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1

´ Saad Dahlab Blida
Universite
Premi`ere Ann´ee LMD TCST
2015/2016


erie d’Exercices no : 1

Module: Maths I

Logique & M´ethodes de raisonnements
Exercice (01):
´
Ecrire
avec les quantificateurs les propositions suivantes:
1. Pour tout a ∈]2, +∞[ l’´equation x2 + ax + 1 = 0 admet une unique solution.
2. Il existe un r´eel e tel que pour tout x r´eel, on a e + 2ex = 4x + 2.
3. Le graphe de la fonction f coupe la droite d’´equation y = x, en deux points.
4. la fonction f est nulle sur R.
5. la fonction f est constante sur R.
Exercice (02):
´
Etudier
la v´erit´e des propositions suivantes, puis donner leurs n´egations :
1. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : 2x − y = 5.
2. ∃e ∈ R, ∀x ∈ R : e + 2ex = 4x + 2.
3. La valeur absolue de x est une racine carr´e de x2 .
4. ∀n ∈ N, on a 4 divise n2 ou divise n2 − 1.
5. ∀ε > 0, ∃α > 0 : ∀x/ |x| < α ⇒ |x2 | < ε.
Exercice (03):
Montrer que les propositions suivantes sont vraies:
1. A, B et C des parties de E, on a : A ∪ B = A ∩ C ⇔ B ⊆ A ⊆ C.
2. ∀x, y ∈ R − { 32 }, on a 4xy − 6x − 6y + 12 6= 3.
3. Soit a ∈ R. ∀ε > 0, |a| ≤ ε ⇒ a = 0.
p
p


3
3
4. Le nombre α = 20 + 14 2 + 20 − 14 2 est un nombre entier. (utiliser (a + b)3 )
5. ∀n ∈ N − {0, 1, 2, 3}, on a n2 ≤ 2n ≤ n!.1
6. x > 1 ⇒ E( x1 ) = 0 2 .
Exercice (04):
R´esoudre dans R les ´equations suivantes:
1/ 2 |x − 1| = 4 − x, 2/ 2x − 1 + |x − 2| = 0, 3/ 2 |x − 2| = x − 5, 4/ |x + 1| + |x − 1| = 2 − x,
5/ x2 + 2x − 5 = |x + 1|, 6/ x2 + x + 1 = 1 − x, 7/ |x − 5| − x2 − 25 = 0, 8/ x2 + x − 1 = −5.
Exercice (05):
R´esoudre dans R2 les syst`emes d’´equations suivantes:
2
2
x + 2y 2 = 1
x + y2 = 1
a.
b.
2
x + xy = 0
2xy = 1

1
2

Utiliser le fait que 2 < n ⇒ 2n < n2 ⇒ 2n ≤ n2 − 1.
E(x) repr´esente la partie enti`ere de x


c.

x2 = y
y2 = x

2

Exercices suppl´
ementaires
Exercice (13)
1. Soit n ∈ N, montrer que: si n2 est un multiple de 5 alors n lest aussi.

2. Montrer que 3 est un nombre irrationnel.
3. Soit a ∈ R, montrer que: si a < ε ∀ε > 0 alors a < 0.
4. La proposition suivante est-elle vraie? ∀n ∈ N, (n premier ⇒ 2n + 1 premier) .
5. Soient f et g deux fonctions de R dans R. La proposition suivante est-elle vraie?
(∀x ∈ R, f (x) g (x) = 0) ⇔ ((∀x ∈ R, f (x) = 0) ou (∀x ∈ R, g (x) = 0))
6. Montrer, par r´ecurrence, que: ∀n ∈ N∗ , 2n ≥ n.

7.Montrer que ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ R : 1 − xn = (1 − x) 1 + x + x2 + ... + xn−1 .
Exercice (13)R´esoudre dans R les ´equations suivantes:
1/ 2x + 5 = |x − 2|,

2/ 2x − 2 + 3 |x − 2| = 0,

3/ 2 |x + 2| + |x − 1| = 9, 4/ |x + 1| + |x − 2| = 3,


5/ x2 − 2x − 14 = |2x − 2|, 6/ x2 + 2x − 5 = 4 |x + 1|, 7/ x2 − 4x + 1 = |2x − 4|, 8/ x2 + x − 1 = 3 − x,


9/ x2 − |x − 3| = 0, 10/ x2 + |x| − 1 = 0, 11/ |x| + x2 − 1 = 0.

eponses:1/ S = {−1},

2/ S = {−2} ,3/ S = {−4, 2}, 4/ S = {−1, 2}, 5/ S = {−4, 6}, 6/ S = {−7, 5},
n √ √
o
n√
o



13−1
7/ S = {−1, 5}, 8/ S = −1 + 5, −1 − 5 ,9/ S = 1−2 5 , 5−1
, 10/ S =
, 11/ S = ∅.
2
2
Exercice (14):
I. R´esoudre dans R les ´equations suivantes:
1/

3
5
x − 1 2x + 5
16
x+3
2
4
−2=
, 2/
+
=3+
, 3/

=
,
1−x
x−3
x+3
x−5
(x + 3) (x − 1)
x−3 x−1
(x − 3) (x − 1)

2x − 1 2x + 1
x2 + 2x − 1
3x − 2α + 6
+
=
, 5/ α3 x + α2 + 1 = x + 2 α ∈ R, 6/
= x α ∈ R∗ ,
2
2
2
x −x x +x
x −1
α


x+2
1
1
4
1
3
7/ +
= 2
, 8/ x + 1 + 2
− , 9/ x2 + α2 + 4α − 5 = 0 α ∈ R,
= 2
x x−2
x −4
x+3
x + 3x x
4/


eponses:1/ S = {−2, 2},
2/ S = ∅ ,3/ S = {−1}, 4/ S = {−2},


−α − 1
5/ si α 6= 1 S =
et si α = 1 S = R, 6/ si α ∈
/ {0, 3} S = {−2} et si α = 3 alors S = R,
α2 + α + 1



7/ S = {−1}, 8/ S = {−2, −4},9/ si α ∈ ]−5, 1[ S = − −α2 − 4α + 5, −α2 − 4α + 5 ;
si α ∈ {−5, 1} S = {0}, et si α < −5 ou α > 1 alors S = ∅.
Exercice (15):
R´esoudre dans R les in´egalit´es suivantes:
1/x2 − 2x + 6+ ≤ 0,


2/ x2 ≤ 2 2x − 2,

3/ 2 −

2
3
>
, 4/ (α − 2) x ≥ α
x+2
x+3



eponses:1/ S = ∅,
2/ S =
2 ,3/ S = ]−∞, −3[ ∪ ]−5/2, −2[ ∪ ]0, ∞[,




α
α
4/ si α < 2 S = −∞,
; si α = 2 S = ∅ et si α > 2 alors S =
,∞ ,
α−2
α−2

α ∈ R,


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