Fichier PDF

Partagez, hébergez et archivez facilement vos documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Boite à outils PDF Recherche Aide Contact



كتاب شامل في الاقتصاد القياسي .pdf



Nom original: كتاب شامل في الاقتصاد القياسي.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par , et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 05/10/2015 à 20:30, depuis l'adresse IP 41.100.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 38150 fois.
Taille du document: 7.7 Mo (244 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


‫جامعة صنعاء‬

‫محاضرات‬

‫في االقتصاد ا لقياســــــــــــي‬
‫د‪.‬عدنان الصنوي‬

‫جميع هذه المحاضرات في هذا الفصل والفصول األخرى‬
‫من اعداد وتأليف الدكتورة نورة اليوسف ‪ /‬جامعة الملك سعود‬

‫‪2‬‬
‫المحتويات‬
‫العنوان‬

‫الفصل‬
‫األول‬

‫ما هو االقتصاد القياســـي‬

‫الثاني‬

‫االنحدار البســيط‬

‫الثالث‬

‫االنحدار المتعدد‬

‫الرابع‬

‫االرتباط الخطي المتعدد‬

‫الخامس‬

‫اختالف التباين‬

‫الســادس‬

‫االرتباط الذاتي‬

‫الســابع‬

‫نماذج المتباطئات الموزعة و االنحدار الذاتي‬

‫الثامن‬

‫المعادالت اآلنية‬

‫التاســع‬

‫تحليل الســالسل الزمنية‬

‫العاشر‬

‫تحديد واختبارات فحص النموذج‬

‫الحادي عشر‬

‫التنبؤ باستخدام معادلة االنحدار‬

‫الثاني عشر‬

‫المتغيــرات الصــوريه والمتغيــر التــابع ال يفــي ونمــوذج لو ي ـ‬
‫وبروبي‬

‫الثالث عشر‬

‫تحليل متقدم لمعادلة األنحدار باستخدام ‪ARCH, GRACH‬‬

‫الرابع عشر‬

‫تقــدير نمــام مــن المعــادالت باســتخدام مت ــة االنحــدار الــذاتي‬
‫ونماذج تصحيح الخطأ‬

‫الخامس عشر‬

‫تطبيقات على الحاسب اآللي باستخدام برنامج ‪E-View‬‬

‫‪3‬‬

‫الفصل األول ‪1‬‬

‫ما هو االقتصاد القياســي؟‬
‫‪ 1.1‬ما هو االقتصاد القياسي؟‬
‫‪ 1.1‬النماذج االقتصادية والقياسية‪.‬‬
‫‪ 1.1‬الهدف وطريقة االقتصاد القياسي‪.‬‬
‫‪ 1.1‬مما يت ون اختبار النمرية االقتصادية؟‬
‫ملخص‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 1.1‬ما هو االقتصاد القياسي؟‬
‫كل مة االقت صاد القيا سي تع ني حرف يا الق ياس في االقت صاد‪ ،‬هذه مع نى وا سع ي شمل‬
‫العد يد من الم فاهيم االقت صادية وال تي تعت مد في الغا لب ع لى القيا سات ح يث اغ لب‬
‫االقتصاديون يهتمون بعمل ية الق ياس ح يث يتم ق ياس ال ناتج المح لي‪ ،‬البطا لة‪ ،‬عرض‬
‫النقود‪ ،‬الصادرات‪ ،‬الواردات‪.. ،‬الخ‪ .‬ماذا ا نقصد باالقتصاد القياسي؟‬
‫هووو تطبيووا الطوورر الرياضووية واالحصووايي لتحليوول البيانووات االقتصووادية‬
‫بهدف إعطاء محتوى رق مي للنظر يات االقت صادية للتأ كد من صحة ت لك‬
‫النظريات‪.‬‬

‫من هذه التعريف نستطيع أن نفرر بين االقتصاد الرياضي واالقت صاد القيا سي‪ ،‬ح يث‬
‫يعتمد االقتصاد الرياضي على تطبيا النظريات الرياضية فقط‪ .‬والنظريات المشتقة ال‬
‫تسووتلزم بالضرورة على بيانات رقمي ‪.‬‬
‫البدايووة الحقيقيووة لاقتصوواد القياسووي هووي مووع تأسوويد جمعيووة االقتصوواد لقياسووي‬
‫‪Econometric Society‬‬

‫في عام ‪ 0331‬ودور ية‬

‫اكنومتري كا‪Econometrica Journal‬‬

‫في‬

‫يناير ‪.0333‬‬
‫‪ 1.1‬النماذج االقتصادية والقياسية‪:‬‬
‫المهمة األولى لاقتصاد القياسي هي تكوين النموذج القياسي‪ .‬ما هو النموذج القياسي؟‬
‫النموذج‬

‫‪Model‬‬

‫هو تمث يل مب سط للوا قع الحقي قي‪ .‬ع لى سبيل الم ثال ن قول إن الكم ي‬

‫المطلوبة من البرت قال تعت مد ع لى سعر البرت قال هذه تعت بر تب سيط للوا قع الن ه ناك‬
‫العديد من العوامل المؤثرة على قرار شراء البرتقال على سبيل الم ثال ا لدخل‪ ،‬نوع ية‬
‫الغذاء ‪ ،‬الذور‪… ،‬سعر التفاح… الخ من األسباب التي قد ت يؤثر على قرار شراء‬
‫كمي من البرتقال‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫العديد من العلماء نادوا بعمل ية التب سيط ألن الن ماذج المب سطة تم ثل و سيل اب سط لف هم‬
‫الواقع ولتوصيل المعلومة وكذلك أسهل في عملية اختبار النظرية والتأكد من صحتها‪.‬‬
‫مثل كارل بوبر ‪ Karl Popper‬و ميل تون‬

‫فري مان‪Milton Friedman‬‬

‫‪ .‬أن اخت يار ن موذج‬

‫مبسط لشرح العالم الحقيقي يؤدي إلى االنتقاد ين التاليين‪-:‬‬
‫‪ -0‬النموذج يكون مبسط جدا‪.‬‬
‫‪ -2‬االفتراضات غير واقعية‪.‬‬
‫ع لى سبيل الم ثال‪ ،‬م ثال الط لب ع لى البرت قال‪ ،‬بب ناء ن موذج الط لب ع لى البرت قال‬
‫يعت مد ف قط ع لى ال سعر هو تب سيط للوا قع‪ ،‬وغ ير واق عي‪ .‬ل لرد ع لى انت قاد التب سيط‬
‫نستطيع إن نقول ان من األفضل االبتداء بنموذج مبسط وبناء نموذج اكثر تعقيدا‪ .‬هذه‬
‫الفكرة ع بر عن ها كوب مان‪ .‬و في الجا نب األ خر ه ناك من ي قول ا ن األف ضل االب تداء‬
‫بنموذج عام وتبسيط ح سب البيا نات المو جودة م ثل‬

‫سرجان ‪Sargan‬‬

‫و ديف يد ه نري‬

‫‪David Hendry‬‬

‫أما من ناحية االفتراضات غير واقعية فهذا يسري على مع ظم النظر يات ح يث ي قول‬
‫فريمان إن االفتراضات آلي نظري ال تتسم بالواقعية يقول‪-:‬‬
‫السؤال المهم عن االفتراضات ليد ما إذا كانت تصور صورة واقع ية‬
‫بل هو فإذا كا نت تع طي صوره تقريب ية كاف ي لل غرض المط لوب‪ .‬و هذا‬
‫ال سؤال يم كن أال جا ب ع ن برؤ ية ما إذا كا نت النظر ية تع مل أي هل‬
‫تعطي تنبؤات صحيح ؟‪.‬‬

‫بالعودة إلي مثالنا ال سابا‪ ،‬الط لب ع لى البرت قال‪ ،‬إذا قل نا ا ن ف قط يعت مد ع لى سعر‬
‫البرتقال هذا افتراض وصفي غير واقعي‪ .‬ولكن‪ ،‬إذا أ ضفنا المتغ يرات األ خرى‪ .‬م ثل‬
‫الدخل وسعر التفاح فان هذا ال يضيف واقعية إ لي الن موذج‪ .‬ح تى هذا الن موذج مم كن‬
‫ال قول ا ن ال يت سم بالواقع ية وذ لك ألن ه ناك متغ يرات أ خرى لم يت ضمنها الن موذج‪.‬‬
‫ول كن م سألة آي من الن ماذج ي كون اك ثر فا يدة في التن بؤ بالط لب ع لى البرت قال هذا‬
‫يعتمد على البيانات المتوفرة والبيانات التي يمكن الحصول عليها‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫عمليا‪ ،‬يتضمن النموذج جميع المتغيرات التي تعتبر مه مة في تحد يد الن موذج ون ترك‬
‫المتغ يرات في المتغ ير الع شوايي‪ .‬هذا ما ي فرر بين الن موذج االقت صادي والن موذج‬
‫القياسي‪.‬‬
‫النموووذج االقتصووادي هووو مجموع و موون االفتراضووات التووي تصووف بالتقريووب سوولوك‬
‫اقتصاد معين أو قطاع من االقتصاد‪ .‬النموذج القياسي يتكون مما يلي‪-:‬‬
‫‪ - 0‬مجموع من المعادالت السلوكية الم شتقة من ن موذج اقت صادي‪ .‬هذه الم عادالت‬
‫تت ضمن ب عض المتغ يرات و متغ ير ع شوايي وا لذي يت ضمن جم يع المتغ يرات وال تي‬
‫تعتبر غير رييسي في وصف الغرض المطلوب للنموذج‬
‫‪ 2‬يفيد ما إذا كان إذا ما كان هناك خطأ في المشاهدات المتحصل عليها‪.‬‬
‫‪ - 3‬تحديد توزيع االحتماالت للمتغير العشوايي‪.‬‬
‫بهذه المحددات نستطيع أن نواصل اختبار صحة النموذج االقتصادي ويستخدم للتبوء‬
‫أو تحليل سياسة اقتصادية معين ‪.‬‬
‫مثال‪ :‬دالة الطلب‪ ،‬النموذج القياسي كما يلي‪-:‬‬
‫‪ -0‬المعادلة السلوكية‬

‫‪Q    P  u‬‬

‫حيووث ‪ Q‬الكمي و المطلوبووة‪،‬‬
‫متغير عشوايي‪ .‬و‬

‫‪β‬‬

‫و‬

‫‪α‬‬

‫و‪P‬‬

‫السووعر‪ .‬حيووث تمثوول المتغيوورات المشوواهدة و‬

‫‪u‬‬

‫معالم النموذج‪.‬‬

‫‪ - 2‬تحديد التوز يع االحت مالي للع شوايي ح يث يع بر ع ن ب ما ي لي‪ E(u)  0 -:‬و قيم‬
‫المشاهدات المختلفة مستثقل وموزع توزيع طبيعي بوسط = الصفر وتباين‬

‫‪2‬‬

‫ب هذه الم حددات يم كن موا صلة اخت بار قانون الط لب‪ .‬و كذلك يم كن ا ستخدام الدا لة‬
‫للتنبوء بأي تغير في السعر‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫شـــــــــــــ ل ‪ :1.1‬الخطوات التي يجب إتباعها في تحليل القياسي لنموذج اقتصادي‪:‬‬

‫النظرية االقتصادية أو‬
‫النموذج االقتصادي‬

‫البيانات‬

‫النموذج القياسي أو صيغ‬
‫للنظرية االقتصادية بصوره‬
‫قابل لاختبار‬

‫معلومات سابق‬

‫تقدير النموذج‬

‫اختبار الفرضيات كما يقترح‬
‫بالنموذج االقتصادي‬

‫استخدام النموذج لعملية التنبؤ‬

‫‪8‬‬

‫‪ 1.1‬الهدف وطريقة االقتصاد القياسي‪:‬‬
‫الهدف من االقتصاد القياسي‪:‬‬
‫‪ .0‬بناء نموذج قياسي‪ ،‬أي ب ناء ن موذج اقت صادي مب ني ع لى الماح ظة ب شكل يم كن‬
‫اختباره‪ .‬هناك العديد من ال طرر لب ناء الن موذج القيا سي من الن موذج االقت صادي‬
‫ألننا يجب أن نختار ال شكل المنا سب‪ ،‬تحد يد الب ناء الع شوايي للمتغ يرات‪ ،‬وه كذا‪.‬‬
‫هذا يكون الجزء التحد يدي من العمل القياسي‪.‬‬
‫‪ .2‬تقدير واختبار هذه النماذج باستخدام البيانات المشاهدة‪.‬‬
‫‪ .3‬استخدام تلك النماذج للتنبوء و ألغراض التحليل‪.‬‬
‫خال الخمسينات والسينات كان القياسي يقوم على االستنتاج‬

‫‪Inference‬‬

‫و لكن تحد يد‬

‫النموذج لم يؤخذ في االعت بار كث يرا‪ .‬كان االهت مام مو ج للت قدير اإلح صايي لن موذج‬
‫قياسي محدد‪ .‬خال األربعينات قامت مؤسسة‬

‫‪Cowles‬‬

‫بتقدم كبير في هذا المضمار‪.‬‬

‫ول كن التحل يل اإلح صايي م ثل عق ب كب يرة‪ .‬لذلك انح صر الو ضع في طرر ت قدير‬
‫مختلفة في الخمسينات والستينات‪.‬‬
‫لم يتم توجي االهتمام لخطأ في التحديد‪ .‬ولكن مع التقدم في التقنية واستخدام أجهزة‬
‫الحاسب اآللي السريعة‪ .‬بدأ تطوير في األساليب القياسية حيث وج االهتمام إلى‬
‫مجاالت أخرى في التحليل‪.‬‬
‫نستطيع أن نرتب خطوات التحليل القياسي‪ ،‬كما يتضح في الشكل ‪. 0‬‬
‫هووذا التنظوويم واجو بعووض االنتقووادات فووي السووبعينات‪ ،‬بعووض هووذه االنتقووادات يمكوون‬
‫تلخيصها بما يلي‪:‬‬
‫‪ -0‬ال يوجد استرجاع من االختبار القياسي للنظرية االقتصادية‪ ،‬وكذلك ال يوجد ن تايج‬
‫لاختبار يمكن على ضويها تقييم النظرية االقتصادية‪.‬‬
‫‪ -2‬البيانات يجب أن يكون لها تأثير على النموذج‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -3‬اختبار الفرضيات ال يجب أن يرتبط ب ما تقتر ح النظر ية ف قط‪ .‬بل ي جب اخت بار‬
‫ماي مة التحد يد ال سابا‪ .‬لذلك ي جب إ ضافة ق فص جد يد الخت بار ماي مة وتحد يد‬
‫النموذج‪.‬‬
‫التطوير الجديد المقترح كما يلي في الشكل ‪ 2.0‬سوف نتعامل مع نقطة ‪ 3‬والتي تمثل‬
‫التطور الذي تم في االقتصاد القياسي في فصل قادم‪.‬‬
‫التطور الذي ناحظ على شكل ‪ 2.0‬هو‪-:‬‬
‫‪-0‬من النتايج القياسية إلى النظرية االقتصادية‪.‬‬
‫‪ -2‬من تحديد النموذج إلى فحص وتقييم النموذج االقتصادي‪.‬‬
‫‪ -1‬من النموذج القياسي إلى البيانات‪.‬‬
‫شـــــــــــــ ل ‪ : 1.1‬الخطوات التي يتم إتباعها في تحليل القياسي لنموذج‬
‫اقتصادي‪:‬‬
‫النظرية االقتصادية‬
‫النموذج القياسي‬

‫البيانات‬

‫التقدير‬

‫تحديد النموذج‬

‫هل النموذج‬
‫صحيح؟‬

‫نعم‬
‫اختبار‬
‫الفرضيات‬
‫استخدام النموذج‬
‫للتنبؤ وتحليل‪.‬‬

‫ال‬

‫‪01‬‬

‫‪ 1.1‬مما يت ون اختبار النمرية االقتصادية؟‬
‫الهدف األساسي لاقتصاد القياسي هو اختبار النظرية االقتصادية‪ .‬من المؤ شر لن جاح‬
‫النظر ية االقت صادية توا فا إ شارة الم عامات الم قدرة للن موذج القيا سي‪ .‬واالخت بار‬
‫األك ثر أهميو مواذا كوان يعطوى تنبوؤ اكثور دقو مون النظريوات االقتصوادية التوي توم‬
‫اقتراحها مسبقا‪ .‬أي ان يستلزم من الباحث مقارنة النموذج الحالي مع النماذج السابقة‪.‬‬
‫هذه الطريقة القت اهتماما كبيرا في السنوات األخيرة‪ .‬وسوف يتم النظر بتفصيل في‬
‫الفصل العاشر‪.‬‬
‫‪ 1.1‬ملخص‪-:‬‬
‫ت حدثنا عن التغ يرات ال تي ت مت مؤخر في الع قد األخ ير ‪ .‬كان االهت مام في ال سابا‬
‫ينصوب علووى التقوودير لنموووذج محوودد‪ .‬ولكون اآلن تووم التركيووز علووى اختبووارات تحديوود‬
‫النموذج معتمدين ع لى اخت بارات للتأ كد من ماي مة الن موذج لتف سير ال ظاهرة ال مراد‬
‫فهمها‪.‬‬
‫سوويتم دراسووة األساسوويات لاقتصوواد القياسووي ألنهووا تمثوول األسوواس الووذي بنيووت عليو‬
‫التطورات الحديثة‪ .‬في الفصل العاشر سيتم الترك يز ع لى الم ستجدات ال تي ت مت في‬
‫تطوير اختبار النموذج وفحص ماءمت ‪ .‬الف صول األ خرى ت صف التغ يرات الحدي ثة‬
‫في االقتصاد القياسي على سبيل المثال التطورات الحديثة في اختبار االرت باط ا لذاتي‪.‬‬
‫سيتم مناقشتها في الفصل ال خامد‪ .‬ون ماذج التوق عات العقان ية في الف صل التا سع‪.‬‬
‫ومتج االنحدار ا لذاتي‪ ،‬و جذر الو حدة والتكا مل الم شترك في الف صل ال حادي ع شر‬
‫والفصل الثاني عشر‪.‬‬
‫الف صل ال ثاني يت ضمن مراج ع لان حدار الب سيط‪ ،‬وا لذي ي كون اغ لب ال طاب قد‬
‫در سوه خال درا ستهم الجامع ية‪ .‬ويت ضمن ب عض الموا ضيع األك ثر تعق يدا كالتنبؤ‬
‫العكسي واالنحدار العشوايي‪ .‬في الفصل الثالث‪ .‬يتم مناقشة االنحدار المتعدد بتفصيل‬
‫اك ثر‪ .‬و في الف صل الرا بع وال خامد تتم مناق شة ا ختاف الت باين واالرت باط ا لذاتي‬

‫‪00‬‬

‫والف صل ال سادس ي قدم االرت باط المت عدد ثم ن ناقش المتغ يرات ال صورية في الف صل‬
‫ال سابع وا ستخداماتها كمتغ ير مف سر و كذلك كمتغ ير تابع‪ ..‬آ ما الف صل ال ثامن في قدم‬
‫المعادالت األني تعريفها واختباراتها‪ .‬وفي الفصل العاشر يتم التركيز على التطورات‬
‫الحديثة الازمة لفحص النموذج واختباره‪ .‬وكذلك الفصل الحادي عشر وال ثاني ع شر‬
‫يركووز علووى المسووتجدات فووي تحليوول الساسوول الزمنيووة موون اختبووارات جووذر الوحوودة‬
‫والتكامل المشترك والتعامل مع متج االنحدار الذاتي‪.‬‬

‫الفصل الثاني ‪2‬‬

‫النموذج الخطي لمتغيرين‪ :‬االنحدار البســــيط‬
‫‪ 2.2‬مقدمه‬
‫‪ 2.2‬تحديد العالقة‪.‬‬
‫‪ 2.2‬تقدير نموذج االنحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى‬
‫‪ 2.2‬خصائص مقدرات المربعات الصغرى العادية (م ص ع)‬
‫‪ 2.2‬فترات الثقة ‪Confidence Interval‬‬

‫‪ 2.2‬اختبار الفرضيات‬
‫‪ 2.2‬تحليل التباين لمعادلة االنحدار‪ANOVA‬‬

‫‪ 2.2‬التبنوء مع نموذج االنحدار البسيط‪.‬‬
‫‪ 2.2‬ملخص‬
‫تمارين‪.‬‬

‫الصفحة الرسمية للدكتور عدنان ‪adnanalsanoy.wordpress.com‬‬

‫‪41‬‬
‫‪ 2.2‬مقدمه‪:‬‬
‫تحليل االنحدار من أكثر األدوات الم ستعملة في التحل يل القيا سي لذا سوف ن بدأ بتحد يد الخ طوط‬
‫العريضةةة لتحليةل االنحةةدار بيامةةا فةةي الفصةةوه التاليةةم سةةوف تتعامةةل مةةي التعةةدي ت وتوسةةيي‬
‫لألساليب االساسيم ال زمة في تحليل البيانات االقتصاد يم‬
‫نبدأ بالسؤاه األساسي‪ :‬ما هو تحل يل االن حدار؟ تحل يل االن حدار ي هتم بو صف وتق ييم الع قة بين‬
‫متغير ( عادة ي سمى المتغ ير ال تابي) ووا حد آو اك ثر لمتغ يرات أ خرى ( ت سمى عادة المتغ يرات‬
‫المف سرة آو المتغ يرات الم ستقلة) وير مز للمتغ ير المف سر بة ‪ y‬والمتغ يرات المف سرة بة‬

‫‪x3 x2‬‬

‫‪xn …x1‬‬

‫التفسير الحرفي لكلمة انحدار تع اي" ار تداد أو انك فاء أو ر جوع" في الحقي قة تحل يل االن حدار ال‬
‫يربطم بهذا المعاى أي رابط‬
‫كل مة ان حدار ا ستخدمت من ق بل سير فرن سيس جالتون )‪ Sir Francis Galton (1982-1911‬من‬
‫إنجلترا والذي كان يدرس الع قة بين طوه األبااء وطوه اآلباء والذي ال حظ جالتون أن ال طوه‬
‫يميل إلى المعده مي أن اآلباء الطواه يكون أباائهم طواه واآلباء القصار يميل أباائهم الن يكو نوا‬
‫قصار أي أن هااك ميل عاد أألبااء للمعده أي أن هااك ان حدار ن حو الم عده في درا سات أ خرى‬
‫مشابهم تحصل على نفس الاتيجة التي تحصل عليها جالتون‬
‫بالعودة إلى الرموز التي استخدمااها حيث رمزنا للمتغير المف َسر بة ‪ y‬والمتغيرات المفسرة بة ‪x3‬‬
‫‪ xn … x2 x1‬إذا كانت ‪ ، k=1‬أي إن هااك متغير مستقل واحد فقط من المتغيرات المف سرة‬
‫أي ان ه ااك ‪ x‬وا حدة ف قط ي عرف هذا باالن حدار الب سيط و هو ما سوف يتم مااق شتم في هذا‬
‫الفصل إذا كانت ‪ ، k>2‬آي أن هااك اكثر من ‪ x‬واحد و متغير م ستقل نح صل ع لى ما ي عرف‬
‫باالنحدار المتعدد والذي سوف نااقشم في الفصل القادم‬
‫مثاه ‪ : 4‬االنحدار البسةةيط‬
‫‪ = y‬المبيعات‬
‫‪ = x‬الافقات االع نيم‬
‫حيث يتم تحديد الع قة بين المبيعات والافقات األع نيم‬
‫مثاه ‪ :2‬االنحدار المتعدد‬
‫‪ = Y‬استه ك أال سره‬
‫‪ = X1‬دخل أال سره‬
‫‪ = X2‬األصوه المالية ل سره‬
‫‪ = X3‬حجم أال سره‬

‫‪41‬‬

‫تحديد الع قة بين نفقات استه ك أال سره من ج هة وا لدخل‪ ،‬واأل صوه المال ية و ح جم أال سره‬
‫من جهة اخرى‬
‫هااك عدة أسباب لدراسة هذه الع قات يمكن استخدام ذلك في ‪:‬‬
‫‪ -4‬تحليل تأثير بعض السياسات التي تتضمن تغير قيم لفرد م عين في الم ثاه األوه ن ستطيي أن‬
‫نحلل تأثير الافقات االع نيم على كمية المبيعات‬
‫‪ -2‬التابؤ بقيم ‪ Y‬من قيم ‪X‬‬
‫‪ -3‬اختبار مدى معاوية الع قة بين آي من ‪ X‬و ‪Y‬‬

‫في مااقشتاا نفرق بين المتغير‪ Y‬و المتغيرات ‪ X‬افتر ضاا أن المتغ يرات ‪ X‬هي المتغ ير ا لذي‬
‫يؤثر على المتغير ‪ Y‬هااك العديد من المصطلحات التي نطلقها ع لى ‪ Y , X‬تو جد في ال جدوه‬
‫‪43‬‬
‫جدوه ‪ :3‬مصطلحات المتغير التابي و المتغير المستقل‬
‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫متَابأ بم‬
‫‪ً -4‬متابأ‬
‫مفَسر‬
‫‪-2‬مفسر‬
‫تابي‬
‫‪-3‬مستقل‬
‫متأثر‬
‫‪-1‬مسبب‬
‫داخلي‬
‫‪-1‬خارجي‬
‫المتغير الهدف‬
‫‪-6‬المتغير المتحكم‬
‫كل من هذه المصطلحات ي ستخدم ح سب ال غرض من تحل يل االن حدار فالم صطلح األوه ي ستخدم‬
‫في عملية التابؤ بياما المصطلحات األخرى تستخدم في مااقشة االنحدار اما المصطلح خارجي‬
‫وداخلي تستخدم فقط من قبل القيا سيين بيا ما الم صطلح األخ ير ي ستخدم في الت جارب الخا صة‬
‫بدراسة تأثير مسببات معيام على متغير مستهدف‬
‫‪ 2.2‬تحديد العالقة‪:‬‬
‫الع قة بين‪ Y‬و‪ X‬تمثل بالتالي‪:‬‬
‫‪42‬‬

‫)‪Y  f (X‬‬

‫حيث ترمز لة ‪ Y‬كدالة لة‪ X‬نستطيي إن نقسم الع قة إلى نوعين‪-:‬‬
‫‪ -4‬ع قة رياضية محدده ‪Deterministic‬‬

‫‪ -2‬ع قة إحصائيم ال تعطي قي مم فر يدة لة ‪ Y‬من قي مم م حدده من ‪ X‬ول كن يم كن أن تو صف‬
‫بصيغة احتماليم‬

‫‪46‬‬

‫سوف نتحدث هاا في تحليل االنحدار عن الع قة من ال اوع األوه ع لى سبيل الم ثاه الع قة بين‬
‫المبيعات و الافقات االع نيم يمكن أن توصف بما يلي‪-:‬‬
‫‪22‬‬

‫‪Y  2500  100 X‬‬

‫هذه ع قة محدده ‪ deterministic‬حيث يمكن تحديد المبيعات لكل مستوى من الافقات االع نيم‪،‬‬
‫كما يلي‪-:‬‬
‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪2122‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1122‬‬

‫‪22‬‬

‫‪0122‬‬

‫‪12‬‬

‫‪42122‬‬

‫‪422‬‬

‫في الجانب األخر‪ ،‬نفترض أن الع قة بين المبيعات والافقات االع نيم كما يلي‪-:‬‬
‫‪32‬‬

‫‪Y  2500  100 X  u‬‬

‫قيمة ‪ u‬ت تراوح بين قيم معي ام ح سب جدوه ل حت ماالت يع طي ل كل قي مم احت ماه م عين ع لى‬
‫سبيل المثاه‪ -:‬االحتماالت أن قيمة ‪ u‬اك بر من ‪ 122‬ي ساوي ½ وا قل من ‪ 122‬ي ساوي ½‬
‫لذا ال نستطيي تحديد قيمة ‪ Y‬من قيمة ‪ X‬نقوه إن ه ااك العد يد من قيم‪ Y‬المقاب لة لقي مة وا حدة‬
‫من ‪ X‬إذا كان هااك توزيي طبيعي لقيم‬

‫‪ Y‬المقابلة لقيمم واحدة من ‪X‬‬

‫كما هو في الشكل‬

‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪40‬‬

‫الخط الذي يمثل الع قة هو الع قة الت حد يد يم ول كن ال قيم الحقيق ية لة ‪ Y‬تم ثل ال خط الع مودي‬
‫وتسمى الع قة بين ‪ X ,Y‬ع قة عشوائية‬
‫بالرجوع إ لى المعاد لة ال تي تم ثل الدالة ن ستطيي ال قوه إن الدا لة تم ثل ال خط ‪f (x)    X‬‬

‫بياما الع قة العشوائية هي‬

‫‪f ( x)    X  u‬‬

‫حيث تمثل ‪ u‬الخطأ العشوائي‬

‫وتمثل ‪  ‬معام ت االنحدار‬

‫لماذا يتم إضافة الخطأ العشوائي للمعادلة؟‬
‫‪ -4‬يمثل عاصر العشوائية في استجابة اإلنسان مثل اخت ف الاف قات اال سته كية من فرد أل خر‬
‫مي العلم انهم قد يتساووا في الدخل‬
‫‪ -2‬تأثير عوامل أخرى محذوفة مثل العادات حجم أال سره وغيرها من العوامل‬
‫‪ -3‬خطأ في قياس المتغير التابي‬
‫ال هدف هو الح صوه ع لى ت قدير للم عام ت الغ ير معرو فم ‪  ‬للق يام بعمل ية الت قدير ي جب‬
‫افتراض بعض االفتراضات الخاصة بالخطأ العشوائي‪:‬‬
‫‪ -4‬الوسط الصفري ‪E(u)=0‬‬

‫أن وسةةةةةط التوزيي االحتمالي الخاص بالمتغير العشوائي = الصفر إي أن قيم ‪ u‬تتمركز حوه‬‫الصفر‬
‫‪ -2‬تساوي التباين ‪V( u)   2‬‬

‫تباين التوزيي االحتمالي الخاص بالعااصر العشوائية ‪ u‬يساوي قيمم ثابتة وموجبة‬
‫‪ -3‬استق لية الخطأ العشوائي‪ :‬أي أن التغاير‪ ،‬درجة االرتباط بين قيم العشوائي = الصفر‬
‫أي انها مستثقلم عن بعضها‬

‫‪COV (u i , u j )  0‬‬

‫‪ -1‬التوزيي الطبيعي للخطأ العشوائي‬

‫‪ui ~ N‬‬

‫تمثل هذه االفتراضات بالتالي ) ‪u i ~ N(0,  2‬‬

‫‪ 2.2‬تقدير نموذج االنحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى‪-:‬‬
‫هااك عدة طرق لتقدير معام ت معادلة االنحدار أهمها ‪)4‬طريقة المربعات الصغرى ‪ )2‬طري قة‬
‫اإلمكانية العظمى‬

‫‪41‬‬
‫في المرحلة األولى نفترض و جود ال فروض االسا سيم لمعال جة الا موذج الخ طي و في المرا حل‬
‫ال حقة نتعرض للحاالت التي تكون فيها هذه الفروض غير صحيحم‬
‫نموذج االنحدار باالفتراضات األساسية كما يلي‪:‬‬
‫‪Yi    X i  u‬‬

‫هي المعادلة األساسية التي تصور الع قة بين التابي والمستقل حيث ‪ i‬تعتمد على العياة ال تي يب لغ‬
‫حجم ها ‪ n‬باأل ضافم إ لى المعاد لة أألسا سيم ن قوه أن الا موذج يح توي افترا ضات عن المتغ ير‬
‫العشوائي‬
‫ت قدير الا موذج يتم ب غرض الح صوه ع لى م قدرات م عالم ن موذج االن حدار البسةة ةةيط ن موذج‬
‫االنحدار البسيط يتضمن ث ث معالم هي‪ , ,‬معلمة القاطي‪  , ،‬معلمة الم يل‪ 2 ،‬معل مة الت باين‬
‫المراد هو استخدام إحصائيات المتغيرات التابعة والمتغ يرات الم ستقلة ح سب ال طرق اإلح صائيم‬
‫الم ئمة للحصوه على مقدرات لهذه المعالم‬
‫طريقة المربعات الصغرى‬
‫تعتمد طريقة المربعات الصغرى العادية على الح صوه ع لى م قدرات ‪ ,‬االن حدار ح يث تم ثل ‪‬‬

‫معلمة القاطي‪  , ،‬معلمة الميل بحيث يتم تصغير مجموع مربعات البوا قي إ لى آد ني قي مم ل ها‬
‫بحيث يجري تعريف مكون يطلق علية مجموع المربعات البوا قي وبعد ذلك يشرع في الح صوه‬
‫على ‪  , ، ,‬بحيث يتم تصغير هذا المكون إلى أدنى قيمم لم‬
‫طريقة المربعات الصغرى تعطياا مقدرات االنحدار ‪  , ، ,‬ولكن ال تعطياا مقدرة الت باين و هذا‬
‫يعتبر من نقاط ضعف طريقة المربعات الصغرى‬
‫المعيار الخاص في المربعات الصغرى العادية‪ :‬الاموذج المقدر هو كما يلي‬
‫‪Yi     X  u i‬‬

‫‪ u‬هي البوا قي والتي ت ساوي من الا موذج ) ‪ u  Y  (ˆ  ˆ X‬ن موذج االن حدار مم كن أن ي مر‬
‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫من خ ه انتشةةةةةار البيا نات الخا صة بة ‪ ،X ,Y‬ال خط الم قدر ه اا هو ا لذي يع طي ‪ Y‬الم قدرة‬
‫‪     X‬‬
‫‪Y‬‬

‫إذا أخذنا إحداثيات القيم ‪ Y,X‬إحداثيات الاقطة األولى تاقسم إلى قسمين‪ ،‬ق سم من الم حور األف قي‬
‫في الاموذج المقدر‪ ،‬هذا ع بارة عن ‪     X‬‬
‫‪Y‬‬

‫ال جزء ال ثاني ع بارة عن قي مة ال بوا قي‬

‫فالمشاهدة ‪ Y‬هي حصيلة جمي ‪     X‬‬
‫‪u+ Y‬‬

‫أي أن أي مشاهده مكونم من جانبين‪ ،‬جا نب‬

‫‪41‬‬
‫الخط المقدر والبواقي البواقي بحكم أنها مقدرة العاصر العشوائي يمكن أن ت كون موج بة ومم كن‬
‫أن تكون سالبم وكذلك من الااحية الاظرية يمكن أن تساوي الصفر‬
‫للحصوه على مقدرات المربعات الصغرى العادية يجب أن نحصل أوال على البواقي‪:‬‬
‫‪ut2  (Yˆ  (ˆ  ˆX ))2‬‬
‫مجموع مربعات البواقي =‪u2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ u i   (Yi     X‬‬

‫يتم التوصل إلى الخط الذي تكون فيم مج موع مرب عات ال بواقي ا صغر ما يم كن [ اخت يار ال خط‬
‫ا لذي يدني مج موع مرب عات ال بواقي إ لى أ صغر ما يم كن] با ستخدام الريا ضيات فأن شرط‬
‫الدرجة األولى يتطلب أجراء التفاضل بالاسبة للمجاهيل ‪  ‬نستخدم التفاضل الجزئي وبعد ذلك‬
‫نساوي المعادالت التي تم أه تحصل عليها بالصفر ثم نطبق الم عادالت اآلن ية للح صوه ع لى قيم‬
‫المقدرات‬

‫‪ u   ( 2 )( Y  ˆ  ˆ X )( 1 )  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫ˆ‪‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ ( 2 ) ( Yi  ˆ  ˆ X )  0‬‬

‫نساوي بالصفر ‪ (Y  ˆ  ˆ X )  0‬‬
‫‪i‬‬

‫بادخاه المجموع ‪ Σ‬وحيث ان ‪α‬عدد ثا بت فأن ‪ n α = Σ α‬ثم بق سمة المعاد لة ع لى ‪ n‬نح صل‬
‫على مايلي‪:‬‬

‫‪ Y   ˆ  ˆ  X  0‬‬
‫‪ ˆ   Y  ˆ  X‬‬
‫‪nˆ   Y  ˆ  X‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ˆ    ˆ ‬‬
‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i‬‬

‫‪n‬‬
‫‪ˆ  Y  ˆ X‬‬

‫‪ ( 2)( (Yi  ˆ  ˆX )(  X )  0‬‬

‫‪ 2 X (Yi  ˆ  ˆX )  0‬‬

‫‪  ui2 ‬‬
‫ˆ‪‬‬

‫‪  ui2 ‬‬
‫ˆ‪‬‬

22
(  X (Yi  ˆ  ˆX )  0
  XY   X    X 2  0

‫نساوي بالصفر‬

 XY    X    X

2

n
n

 n 2
 X i Yi    X i      X  
 i 1 
 i 1 
i 1

21

‫ نحصل على‬ ‫بالتعويض بقيمة‬
 Y

 XY   X 

 n



 X   
n 

X

2

2.6

n ‫بالضرب في‬

n XY   X Y   ( X )2   n X 2
n XY   X  Y    (  X )2   n X 2
  n X 2   (  X ) 2



  n X 2  (  X ) 2

20



‫ ماها‬  ‫ تسمى المعادالت الطبيعية ونستطيي استخراج قيم‬2 0 ‫معادلة‬
n

ˆ 

n

n X iYi   X i  Yt
i 1

n X i    X 
2

2



‫بالتعويض نحصل على‬

:‫من الممكن الحصوه على المقدرات باستخدام االنحرافات كما يلي‬

24

 y   (Y  Y )

  Yi 2  nY 2

2

i

 xy   ( X  X )(Y  Y )   XY  n XY
 x  (X  X )
2

  X 2  nX

2

‫ولكن‬

Y X
Y X
Y X
Y X
i

i

i

i

i

i

i

i

  X i (Y i  ˆ X )  ˆ  X i2
 n X (Y  ˆ X )  ˆ  X 2
i

 n X Y  ˆ n X X )  ˆ  X i2
 n X Y   ˆ n X X  ˆ  X 2
i

 XY  n XY   ˆ n X  ˆ  X
2

2
i

 xy    nX   X 
2

 xy    x


2

2

 xy
x

2

)2( ‫مثال‬
X

Y

X2

x

y

XY

xy

x2

2

4

4

-2

-4

8

8

4

3
1
5
9

7
3
9
17

9
1
25
81

-1
-3
1
5

-1
-5
1
9

24
3
11
413

1
15
1
45

1
9
1
25

X=
20

Y=
40

X2= 120

XY= 230

xy=70

x2=40

‫‪22‬‬
‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n  X iYi   X i  Yt‬‬

‫‪‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n  X i2    X ‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫)‪(5)(230)  (20)(40‬‬
‫‪ 1.75‬‬
‫‪5(120)  (20) 2‬‬
‫‪ˆ  Y  ˆ X  8  1.75(4)  1‬‬
‫‪Yˆ  ˆ  ˆ X ‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫‪Yˆ  1  1.75 X‬‬
‫‪ˆ  ‬‬

‫‪xy 70‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.75‬‬
‫‪ x 2 40‬‬

‫باستخدام االنحرافات‬

‫‪X2‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪XY‬‬

‫‪xy‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪5500‬‬

‫‪900‬‬

‫‪1650‬‬

‫‪-45‬‬

‫‪30‬‬

‫‪8100‬‬

‫‪6300‬‬

‫‪400‬‬

‫‪1400‬‬

‫‪-30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪6400‬‬

‫‪7200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪900‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪4900‬‬

‫‪7000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4900‬‬

‫‪6300‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4900‬‬

‫‪7350‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4900‬‬

‫‪5600‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4225‬‬

‫‪7150‬‬

‫‪25‬‬

‫‪-550‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪3600‬‬

‫‪7500‬‬

‫‪100‬‬

‫‪-1250‬‬

‫‪25‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪3600‬‬

‫‪6900‬‬

‫‪100‬‬

‫‪-1150‬‬

‫‪15‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪3025‬‬

‫‪7150‬‬

‫‪225‬‬

‫‪-1950‬‬

‫‪30‬‬

‫‪-15‬‬

‫‪30‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪2500‬‬

‫‪6500‬‬

‫‪400‬‬

‫‪-2600‬‬

‫‪61050‬‬

‫‪80450‬‬

‫‪2250‬‬

‫‪-3550‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪22‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪211‬‬
‫‪21‬‬
‫‪212‬‬
‫‪21‬‬
‫‪221‬‬
‫‪222‬‬
‫‪222‬‬
‫‪221‬‬
‫‪221‬‬

‫‪211‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪21‬‬

‫‪1200‬‬
‫‪Y=100‬‬

‫‪840‬‬
‫‪X=70‬‬

‫‪β=-3550/2250=-1.6‬‬

‫‪ 2.2‬خصائص مقدرات المربعات الصغرى العادية (م ص ع)‬
‫الخصائص اإلحصائي التي تتميز فيها مقدرات المربعات الصغرى العادية‬
‫تتميز المقدرات‬
‫‪ )4‬الخطية‬

‫‪  ‬بث ث خواص أساسيم‪:‬‬
‫‪)2‬عدم التحيز‬

‫‪ )3‬الكفاءة‬

‫‪ )4‬الخطية‪  :‬تعتبر دالم خطية للعاصر العشوائي التابي ‪ Y‬أهمية هذه الخاصة أنها‬
‫تعطياا درجم من البساطة في أجراء الحسابات حيث انم لحساب ‪  ‬نستعمل‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫المجموع‬

‫‪23‬‬
‫المتغير التابي في صوره خطيم فقط هذه لتبسيط الحسابات‬
‫‪ )2‬عدم التحيز‪ :‬مقدرات (م ص ع) ‪ ‬مقدرة غير متحيزة للمعلمة ‪ ‬عدم التح يز يتط لب بأن‬
‫القيمم المتوقعة لة ‪ ‬و التي هي قيمة المعلومة الحقيق ية بمع اى آ خر متوسة ةةط ‪  = ‬إذا‬
‫جمعت عياات كثيرة وفي كل عيام نحسب ‪ ‬يتم أخذ المتوسط ذلك المتوسةةط نظر يا ي جب‬
‫أن يت ساوى مي المعل مة الحقيق ية ‪ E( )  ‬م قدرات (م ص ع) ‪ ‬م قدرة غ ير متح يزة‬
‫للمعل مة ‪ ‬ح يث أن ‪E( )  ‬‬

‫أي أن تو قي‬

‫‪ ‬ي جب أن يس ةةاوي المع لم ه الحقيق ية‬

‫بمعاى آخر متوسةةةط قيم ‪ ‬أو في المتوسط ‪ ‬تساوي القيمة الحقيقية للمعلمم ‪‬‬

‫هذه األوضاع كلها نظريم بحتة في الواقي ال يكون عادنا عدد من العياات‪ ،‬بكون في الوا قي عي ام‬
‫وا حدة ف قط وتعطي اا قي مم وا حدة ‪ ، ‬قي مم وا حدة ‪‬‬

‫يعت مد علي ها في التحل يل‪ ،‬من الااح ية‬

‫الاظرية نقوه أن هذه المقدرات يتو قي أن ها تسة ةةاوي القي مة الحقيق ية من الااح ية األ خرى القي مة‬
‫الحقيقة ال نعرفها وبالتالي هذه الخصائص خصائص نظريم بحتة‬
‫على الرسم البياني‪ ،‬رسم دالة احتماه ‪ ، ‬خاصية عدم التحيز تقوه أن توزيي احتماه ‪ ‬يأخذ‬
‫هةةذا الشةةكل يتمركةةز حةةوه القيمةةة الحقيقيةةة‪ ،‬لةةة ‪ ‬يعاةةي أن القيمةةة المتوقعةةة لةةة ‪ ‬تسةةةةاوي ‪‬‬
‫‪ E( )  ‬وأن قيمة ‪ ‬تساوي المعلمة الحقيقية ونفس التحليل ياطبق على ‪‬‬

‫‪E( )  ‬‬

‫‪E( )  ‬‬

‫تباين المقدرات‪ :‬تباين اي قيمة تتوزع حوه وسط معين هو معده تشتت هذه القيم عن الوسط‬
‫ويكون القانون الخاص بتباين مقدرة القاطي‪:‬‬
‫‪V( )  E{  E( )}2‬‬

‫بإجراء بعض الخطوات يمكن إن نبرهن إن تباين ‪ ‬يساوي‬
‫‪ 2  X2‬‬
‫‪n x 2‬‬

‫‪V( ) ‬‬

‫‪21‬‬
‫من المعادلة ن حظ إن تباين ‪ ‬تعتمد على ت باين ‪ u‬فإذا زاد ت باين ‪ u‬تو قي ز يادة ت باين ‪ ‬الن‬
‫وتو جد صيغم أ خرى لت باين ‪ ‬ع لى ا نم‬

‫ه ااك ع قة طرد يم بين ت باين ‪ ‬وت باين ‪u‬‬

‫يساوي ‪:‬‬
‫‪X2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪V(  )   { ‬‬
‫}‬
‫‪n  x2‬‬

‫اما القانون الخاص بتباين‬

‫‪: ‬‬
‫‪V( )  {  E( )}2‬‬

‫يمكن إن نثبت إن التباين الخاص بة ‪ ‬يساوي‬
‫و من المعاد لة ن حظ إن ت باين ‪‬‬

‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪V( ) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬

‫يعت مد طرد يا ع لى‬

‫ت باين ‪u‬‬

‫وعك سيا ع لى مج موع‬

‫مرب عات انحرا فات المتغ ير الم ستقل‪ ،‬فكل ما ازدادت در جة انتشة ةةار المتغ ير المسةة ةةتقل ( آي‬
‫بيانات ‪ X‬مختلفة كثيرا عن بعضها) نتوقي إن يزيد الم كون المو جود في الم قام وبال تالي ياخفض‬
‫تباين ‪ ‬مما يشعر إلى دقة التقديرات‬
‫‪ -3‬آدني تباين‪:‬‬
‫الخا صية الثال ثة لم قدرات م ص ع تمت لك آد ني ت باين هذه الخا صية ل ها أهم ية بال غة في‬
‫االقتصاد القياسي الن آدني تباين يعتبر مؤشةةر إلى دقة القياسةةات‪ ،‬آدني تباين يعتبر مؤشةةر إلى‬
‫دقة القياسات‪ ،‬آدني تباين يعاي أعلى دقة من ناحية القياسةةات‬
‫هااك ع قة عكسية بين التباين ودقة القياسات كلما زاد التباين كلما انخفضت دقة القيا سات وكل ما‬
‫قل ارتفعت دقة القياسات ألن مقدرات م ص ع ‪‬‬

‫‪‬‬

‫تلك المقدرات تمتلك آدني تباين نعاي‬

‫مقارنم بمقدرات أخرى تقاس بطريقم مختلفة عن م ص ع فان مقدرات م ص ع تمتلك آدني تباين‬
‫إي تتح لى بأعلى د قم نف ترض إن ه ااك م قدرات لة‬

‫‪‬‬

‫تح صل علي ها بطري قم مختل فة‬

‫ونفترض إن الم قدرات األ خرى ‪  ,  ‬ا ذا افتر ضاا أن ت لك الم قدرتين خط يم وغ ير متح يزة‬
‫سيكون االخت ف في خاصية أن مقدرات م ص ع ‪  ‬تمتلك أعلى دقة‬

‫‪21‬‬

‫(‪)4‬‬

‫(‪)2‬‬
‫‪E( )  ‬‬

‫‪E( )  ‬‬
‫)‪V( ) > V( ‬‬

‫في الحالة (‪ )4‬استخدمت مقدرات م ص ع في الحالة الثانية (‪ )2‬مقدرات أخرى غير م ص ع ‪,‬‬
‫في ال شكل التوز يي االحت مالي لقي مة الم قدرات ‪  ,  ‬في (‪ )4‬يت بين ان الت باين قل يل‪ ،‬در جة‬
‫االنتشار لة ‪ ‬اقل وبالتالي تتمركز قيم ‪ ‬حوه القي مة الحقيق ية و في ال شكل (‪ )2‬قد نح صل ع لى‬
‫قيم حوه ‪ ‬لكاها بعيده عن المعلمة الحقيقية‬
‫من الشكل إن احت ماه الح صوه ع لى ‪‬‬

‫أ قرب للمعل مة الحقيق ية من ‪ ,  ‬وبال تالي در جة‬

‫احتماه العثور على ‪ ‬أقرب مما سواها‪ ،‬هذا ما يقصد بخاصية أدنى تباين‬
‫مةن الاتةةائا التةةي توصةةلاا أليهةةا عةةن مقةةدرات م ص ع يمكةةن أن نقةةوه أن شةةةةةةةةةةةكل التوزيةةي‬
‫االحتمالي الخاص بالمقدرات ‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ ‪X2 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪ˆ ~ N  ,  ( ‬‬
‫‪) ,  ~ N  , n ‬‬
‫‪n  x2 ‬‬
‫‪xi2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬

‫من المعادلتين يتبين انم ‪:‬‬
‫‪ -4‬كلما زاد التباين ‪ 2‬كلما زاد تباين المقدرات ‪‬‬
‫‪-2‬كلما كان انتشار قيم ‪ X‬اكبر كلما قل تباين ‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪26‬‬
‫مثال (‪:)2‬‬
‫البيانات التالية عن السعر وكميم البرتقاه الذي تم بيعم في أحد أ سواق الخ ضار في مدة ‪ 42‬يوم‬
‫إذا رمزنا للسعر بة ‪ X‬والكميم بة‪Y‬‬

‫باستخدام المعادلة التالية‪:‬‬

‫‪Y    X  u‬‬
‫‪X  70,  xy  35550‬‬
‫‪Y  100,  x 2  2250‬‬
‫‪3550‬‬
‫‪ˆ ‬‬
‫‪ 1.578‬‬
‫‪2250‬‬

‫‪ˆ  100  (1.578)70  210.460X  u‬‬
‫‪ˆ  210.46  1.578X.‬‬
‫‪Y‬‬

‫‪1 X2‬‬
‫‪1 (70) 2‬‬
‫‪V( )   2 ( ‬‬
‫‪)  2 ( ‬‬
‫‪)  2.2611 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪12 2250‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V( )  , n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.00044 2‬‬
‫‪2250‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi‬‬
‫‪i 1‬‬

‫ت قدير الت باين‪ : 2‬ح يث أن ‪2‬‬

‫مجهو لة وال تي نحتاج ها ل اتمكن من ح ساب ت باين ‪‬‬

‫نستخدم مقدرة ‪ = 2‬مجموع مربعات البواقي‪/‬درجة الحرية‬

‫‪u2‬‬
‫‪02‬‬

‫‪n2‬‬

‫‪2 ‬‬

‫بحساب مربعات مجموع البواقي من قيمة ‪ u   (Y  Yˆ )  698‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫إذا مقدرة التباين‬

‫‪698‬‬
‫‪ 69.8‬‬
‫‪12  2‬‬

‫وماها يمكن الحصوه على مقدرات تباين ‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪i‬‬

‫‪u2‬‬
‫‪n2‬‬

‫‪ˆ 2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪20‬‬
‫‪1 X2‬‬
‫‪1 (70) 2‬‬
‫‪V( )   2 ( ‬‬
‫‪)  69.8( ‬‬
‫‪)  157.82‬‬
‫‪n‬‬
‫‪12 2250‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪69.8‬‬
‫‪V( )  , n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.0310‬‬
‫‪2250‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi‬‬
‫‪i 1‬‬

‫مثال ‪2‬‬
‫‪u2‬‬

‫‪u‬‬

‫^‪Y‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪xy‬‬

‫‪XY‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪0.2500‬‬

‫‪0.50‬‬

‫‪4.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.5625‬‬
‫‪0.0625‬‬
‫‪0.5625‬‬
‫‪0.0625‬‬

‫‪0.75‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪0.25‬‬

‫‪6.25‬‬
‫‪2.75‬‬
‫‪9.75‬‬
‫‪16.75‬‬

‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪25‬‬

‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪45‬‬

‫‪24‬‬
‫‪3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪413‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬

‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪25‬‬
‫‪81‬‬

‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪17‬‬

‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬

‫‪x2=40‬‬

‫‪xy=70‬‬

‫‪XY= 230‬‬

‫‪Y=40‬‬

‫‪X=20‬‬

‫‪u2=1.5‬‬

‫‪X2= 120‬‬

‫) ‪u  Y  Yˆ  Y  (ˆ  ˆ X )  Y  1  1.75( X‬‬
‫‪X  2,3,1,5,9‬‬

‫للحصوه على مقدرة التباين نستخدم المعادلة التالية ‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2  ‬‬

‫‪u2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.5‬‬
‫‪n2 52‬‬

‫وبعد ذلك نستطيي أن نتحصل على تباين المقدرات‬
‫‪1 X2‬‬
‫‪1 (120) 2‬‬
‫‪V( )   2 ( ‬‬
‫‪)  0.5( ‬‬
‫‪)  0.3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪5‬‬
‫‪40‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪V( )  , n‬‬
‫‪‬‬
‫‪.0125‬‬
‫‪40‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi‬‬
‫‪i 1‬‬

‫وللحصوه على االنحراف المعياري نتحصل على الجذر التربيعي للتباين‪:‬‬

‫‪Se( )  V( )  0.0125  0112‬‬
‫‪.‬‬
‫‪Se( )  V(  0.3  0.548‬‬

‫‪21‬‬
‫‪2.2‬‬

‫فترات الثقة ‪Confidence Interval‬‬

‫المقدرات مؤشةةرات مهمم يمكن إن تستخدم الستخ ص نتائا عن المجتمي التي استخلصت مام‬
‫هذه المقدرات لبااء فترات الثقة وأجراء اختبارات الفروض نستخدم التوزيي الطبيعي‪:‬‬
‫فترة الثقة‪:‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ˆ ~ N ‬‬
‫‪ , n‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪ˆ ~ N ‬‬
‫‪  ,  ‬‬
‫‪2‬‬

‫ˆ‬

‫إذا كانت‪ ‬تتوزع طبيعيا فستكون قيمة ‪ Z‬كما يلي‪:‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪Z‬‬

‫إذا أ خذت أي ع شوائي يتةوزع توز يي طبيعةي وطر حت م ام الوسةط ال خاص بةم وق سمتم علةى‬
‫االنحراف المعياري فان القي مة المتح صل علي ها هي قي مة ‪ Z‬ال تي ت توزع طبيع يا بوس ةةط صفر‬
‫وتباين وانحراف معياري يساوي الواحد الصحيح توزيي ‪ Z‬كما هو م عروف يم كن ا ستخ ص‬
‫االحتمةاالت الخاصةة بةم مةن جةدوه التوزيةةي الطبيعةي وبةذلك يمكةن تحديةد االحتمةاه الخةةاص‬
‫بحدوث أي قيمم من ‪ Z‬بالاظر إ لي ال جدوه ح يث ي شير الع مود الرأ سي إ لي الي سار إ لي قيم ‪Z‬‬

‫والقيم بداخل الجدوه تشير إلي االحتماالت‬
‫الخت بار الفر ضية فإن اا نخت بر هل ‪ ‬ت ساوي ‪ ‬أم تخت لف عا ها وإذا كا نت تخت لف هل هذا‬
‫االخت ف قليل يمكن التعايش م عم أي إن اال خت ف را جي إ لي الع شوائية ف قط و ليس باالخت ف‬
‫الكبير الذي يشير إلي انم ال ياتمي إلي نفس المجتمي ونرفض الفرضية انهما متساويان‬
‫في القانون أع ه هااك معلمم غير متوفرة و هي معل مة ت باين المجت مي فا ستخدماا م قدرة الت باين‬
‫مقدرة التباين ال تمتلك التوزيي الطبي عي ول كن تت بي توز يي ‪ t‬وا لذي يت حدد تب عا لدرجات الحر ية‬
‫الم ستعملة أي في هذه الحا لة إ لي ‪ n-2‬توز يي ‪ t‬هو توز يي احت مالي م شابم للتوز يي الطبي عي‬
‫وتوزيي ‪ t‬يتمركز حوه الصفر ويأخذ شكل مماثل لتوزيي ‪، Z‬ويستخدم توزيي‪ Z‬فقط عادما ت كون‬
‫حجم العيام كبيره ‪n>30‬‬
‫توزيي ‪t‬‬

‫‪21‬‬

‫االختبار اإلحصائي يكون‬
‫‪  ‬‬
‫‪Se ‬‬

‫‪t‬‬

‫يمكن حساب فترات الثقة كما يلي‪:‬‬
‫) ‪Se(‬‬
‫) ‪Se(‬‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪n  2.‬‬

‫‪n  2.‬‬

‫‪  t‬‬

‫‪  t‬‬

‫قيمة ‪ t‬تمثل القيمة اختبار ‪ t‬عاد درجة حرية ‪ n-2‬عاد مساحة ‪ /2‬من توزيي ‪ t‬من المثاه (‪)3‬‬
‫) ˆ‪Se( ‬‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪n  2.‬‬

‫‪ˆ  t‬‬

‫‪1.7  2.228  0.112‬‬
‫‪ 0.2495‬‬
‫‪1.45 ____1.94‬‬

‫) ˆ‪Se(‬‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪n  2.‬‬

‫‪ˆ  t‬‬

‫‪1  2.228  0.548‬‬
‫‪1  1.2209‬‬
‫‪0.22 ____ 2.22‬‬

‫إن شرح فترة الثقة يعاي إن إن االحتماه أن فترة الثقة المحددة تعطي المعلمة الحقيقية يساوي‬
‫(‪ (1- ‬ويستخدم عادة مستوى الثقة ‪ %11‬أو ‪%11‬‬
‫‪ 2.2‬اختبار الفرضيات‬
‫‪:‬يتعلق اختبار الفرضيات بإيجاد أال جابم على هذا السؤاه ما اذا كانت القيمة المحسوبة من العياة‬
‫متوافقةة مةةي الفرضةةية أم ال؟ الكلمةةة متوافقةةة هاةةا تعاةةي أن القيمةة المحسةةوبة قريبةةم مةةن القيمةةة‬
‫المفترضة بحيث أناا ال نستطيي إن نرفض القي مة المفتر ضة إي إذا كان ه ااك نظر يم سابقم أو‬
‫اعتقاد إن الميل الحقيقي لدالة االسته ك والدخل يساوي على سبيل المثاه ‪ 4‬هل القي مة المح سوبة‬
‫أو المشاهدة والتي تساوي ‪ 2 121=‬و تحصل عليها من العياة متفقم مي القيمة التي افتر ضااها‬
‫سابقا؟ إذا كان الجواب باعم فاناا ال نرفض الفرضية في القياسي نسمي القيمة المفترضة بةفرضية‬
‫العدم لفرضية البديلة‬

‫‪32‬‬
‫‪H 0 :  ‬‬

‫فرضية العدم‬

‫‪H A :  ‬‬

‫الفرضية البديلة‬

‫من المثاه (‪ )4‬نفترض إناا سوف نقوم باختبار الفرضية انم ليس هااك ع قة بين ‪Y, X ,‬‬

‫‪H 0 :  0‬‬

‫فرضية العدم‬

‫‪H A :  0‬‬

‫الفرضية البديلة‬

‫‪t( n  k ),(1 )  t3,.( 0.975)  3.182‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1.75  0‬‬
‫‪ 15.65,‬‬
‫‪0.112‬‬

‫‪t‬‬

‫‪ˆ   0‬‬
‫‪Se‬‬

‫‪t‬‬

‫االختبار يقارن بين ما تقو لم الفر ضية و ما تقو لم العي اة إذا كان ال فرق كب ير إي اك ثر من القي مة‬
‫الجد وليم التي نحصلاا عليها من جدوه ‪ t‬فأناا نرفض الفرض إذا كان الفرق قل يل فان هذا يع اي‬
‫إن العياة تؤيد ما يقولم الفرض وبالتالي نقبل الفرض‬
‫توزيي ‪t‬‬

‫‪ t‬الجدوليم =‪3.182‬‬

‫يعاي إناا يجب إن نوجد القي مة الفر ضية من ا جل ات خاذ ال قرار آ ما بق بوه أو برفض إن قرار‬
‫القبوه أو الرفض يتعلق بفرضية العدم وليس بالفرضيم البديلة‬

‫‪Yi‬‬

‫‪Y‬‬

‫ˆ‪Y‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Yi  Yˆ  u‬‬

‫‪Yi  ˆ  ˆX  u‬‬

‫‪Yˆ  ˆ  ˆX ,‬‬

‫‪34‬‬

‫‪ 2.2‬اختبار جودة النموذج وتحليل التباين‪.‬‬
‫‪SST   yi   (Y  Y ) 2‬‬
‫‪SSR   yˆ 2    xi2   (Yˆ  Y ) 2‬‬
‫‪SSE   u 2   (Yˆ  Y ) 2‬‬
‫‪i‬‬

‫‪SST  SSR  SSE‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪Total Sum of Squares‬‬
‫‪SSR‬‬
‫‪Regression Sum of‬‬
‫‪Squares‬‬
‫‪SSE‬‬
‫‪Error‬‬

‫مجموع المربعات اإلجمالي للتغيرات التي تحدث في المتغير التابي‪Y‬‬
‫يسمى بمجموع مربعات االنحدار يعاي جزء من تباين ‪ Y‬الذي تم تفسةةةيره‬
‫بواسةةةطة االنحدار إي الجزء من المتغيرات التي تحدث في المتغير التابي‬
‫والذي تم تفسةةيرها بواسةةطة الاموذج المقدر‬
‫مجموع مربعات البواقي‪ u2, ،‬وهذا مؤشةةر للجزء الذي لم يفسةةر‬
‫بواسةةطة نموذج االنحدار‪ ،‬إي الجزء الذي فشل الاموذج في تفسيره‬

‫ويمثل نسبة مجموع مربعات االنحدار إلي مجموع المربعات اإلجمالي ما يسمى بة معامل التحديد‬
‫‪SSR SST  SSE ˆ  xy‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪ yi2‬‬

‫‪R2 ‬‬
‫‪xy‬‬

‫قي مة ‪ R2‬ت تراوح بين صفر ووا حد إذا كا نت مرتف عم أي قرب يم من الوا حد تعت بر‪ X‬ج يده في‬
‫تفسير التغيرات في ‪ Y‬إذا كانت قربيم من الصفر فان المتغير ال يشرح إال القليل من التغير في‬
‫‪Y‬‬
‫‪SSR ˆ  xy 1.75(70) 122.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.9879‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪124‬‬
‫‪124‬‬
‫‪ y2‬‬

‫‪R2 ‬‬

‫جدول تحل يل الت باين لمعاد لة االن حدار‪ :)Analysis Of Variance)ِANOVA‬و هو إن تحل يل‬
‫مجموع المربعات الصغرى إلي مجموع مرب عات ال بواقي ومج موع مرب عات االن حدار ال غرض‬
‫من هذا التحليل الختبار معاوية مجموع مرب عات االن حدار و هذا أي ضا يدخل في اخت بار معاو ية‬
‫المعامل ‪ ‬ونمثل هذا التحليل في جدوه تحليل التباين‪:‬‬
‫جدوه تحليل التباين ‪ANOVA‬‬
‫التباين‬

‫مجموع المربعات‬

‫مجمةةةةةوع مربعةةةةةات ‪yˆ 2 ˆ  xy ˆ 2  x 2 ‬‬
‫االنحدار‬

‫مجمةةةةةوع مربعةةةةةات‬
‫البواقي‬

‫‪‬‬

‫درجةةةةةةةةةةة متوسط المربعات‬
‫الحرية‬
‫‪SSR/1‬‬
‫‪k-1=2-1SSR ‬‬

‫‪SSE   u 2   y 2   yˆ 2‬‬

‫‪n-k=n-2‬‬

‫)‪SSE/(n-2‬‬

‫‪32‬‬
‫مجمةةةةةوع مربعةةةةةات‬
‫اإلجمالي‬

‫‪SST   y 2   yˆ 2   u 2‬‬

‫‪n-2=3‬‬

‫‪SSR‬‬
‫‪SSE / n  k‬‬

‫‪F‬‬

‫جدوه تحليل التباين للمثاه (‪)4‬‬
‫التباين‬
‫مجموع مربعات االنحدار‬
‫مجموع مربعات البواقي‬
‫مجموع مربعات اإلجمالي‬

‫مجموع المربعات‬
‫‪SSR=122.5‬‬
‫‪SSE=1.500‬‬
‫‪SST=124‬‬

‫متوسط المربعات‬

‫درجة الحرية‬

‫‪122.5/1‬‬
‫‪1.5/3‬‬
‫‪122.5 /1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ 245.00‬‬
‫‪1.5 / 3‬‬

‫‪K-1=1‬‬
‫‪n-k=3‬‬
‫‪n-1=4‬‬

‫اختبار ‪ F‬هو اختبار لجودة الاموذج ي حاوه أن يج يب ع لى ال سؤاه هل اف لح الا موذج في تف سير‬
‫التغ يرات التةي تحةدث فةي المتغيةر التةابي ويختبةر الفرضةية إن معةام ت المتغيةرات المفسةرة‬
‫تساوي الصفر أي أن فرضية ال عدم ت قوه ا نم ال يو جد ع قة بين المتغ يرات المف سرة والمتغ ير‬
‫ال تابي وت قارن قي مة المح سوبة من ال جدوه مي ال جد ول يم بدر جة حر ية للب سط ت ساوي ‪k-1‬‬
‫ودرجة حرية المقام ‪ n-k‬قيمة الجد وليم عاد مستوى معاوية ‪5%‬تساوي ‪.10.13‬‬
‫توزيي ‪F‬‬

‫‪0‬‬

‫‪F=10.13‬‬

‫‪ 2.2‬التنبؤ باستخدام معادلة االنحدار‪:‬‬
‫معادلة االنحدار المقدرة‬
‫‪X‬‬

‫‪     X  u‬‬
‫‪ Y‬تستخدم في عمل ية التا بؤ ل قيم ‪ Y‬ل قيم م حدده من‬
‫‪t‬‬

‫إذا كانت ‪ X0‬تمثل القيمة المحددة من‪ X‬تستخدم في التابؤ بقيمة ‪ Y0‬من قيم ‪Y‬‬

‫‪     X  u‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫حيث ‪ u‬تمثل حد الخطأ‬
‫حيث يمثل خطأ التابؤ‬
‫حيث إن‬
‫إذا تكون‬

‫‪  Y  (   )  (  )X  u‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫‪E(   )  0, E(  )  0, E(u 0 )  0‬‬
‫‪E(y 0  y 0 )  0‬‬

‫هذه تعاي إن قيمة ‪ Y‬هي قيمم غير متحيزة ويكون تباين يساوي‪:‬‬
‫)‪V(y 0  y 0 )  V(   )  X 20 V(  )  2X 0 COV(   ,   )  V(u‬‬

‫‪33‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X2 ‬‬
‫‪2 X0‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2X 0  2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi‬‬
‫‪n  xi ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ 1 (X 0  X ) 2 ‬‬
‫‪  1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2 ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪2‬‬

‫أي إن التباين يرتفي بارتفاع تباين ‪ X‬أي باخت ف قيم ‪ X‬عن قيم متوسطها‬
‫باستخدام البيانات أع ه نحصل على‬

‫‪Y=10.0+0.90 X‬‬

‫‪ ˆ 2  0.01, X  200,  x i2 4000,‬إذا استخدماا ‪ 212= X0‬ستكون قيمة ‪ Y0‬المتابأ بها‬
‫يساوي‪:‬‬

‫‪=10.0+0.9(250)=235‬‬

‫‪Y0‬‬

‫‪ )  0.01 1  1  2500   0131‬‬
‫‪SE(Y‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 12 400 ‬‬

‫حيث أن ‪ t=2.228‬من جدوه مي ‪ 42‬درجات حريم‪ ،‬و فترة الثقة ‪ %11‬تكون‬
‫‪235 2.228 (0.131) = 235  0.29‬‬

‫آي أن فترة الثقة تساوي‬

‫)‪235.29‬‬

‫‪-‬‬

‫‪(234.71‬‬

‫التابؤ للقيمة المتوقعة‪-:‬‬
‫أحيانا يرغب الباحث في التابؤ بالقيمة المتوقعة لة‪ Y‬بدال من ‪ Y0‬آي قيمة )‪ E(Y0‬آي القيمة‬
‫المتوسطة لة ‪ E(Y0‬وليس ‪Y0‬‬

‫عاد التابؤ بالقيمة المتوقعة فان ‪ E(Y0) =Y0‬حيث أن‬

‫‪ E(Y0 )    X 0  u 0‬فان القيمة المتابأ بها تساوي‬
‫‪ E (Y0 )     X 0  u 0‬آي يساوي ‪ Y0‬ولكن الخطأ المعياري والتباين‬
‫سيكون مختلفا سيكون اصغر قيمم‬
‫‪E (y 0 )  E(y 0 )  (   )  (  )X 0‬‬

‫التباين يساوي‪:‬‬
‫‪ 1 (X 0  X ) 2 ‬‬
‫‪Var [E( y 0 )  E( y 0 )]    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬

‫والخطأ المعياري يساوي الجذر التربيعي للتباين وفترة الثقة تساوي‬

‫‪31‬‬
‫‪Eˆ ( y 0 )  t SE‬‬

‫مثاه‪:‬‬
‫المبيعات ‪Y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬

‫النفقات األعالنيه‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬

‫للحصوه على مقدرات الاموذج‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫‪0.80‬‬
‫‪0.60‬‬
‫‪2.60‬‬
‫‪0.20‬‬
‫‪1.00‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪XY‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪24‬‬
‫‪40‬‬

‫النفقات‬
‫األعالنيه‪X‬‬

‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪16‬‬
‫‪25‬‬
‫‪55‬‬

‫المبيعات ‪Y‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪23‬‬

‫‪Y =1.0 + 1.2 X‬‬

‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬

‫‪X=3.0‬‬

‫مشاهده‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬

‫‪SSE=8.8‬‬

‫نفترض إن مدير المبيعات يرغب في التابؤ بدخل المبيعات عادما تكون الافقات االع نيم‬
‫تساوي ‪ 600‬لاير ويريد أيضا بااء ‪ %11‬فترة ثقة لتابؤه ‪ 6= X0‬إذا‬
‫‪y=1.0 + 1.2(6)=8.2‬‬

‫والتباين يساوي‬

‫‪ 1 ( 6  3) 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  1  ‬‬
‫‪  2.1‬‬
‫‪10 ‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪2‬‬

‫‪SSE 8.8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3.93‬‬
‫‪d.f‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ˆ 2 ‬‬

‫‪21‬‬
‫‪. (2.93)  6153‬‬
‫‪.‬‬
‫الخطأ المعياري ‪ 2.48‬‬

‫عاد مستوى المعاوية ‪ ، %1‬ودرجة حرية ‪ df=2.353‬و ‪ %12‬فتره‬
‫تطبيق‬
‫دالة االسةةته ك الخاص للملكة العربية السةةعودية‪:‬‬

‫‪31‬‬
‫‪C  ˆ  ˆY‬‬

‫حيث ترمز ‪ X‬الى االسته ك الخاص و ‪ Y‬الى الدخل‬
‫البيانات‪:‬‬
‫‪GDP‬‬

‫‪Private Consumption X‬‬

‫الدخل (اجمالي الااتا المحلي) باسعار الجاريم‬

‫االسته ك الخاص‬

‫‪164.53‬‬
‫‪205.06‬‬
‫‪225.40‬‬
‫‪249.54‬‬
‫‪385.81‬‬
‫‪520.59‬‬
‫‪524.72‬‬
‫‪415.23‬‬
‫‪372.07‬‬
‫‪351.40‬‬
‫‪313.94‬‬
‫‪271.09‬‬
‫‪275.45‬‬
‫‪285.15‬‬
‫‪310.82‬‬
‫‪391.99‬‬
‫‪442.04‬‬
‫‪461.40‬‬
‫‪443.84‬‬
‫‪450.03‬‬
‫‪470.70‬‬
‫‪511.33‬‬
‫‪547.41‬‬

‫‪23.90‬‬
‫‪34.75‬‬
‫‪54.61‬‬
‫‪68.61‬‬
‫‪102.39‬‬
‫‪114.91‬‬
‫‪126..39‬‬
‫‪151.29‬‬
‫‪157.37‬‬
‫‪159.35‬‬
‫‪158.59‬‬
‫‪140.15‬‬
‫‪135.54‬‬
‫‪139.40‬‬
‫‪145.03‬‬
‫‪155.87‬‬
‫‪168.75‬‬
‫‪183.92‬‬
‫‪193.91‬‬
‫‪185.83‬‬
‫‪191.10‬‬
‫‪206.21‬‬
‫‪207.35‬‬

‫‪Year‬‬
‫‪1975‬‬
‫‪1976‬‬
‫‪1977‬‬
‫‪1978‬‬
‫‪1979‬‬
‫‪1980‬‬
‫‪1981‬‬
‫‪1982‬‬
‫‪1983‬‬
‫‪1984‬‬
‫‪1985‬‬
‫‪1986‬‬
‫‪1987‬‬
‫‪1988‬‬
‫‪1989‬‬
‫‪1990‬‬
‫‪1991‬‬
‫‪1992‬‬
‫‪1993‬‬
‫‪1994‬‬
‫‪1955‬‬
‫‪1996‬‬
‫‪1997‬‬

36
ln C  3.33  1.38ln Y
n  23, K  2
SSE  0.341
SSR  2.44
Y  4.82
SE (ˆ )  1.29, SE ( ˆ )  0.219
3.33  0
t  
 2.57
1.29
1.38  0
t  
 6.31
0.219
t( n  k )(1 0.025)  t( 21,0.975)  2.080
F  39.88 F( k 1)( n  k )  F1,21  4.32
R 2  0.65

‫‪30‬‬
‫الملحق (‪)2‬‬
‫طريقة اإلمكانية العظمى )‪Maximum Likelihood Method (ML‬‬
‫هي طري قة اح صائيم ت ستعمل في م جاه الت قدير أوه من قدمها اإلح صائي الم شهور ‪Fisher‬‬

‫اإلمكان ية ‪ :‬مف هوم احت ماه حدوث ع مل ما و هي طري قة للت قدير اإلح صائي مثل ها م ثل طري قة‬
‫المربعات الصغرى تستخدم في تقدير قيم المعالم المجهولة ويمكن أن تطبق ع لى ن ماذج االن حدار‬
‫ومم كن تطبيق ها ع لى آي ع قة مجت مي تح توي ع لى م عالم مجهو لة‪ ،‬تتم يز م قدرات اإلمكان ية‬
‫العظمى بخواص جيدة ومطلوبة سارى طب ية هذه ال خواص في ما ب عد طري قة اإلمكان ية العظ مى‬
‫تتط لب أ جراء ح سابات مع قدة م ثل الح سابات المع قدة كا نت عا مل م هم في الما ضي‪ ،‬ل كن اآلن‬
‫الحسابات تجري بواسطة الحاسبات اآلل ية وبال تالي هذا االعت بار ال ي شكل نقي صة في ما ي ختص‬
‫باستخدام اإلمكانية العظمى‬
‫اإلمكانية العظمى تشترك في بعض الحاالت مي م قدرات المرب عات ال صغرى‪ ،‬آي نتح صل ع لى‬
‫مقةدرات اإلمكانيةة العظمةةى تتطةابق مةةي مقةدرات المربعةات الصةةغرى العاديةة أن مقةةدرات أال‬
‫مكانيم العظمى في مثل نموذج االنحدار البسيط ما هي آال مقدرات المربعات الصغرى ‪ ،‬لكن في‬
‫ن ماذج أ خرى اك ثر تعق يدا نرى أن م قدرات اإلمكان ية العظ مى تخت لف عن م قدرات المرب عات‬
‫الصغرى العادية‬
‫مقدرات اإلمكانية العظمى ‪ :‬هي ت لك ال قيم ال تي تع ظم إمكان ية ( االحت ماه) الح صوه ع لى العي اة‬
‫المشاهدة والمستخدمة في التقدير‬
‫طريقة اإلمكانية العظمى‪ :‬نبدأ باموذج االنحدار البسيط‪:‬‬
‫‪Y    X  u‬‬

‫الخطوة األولى ‪ :‬افتراض حوه شكل التوزيي االحت مالي ال خاص بالعاا صر الع شوائية افتر ضاا‬
‫أن المتغير العشوائي يتوزع توزيي طبيعيا‬
‫الخ طوة الثان ية‪ :‬تحد يد دا لة االحت ماه أو دا لة الكثا فة االحتمال ية ‪Probability Density Function‬‬

‫الخاصة بالعااصر العشوائية‬
‫الخطوة الثالثة‪ :‬استخ ص دالة االحت ماه الخا صة بالمتغير ال تابي‪ ،‬ح يث أن المتغ ير ال تابي يعت مد‬
‫على المتغير العشوائي ثم يعمم على العياة‬
‫الخطوة الرابعة‪ :‬تعظم تلك الدالة بالاسبة لقيم المعالم فاتحصل على مقدرات اإلمكانية العظمى‬

‫‪31‬‬
‫‪ -4‬دالة الكثافة االحتمالية لةلعاصر العشوائي ‪ u‬هي دالة توزيي طبيعي معروفم تكتب على الا حو‬
‫التالي‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ u0 ‬‬
‫‪‬‬

‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ (ct ) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( 2  )1/ 2‬‬

‫حيث أن ‪ =-3.14‬و ‪e=2.718‬‬

‫الجزء الثاني من المعادلة هو مربي‬

‫‪ u1/2‬مضروب في المتغ ير الع شوائي م طروح من الو سط‬

‫ومقسوم على االنحراف المعياري وبالتعويض بالمتوسط الصفري يمكن كتابتها كما يلي‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ut ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪( 2  2 )1/ 2‬‬

‫‪ (ct ) ‬‬

‫‪ -2‬تحدد دالة االحتماه المشتركة ‪ join Density Function‬آي دالة العااصر العشوائية والتي‬
‫تكون عادة بعدد ‪ e1, e2, …… en n‬وحيث أن العاصر العشوائية غير مرتبطة مي بعض يمكن‬
‫كتابة دالة االحتماه المشتركة كما يلي‪:‬‬
‫) ‪ ( u i ........ u n )   ( u 1 ) ( u 1 ).....  ( u n‬‬

‫تعوض الدواه بقيمتها من معادلة دالة الكثافة االحتمالية للعشوائي‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ut ‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ut ‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ut ‬‬
‫‪‬‬

‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪.....‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ (ut ) ‬‬
‫‪( 2 2 )1/ 2‬‬
‫‪( 2 2 )1/ 2‬‬
‫‪( 2 2 )1/ 2‬‬

‫‪ u2t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ( 2  2 )1/ 2‬‬

‫‪ -3‬استخ ص دالة االحتماه الخاصة بالمتغير التابي ‪ ،Y‬حيث أن المتغير التابي يعتمد على‬
‫المتغير العشوائي ثم يعمم على العياة‬
‫حيث أن‬

‫‪u i  Y     i X‬‬

‫نعوض بقيمة ‪ u‬من دالة اإلمكانية العظمى‪:‬‬

‫‪31‬‬

‫‪ ( y X )t2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ( 2 )1/ 2‬‬
‫‪2‬‬

‫تحولاا عن البواقي‪ u‬إلى دالة يظهر فيها التابي ‪ Y‬وبحكم ظهور على الجانب األيمن من‬
‫المعادلة تعتبر هذه المعادلة دالة االحتماه المشتركة وتسمى بدالة اإلمكانية العظمى ويرمز لها‬
‫بالرمز ‪‬‬

‫) ‪  f ( Y1 ). f ( Y2 ).... f ( Yni‬‬

‫ومن دالة االحتماه المشتركة يمكن الحصوه مقدرات اإلمكانية العظمى بهذه المعادلة المطلوب‬
‫هو أيجاد القيم للمقدرات التي تعظم احتماه العثور على القيم الخاصة بة ‪ Y‬آي أن المعيار في‬
‫دالة اإلمكانية العظمى يتطلب تعظيم دالة أال مكانيم العظمى لتعظيم أي دالة من الدواه يجب‬
‫أجراء التفاضل حسب متطلبات شرط الدرجة األولى ومساواتم بالصفر وحيث أن المعادلة معقده‬
‫لذه تستخدم الخاصية الرياضية التي تقوه أن القيمة العظمى لدالة من الدواه أو قيمة المعلمة التي‬
‫تحقق القيمة العظمى لدالة من الدواه هي نفس القيمة التي تحقق القيمة العظمى للدالة الرئيسية‬
‫للتبسيط نأخذ لوغاريتم الدالة‬
‫) ‪  f ( Y1 ). f ( Y2 ).... f ( Yni‬‬

‫) ‪L   ln f ( Y1‬‬

‫‪ ( y  X )t2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪  ( 2 )1/ 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln    ln( 2 2 )  2  ( y    X ) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ln    ln( 2 )  ln  2 ‬‬
‫) ‪ ( y    X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫ن حظ وجم التب سيط ا نم بيا ما كا نت م عالم تظ هر ‪  ‬في األس لة ‪ u‬اآلن تظ هر ‪  ‬كدا لة‬
‫خطية وذلك يسهل عملية أجراء التفاضل‬

‫‪12‬‬
‫الغرض من كتابة المعادلة على الصورة المختلفة هو عزه الت باين ‪  2‬عن الثا بت (‪ )2‬و من‬
‫ذ لك يم كن التو صل إ لى م قدرة معل مة الت باين ل هذا تعت بر طري قة اإلمكان ية اف ضل من طري قة‬
‫المربعات الصغرى ألنها تعطياا باألضافم إلى مقدرة ‪  ‬تعطياا مقدرة ‪ 2‬‬

‫إذا للحصوه على مقدرات أال مكانيم العظمى يتم أجراء التفاضل الذي يعظم دالة اإلمكانية اختيار‬
‫المقدرات التي تعظم الدالة‬
‫‪L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ 2( y    X )( 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ 2( y    X )(  X t‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ ( y    X‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫للحصةةوه علةةى المجاهيةةل نحةةل المعةةادالت الةةث ث ومسةةةةاواتها بالصةةفر يمكةةن الحصةةوه علةةى‬
‫المعادالت التالية‪:‬‬
‫~‬
‫‪~n  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫) ‪( X i‬‬

‫‪ Yi‬‬

‫‪12‬‬
‫~‬
‫) ‪ X i Yi  ~ ( X i )  ( X i2‬‬

‫هذه المعادلتين هي نفس المعادلتين التي تم الحصوه عليها في طريقة المربعات ال صغرى العاد ية‬
‫أي إن اإلمكانية العظمى تقود إلي نفس المعادالت الطبيعية ال تي تم الح صوه علي ها في طري قة م‬
‫ص ع ول كن ا ستخدماا ر موز جد يده لم قدرات اإلمكان ية العظ مي أي الم قدرات ال تي تع ظم دا لة‬
‫~ ~‬
‫‪, ‬‬
‫اإلمكانية‪, :‬‬
‫وبحل المعادلتين أما بطريقة المصفوفات أو بالمعادالت اآلنية أو بطريقة ‪ Cramer‬وباتباع أي من‬
‫هذه الطرق نتحصل على صيغة خاصة ب مقدرات اإلمكانية العظمى‪:‬‬

‫‪~  x i yi‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x i2‬‬
‫~‬
‫‪~ Y‬‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫وهي نفس صيغة مقدرة المربعات الصغرى العادية في حالة الاموذج الخطي البسةةيط أما في‬
‫الاماذج المتعددة ف تاطبق المقدرات‬
‫ومن ميزات مقدرات اإلمكانية العظمى الحصوه مقدرة التباين ‪ σ2‬ويتم العثور من المعادلة رقم‬
‫‪3‬‬

‫‪14‬‬
‫‪    X) 2  0‬‬

‫وبحل المعادلة نتحصل‬

‫‪ Yi‬‬

‫‪L‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 4‬‬

‫~‬
‫‪~‬‬
‫‪~ 2  1 (Y  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Xi )2‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n‬‬

‫وهذه هي مقدرة اإلمكانية العظمى للتباين ويمكن إن تكتب على الاحو التالي‪:‬‬
‫‪~2  1 u2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬

‫تتميز هذه المقدرة بأنها متحيزة وال تتميز بالكفاءة… وال تستخدم في العياات الصغيرة ول كن إذا‬
‫كانت العياة كبيرة يمكن استخدام مقدرة اإلمكانية العظمى للتباين‬
‫‪ 21.2‬خصائص مقدرات اإلمكانية العظمى‪:‬‬
‫ويشار أليها بالخصائص التقاربية وهي الخصائص التي تتحقق إذا كان ح جم العي اة كب ير ‪ ،‬ول كن‬
‫في االقتصاد من الصعب الحصوه على عياات كبيرة الحجم وعادة ت كون س سل زما ية من ‪22‬‬
‫إلةةي ‪ 21‬وبالتةةالي العياةةات المسةةتخدمة فةةي االقتصةةاد كلهةةا صةةغيرة الحجةةم وال تاطبةةق عليهةةا‬
‫الخصائص التقاربية‬
‫الخصائص التقاربيم ‪ Asmpotitic result‬لمقدرات اإلمكانية العظمى كما يلي‪:‬‬
‫‪ -4‬عدم التحيز التقاربي‪ :‬إذا زاد حجم العياة أي كلما اقتربت ∞→‪ n‬كلما ت شى التح يز المو جود‬
‫بالعياة الصغيرة فعلى سبيل الم ثاه م قدرة الت باين متح يزة في العي اات ال صغيرة ول كن في‬
‫العياات الكبيرة يختفي ذلك التحيز أي إن وسط توزيعها عياات ها االحت مالي ال ي ساوي القي مة‬
‫الحقيقية أما إذا ارتفي حجم العياة فن التوزيي الخاص بم قدرات العي اات المختل فة يق ترب من‬
‫التوزيي الطبيعي وتكون القيمة المتوقعة في الوسط أي غير متحيزة‬
‫‪ -2‬الكفاءة التقاربية (أدنى تباين وأعلى دقة) ‪:‬‬
‫ياخفض التباين وياخفض التحيز إذا وجد بزيادة حجم العياة وتزداد دقة المقدرات‬
‫‪ -3‬االتسةةةةةاق ‪Consistency‬‬

‫إذا زاد ح جم العي اة إ لي النها ية فان التوز يي االحت مالي للمعل مة الم قدرة يا هار ع لى القي مة‬
‫الحقيقية للمعلمة سواء كانت مقدرة الميل أو القاطي أو التباين‬
‫الملخص‪:‬‬
‫ال فروض االساسةيم توضةح إن نمةوذج االنحةدار خ طي بخطةأ معيةاري ذا وسةط صةفري وغيةر‬
‫مرتبطة مي المتغيرات المفسرة ويتميز بتباين ثابت ‪ ،‬يتوزع توزيعا طبيعيا‬
‫تتميز مقدرات م ص ع بعدم التحيز وأدنى تباين وخطية‬

‫‪12‬‬

‫تمارين‬
‫‪-4‬عرف المصطلحات التالية‪:‬‬
‫‪ -4‬الخطأ المعياري‬
‫‪ -2‬التباين‬
‫‪-2‬عدد االفتراضات ال زمة لتطبيق طريقة المربعات الصغرى العادية‬
‫للمشاهدات التالية‬
‫‪-3‬‬
‫}‪ Y={5,2,3,2,-2‬و }‪X={3,2,1,,-1,0‬‬
‫أ‪ -‬أوجدي القيم التاليم‬
‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ x ,  x y ,  x ,  y , X,Y,‬‬
‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫ب‪-‬ارسم شكل االنتشار الخاص بالمتغيرين ‪X,Y‬‬
‫ج‪-‬أوجد الخط الذي يمثل الع قة ‪ Y=a+bX‬مي الرسم‬
‫د‪-‬مالمقصود بة ‪a,b‬‬
‫هة‪ -‬حدد متوسط ‪ Y‬ومتوسط ‪ X‬على الرسم‬

‫‪ -1‬حدد دالة االنتاج التي تعبر عن الع قة بين كم ية االن تاج وعا صر االن تاج الع مل ح سب‬
‫البيانات المعطاة في الجدوه التالي‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪Q‬‬
‫المشاهدات‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬

‫‪0.58‬‬
‫‪1.10‬‬
‫‪1.20‬‬
‫‪1.30‬‬
‫‪1.95‬‬
‫‪2.55‬‬
‫‪2.60‬‬
‫‪2.90‬‬
‫‪3.45‬‬
‫‪3.50‬‬
‫‪3.60‬‬
‫‪4.10‬‬
‫‪4.35‬‬
‫‪4.40‬‬
‫‪4.50‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬

‫اذا افتر ضاا ان البيا نات يم كن و صفها بع قة خط ية ت حت ال فروض الخم سة حددي ت لك‬
‫الع قة واشرحي الع قة االقتصادية التي تربط المتغ يرات ح سب المعاد لة مي ر سم شكل‬
‫االنتشار والخط المربعات الصغرى العدية‬

‫‪13‬‬

‫تمرين ‪:‬‬
‫جدول ‪ :‬حددي نتائج االنحدار للعالقة بين الكمية المطلوبة لسلعه والسعر كما يلي‬
‫‪Y    X u‬‬

‫من البيانات التالية‬
‫السعر ‪X‬‬

‫الكميه ‪Y‬‬

‫‪211‬‬

‫‪22‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪211‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪212‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪22‬‬

‫‪221‬‬

‫‪21‬‬

‫‪222‬‬

‫‪21‬‬

‫‪222‬‬

‫‪22‬‬

‫‪221‬‬

‫‪21‬‬

‫‪221‬‬

‫‪ -2‬حددي معامالت النموذج‪ .‬مع رسم شكل االنتشار وخط االنحدار‬
‫‪ -2‬قومي ببناء فترة الثقه لمعامل الميل وحددي فرضية العدم و نتائج اختبار ‪ .t,F‬مستخدمة‬
‫‪ %2‬مستوى الثقة‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ -2‬حددي معامل التحديد ‪R‬‬

11

‫الفصل الثالث ‪3‬‬

‫االنحدار المتعدد‬
‫‪ 3.3‬مقدمه‬
‫‪ 3.3‬الفروض االساسيه للنموذج العام‬
‫‪ 3.3‬طريقة المربعات الصغرى وتطبيقها على النموذج العام‬
‫‪ 3.3‬خصائص مقدرات النموذج الخطي العام‬
‫‪3.3.3‬االختبارات المعنوية لالنحدار المتعدد‬
‫‪ 3.3.3‬اختبار الفرضيات المركبه‪.‬‬
‫‪ 3.3.3‬معامل التحديد‬
‫‪ 3.3.3‬مصفوفة االرتباط الجزئي‬
‫‪ 3.3.3‬تحليل التباين في االنحدار المتعدد‬
‫‪ 3.3.3‬اختبارات فحص النموذج ‪:‬‬
‫اختبار المتغيرات المضافه‪.‬‬
‫اختبار مســــاواة انحدارين‪.‬‬
‫اختبار المتغيرات المحذوفه‬

‫الصفحة الرسمية للدكتور عدنان ‪adnanalsanoy.wordpress.com‬‬

‫‪33‬‬

‫‪ 3.3‬مقدمه‬
‫نموذج االنحدار المتعدد ويســمى أحيانا النموذج الخطي العام هو امتداد للنموذج البســيط حيث‬
‫انه يتضمن اكثر من متغير مســتقل واحد‪ ،‬في حالة النموذج البســيط كان األمر يعتمد على‬
‫متغيرين متغير تابع واآلخر متغير مســتقل‪ ،‬لكن في حالة النموذج العام قد يتضمن عدد من‬
‫المتغيرات من بينها قد يكون هناك تابع واحد والعديد من المتغيرات المستقلة‪.‬‬
‫‪Yi   0   1 X1   2 X 2 ..... k X k  u i‬‬

‫المتغيرات المستقلة هي ‪ X2 X1‬الى ‪ Xk‬و‬

‫‪0‬‬

‫‪ ‬هي القاطع ‪ .‬أي ن موذج يت ضمن اك ثر من‬

‫متغيرين يعتبر نموذج انحدار متعدد مثل نموذج االستهالك قد يتضمن التالي‪-:‬‬
‫‪Yi   0   1 X1   2 X 2   3 X 3  u i‬‬

‫حيث ‪ YI‬تمثل االستهالك و ‪ X1‬تمثل الدخل و‪ X2‬تمثل السعر‪ X 3‬ال ثروة‪ .‬أن الن ماذج المت عددة‬
‫تكون هي الحالة السائدة باالقتصاد حيث ا نه من الع سير إن ت جد متغ ير ن حدده بأ نه هو المتغ ير‬
‫التابع ومفسر من قبل متغير مفسر واحد هو ا لذي يؤثر ع لى المتغ ير ال تابع‪ ،‬ف في ال عادة يتو قع‬
‫كثير من التأثيرات‪.‬‬
‫في العادة تكون ‪ β1‬مضروبة في ‪ 1‬وذلك للحصول ع لى ال قاطع‪ .‬وتم ثل‪ β1 β2 β3‬معل مة الم يل‬
‫والتــي تمثــل مــدا اســتجابة المتغيــر التــابع للتغيــرات فــي و ‪ X1‬و‪ X2‬و‪ . X 3‬يتضــمن نمــوذج‬
‫االنحدار عدد من المتغيرات المستقلة يساوي ‪. K-1‬‬
‫تكثر النماذج المتعددة في اال قتصاد ال نه من العسير أن نجد متغير تابع مفس ــر من ق بل متغ ير‬
‫واحد فقط أي متغير واحد هو الذي يؤثر ع لى المتغ ير ال تابع‪ .‬نتو قع كث ير من ال تأثيرات فدوال‬
‫االستهالك على سبيل المثال تتأثر بمتغ ير ا لدخل‪ ،‬ال ثروة وال سعر‪ .‬فت كاد ت كون ن ماذج االن حدار‬
‫المتعدد او العام هي الحالة العامة وليس االستثناء‪ ،‬االستثناء هو النموذج البســـيط‪.‬‬
‫‪ 3.3‬الفروض االساسيه للنموذج العام‪:‬‬
‫هي نفس الفروض التي يستند عليها النموذج البسيط لكي نتحصل على النموذج المقدر‪:‬‬
‫‪ uI -1‬يتوزع طبيعيا‪.‬‬
‫‪E( u i )  0 -2‬‬

‫وس ــط ي ساوي ال صفر‪ .‬أي ا نه ليس ه ناك خ طأ تحد يد‪ ،‬وبال تالي نتو قع أن‬

‫تكون المقدرات غير متحيزة‪.‬‬

‫‪33‬‬
‫‪ -3‬ي ضيف الـى اف تراض افتـراض ث بات التبـاين فرض ي ـمل ث بات التبـاين وان عدام التغـاير‬
‫‪ COV( u i , u j )  0‬عنـــــدما تكـــــون ‪ . ij‬وبالمقابـــــل لـــــو كانـــــت ‪i‬‬

‫=‪ j‬فـــــان‬

‫‪COV (ui , u j )  COV (ui , u j )  V (ui )2‬‬

‫‪ -4‬المتغيرات المستقلة غير ع وائية إي ثابتة في المعاينات المتكررة‪.‬‬
‫‪ -5‬عدد الم اهدات ‪ n‬يفوق عدد المتغ يرات ‪ k‬أي أن ‪ n>K‬و يؤدي هذا إ لى در جات حر ية‬
‫‪2‬‬
‫‪n2‬‬

‫في حا لة ن موذج المتغ يرين‪ :‬ي كون الت باين‬
‫يكون التباين‬

‫‪V( u i ) ‬‬

‫في الحا لة العا مة‬

‫‪2‬‬
‫‪ V(u i ) ‬بحيث تقيس ‪ K‬عدد المتغيرات المتضمنة في الن موذج‬
‫‪nk‬‬

‫كافه‪ ،‬وكلما كانت‬

‫‪ n>k‬يؤدي إلى المزيد من در جات الحر ية وبال تالي إ لى المز يد من‬

‫دقة القياس‪ .‬حيث يستعمل التباين في قياس دقة المقدرات فكلما كان التباين قليل كلما كان‬
‫األمر افضل‪ ،‬إذا كانت‬

‫‪n>k‬‬

‫النتيجة سيكون المقام كبير و تقل قيمة مقدرة الت باين ‪ 2‬‬

‫وكلما قل تباين ‪  2‬كلما تحسن قياسها‪.‬‬
‫‪ -6‬ال توجد عالقة خطيه بين المتغيرات المستقلة‪ ،‬على سبيل المثال ال توجد عال قة بين ‪X1 , X2‬‬

‫كالتالي‪:‬‬
‫‪X2  X3‬‬

‫‪X 3  2X 4‬‬

‫أو‬

‫أو‬

‫‪X2  X3  X4‬‬

‫هذه عالقات خط يه يف ترض أن ها ال تو جد الح ظي أن نا ن حدد المتغ يرات الم ستقلة ف قط وبعال قة‬
‫خطيه إي انه ال يوجد اعتراض على العال قات الغ ير خط يه‪ .‬وال يو جد اع تراض ع لى العال قة‬
‫القو ية بين المتغ ير الم ستق ل والمتغ ير ال تابع في الوا قع ي فض أن ي كون ه ناك عال قة قو ية بين‬
‫المتغ ير الم ستقل والمتغ ير ال تابع‪ ،‬ول كن ال ي كون ه ناك عال قات قو ية تربط بين المتغ يرات‬
‫المستقلة بعضها مع بعض ال نه يترتب عليها ئ في غا ية الخ طورة وبال حد األق صى يم كن أن‬
‫يؤدي إلى انهيار طريقة المربعات الصغرا‪.‬‬
‫ال توجـــد عالقـــة خطيـــه محـــدده بـــين المتغيـــرات المفســـرة‪ .‬علـــى ســـبيل المثـــال إذا كانـــت‬
‫‪ 2X1  X 2  4‬فإن نا ن ستطيع أن نع بر عن ‪ X2‬بقي مه لـ ‪ X1‬ويم كن ا ستخدامها في عال قة‬
‫االنحدار‬

‫‪X 2  4  2X1‬‬

‫‪Y     1 X 1   2 ( 4  2X 1 )  u‬‬
‫‪Y  (  4 2 )  (1  2 2 )X 1  u‬‬

‫‪33‬‬
‫نستطيع أن نقدر القيم بين األقواس وال نستطيع أن نقدر المعالم ‪  1 ,  2 , ‬بمفردها‪.‬‬

‫للحصول على النموذج المقدر نتبع إحدا الطرق التالية‪-1 :‬طريقة المربعات الصغرا‪.‬‬
‫‪-2‬طريقة اإلمكانية العظمى‪.‬‬
‫‪ 3.3‬طريقة المربعات الصغرى وتطبيقها على النموذج العام‪:‬‬
‫المعيار الذي تعتمد علية المربعات الصغرا في الحصول ع لى الم قدرات ح يث يتط لب المع يار‬
‫ت صغير مج موع مرب عات ال بواقي أ لي أد نى قي مه ل ها‪ .‬اخت بار م قدرات تع طي مرب عات بواقي‬
‫تعطي أدنى مجموع من بين هذه المجاميع أي أن المعيار تصغير‬

‫‪ u i2‬‬

‫أي تحويل مربعات البواقي ألي كل تظهر فيه المقدرات المراد الحصول عليها ويتسنى ذلك‬
‫بإعادة كتابة المعيار على النحو التالي‪:‬‬
‫‪ ˆ 0  ˆ 1 X1 .....ˆ k X k ) 2‬‬

‫‪ u i2   (Yi‬‬

‫تفاضل البواقي بالنسبه لـ ‪  0‬ويساوا بالصفر ويعاد كذلك لقيم ‪  1 ,  2 ...  k‬وهكذا‬
‫‪  u i2‬‬
‫‪ 2 (YI  ˆ 1 X 1  ˆ 2 X 2 ...ˆ K X K )  0‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬

‫‪  u i2‬‬
‫‪ 2 X I1 (YI  ˆ 0  ˆ 2 X 2  ˆ 3 X 3 ...ˆ K X K )  0‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪1‬‬

‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪  u i2‬‬
‫‪ 2 X IK (YI  ˆ 0  ˆ 2 X 2  ˆ 3 X 3 ...ˆ K X K )  0‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪K‬‬

‫بفك األقواس والقسمة على ‪ 2‬وإعادة كتابة المعادالت الطبيعية مقابلة للنموذج الخطي العام‬
‫‪Yi   0  1 X1   2 X 2  u i‬‬

‫‪ u i2   (Yi  ˆ 0  ˆ 1X1  ˆ 2 X 2 )2‬‬
‫نحصل على مقدرات النموذج العام وعلى سبيل المثال سنكتفي بنموذج بثالث متغيرات‬

33

 YI

 nˆ 0  ˆ 1  X 1i  ˆ 2  X 2i

 X 1I Y  ˆ 0  X 1I

 ˆ 1  X 12I  ˆ 2  X 1I X 2 I

 X 2 I Y  ˆ 0  X 21I

 ˆ 1  X 1I X 2 I  ˆ 2  X 22 I

‫وباستخدام االنحرافات نتحصل على‬
( x y )( x2 )  ( x2 y )( x1 x2 )
ˆ1   1 
2
2
2
2

( x1 )( x2 )  ( x1 x2 )

( x y )( x1 )  ( x1 y )( x1 x2 )
ˆ2   2 
2
2
2
2

( x1 )( x2 )  ( x1 x2 )

ˆ0  Y  ˆ1 X 1  ˆ2 X 2

X1

Y
40
44
46
48
52
58
60
68
74
80
570

6
10
12
14
16
18
22
24
26
32
180

y

X2
4
4
5
7
9
12
14
20
21
24
120

x1

-17
-13
-11
-9
-5
+1
+3
+11
+17
+23
0

-12
-8
-6
-4
-2
0
+4
+6
+8
+14

x2
-8
-8
-7
-5
-3
0
+2
+8
+9
+12
0

x1 y
204
104
66
36
10
0
12
66
136
322
956

x 2 y x1 x 2
136
104
77
45
15
0
6
88
153
276
900

96
64
42
20
6
0
8
48
72
168
524

x 21
144
64
36
16
4
0
16
36
64
196
576

x 22
64
64
49
25
9
0
4
64
81
144
504

2
  (  x 1 y)(  x 2 )  (  x 2 y)(  x 1 x 2 )  ( 956)(504)  ( 900)(524)  0.65
1
(  x 12 )(  x 22 )  (  x 1 x 2 ) 2
(576)(504)  (524) 2
2
  (  x 2 y)(  x 1 )  (  x 1 y)(  x 1 x 2 )  ( 900)(576)  ( 956)(524)  111
.
1
(  x 12 )(  x 22 )  (  x 1 x 2 ) 2
(576)(504)  (524) 2
  Y   X   X  57  (0.65)(18)  (111
. )(12)  31.98
0

1

1

2

2

  3198
Y
.  0.65X 1i  110
. X 2i  u
1

‫‪33‬‬

‫‪ 3.6.3‬ختبار الفرضيات ‪:‬‬

‫الختبار الفرضيات الخاص بمعالم النموذج المقدر نتحصل أوال على تباين المقدرات والذي‬
‫يساوي‪:‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ x 1  x 2  ( x 1 x 2‬‬

‫‪V( 1 )   2‬‬

‫‪ x1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ x 1  x 2  ( x 1 x 2‬‬

‫‪V( 2 )   2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ui‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪2‬‬

‫تباين البواقي يساوي‬

‫‪2 ‬‬

‫‪2‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪V( 1 ) ‬‬
‫‪n  k  x 12  x 22  (  x 1 x 2 ) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x1‬‬
‫‪u‬‬
‫‪V( 2 ) ‬‬
‫‪n  k  x 12  x 22  (  x 1 x 2 ) 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪u‬‬
‫‪x22‬‬
‫‪13.67‬‬
‫‪504‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫‪V ( 1 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.06‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  k  x1  x2  ( x1 x2 ) 10  3 (576)(504)  (524) 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪u‬‬
‫‪13.67‬‬
‫‪576‬‬
‫‪ x12‬‬
‫‪V ( ˆ2 )  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.07‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  k  x1  x2  ( x1 x2 ) 10  3 (576)(504)  (524) 2‬‬
‫‪2‬‬

‫ويكون االنحراف المعياري كما يلي‪:‬‬
‫‪Se( 1 )  V( 1 )  0.06  0.24‬‬
‫‪Se( 2 )  V( 2 )  0.07  0.27‬‬

‫وباستخدام اختبار ‪ t‬الختبار فرضية العدم والتي تفترض انه ال يوجد عالقة أي أن‬
‫‪H 0 :1  0‬‬
‫‪H A :1  0‬‬

‫وكذلك‬
‫‪H 0: 2  0‬‬
‫‪H A : 2  0‬‬


Documents similaires


Fichier PDF 1 s2 0 s0301211505001739 main
Fichier PDF jean daniel rolle
Fichier PDF 27 09 11h45 analyse de la variance suite lemdani n83
Fichier PDF an assessment of the surgical apgar score in spine surgery
Fichier PDF ch1
Fichier PDF krueger 2002 unskilled


Sur le même sujet..