = x et Si y ∈ R , argth(thy) = y .
Remarque 21. La fonction argth est impaire.

1
.
Exercice 10. Calculer argth
2
Propri´
et´
e 34. La fonction argth est d´erivable sur ] − 1; 1[ et Si x ∈]1; 1[ , argth′ (x) =

1
.
1 − x2

D´emonstration. Exigible - On admet la d´erivabilit´e.
Propri´
et´
e 35. La fonction argth est croissante sur ]−1; 1[, de plus lim argth(x) = −∞ et lim argth(x) = +∞ .
x→−1

x→1

D´emonstration. Exigible.
y = argthx

Propri´
et´
e 36. Si u est une fonction d´erivable `
a valeurs dans ] − 1; 1[, alors la fonction argthu est d´erivable
′
u
et (argthu)′ =
.
1 − u2
Remarque 22. Cette propri´et´e sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de d´erivation d’une fonction compos´ee.

www.emmanuelmorand.net

9/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

2
2.1

II. Fonctions usuelles

Fonction exponentielle complexe
tan θ

Fonctions circulaires
M

sin θ

D´
efinition 11. Le plan ´etant muni d’un rep`ere orthonormal direct
−
→ −
→
(O, i , j ), on consid`ere un point M du cercle de
→
− −−→
centre O et de rayon 1 et on note θ = ( i , OM ). La
fonction de R dans [−1; 1] qui `
a θ associe l’abscisse du
point M est appel´ee fonction cosinus et est not´ee cos
et la fonction de R dans [−1; 1] qui `
a θ associe l’ordonn´ee du point M est appel´ee fonction sinus et est
not´ee sin. On appelle fonctionntangente et ononote
π
+ kπ , k ∈ Z par
tan la fonction d´efinie sur R\
2
sin x
tan(x) =
.
cos x

→
−
j
θ
O

−
→
i
cos θ

Remarque 23. Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-p´eriodiques et respectivement paire et impaire. La
fonction tangente est impaire et π-p´eriodique.
Propri´
et´
e 37. Pour tout x ∈ R, on a (cos x)2 + (sin x)2 = 1 .
D´emonstration. Exigible.
Propri´
et´
e 38. Soient a et b des nombres r´eels, alors :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

P

D´emonstration. Exigible - Exprimer sur la figure
ci-contre les longueurs ON et
P N en fonction de cos b et sin b.
En d´eduire les longueurs OM ,
QN puis OR ainsi que les longueurs P Q, M N et P R.

a
Q

N

a R

M

b
O

π
Propri´
et´
e 39. On a sin x 6 x 6 tan x pour x ∈ [0; [
2
J
D´emonstration. Exigible - On utilise sur la figure ci-contre
⌢

l’encadrement M I 6 l(M I) 6 M N + N I.

P
M
N

sin x
1 − cos x
1
= 1 et lim
= .
x→0 x
x→0
x2
2

O

H

I

Propri´
et´
e 40. On a lim

sin x
π
π
D´emonstration. Exigible - On montre que cos x 6
6 1 pour x ∈ [− ; 0[∪]0; + ] `
a l’aide de la
2
2
x

x 2
propri´et´e 39 puis on utilise la formule cos x = 1 − 2 sin
.
2
www.emmanuelmorand.net

10/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

II. Fonctions usuelles

Propri´
et´
e 41. Les fonctions cos et sin sont d´erivables sur R et cos′ (x) = − sin(x)

,

sin′ (x) = cos(x) .

D´emonstration. Exigible - On ´etudie la limite pour h tendant vers 0 du taux d’accroissement

y = sin(x)

y = cos(x)
− π2

−π

f (x0 + h) − f (x0 )
.
h

π
2

π

Propri´
et´
e 42. Si u est une fonction d´erivable, alors les fonctions cos u et sin u sont d´erivables et :
(cos u)′ = −u′ sin u

(sin u)′ = u′ cos u

Remarque 24. Cette propri´et´e sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de d´erivation d’une fonction compos´ee.

π
Exercice 11. D´eterminer les variations de la fonction x 7→ cos 2x −
sur l’intervalle [0; π].
2
iπ
h
π
Propri´
et´
e 43. La fonction tan est d´erivable sur chacun des intervalles
+ kπ; + (k + 1)π , k ∈ Z et
2
2
π
1
′
2
Si x 6= + kπ , k ∈ Z , tan (x) =
= 1 + (tan x) .
2
(cos x)2
D´emonstration. Exigible.
Remarque 25. La fonction tan est donc croissante sur chacun des intervalles

iπ
2

+ kπ;

h
π
+ (k + 1)π , k ∈ Z.
2

y = tan(x)

− 3π
2

www.emmanuelmorand.net

−π

− π2

π
2

11/14

π

3π
2

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

2.2

II. Fonctions usuelles

Fonctions circulaires r´
eciproques

h π πi
D´
efinition 12. On appelle fonction arc sinus et on note arcsin, la fonction de [−1; 1] dans − ;
d´efinie
2 2
par :


arcsin(x) = y
siny
x
=
⇐⇒
π π
x ∈ [−1; 1]
y ∈ −2; 2
Remarque 26. L’existence de cette fonction sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de la bijection.
h π πi
Remarque 27. On a Si x ∈ [−1; 1] , sin(arcsinx) = x et Si y ∈ − ;
, arcsin(sin y) = y .
2 2
Remarque 28. La fonction arcsin est impaire.
√ !


3
7π
Exercice 12. Calculer arcsin
et arcsin sin
.
2
5
Exercice 13. D´emontrer que Si x ∈ [−1; 1] , cos(arcsinx) =

√

1 − x2 .

Propri´
et´
e 44. La fonction arcsin est d´erivable sur ] − 1; 1[ et arcsin′ (x) = √

1
1 − x2

D´emonstration. Exigible - On admet la d´erivabilit´e.
Remarque 29. La fonction arcsin est donc croissante sur [−1; 1].
π
2

y = arcsinx

− π2

π
2

− π2
Propri´
et´
e 45. Si u est une fonction d´erivable `
a valeurs dans ] − 1; 1[, alors la fonction arcsinu est d´erivable
′
u
et (arcsinu)′ = √
.
1 − u2
Remarque 30. Cette propri´et´e sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de d´erivation d’une fonction compos´ee.

www.emmanuelmorand.net

12/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

II. Fonctions usuelles

D´
efinition 13. On appelle fonction arc cosinus et on note arccos, la fonction de [−1; 1] dans [0; π] d´efinie
par :


arccos(x) = y
cosy = x
⇐⇒
x ∈ [−1; 1]
y ∈ [0; π]
Remarque 31. L’existence de cette fonction sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de la bijection.
Remarque 32. On a Si x ∈ [−1; 1] , cos(arccosx) = x et Si y ∈ [0; π] , arccos(cos y) = y .
√ !


3
7π
Exercice 14. Calculer arccos
et arccos cos
.
2
5
Exercice 15. D´emontrer que Si x ∈ [−1; 1] , sin(arccosx) =

√

1 − x2 .

Propri´
et´
e 46. La fonction arccos est d´erivable sur ] − 1; 1[ et arccos′ (x) = − √

1
1 − x2

D´emonstration. Exigible.
Remarque 33. La fonction arccos est donc d´ecroissante sur [−1; 1].
π

y = arccosx

π

Propri´
et´
e 47. Si u est une fonction d´erivable `
a valeurs dans ]− 1; 1[, alors la fonction arccosu est d´erivable
′
u
.
et (arccosu)′ = − √
1 − u2
Remarque 34. Cette propri´et´e sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de d´erivation d’une fonction compos´ee.
i π πh
D´
efinition 14. On appelle fonction arc tangente et on note arctan, la fonction de R dans − ;
d´efinie
2 2
par :


arctan(x) = y
tany
x
=
⇐⇒
π π
x∈R
y ∈ −2; 2

Remarque 35. L’existence de cette fonction sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de la bijection.
i π πh
Remarque 36. On a Si x ∈ R , tan(arctanx) = x et Si y ∈ − ;
, arctan(tan y) = y .
2 2


√
7π
Exercice 16. Calculer arctan( 3) et arctan tan
.
5
www.emmanuelmorand.net

13/14

SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques

II. Fonctions usuelles

Propri´
et´
e 48. La fonction arctan est d´erivable sur R et arctan′ (x) =

1
1 + x2

D´emonstration. Exigible.
Remarque 37. La fonction arctan est donc croissante sur R.
π
2

y = arctanx

− π2

π
2

− π2
Propri´
et´
e 49. Si u est une fonction d´erivable, alors la fonction arctanu est d´erivable et (arctanu)′ =

u′
.
1 + u2

Remarque 38. Cette propri´et´e sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de d´erivation d’une fonction compos´ee.

2.3

Fonction exponentielle complexe

Nous commencons par d´efinir la d´erivation de fonctions `
a valeurs complexes :

R → C
D´
efinition 15. On consid`ere une fonction a
` valeurs complexes f :
et on appelle x et y les
t 7→ f (t)
fonctions `
a valeurs r´eelles r´eelles qui `
a t associent respectivement les parties r´eelle et imaginaire de f (t) soit
f (t) = x(t) + iy(t). Si les fonctions x et y sont d´erivables alors on dit que la fonction `
a valeurs complexes
f est d´erivable et on d´efinit sa d´eriv´ee f ′ par f ′ (t) = x′ (t) + iy ′ (t).
Exercice 17. Montrer que la fonction `
a valeurs complexes t 7→ (2i + 1)t2 − (1 + 2i)t est d´erivable et calculer
sa d´eriv´ee.
Propri´
et´
e 50. Soit a ∈ C, la fonction `
a valeurs complexes t 7→ eat est d´erivable sur R et sa d´eriv´ee est la
at
fonction t 7→ ae .
D´emonstration. Exigible.
Exercice 18. En d´erivant la fonction t 7→ eit , retrouver les d´eriv´ees des fonctions cosinus et sinus.
Propri´
et´
e 51. Si u est une fonction `
a valeurs complexes d´erivable, alors la fonction eu est d´erivable et
(eu )′ = u′ eu .
D´emonstration. Exigible.

www.emmanuelmorand.net

14/14

SupTSI1112Chap02Cours