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série1 suites 2015 2016 .pdf


Nom original: série1 suites -2015-2016.pdf
Titre: série1 suites -2015-2016.dvi

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2015/2016
Lyc´ee EL ALIA

[ S´
erie n° 1: Suites r´
eelles \

Exercice 1
Soit u la suite d´efinie sur N par :


 u0 = 2

 un+1 =

u2n

1+
2un

3. Soit n ∈
; pour tout

n∈N

1. Montrer que pour tout n ∈ N, un > 1.
´
2. (a) Etudier
la monotonie de la suite u .
(b) En d´eduire que la suite u est convergente et d´eterminer sa limite.
1
3. (a) Montrer que pour tout n ∈ N, un+1 − 1 6 (un − 1).
2
n
1
(b) En d´eduire que pour tout n ∈ N, un − 1 6
2
(c) Retrouver la limite de la suite u .
n
X
4. Soit (Sn ) la suite d´efinie sur N∗ par : Sn =
uk .
1
.
2n

Sn
.
n→+∞ n

(b) D´eterminer lim Sn et lim
n→+∞

on pose Sn =

n
X

kuk .

k=1

∗ , on a :
(a) Montrer que pour tout n ∈ N

3 n
.
0 6 Sn − n(n + 1) 6 6n 1 −
4
Sn
(b) Calculer alors lim Sn et lim
n→+∞
n→+∞ n2
Exercice 3

u0 = 1 q
Soit la suite (un ) d´efinie sur N par
un+1 = 1 + 12 u2n

1. Montrer que pour tout n ∈ N, 0 < un 6 2
´
2. (a) Etudier
la monotonie de la suite (un ).

k=1

(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , n 6 Sn 6 n + 1 −

N∗ ,

4° Maths

Exercice 2
Soit u r
la suite r´eelle d´efinie sur N par : u0 = 4 et pour tout n ∈ N,
1 2
un+1 =
u + 2.
2 n
1. (a) Montrer que pour tout n ∈ N, on a un > 2.
(b) Montrer que la suite (un ) est d´ecroissante.
(un − 2)(un + 2)
2. (a) V´erifier que pour tout n ∈ N, un+1 − 2 =
.
2(un+1 + 2)
3
En d´eduire que pour tout n ∈ N, on a : un+1 − 2 6 (un − 2).
4
n
3
.
(b) En d´eduire que pour tout n ∈ N, on a : un − 2 6 2
4
(c) Prouver que la suite u converge vers un r´eel que l’on pr´ecisera.

(b) Prouver que la suite un est convergente et calculer sa limite.
1
(c) Montrer que pour tout n ∈ N, u2n+1 − u2n = n+1 .
q 2
1
En d´eduire que pour tout n ∈ N, un = 2(1 − 2n+1
).

3. Soit la suite (vn ) d´efinie sur N par vn = n2 (2 − u2n ).
n2
(a) V´erifier que vn = n .
2
(b) Montrer que pour tout n > 5, vn+1 6 34 vn .
n−5
v5 .
(c) Montrer que pour tout n > 5, vn 6 34
(d) En d´eduire que (vn ) est convergente et calculer sa limite.
4. On pose pour tout n > 5, Sn = v5 + v6 + v7 + · · · + vn
(a) Montrer que
"
2
n−5 #
3
3
3
Sn 6 1 + +
+ ··· +
v5
4
4
4

et que pour tout n > 5, Sn 6 4v5 .
(b) Montrer que la suite (Sn )n≥5 est croissante, qu’elle est convergente
vers une limite L et que v5 ≤ L ≤ 4v5 .
- 1/2 -

Prof: Lahbib Ghaleb

2015/2016
Lyc´ee EL ALIA

[ S´
erie n° 1: Suites r´
eelles \

4° Maths

1
5. Montrer que Pour tout n ∈ N, un+1 − vn+1 6 (un − vn ). En d´eduire que
4
n
1
1
Soit (un ) la suite d´efinie sur N par
Pour tout n ∈ N, un − vn 6
−1 , n∈N
 un+1 = un +
4
un
6. D´eduire que les suites (un ) et (vn ) sont convergentes vers la mˆeme limite
1. Montrer que pour tout n ∈ N, un > 1.
L.
2. Montrer que la suite (un ) est d´ecroissante.


√ 2
1

7. (a) V´erifier que pour tout n ∈ N, un+1 − 2 =
un − 2
3. En d´eduire que la suite (un ) est convergente et d´eterminer sa limite.
2un

1


4. (a) Montrer que pour tout n ∈ N, 0 < un+1 − 1 6 (un − 1).
(b) Montrer que pour tout n ∈ N, un − 2 6 1
2
n

√ 1

1

puis que un+1 − 2 6 un − 2
(b) En d´eduire que pour tout n ∈ N, on a, 0 < un − 1 6
et
2
2
(c) D´eterminer alors L.
retrouver la limite de (un ).
n
Exercice 6
X

uk .
5. Pour tout n ∈ N∗ , on pose Sn =
 u0 = 1
2
Soit
u
la
suite

e
finie
par
:
k=1
n
; n∈N
 un+1 = 1 + un +
1
un
(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on a,0 < Sn − n 6 1 −
1. Montrer par r´ecurrence que pour tout n ∈ N ; un > 1.
2
Sn
2. Montrer que la suite (un ) est croissante.
(b) En d´eduire
lim Sn et
lim
n→+∞
n→+∞ n
´
3. (a) Etablir
que pour tout n ∈ N, on a : 1 6 un+1 − un 6 3.
Exercice 5
(b) En d´eduire que pour tout n ∈ N, on a : n + 1 6 un 6 3n + 1.
on
 consid`ere les suites (un ) et (vn ) d´efinie sur N par :
(c) Calculer la limite de la suite (un ).
 uo = 2
2n
X
2
un + vn
(−1)k
(−1)0 (−1)1
(−1)2n
et un+1 =
 Pour tout n ∈ N, vn =
4. On pose pour tout n ∈ N, vn =
=
+
+···+
un
2
uk
u0
u1
u2n
k=0
1. Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont minor´ees par 1 et major´ee par 2.
1
et wn = vn −
.
2. (a) Montrer que Pour tout n ∈ N,
u2n+1
2
(un − vn )
1
1
un+1 − vn+1 =
(a) V´erifier que vn+1 − vn =

et que wn+1 − wn =
2(un + vn )
u2n+2
u2n+1
1
1
(b) D´eduire que pour tout n ∈ N , un > vn .

.
u2n+2 u2n+3
3. Montrer que la suite (un ) est d´ecroissante et que la suite (vn ) est crois(b) En d´eduire que la suite (vn ) est d´ecroissante et que la suite (wn ) est
sante.
croissante.
4. Montrer que pour tout n ∈ N, un − vn 6 1.
(c) Montrer que les suites (vn ) et (wn ) sont adjacentes.
En d´eduire que pour tout n ∈ N,
2
3
(un − vn ) 6 un − vn
(d) On pose ℓ = lim vn . Montrer que 6 ℓ 6 1 .
n→+∞
4
Exercice 4


 u0 = 2

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Prof: Lahbib Ghaleb


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