كتاب شامل في الاقتصاد القياسي .pdf



Nom original: كتاب شامل في الاقتصاد القياسي.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par , et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 05/10/2015 à 20:30, depuis l'adresse IP 41.100.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 44004 fois.
Taille du document: 7.7 Mo (244 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)










Aperçu du document


‫جامعة صنعاء‬

‫محاضرات‬

‫في االقتصاد ا لقياســــــــــــي‬
‫د‪.‬عدنان الصنوي‬

‫جميع هذه المحاضرات في هذا الفصل والفصول األخرى‬
‫من اعداد وتأليف الدكتورة نورة اليوسف ‪ /‬جامعة الملك سعود‬

‫‪2‬‬
‫المحتويات‬
‫العنوان‬

‫الفصل‬
‫األول‬

‫ما هو االقتصاد القياســـي‬

‫الثاني‬

‫االنحدار البســيط‬

‫الثالث‬

‫االنحدار المتعدد‬

‫الرابع‬

‫االرتباط الخطي المتعدد‬

‫الخامس‬

‫اختالف التباين‬

‫الســادس‬

‫االرتباط الذاتي‬

‫الســابع‬

‫نماذج المتباطئات الموزعة و االنحدار الذاتي‬

‫الثامن‬

‫المعادالت اآلنية‬

‫التاســع‬

‫تحليل الســالسل الزمنية‬

‫العاشر‬

‫تحديد واختبارات فحص النموذج‬

‫الحادي عشر‬

‫التنبؤ باستخدام معادلة االنحدار‬

‫الثاني عشر‬

‫المتغيــرات الصــوريه والمتغيــر التــابع ال يفــي ونمــوذج لو ي ـ‬
‫وبروبي‬

‫الثالث عشر‬

‫تحليل متقدم لمعادلة األنحدار باستخدام ‪ARCH, GRACH‬‬

‫الرابع عشر‬

‫تقــدير نمــام مــن المعــادالت باســتخدام مت ــة االنحــدار الــذاتي‬
‫ونماذج تصحيح الخطأ‬

‫الخامس عشر‬

‫تطبيقات على الحاسب اآللي باستخدام برنامج ‪E-View‬‬

‫‪3‬‬

‫الفصل األول ‪1‬‬

‫ما هو االقتصاد القياســي؟‬
‫‪ 1.1‬ما هو االقتصاد القياسي؟‬
‫‪ 1.1‬النماذج االقتصادية والقياسية‪.‬‬
‫‪ 1.1‬الهدف وطريقة االقتصاد القياسي‪.‬‬
‫‪ 1.1‬مما يت ون اختبار النمرية االقتصادية؟‬
‫ملخص‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 1.1‬ما هو االقتصاد القياسي؟‬
‫كل مة االقت صاد القيا سي تع ني حرف يا الق ياس في االقت صاد‪ ،‬هذه مع نى وا سع ي شمل‬
‫العد يد من الم فاهيم االقت صادية وال تي تعت مد في الغا لب ع لى القيا سات ح يث اغ لب‬
‫االقتصاديون يهتمون بعمل ية الق ياس ح يث يتم ق ياس ال ناتج المح لي‪ ،‬البطا لة‪ ،‬عرض‬
‫النقود‪ ،‬الصادرات‪ ،‬الواردات‪.. ،‬الخ‪ .‬ماذا ا نقصد باالقتصاد القياسي؟‬
‫هووو تطبيووا الطوورر الرياضووية واالحصووايي لتحليوول البيانووات االقتصووادية‬
‫بهدف إعطاء محتوى رق مي للنظر يات االقت صادية للتأ كد من صحة ت لك‬
‫النظريات‪.‬‬

‫من هذه التعريف نستطيع أن نفرر بين االقتصاد الرياضي واالقت صاد القيا سي‪ ،‬ح يث‬
‫يعتمد االقتصاد الرياضي على تطبيا النظريات الرياضية فقط‪ .‬والنظريات المشتقة ال‬
‫تسووتلزم بالضرورة على بيانات رقمي ‪.‬‬
‫البدايووة الحقيقيووة لاقتصوواد القياسووي هووي مووع تأسوويد جمعيووة االقتصوواد لقياسووي‬
‫‪Econometric Society‬‬

‫في عام ‪ 0331‬ودور ية‬

‫اكنومتري كا‪Econometrica Journal‬‬

‫في‬

‫يناير ‪.0333‬‬
‫‪ 1.1‬النماذج االقتصادية والقياسية‪:‬‬
‫المهمة األولى لاقتصاد القياسي هي تكوين النموذج القياسي‪ .‬ما هو النموذج القياسي؟‬
‫النموذج‬

‫‪Model‬‬

‫هو تمث يل مب سط للوا قع الحقي قي‪ .‬ع لى سبيل الم ثال ن قول إن الكم ي‬

‫المطلوبة من البرت قال تعت مد ع لى سعر البرت قال هذه تعت بر تب سيط للوا قع الن ه ناك‬
‫العديد من العوامل المؤثرة على قرار شراء البرتقال على سبيل الم ثال ا لدخل‪ ،‬نوع ية‬
‫الغذاء ‪ ،‬الذور‪… ،‬سعر التفاح… الخ من األسباب التي قد ت يؤثر على قرار شراء‬
‫كمي من البرتقال‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫العديد من العلماء نادوا بعمل ية التب سيط ألن الن ماذج المب سطة تم ثل و سيل اب سط لف هم‬
‫الواقع ولتوصيل المعلومة وكذلك أسهل في عملية اختبار النظرية والتأكد من صحتها‪.‬‬
‫مثل كارل بوبر ‪ Karl Popper‬و ميل تون‬

‫فري مان‪Milton Friedman‬‬

‫‪ .‬أن اخت يار ن موذج‬

‫مبسط لشرح العالم الحقيقي يؤدي إلى االنتقاد ين التاليين‪-:‬‬
‫‪ -0‬النموذج يكون مبسط جدا‪.‬‬
‫‪ -2‬االفتراضات غير واقعية‪.‬‬
‫ع لى سبيل الم ثال‪ ،‬م ثال الط لب ع لى البرت قال‪ ،‬بب ناء ن موذج الط لب ع لى البرت قال‬
‫يعت مد ف قط ع لى ال سعر هو تب سيط للوا قع‪ ،‬وغ ير واق عي‪ .‬ل لرد ع لى انت قاد التب سيط‬
‫نستطيع إن نقول ان من األفضل االبتداء بنموذج مبسط وبناء نموذج اكثر تعقيدا‪ .‬هذه‬
‫الفكرة ع بر عن ها كوب مان‪ .‬و في الجا نب األ خر ه ناك من ي قول ا ن األف ضل االب تداء‬
‫بنموذج عام وتبسيط ح سب البيا نات المو جودة م ثل‬

‫سرجان ‪Sargan‬‬

‫و ديف يد ه نري‬

‫‪David Hendry‬‬

‫أما من ناحية االفتراضات غير واقعية فهذا يسري على مع ظم النظر يات ح يث ي قول‬
‫فريمان إن االفتراضات آلي نظري ال تتسم بالواقعية يقول‪-:‬‬
‫السؤال المهم عن االفتراضات ليد ما إذا كانت تصور صورة واقع ية‬
‫بل هو فإذا كا نت تع طي صوره تقريب ية كاف ي لل غرض المط لوب‪ .‬و هذا‬
‫ال سؤال يم كن أال جا ب ع ن برؤ ية ما إذا كا نت النظر ية تع مل أي هل‬
‫تعطي تنبؤات صحيح ؟‪.‬‬

‫بالعودة إلي مثالنا ال سابا‪ ،‬الط لب ع لى البرت قال‪ ،‬إذا قل نا ا ن ف قط يعت مد ع لى سعر‬
‫البرتقال هذا افتراض وصفي غير واقعي‪ .‬ولكن‪ ،‬إذا أ ضفنا المتغ يرات األ خرى‪ .‬م ثل‬
‫الدخل وسعر التفاح فان هذا ال يضيف واقعية إ لي الن موذج‪ .‬ح تى هذا الن موذج مم كن‬
‫ال قول ا ن ال يت سم بالواقع ية وذ لك ألن ه ناك متغ يرات أ خرى لم يت ضمنها الن موذج‪.‬‬
‫ول كن م سألة آي من الن ماذج ي كون اك ثر فا يدة في التن بؤ بالط لب ع لى البرت قال هذا‬
‫يعتمد على البيانات المتوفرة والبيانات التي يمكن الحصول عليها‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫عمليا‪ ،‬يتضمن النموذج جميع المتغيرات التي تعتبر مه مة في تحد يد الن موذج ون ترك‬
‫المتغ يرات في المتغ ير الع شوايي‪ .‬هذا ما ي فرر بين الن موذج االقت صادي والن موذج‬
‫القياسي‪.‬‬
‫النموووذج االقتصووادي هووو مجموع و موون االفتراضووات التووي تصووف بالتقريووب سوولوك‬
‫اقتصاد معين أو قطاع من االقتصاد‪ .‬النموذج القياسي يتكون مما يلي‪-:‬‬
‫‪ - 0‬مجموع من المعادالت السلوكية الم شتقة من ن موذج اقت صادي‪ .‬هذه الم عادالت‬
‫تت ضمن ب عض المتغ يرات و متغ ير ع شوايي وا لذي يت ضمن جم يع المتغ يرات وال تي‬
‫تعتبر غير رييسي في وصف الغرض المطلوب للنموذج‬
‫‪ 2‬يفيد ما إذا كان إذا ما كان هناك خطأ في المشاهدات المتحصل عليها‪.‬‬
‫‪ - 3‬تحديد توزيع االحتماالت للمتغير العشوايي‪.‬‬
‫بهذه المحددات نستطيع أن نواصل اختبار صحة النموذج االقتصادي ويستخدم للتبوء‬
‫أو تحليل سياسة اقتصادية معين ‪.‬‬
‫مثال‪ :‬دالة الطلب‪ ،‬النموذج القياسي كما يلي‪-:‬‬
‫‪ -0‬المعادلة السلوكية‬

‫‪Q    P  u‬‬

‫حيووث ‪ Q‬الكمي و المطلوبووة‪،‬‬
‫متغير عشوايي‪ .‬و‬

‫‪β‬‬

‫و‬

‫‪α‬‬

‫و‪P‬‬

‫السووعر‪ .‬حيووث تمثوول المتغيوورات المشوواهدة و‬

‫‪u‬‬

‫معالم النموذج‪.‬‬

‫‪ - 2‬تحديد التوز يع االحت مالي للع شوايي ح يث يع بر ع ن ب ما ي لي‪ E(u)  0 -:‬و قيم‬
‫المشاهدات المختلفة مستثقل وموزع توزيع طبيعي بوسط = الصفر وتباين‬

‫‪2‬‬

‫ب هذه الم حددات يم كن موا صلة اخت بار قانون الط لب‪ .‬و كذلك يم كن ا ستخدام الدا لة‬
‫للتنبوء بأي تغير في السعر‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫شـــــــــــــ ل ‪ :1.1‬الخطوات التي يجب إتباعها في تحليل القياسي لنموذج اقتصادي‪:‬‬

‫النظرية االقتصادية أو‬
‫النموذج االقتصادي‬

‫البيانات‬

‫النموذج القياسي أو صيغ‬
‫للنظرية االقتصادية بصوره‬
‫قابل لاختبار‬

‫معلومات سابق‬

‫تقدير النموذج‬

‫اختبار الفرضيات كما يقترح‬
‫بالنموذج االقتصادي‬

‫استخدام النموذج لعملية التنبؤ‬

‫‪8‬‬

‫‪ 1.1‬الهدف وطريقة االقتصاد القياسي‪:‬‬
‫الهدف من االقتصاد القياسي‪:‬‬
‫‪ .0‬بناء نموذج قياسي‪ ،‬أي ب ناء ن موذج اقت صادي مب ني ع لى الماح ظة ب شكل يم كن‬
‫اختباره‪ .‬هناك العديد من ال طرر لب ناء الن موذج القيا سي من الن موذج االقت صادي‬
‫ألننا يجب أن نختار ال شكل المنا سب‪ ،‬تحد يد الب ناء الع شوايي للمتغ يرات‪ ،‬وه كذا‪.‬‬
‫هذا يكون الجزء التحد يدي من العمل القياسي‪.‬‬
‫‪ .2‬تقدير واختبار هذه النماذج باستخدام البيانات المشاهدة‪.‬‬
‫‪ .3‬استخدام تلك النماذج للتنبوء و ألغراض التحليل‪.‬‬
‫خال الخمسينات والسينات كان القياسي يقوم على االستنتاج‬

‫‪Inference‬‬

‫و لكن تحد يد‬

‫النموذج لم يؤخذ في االعت بار كث يرا‪ .‬كان االهت مام مو ج للت قدير اإلح صايي لن موذج‬
‫قياسي محدد‪ .‬خال األربعينات قامت مؤسسة‬

‫‪Cowles‬‬

‫بتقدم كبير في هذا المضمار‪.‬‬

‫ول كن التحل يل اإلح صايي م ثل عق ب كب يرة‪ .‬لذلك انح صر الو ضع في طرر ت قدير‬
‫مختلفة في الخمسينات والستينات‪.‬‬
‫لم يتم توجي االهتمام لخطأ في التحديد‪ .‬ولكن مع التقدم في التقنية واستخدام أجهزة‬
‫الحاسب اآللي السريعة‪ .‬بدأ تطوير في األساليب القياسية حيث وج االهتمام إلى‬
‫مجاالت أخرى في التحليل‪.‬‬
‫نستطيع أن نرتب خطوات التحليل القياسي‪ ،‬كما يتضح في الشكل ‪. 0‬‬
‫هووذا التنظوويم واجو بعووض االنتقووادات فووي السووبعينات‪ ،‬بعووض هووذه االنتقووادات يمكوون‬
‫تلخيصها بما يلي‪:‬‬
‫‪ -0‬ال يوجد استرجاع من االختبار القياسي للنظرية االقتصادية‪ ،‬وكذلك ال يوجد ن تايج‬
‫لاختبار يمكن على ضويها تقييم النظرية االقتصادية‪.‬‬
‫‪ -2‬البيانات يجب أن يكون لها تأثير على النموذج‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -3‬اختبار الفرضيات ال يجب أن يرتبط ب ما تقتر ح النظر ية ف قط‪ .‬بل ي جب اخت بار‬
‫ماي مة التحد يد ال سابا‪ .‬لذلك ي جب إ ضافة ق فص جد يد الخت بار ماي مة وتحد يد‬
‫النموذج‪.‬‬
‫التطوير الجديد المقترح كما يلي في الشكل ‪ 2.0‬سوف نتعامل مع نقطة ‪ 3‬والتي تمثل‬
‫التطور الذي تم في االقتصاد القياسي في فصل قادم‪.‬‬
‫التطور الذي ناحظ على شكل ‪ 2.0‬هو‪-:‬‬
‫‪-0‬من النتايج القياسية إلى النظرية االقتصادية‪.‬‬
‫‪ -2‬من تحديد النموذج إلى فحص وتقييم النموذج االقتصادي‪.‬‬
‫‪ -1‬من النموذج القياسي إلى البيانات‪.‬‬
‫شـــــــــــــ ل ‪ : 1.1‬الخطوات التي يتم إتباعها في تحليل القياسي لنموذج‬
‫اقتصادي‪:‬‬
‫النظرية االقتصادية‬
‫النموذج القياسي‬

‫البيانات‬

‫التقدير‬

‫تحديد النموذج‬

‫هل النموذج‬
‫صحيح؟‬

‫نعم‬
‫اختبار‬
‫الفرضيات‬
‫استخدام النموذج‬
‫للتنبؤ وتحليل‪.‬‬

‫ال‬

‫‪01‬‬

‫‪ 1.1‬مما يت ون اختبار النمرية االقتصادية؟‬
‫الهدف األساسي لاقتصاد القياسي هو اختبار النظرية االقتصادية‪ .‬من المؤ شر لن جاح‬
‫النظر ية االقت صادية توا فا إ شارة الم عامات الم قدرة للن موذج القيا سي‪ .‬واالخت بار‬
‫األك ثر أهميو مواذا كوان يعطوى تنبوؤ اكثور دقو مون النظريوات االقتصوادية التوي توم‬
‫اقتراحها مسبقا‪ .‬أي ان يستلزم من الباحث مقارنة النموذج الحالي مع النماذج السابقة‪.‬‬
‫هذه الطريقة القت اهتماما كبيرا في السنوات األخيرة‪ .‬وسوف يتم النظر بتفصيل في‬
‫الفصل العاشر‪.‬‬
‫‪ 1.1‬ملخص‪-:‬‬
‫ت حدثنا عن التغ يرات ال تي ت مت مؤخر في الع قد األخ ير ‪ .‬كان االهت مام في ال سابا‬
‫ينصوب علووى التقوودير لنموووذج محوودد‪ .‬ولكون اآلن تووم التركيووز علووى اختبووارات تحديوود‬
‫النموذج معتمدين ع لى اخت بارات للتأ كد من ماي مة الن موذج لتف سير ال ظاهرة ال مراد‬
‫فهمها‪.‬‬
‫سوويتم دراسووة األساسوويات لاقتصوواد القياسووي ألنهووا تمثوول األسوواس الووذي بنيووت عليو‬
‫التطورات الحديثة‪ .‬في الفصل العاشر سيتم الترك يز ع لى الم ستجدات ال تي ت مت في‬
‫تطوير اختبار النموذج وفحص ماءمت ‪ .‬الف صول األ خرى ت صف التغ يرات الحدي ثة‬
‫في االقتصاد القياسي على سبيل المثال التطورات الحديثة في اختبار االرت باط ا لذاتي‪.‬‬
‫سيتم مناقشتها في الفصل ال خامد‪ .‬ون ماذج التوق عات العقان ية في الف صل التا سع‪.‬‬
‫ومتج االنحدار ا لذاتي‪ ،‬و جذر الو حدة والتكا مل الم شترك في الف صل ال حادي ع شر‬
‫والفصل الثاني عشر‪.‬‬
‫الف صل ال ثاني يت ضمن مراج ع لان حدار الب سيط‪ ،‬وا لذي ي كون اغ لب ال طاب قد‬
‫در سوه خال درا ستهم الجامع ية‪ .‬ويت ضمن ب عض الموا ضيع األك ثر تعق يدا كالتنبؤ‬
‫العكسي واالنحدار العشوايي‪ .‬في الفصل الثالث‪ .‬يتم مناقشة االنحدار المتعدد بتفصيل‬
‫اك ثر‪ .‬و في الف صل الرا بع وال خامد تتم مناق شة ا ختاف الت باين واالرت باط ا لذاتي‬

‫‪00‬‬

‫والف صل ال سادس ي قدم االرت باط المت عدد ثم ن ناقش المتغ يرات ال صورية في الف صل‬
‫ال سابع وا ستخداماتها كمتغ ير مف سر و كذلك كمتغ ير تابع‪ ..‬آ ما الف صل ال ثامن في قدم‬
‫المعادالت األني تعريفها واختباراتها‪ .‬وفي الفصل العاشر يتم التركيز على التطورات‬
‫الحديثة الازمة لفحص النموذج واختباره‪ .‬وكذلك الفصل الحادي عشر وال ثاني ع شر‬
‫يركووز علووى المسووتجدات فووي تحليوول الساسوول الزمنيووة موون اختبووارات جووذر الوحوودة‬
‫والتكامل المشترك والتعامل مع متج االنحدار الذاتي‪.‬‬

‫الفصل الثاني ‪2‬‬

‫النموذج الخطي لمتغيرين‪ :‬االنحدار البســــيط‬
‫‪ 2.2‬مقدمه‬
‫‪ 2.2‬تحديد العالقة‪.‬‬
‫‪ 2.2‬تقدير نموذج االنحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى‬
‫‪ 2.2‬خصائص مقدرات المربعات الصغرى العادية (م ص ع)‬
‫‪ 2.2‬فترات الثقة ‪Confidence Interval‬‬

‫‪ 2.2‬اختبار الفرضيات‬
‫‪ 2.2‬تحليل التباين لمعادلة االنحدار‪ANOVA‬‬

‫‪ 2.2‬التبنوء مع نموذج االنحدار البسيط‪.‬‬
‫‪ 2.2‬ملخص‬
‫تمارين‪.‬‬

‫الصفحة الرسمية للدكتور عدنان ‪adnanalsanoy.wordpress.com‬‬

‫‪41‬‬
‫‪ 2.2‬مقدمه‪:‬‬
‫تحليل االنحدار من أكثر األدوات الم ستعملة في التحل يل القيا سي لذا سوف ن بدأ بتحد يد الخ طوط‬
‫العريضةةة لتحليةل االنحةةدار بيامةةا فةةي الفصةةوه التاليةةم سةةوف تتعامةةل مةةي التعةةدي ت وتوسةةيي‬
‫لألساليب االساسيم ال زمة في تحليل البيانات االقتصاد يم‬
‫نبدأ بالسؤاه األساسي‪ :‬ما هو تحل يل االن حدار؟ تحل يل االن حدار ي هتم بو صف وتق ييم الع قة بين‬
‫متغير ( عادة ي سمى المتغ ير ال تابي) ووا حد آو اك ثر لمتغ يرات أ خرى ( ت سمى عادة المتغ يرات‬
‫المف سرة آو المتغ يرات الم ستقلة) وير مز للمتغ ير المف سر بة ‪ y‬والمتغ يرات المف سرة بة‬

‫‪x3 x2‬‬

‫‪xn …x1‬‬

‫التفسير الحرفي لكلمة انحدار تع اي" ار تداد أو انك فاء أو ر جوع" في الحقي قة تحل يل االن حدار ال‬
‫يربطم بهذا المعاى أي رابط‬
‫كل مة ان حدار ا ستخدمت من ق بل سير فرن سيس جالتون )‪ Sir Francis Galton (1982-1911‬من‬
‫إنجلترا والذي كان يدرس الع قة بين طوه األبااء وطوه اآلباء والذي ال حظ جالتون أن ال طوه‬
‫يميل إلى المعده مي أن اآلباء الطواه يكون أباائهم طواه واآلباء القصار يميل أباائهم الن يكو نوا‬
‫قصار أي أن هااك ميل عاد أألبااء للمعده أي أن هااك ان حدار ن حو الم عده في درا سات أ خرى‬
‫مشابهم تحصل على نفس الاتيجة التي تحصل عليها جالتون‬
‫بالعودة إلى الرموز التي استخدمااها حيث رمزنا للمتغير المف َسر بة ‪ y‬والمتغيرات المفسرة بة ‪x3‬‬
‫‪ xn … x2 x1‬إذا كانت ‪ ، k=1‬أي إن هااك متغير مستقل واحد فقط من المتغيرات المف سرة‬
‫أي ان ه ااك ‪ x‬وا حدة ف قط ي عرف هذا باالن حدار الب سيط و هو ما سوف يتم مااق شتم في هذا‬
‫الفصل إذا كانت ‪ ، k>2‬آي أن هااك اكثر من ‪ x‬واحد و متغير م ستقل نح صل ع لى ما ي عرف‬
‫باالنحدار المتعدد والذي سوف نااقشم في الفصل القادم‬
‫مثاه ‪ : 4‬االنحدار البسةةيط‬
‫‪ = y‬المبيعات‬
‫‪ = x‬الافقات االع نيم‬
‫حيث يتم تحديد الع قة بين المبيعات والافقات األع نيم‬
‫مثاه ‪ :2‬االنحدار المتعدد‬
‫‪ = Y‬استه ك أال سره‬
‫‪ = X1‬دخل أال سره‬
‫‪ = X2‬األصوه المالية ل سره‬
‫‪ = X3‬حجم أال سره‬

‫‪41‬‬

‫تحديد الع قة بين نفقات استه ك أال سره من ج هة وا لدخل‪ ،‬واأل صوه المال ية و ح جم أال سره‬
‫من جهة اخرى‬
‫هااك عدة أسباب لدراسة هذه الع قات يمكن استخدام ذلك في ‪:‬‬
‫‪ -4‬تحليل تأثير بعض السياسات التي تتضمن تغير قيم لفرد م عين في الم ثاه األوه ن ستطيي أن‬
‫نحلل تأثير الافقات االع نيم على كمية المبيعات‬
‫‪ -2‬التابؤ بقيم ‪ Y‬من قيم ‪X‬‬
‫‪ -3‬اختبار مدى معاوية الع قة بين آي من ‪ X‬و ‪Y‬‬

‫في مااقشتاا نفرق بين المتغير‪ Y‬و المتغيرات ‪ X‬افتر ضاا أن المتغ يرات ‪ X‬هي المتغ ير ا لذي‬
‫يؤثر على المتغير ‪ Y‬هااك العديد من المصطلحات التي نطلقها ع لى ‪ Y , X‬تو جد في ال جدوه‬
‫‪43‬‬
‫جدوه ‪ :3‬مصطلحات المتغير التابي و المتغير المستقل‬
‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫متَابأ بم‬
‫‪ً -4‬متابأ‬
‫مفَسر‬
‫‪-2‬مفسر‬
‫تابي‬
‫‪-3‬مستقل‬
‫متأثر‬
‫‪-1‬مسبب‬
‫داخلي‬
‫‪-1‬خارجي‬
‫المتغير الهدف‬
‫‪-6‬المتغير المتحكم‬
‫كل من هذه المصطلحات ي ستخدم ح سب ال غرض من تحل يل االن حدار فالم صطلح األوه ي ستخدم‬
‫في عملية التابؤ بياما المصطلحات األخرى تستخدم في مااقشة االنحدار اما المصطلح خارجي‬
‫وداخلي تستخدم فقط من قبل القيا سيين بيا ما الم صطلح األخ ير ي ستخدم في الت جارب الخا صة‬
‫بدراسة تأثير مسببات معيام على متغير مستهدف‬
‫‪ 2.2‬تحديد العالقة‪:‬‬
‫الع قة بين‪ Y‬و‪ X‬تمثل بالتالي‪:‬‬
‫‪42‬‬

‫)‪Y  f (X‬‬

‫حيث ترمز لة ‪ Y‬كدالة لة‪ X‬نستطيي إن نقسم الع قة إلى نوعين‪-:‬‬
‫‪ -4‬ع قة رياضية محدده ‪Deterministic‬‬

‫‪ -2‬ع قة إحصائيم ال تعطي قي مم فر يدة لة ‪ Y‬من قي مم م حدده من ‪ X‬ول كن يم كن أن تو صف‬
‫بصيغة احتماليم‬

‫‪46‬‬

‫سوف نتحدث هاا في تحليل االنحدار عن الع قة من ال اوع األوه ع لى سبيل الم ثاه الع قة بين‬
‫المبيعات و الافقات االع نيم يمكن أن توصف بما يلي‪-:‬‬
‫‪22‬‬

‫‪Y  2500  100 X‬‬

‫هذه ع قة محدده ‪ deterministic‬حيث يمكن تحديد المبيعات لكل مستوى من الافقات االع نيم‪،‬‬
‫كما يلي‪-:‬‬
‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪2122‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1122‬‬

‫‪22‬‬

‫‪0122‬‬

‫‪12‬‬

‫‪42122‬‬

‫‪422‬‬

‫في الجانب األخر‪ ،‬نفترض أن الع قة بين المبيعات والافقات االع نيم كما يلي‪-:‬‬
‫‪32‬‬

‫‪Y  2500  100 X  u‬‬

‫قيمة ‪ u‬ت تراوح بين قيم معي ام ح سب جدوه ل حت ماالت يع طي ل كل قي مم احت ماه م عين ع لى‬
‫سبيل المثاه‪ -:‬االحتماالت أن قيمة ‪ u‬اك بر من ‪ 122‬ي ساوي ½ وا قل من ‪ 122‬ي ساوي ½‬
‫لذا ال نستطيي تحديد قيمة ‪ Y‬من قيمة ‪ X‬نقوه إن ه ااك العد يد من قيم‪ Y‬المقاب لة لقي مة وا حدة‬
‫من ‪ X‬إذا كان هااك توزيي طبيعي لقيم‬

‫‪ Y‬المقابلة لقيمم واحدة من ‪X‬‬

‫كما هو في الشكل‬

‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪40‬‬

‫الخط الذي يمثل الع قة هو الع قة الت حد يد يم ول كن ال قيم الحقيق ية لة ‪ Y‬تم ثل ال خط الع مودي‬
‫وتسمى الع قة بين ‪ X ,Y‬ع قة عشوائية‬
‫بالرجوع إ لى المعاد لة ال تي تم ثل الدالة ن ستطيي ال قوه إن الدا لة تم ثل ال خط ‪f (x)    X‬‬

‫بياما الع قة العشوائية هي‬

‫‪f ( x)    X  u‬‬

‫حيث تمثل ‪ u‬الخطأ العشوائي‬

‫وتمثل ‪  ‬معام ت االنحدار‬

‫لماذا يتم إضافة الخطأ العشوائي للمعادلة؟‬
‫‪ -4‬يمثل عاصر العشوائية في استجابة اإلنسان مثل اخت ف الاف قات اال سته كية من فرد أل خر‬
‫مي العلم انهم قد يتساووا في الدخل‬
‫‪ -2‬تأثير عوامل أخرى محذوفة مثل العادات حجم أال سره وغيرها من العوامل‬
‫‪ -3‬خطأ في قياس المتغير التابي‬
‫ال هدف هو الح صوه ع لى ت قدير للم عام ت الغ ير معرو فم ‪  ‬للق يام بعمل ية الت قدير ي جب‬
‫افتراض بعض االفتراضات الخاصة بالخطأ العشوائي‪:‬‬
‫‪ -4‬الوسط الصفري ‪E(u)=0‬‬

‫أن وسةةةةةط التوزيي االحتمالي الخاص بالمتغير العشوائي = الصفر إي أن قيم ‪ u‬تتمركز حوه‬‫الصفر‬
‫‪ -2‬تساوي التباين ‪V( u)   2‬‬

‫تباين التوزيي االحتمالي الخاص بالعااصر العشوائية ‪ u‬يساوي قيمم ثابتة وموجبة‬
‫‪ -3‬استق لية الخطأ العشوائي‪ :‬أي أن التغاير‪ ،‬درجة االرتباط بين قيم العشوائي = الصفر‬
‫أي انها مستثقلم عن بعضها‬

‫‪COV (u i , u j )  0‬‬

‫‪ -1‬التوزيي الطبيعي للخطأ العشوائي‬

‫‪ui ~ N‬‬

‫تمثل هذه االفتراضات بالتالي ) ‪u i ~ N(0,  2‬‬

‫‪ 2.2‬تقدير نموذج االنحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى‪-:‬‬
‫هااك عدة طرق لتقدير معام ت معادلة االنحدار أهمها ‪)4‬طريقة المربعات الصغرى ‪ )2‬طري قة‬
‫اإلمكانية العظمى‬

‫‪41‬‬
‫في المرحلة األولى نفترض و جود ال فروض االسا سيم لمعال جة الا موذج الخ طي و في المرا حل‬
‫ال حقة نتعرض للحاالت التي تكون فيها هذه الفروض غير صحيحم‬
‫نموذج االنحدار باالفتراضات األساسية كما يلي‪:‬‬
‫‪Yi    X i  u‬‬

‫هي المعادلة األساسية التي تصور الع قة بين التابي والمستقل حيث ‪ i‬تعتمد على العياة ال تي يب لغ‬
‫حجم ها ‪ n‬باأل ضافم إ لى المعاد لة أألسا سيم ن قوه أن الا موذج يح توي افترا ضات عن المتغ ير‬
‫العشوائي‬
‫ت قدير الا موذج يتم ب غرض الح صوه ع لى م قدرات م عالم ن موذج االن حدار البسةة ةةيط ن موذج‬
‫االنحدار البسيط يتضمن ث ث معالم هي‪ , ,‬معلمة القاطي‪  , ،‬معلمة الم يل‪ 2 ،‬معل مة الت باين‬
‫المراد هو استخدام إحصائيات المتغيرات التابعة والمتغ يرات الم ستقلة ح سب ال طرق اإلح صائيم‬
‫الم ئمة للحصوه على مقدرات لهذه المعالم‬
‫طريقة المربعات الصغرى‬
‫تعتمد طريقة المربعات الصغرى العادية على الح صوه ع لى م قدرات ‪ ,‬االن حدار ح يث تم ثل ‪‬‬

‫معلمة القاطي‪  , ،‬معلمة الميل بحيث يتم تصغير مجموع مربعات البوا قي إ لى آد ني قي مم ل ها‬
‫بحيث يجري تعريف مكون يطلق علية مجموع المربعات البوا قي وبعد ذلك يشرع في الح صوه‬
‫على ‪  , ، ,‬بحيث يتم تصغير هذا المكون إلى أدنى قيمم لم‬
‫طريقة المربعات الصغرى تعطياا مقدرات االنحدار ‪  , ، ,‬ولكن ال تعطياا مقدرة الت باين و هذا‬
‫يعتبر من نقاط ضعف طريقة المربعات الصغرى‬
‫المعيار الخاص في المربعات الصغرى العادية‪ :‬الاموذج المقدر هو كما يلي‬
‫‪Yi     X  u i‬‬

‫‪ u‬هي البوا قي والتي ت ساوي من الا موذج ) ‪ u  Y  (ˆ  ˆ X‬ن موذج االن حدار مم كن أن ي مر‬
‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫من خ ه انتشةةةةةار البيا نات الخا صة بة ‪ ،X ,Y‬ال خط الم قدر ه اا هو ا لذي يع طي ‪ Y‬الم قدرة‬
‫‪     X‬‬
‫‪Y‬‬

‫إذا أخذنا إحداثيات القيم ‪ Y,X‬إحداثيات الاقطة األولى تاقسم إلى قسمين‪ ،‬ق سم من الم حور األف قي‬
‫في الاموذج المقدر‪ ،‬هذا ع بارة عن ‪     X‬‬
‫‪Y‬‬

‫ال جزء ال ثاني ع بارة عن قي مة ال بوا قي‬

‫فالمشاهدة ‪ Y‬هي حصيلة جمي ‪     X‬‬
‫‪u+ Y‬‬

‫أي أن أي مشاهده مكونم من جانبين‪ ،‬جا نب‬

‫‪41‬‬
‫الخط المقدر والبواقي البواقي بحكم أنها مقدرة العاصر العشوائي يمكن أن ت كون موج بة ومم كن‬
‫أن تكون سالبم وكذلك من الااحية الاظرية يمكن أن تساوي الصفر‬
‫للحصوه على مقدرات المربعات الصغرى العادية يجب أن نحصل أوال على البواقي‪:‬‬
‫‪ut2  (Yˆ  (ˆ  ˆX ))2‬‬
‫مجموع مربعات البواقي =‪u2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ u i   (Yi     X‬‬

‫يتم التوصل إلى الخط الذي تكون فيم مج موع مرب عات ال بواقي ا صغر ما يم كن [ اخت يار ال خط‬
‫ا لذي يدني مج موع مرب عات ال بواقي إ لى أ صغر ما يم كن] با ستخدام الريا ضيات فأن شرط‬
‫الدرجة األولى يتطلب أجراء التفاضل بالاسبة للمجاهيل ‪  ‬نستخدم التفاضل الجزئي وبعد ذلك‬
‫نساوي المعادالت التي تم أه تحصل عليها بالصفر ثم نطبق الم عادالت اآلن ية للح صوه ع لى قيم‬
‫المقدرات‬

‫‪ u   ( 2 )( Y  ˆ  ˆ X )( 1 )  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫ˆ‪‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ ( 2 ) ( Yi  ˆ  ˆ X )  0‬‬

‫نساوي بالصفر ‪ (Y  ˆ  ˆ X )  0‬‬
‫‪i‬‬

‫بادخاه المجموع ‪ Σ‬وحيث ان ‪α‬عدد ثا بت فأن ‪ n α = Σ α‬ثم بق سمة المعاد لة ع لى ‪ n‬نح صل‬
‫على مايلي‪:‬‬

‫‪ Y   ˆ  ˆ  X  0‬‬
‫‪ ˆ   Y  ˆ  X‬‬
‫‪nˆ   Y  ˆ  X‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ˆ    ˆ ‬‬
‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i‬‬

‫‪n‬‬
‫‪ˆ  Y  ˆ X‬‬

‫‪ ( 2)( (Yi  ˆ  ˆX )(  X )  0‬‬

‫‪ 2 X (Yi  ˆ  ˆX )  0‬‬

‫‪  ui2 ‬‬
‫ˆ‪‬‬

‫‪  ui2 ‬‬
‫ˆ‪‬‬

22
(  X (Yi  ˆ  ˆX )  0
  XY   X    X 2  0

‫نساوي بالصفر‬

 XY    X    X

2

n
n

 n 2
 X i Yi    X i      X  
 i 1 
 i 1 
i 1

21

‫ نحصل على‬ ‫بالتعويض بقيمة‬
 Y

 XY   X 

 n



 X   
n 

X

2

2.6

n ‫بالضرب في‬

n XY   X Y   ( X )2   n X 2
n XY   X  Y    (  X )2   n X 2
  n X 2   (  X ) 2



  n X 2  (  X ) 2

20



‫ ماها‬  ‫ تسمى المعادالت الطبيعية ونستطيي استخراج قيم‬2 0 ‫معادلة‬
n

ˆ 

n

n X iYi   X i  Yt
i 1

n X i    X 
2

2



‫بالتعويض نحصل على‬

:‫من الممكن الحصوه على المقدرات باستخدام االنحرافات كما يلي‬

24

 y   (Y  Y )

  Yi 2  nY 2

2

i

 xy   ( X  X )(Y  Y )   XY  n XY
 x  (X  X )
2

  X 2  nX

2

‫ولكن‬

Y X
Y X
Y X
Y X
i

i

i

i

i

i

i

i

  X i (Y i  ˆ X )  ˆ  X i2
 n X (Y  ˆ X )  ˆ  X 2
i

 n X Y  ˆ n X X )  ˆ  X i2
 n X Y   ˆ n X X  ˆ  X 2
i

 XY  n XY   ˆ n X  ˆ  X
2

2
i

 xy    nX   X 
2

 xy    x


2

2

 xy
x

2

)2( ‫مثال‬
X

Y

X2

x

y

XY

xy

x2

2

4

4

-2

-4

8

8

4

3
1
5
9

7
3
9
17

9
1
25
81

-1
-3
1
5

-1
-5
1
9

24
3
11
413

1
15
1
45

1
9
1
25

X=
20

Y=
40

X2= 120

XY= 230

xy=70

x2=40

‫‪22‬‬
‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n  X iYi   X i  Yt‬‬

‫‪‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n  X i2    X ‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫)‪(5)(230)  (20)(40‬‬
‫‪ 1.75‬‬
‫‪5(120)  (20) 2‬‬
‫‪ˆ  Y  ˆ X  8  1.75(4)  1‬‬
‫‪Yˆ  ˆ  ˆ X ‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫‪Yˆ  1  1.75 X‬‬
‫‪ˆ  ‬‬

‫‪xy 70‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.75‬‬
‫‪ x 2 40‬‬

‫باستخدام االنحرافات‬

‫‪X2‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪XY‬‬

‫‪xy‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪5500‬‬

‫‪900‬‬

‫‪1650‬‬

‫‪-45‬‬

‫‪30‬‬

‫‪8100‬‬

‫‪6300‬‬

‫‪400‬‬

‫‪1400‬‬

‫‪-30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪6400‬‬

‫‪7200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪900‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪4900‬‬

‫‪7000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4900‬‬

‫‪6300‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4900‬‬

‫‪7350‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4900‬‬

‫‪5600‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4225‬‬

‫‪7150‬‬

‫‪25‬‬

‫‪-550‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪3600‬‬

‫‪7500‬‬

‫‪100‬‬

‫‪-1250‬‬

‫‪25‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪3600‬‬

‫‪6900‬‬

‫‪100‬‬

‫‪-1150‬‬

‫‪15‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪3025‬‬

‫‪7150‬‬

‫‪225‬‬

‫‪-1950‬‬

‫‪30‬‬

‫‪-15‬‬

‫‪30‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪2500‬‬

‫‪6500‬‬

‫‪400‬‬

‫‪-2600‬‬

‫‪61050‬‬

‫‪80450‬‬

‫‪2250‬‬

‫‪-3550‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪22‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪211‬‬
‫‪21‬‬
‫‪212‬‬
‫‪21‬‬
‫‪221‬‬
‫‪222‬‬
‫‪222‬‬
‫‪221‬‬
‫‪221‬‬

‫‪211‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪21‬‬

‫‪1200‬‬
‫‪Y=100‬‬

‫‪840‬‬
‫‪X=70‬‬

‫‪β=-3550/2250=-1.6‬‬

‫‪ 2.2‬خصائص مقدرات المربعات الصغرى العادية (م ص ع)‬
‫الخصائص اإلحصائي التي تتميز فيها مقدرات المربعات الصغرى العادية‬
‫تتميز المقدرات‬
‫‪ )4‬الخطية‬

‫‪  ‬بث ث خواص أساسيم‪:‬‬
‫‪)2‬عدم التحيز‬

‫‪ )3‬الكفاءة‬

‫‪ )4‬الخطية‪  :‬تعتبر دالم خطية للعاصر العشوائي التابي ‪ Y‬أهمية هذه الخاصة أنها‬
‫تعطياا درجم من البساطة في أجراء الحسابات حيث انم لحساب ‪  ‬نستعمل‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫المجموع‬

‫‪23‬‬
‫المتغير التابي في صوره خطيم فقط هذه لتبسيط الحسابات‬
‫‪ )2‬عدم التحيز‪ :‬مقدرات (م ص ع) ‪ ‬مقدرة غير متحيزة للمعلمة ‪ ‬عدم التح يز يتط لب بأن‬
‫القيمم المتوقعة لة ‪ ‬و التي هي قيمة المعلومة الحقيق ية بمع اى آ خر متوسة ةةط ‪  = ‬إذا‬
‫جمعت عياات كثيرة وفي كل عيام نحسب ‪ ‬يتم أخذ المتوسط ذلك المتوسةةط نظر يا ي جب‬
‫أن يت ساوى مي المعل مة الحقيق ية ‪ E( )  ‬م قدرات (م ص ع) ‪ ‬م قدرة غ ير متح يزة‬
‫للمعل مة ‪ ‬ح يث أن ‪E( )  ‬‬

‫أي أن تو قي‬

‫‪ ‬ي جب أن يس ةةاوي المع لم ه الحقيق ية‬

‫بمعاى آخر متوسةةةط قيم ‪ ‬أو في المتوسط ‪ ‬تساوي القيمة الحقيقية للمعلمم ‪‬‬

‫هذه األوضاع كلها نظريم بحتة في الواقي ال يكون عادنا عدد من العياات‪ ،‬بكون في الوا قي عي ام‬
‫وا حدة ف قط وتعطي اا قي مم وا حدة ‪ ، ‬قي مم وا حدة ‪‬‬

‫يعت مد علي ها في التحل يل‪ ،‬من الااح ية‬

‫الاظرية نقوه أن هذه المقدرات يتو قي أن ها تسة ةةاوي القي مة الحقيق ية من الااح ية األ خرى القي مة‬
‫الحقيقة ال نعرفها وبالتالي هذه الخصائص خصائص نظريم بحتة‬
‫على الرسم البياني‪ ،‬رسم دالة احتماه ‪ ، ‬خاصية عدم التحيز تقوه أن توزيي احتماه ‪ ‬يأخذ‬
‫هةةذا الشةةكل يتمركةةز حةةوه القيمةةة الحقيقيةةة‪ ،‬لةةة ‪ ‬يعاةةي أن القيمةةة المتوقعةةة لةةة ‪ ‬تسةةةةاوي ‪‬‬
‫‪ E( )  ‬وأن قيمة ‪ ‬تساوي المعلمة الحقيقية ونفس التحليل ياطبق على ‪‬‬

‫‪E( )  ‬‬

‫‪E( )  ‬‬

‫تباين المقدرات‪ :‬تباين اي قيمة تتوزع حوه وسط معين هو معده تشتت هذه القيم عن الوسط‬
‫ويكون القانون الخاص بتباين مقدرة القاطي‪:‬‬
‫‪V( )  E{  E( )}2‬‬

‫بإجراء بعض الخطوات يمكن إن نبرهن إن تباين ‪ ‬يساوي‬
‫‪ 2  X2‬‬
‫‪n x 2‬‬

‫‪V( ) ‬‬

‫‪21‬‬
‫من المعادلة ن حظ إن تباين ‪ ‬تعتمد على ت باين ‪ u‬فإذا زاد ت باين ‪ u‬تو قي ز يادة ت باين ‪ ‬الن‬
‫وتو جد صيغم أ خرى لت باين ‪ ‬ع لى ا نم‬

‫ه ااك ع قة طرد يم بين ت باين ‪ ‬وت باين ‪u‬‬

‫يساوي ‪:‬‬
‫‪X2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪V(  )   { ‬‬
‫}‬
‫‪n  x2‬‬

‫اما القانون الخاص بتباين‬

‫‪: ‬‬
‫‪V( )  {  E( )}2‬‬

‫يمكن إن نثبت إن التباين الخاص بة ‪ ‬يساوي‬
‫و من المعاد لة ن حظ إن ت باين ‪‬‬

‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪V( ) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬

‫يعت مد طرد يا ع لى‬

‫ت باين ‪u‬‬

‫وعك سيا ع لى مج موع‬

‫مرب عات انحرا فات المتغ ير الم ستقل‪ ،‬فكل ما ازدادت در جة انتشة ةةار المتغ ير المسةة ةةتقل ( آي‬
‫بيانات ‪ X‬مختلفة كثيرا عن بعضها) نتوقي إن يزيد الم كون المو جود في الم قام وبال تالي ياخفض‬
‫تباين ‪ ‬مما يشعر إلى دقة التقديرات‬
‫‪ -3‬آدني تباين‪:‬‬
‫الخا صية الثال ثة لم قدرات م ص ع تمت لك آد ني ت باين هذه الخا صية ل ها أهم ية بال غة في‬
‫االقتصاد القياسي الن آدني تباين يعتبر مؤشةةر إلى دقة القياسةةات‪ ،‬آدني تباين يعتبر مؤشةةر إلى‬
‫دقة القياسات‪ ،‬آدني تباين يعاي أعلى دقة من ناحية القياسةةات‬
‫هااك ع قة عكسية بين التباين ودقة القياسات كلما زاد التباين كلما انخفضت دقة القيا سات وكل ما‬
‫قل ارتفعت دقة القياسات ألن مقدرات م ص ع ‪‬‬

‫‪‬‬

‫تلك المقدرات تمتلك آدني تباين نعاي‬

‫مقارنم بمقدرات أخرى تقاس بطريقم مختلفة عن م ص ع فان مقدرات م ص ع تمتلك آدني تباين‬
‫إي تتح لى بأعلى د قم نف ترض إن ه ااك م قدرات لة‬

‫‪‬‬

‫تح صل علي ها بطري قم مختل فة‬

‫ونفترض إن الم قدرات األ خرى ‪  ,  ‬ا ذا افتر ضاا أن ت لك الم قدرتين خط يم وغ ير متح يزة‬
‫سيكون االخت ف في خاصية أن مقدرات م ص ع ‪  ‬تمتلك أعلى دقة‬

‫‪21‬‬

‫(‪)4‬‬

‫(‪)2‬‬
‫‪E( )  ‬‬

‫‪E( )  ‬‬
‫)‪V( ) > V( ‬‬

‫في الحالة (‪ )4‬استخدمت مقدرات م ص ع في الحالة الثانية (‪ )2‬مقدرات أخرى غير م ص ع ‪,‬‬
‫في ال شكل التوز يي االحت مالي لقي مة الم قدرات ‪  ,  ‬في (‪ )4‬يت بين ان الت باين قل يل‪ ،‬در جة‬
‫االنتشار لة ‪ ‬اقل وبالتالي تتمركز قيم ‪ ‬حوه القي مة الحقيق ية و في ال شكل (‪ )2‬قد نح صل ع لى‬
‫قيم حوه ‪ ‬لكاها بعيده عن المعلمة الحقيقية‬
‫من الشكل إن احت ماه الح صوه ع لى ‪‬‬

‫أ قرب للمعل مة الحقيق ية من ‪ ,  ‬وبال تالي در جة‬

‫احتماه العثور على ‪ ‬أقرب مما سواها‪ ،‬هذا ما يقصد بخاصية أدنى تباين‬
‫مةن الاتةةائا التةةي توصةةلاا أليهةةا عةةن مقةةدرات م ص ع يمكةةن أن نقةةوه أن شةةةةةةةةةةةكل التوزيةةي‬
‫االحتمالي الخاص بالمقدرات ‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ ‪X2 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪ˆ ~ N  ,  ( ‬‬
‫‪) ,  ~ N  , n ‬‬
‫‪n  x2 ‬‬
‫‪xi2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬

‫من المعادلتين يتبين انم ‪:‬‬
‫‪ -4‬كلما زاد التباين ‪ 2‬كلما زاد تباين المقدرات ‪‬‬
‫‪-2‬كلما كان انتشار قيم ‪ X‬اكبر كلما قل تباين ‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪26‬‬
‫مثال (‪:)2‬‬
‫البيانات التالية عن السعر وكميم البرتقاه الذي تم بيعم في أحد أ سواق الخ ضار في مدة ‪ 42‬يوم‬
‫إذا رمزنا للسعر بة ‪ X‬والكميم بة‪Y‬‬

‫باستخدام المعادلة التالية‪:‬‬

‫‪Y    X  u‬‬
‫‪X  70,  xy  35550‬‬
‫‪Y  100,  x 2  2250‬‬
‫‪3550‬‬
‫‪ˆ ‬‬
‫‪ 1.578‬‬
‫‪2250‬‬

‫‪ˆ  100  (1.578)70  210.460X  u‬‬
‫‪ˆ  210.46  1.578X.‬‬
‫‪Y‬‬

‫‪1 X2‬‬
‫‪1 (70) 2‬‬
‫‪V( )   2 ( ‬‬
‫‪)  2 ( ‬‬
‫‪)  2.2611 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪12 2250‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V( )  , n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.00044 2‬‬
‫‪2250‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi‬‬
‫‪i 1‬‬

‫ت قدير الت باين‪ : 2‬ح يث أن ‪2‬‬

‫مجهو لة وال تي نحتاج ها ل اتمكن من ح ساب ت باين ‪‬‬

‫نستخدم مقدرة ‪ = 2‬مجموع مربعات البواقي‪/‬درجة الحرية‬

‫‪u2‬‬
‫‪02‬‬

‫‪n2‬‬

‫‪2 ‬‬

‫بحساب مربعات مجموع البواقي من قيمة ‪ u   (Y  Yˆ )  698‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫إذا مقدرة التباين‬

‫‪698‬‬
‫‪ 69.8‬‬
‫‪12  2‬‬

‫وماها يمكن الحصوه على مقدرات تباين ‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪i‬‬

‫‪u2‬‬
‫‪n2‬‬

‫‪ˆ 2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪20‬‬
‫‪1 X2‬‬
‫‪1 (70) 2‬‬
‫‪V( )   2 ( ‬‬
‫‪)  69.8( ‬‬
‫‪)  157.82‬‬
‫‪n‬‬
‫‪12 2250‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪69.8‬‬
‫‪V( )  , n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.0310‬‬
‫‪2250‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi‬‬
‫‪i 1‬‬

‫مثال ‪2‬‬
‫‪u2‬‬

‫‪u‬‬

‫^‪Y‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪xy‬‬

‫‪XY‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪0.2500‬‬

‫‪0.50‬‬

‫‪4.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.5625‬‬
‫‪0.0625‬‬
‫‪0.5625‬‬
‫‪0.0625‬‬

‫‪0.75‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪0.25‬‬

‫‪6.25‬‬
‫‪2.75‬‬
‫‪9.75‬‬
‫‪16.75‬‬

‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪25‬‬

‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪45‬‬

‫‪24‬‬
‫‪3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪413‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬

‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪25‬‬
‫‪81‬‬

‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪17‬‬

‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬

‫‪x2=40‬‬

‫‪xy=70‬‬

‫‪XY= 230‬‬

‫‪Y=40‬‬

‫‪X=20‬‬

‫‪u2=1.5‬‬

‫‪X2= 120‬‬

‫) ‪u  Y  Yˆ  Y  (ˆ  ˆ X )  Y  1  1.75( X‬‬
‫‪X  2,3,1,5,9‬‬

‫للحصوه على مقدرة التباين نستخدم المعادلة التالية ‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2  ‬‬

‫‪u2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.5‬‬
‫‪n2 52‬‬

‫وبعد ذلك نستطيي أن نتحصل على تباين المقدرات‬
‫‪1 X2‬‬
‫‪1 (120) 2‬‬
‫‪V( )   2 ( ‬‬
‫‪)  0.5( ‬‬
‫‪)  0.3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪5‬‬
‫‪40‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪V( )  , n‬‬
‫‪‬‬
‫‪.0125‬‬
‫‪40‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi‬‬
‫‪i 1‬‬

‫وللحصوه على االنحراف المعياري نتحصل على الجذر التربيعي للتباين‪:‬‬

‫‪Se( )  V( )  0.0125  0112‬‬
‫‪.‬‬
‫‪Se( )  V(  0.3  0.548‬‬

‫‪21‬‬
‫‪2.2‬‬

‫فترات الثقة ‪Confidence Interval‬‬

‫المقدرات مؤشةةرات مهمم يمكن إن تستخدم الستخ ص نتائا عن المجتمي التي استخلصت مام‬
‫هذه المقدرات لبااء فترات الثقة وأجراء اختبارات الفروض نستخدم التوزيي الطبيعي‪:‬‬
‫فترة الثقة‪:‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ˆ ~ N ‬‬
‫‪ , n‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪ˆ ~ N ‬‬
‫‪  ,  ‬‬
‫‪2‬‬

‫ˆ‬

‫إذا كانت‪ ‬تتوزع طبيعيا فستكون قيمة ‪ Z‬كما يلي‪:‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪Z‬‬

‫إذا أ خذت أي ع شوائي يتةوزع توز يي طبيعةي وطر حت م ام الوسةط ال خاص بةم وق سمتم علةى‬
‫االنحراف المعياري فان القي مة المتح صل علي ها هي قي مة ‪ Z‬ال تي ت توزع طبيع يا بوس ةةط صفر‬
‫وتباين وانحراف معياري يساوي الواحد الصحيح توزيي ‪ Z‬كما هو م عروف يم كن ا ستخ ص‬
‫االحتمةاالت الخاصةة بةم مةن جةدوه التوزيةةي الطبيعةي وبةذلك يمكةن تحديةد االحتمةاه الخةةاص‬
‫بحدوث أي قيمم من ‪ Z‬بالاظر إ لي ال جدوه ح يث ي شير الع مود الرأ سي إ لي الي سار إ لي قيم ‪Z‬‬

‫والقيم بداخل الجدوه تشير إلي االحتماالت‬
‫الخت بار الفر ضية فإن اا نخت بر هل ‪ ‬ت ساوي ‪ ‬أم تخت لف عا ها وإذا كا نت تخت لف هل هذا‬
‫االخت ف قليل يمكن التعايش م عم أي إن اال خت ف را جي إ لي الع شوائية ف قط و ليس باالخت ف‬
‫الكبير الذي يشير إلي انم ال ياتمي إلي نفس المجتمي ونرفض الفرضية انهما متساويان‬
‫في القانون أع ه هااك معلمم غير متوفرة و هي معل مة ت باين المجت مي فا ستخدماا م قدرة الت باين‬
‫مقدرة التباين ال تمتلك التوزيي الطبي عي ول كن تت بي توز يي ‪ t‬وا لذي يت حدد تب عا لدرجات الحر ية‬
‫الم ستعملة أي في هذه الحا لة إ لي ‪ n-2‬توز يي ‪ t‬هو توز يي احت مالي م شابم للتوز يي الطبي عي‬
‫وتوزيي ‪ t‬يتمركز حوه الصفر ويأخذ شكل مماثل لتوزيي ‪، Z‬ويستخدم توزيي‪ Z‬فقط عادما ت كون‬
‫حجم العيام كبيره ‪n>30‬‬
‫توزيي ‪t‬‬

‫‪21‬‬

‫االختبار اإلحصائي يكون‬
‫‪  ‬‬
‫‪Se ‬‬

‫‪t‬‬

‫يمكن حساب فترات الثقة كما يلي‪:‬‬
‫) ‪Se(‬‬
‫) ‪Se(‬‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪n  2.‬‬

‫‪n  2.‬‬

‫‪  t‬‬

‫‪  t‬‬

‫قيمة ‪ t‬تمثل القيمة اختبار ‪ t‬عاد درجة حرية ‪ n-2‬عاد مساحة ‪ /2‬من توزيي ‪ t‬من المثاه (‪)3‬‬
‫) ˆ‪Se( ‬‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪n  2.‬‬

‫‪ˆ  t‬‬

‫‪1.7  2.228  0.112‬‬
‫‪ 0.2495‬‬
‫‪1.45 ____1.94‬‬

‫) ˆ‪Se(‬‬

‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪n  2.‬‬

‫‪ˆ  t‬‬

‫‪1  2.228  0.548‬‬
‫‪1  1.2209‬‬
‫‪0.22 ____ 2.22‬‬

‫إن شرح فترة الثقة يعاي إن إن االحتماه أن فترة الثقة المحددة تعطي المعلمة الحقيقية يساوي‬
‫(‪ (1- ‬ويستخدم عادة مستوى الثقة ‪ %11‬أو ‪%11‬‬
‫‪ 2.2‬اختبار الفرضيات‬
‫‪:‬يتعلق اختبار الفرضيات بإيجاد أال جابم على هذا السؤاه ما اذا كانت القيمة المحسوبة من العياة‬
‫متوافقةة مةةي الفرضةةية أم ال؟ الكلمةةة متوافقةةة هاةةا تعاةةي أن القيمةة المحسةةوبة قريبةةم مةةن القيمةةة‬
‫المفترضة بحيث أناا ال نستطيي إن نرفض القي مة المفتر ضة إي إذا كان ه ااك نظر يم سابقم أو‬
‫اعتقاد إن الميل الحقيقي لدالة االسته ك والدخل يساوي على سبيل المثاه ‪ 4‬هل القي مة المح سوبة‬
‫أو المشاهدة والتي تساوي ‪ 2 121=‬و تحصل عليها من العياة متفقم مي القيمة التي افتر ضااها‬
‫سابقا؟ إذا كان الجواب باعم فاناا ال نرفض الفرضية في القياسي نسمي القيمة المفترضة بةفرضية‬
‫العدم لفرضية البديلة‬

‫‪32‬‬
‫‪H 0 :  ‬‬

‫فرضية العدم‬

‫‪H A :  ‬‬

‫الفرضية البديلة‬

‫من المثاه (‪ )4‬نفترض إناا سوف نقوم باختبار الفرضية انم ليس هااك ع قة بين ‪Y, X ,‬‬

‫‪H 0 :  0‬‬

‫فرضية العدم‬

‫‪H A :  0‬‬

‫الفرضية البديلة‬

‫‪t( n  k ),(1 )  t3,.( 0.975)  3.182‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1.75  0‬‬
‫‪ 15.65,‬‬
‫‪0.112‬‬

‫‪t‬‬

‫‪ˆ   0‬‬
‫‪Se‬‬

‫‪t‬‬

‫االختبار يقارن بين ما تقو لم الفر ضية و ما تقو لم العي اة إذا كان ال فرق كب ير إي اك ثر من القي مة‬
‫الجد وليم التي نحصلاا عليها من جدوه ‪ t‬فأناا نرفض الفرض إذا كان الفرق قل يل فان هذا يع اي‬
‫إن العياة تؤيد ما يقولم الفرض وبالتالي نقبل الفرض‬
‫توزيي ‪t‬‬

‫‪ t‬الجدوليم =‪3.182‬‬

‫يعاي إناا يجب إن نوجد القي مة الفر ضية من ا جل ات خاذ ال قرار آ ما بق بوه أو برفض إن قرار‬
‫القبوه أو الرفض يتعلق بفرضية العدم وليس بالفرضيم البديلة‬

‫‪Yi‬‬

‫‪Y‬‬

‫ˆ‪Y‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Yi  Yˆ  u‬‬

‫‪Yi  ˆ  ˆX  u‬‬

‫‪Yˆ  ˆ  ˆX ,‬‬

‫‪34‬‬

‫‪ 2.2‬اختبار جودة النموذج وتحليل التباين‪.‬‬
‫‪SST   yi   (Y  Y ) 2‬‬
‫‪SSR   yˆ 2    xi2   (Yˆ  Y ) 2‬‬
‫‪SSE   u 2   (Yˆ  Y ) 2‬‬
‫‪i‬‬

‫‪SST  SSR  SSE‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪Total Sum of Squares‬‬
‫‪SSR‬‬
‫‪Regression Sum of‬‬
‫‪Squares‬‬
‫‪SSE‬‬
‫‪Error‬‬

‫مجموع المربعات اإلجمالي للتغيرات التي تحدث في المتغير التابي‪Y‬‬
‫يسمى بمجموع مربعات االنحدار يعاي جزء من تباين ‪ Y‬الذي تم تفسةةةيره‬
‫بواسةةةطة االنحدار إي الجزء من المتغيرات التي تحدث في المتغير التابي‬
‫والذي تم تفسةةيرها بواسةةطة الاموذج المقدر‬
‫مجموع مربعات البواقي‪ u2, ،‬وهذا مؤشةةر للجزء الذي لم يفسةةر‬
‫بواسةةطة نموذج االنحدار‪ ،‬إي الجزء الذي فشل الاموذج في تفسيره‬

‫ويمثل نسبة مجموع مربعات االنحدار إلي مجموع المربعات اإلجمالي ما يسمى بة معامل التحديد‬
‫‪SSR SST  SSE ˆ  xy‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪ yi2‬‬

‫‪R2 ‬‬
‫‪xy‬‬

‫قي مة ‪ R2‬ت تراوح بين صفر ووا حد إذا كا نت مرتف عم أي قرب يم من الوا حد تعت بر‪ X‬ج يده في‬
‫تفسير التغيرات في ‪ Y‬إذا كانت قربيم من الصفر فان المتغير ال يشرح إال القليل من التغير في‬
‫‪Y‬‬
‫‪SSR ˆ  xy 1.75(70) 122.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.9879‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪124‬‬
‫‪124‬‬
‫‪ y2‬‬

‫‪R2 ‬‬

‫جدول تحل يل الت باين لمعاد لة االن حدار‪ :)Analysis Of Variance)ِANOVA‬و هو إن تحل يل‬
‫مجموع المربعات الصغرى إلي مجموع مرب عات ال بواقي ومج موع مرب عات االن حدار ال غرض‬
‫من هذا التحليل الختبار معاوية مجموع مرب عات االن حدار و هذا أي ضا يدخل في اخت بار معاو ية‬
‫المعامل ‪ ‬ونمثل هذا التحليل في جدوه تحليل التباين‪:‬‬
‫جدوه تحليل التباين ‪ANOVA‬‬
‫التباين‬

‫مجموع المربعات‬

‫مجمةةةةةوع مربعةةةةةات ‪yˆ 2 ˆ  xy ˆ 2  x 2 ‬‬
‫االنحدار‬

‫مجمةةةةةوع مربعةةةةةات‬
‫البواقي‬

‫‪‬‬

‫درجةةةةةةةةةةة متوسط المربعات‬
‫الحرية‬
‫‪SSR/1‬‬
‫‪k-1=2-1SSR ‬‬

‫‪SSE   u 2   y 2   yˆ 2‬‬

‫‪n-k=n-2‬‬

‫)‪SSE/(n-2‬‬

‫‪32‬‬
‫مجمةةةةةوع مربعةةةةةات‬
‫اإلجمالي‬

‫‪SST   y 2   yˆ 2   u 2‬‬

‫‪n-2=3‬‬

‫‪SSR‬‬
‫‪SSE / n  k‬‬

‫‪F‬‬

‫جدوه تحليل التباين للمثاه (‪)4‬‬
‫التباين‬
‫مجموع مربعات االنحدار‬
‫مجموع مربعات البواقي‬
‫مجموع مربعات اإلجمالي‬

‫مجموع المربعات‬
‫‪SSR=122.5‬‬
‫‪SSE=1.500‬‬
‫‪SST=124‬‬

‫متوسط المربعات‬

‫درجة الحرية‬

‫‪122.5/1‬‬
‫‪1.5/3‬‬
‫‪122.5 /1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ 245.00‬‬
‫‪1.5 / 3‬‬

‫‪K-1=1‬‬
‫‪n-k=3‬‬
‫‪n-1=4‬‬

‫اختبار ‪ F‬هو اختبار لجودة الاموذج ي حاوه أن يج يب ع لى ال سؤاه هل اف لح الا موذج في تف سير‬
‫التغ يرات التةي تحةدث فةي المتغيةر التةابي ويختبةر الفرضةية إن معةام ت المتغيةرات المفسةرة‬
‫تساوي الصفر أي أن فرضية ال عدم ت قوه ا نم ال يو جد ع قة بين المتغ يرات المف سرة والمتغ ير‬
‫ال تابي وت قارن قي مة المح سوبة من ال جدوه مي ال جد ول يم بدر جة حر ية للب سط ت ساوي ‪k-1‬‬
‫ودرجة حرية المقام ‪ n-k‬قيمة الجد وليم عاد مستوى معاوية ‪5%‬تساوي ‪.10.13‬‬
‫توزيي ‪F‬‬

‫‪0‬‬

‫‪F=10.13‬‬

‫‪ 2.2‬التنبؤ باستخدام معادلة االنحدار‪:‬‬
‫معادلة االنحدار المقدرة‬
‫‪X‬‬

‫‪     X  u‬‬
‫‪ Y‬تستخدم في عمل ية التا بؤ ل قيم ‪ Y‬ل قيم م حدده من‬
‫‪t‬‬

‫إذا كانت ‪ X0‬تمثل القيمة المحددة من‪ X‬تستخدم في التابؤ بقيمة ‪ Y0‬من قيم ‪Y‬‬

‫‪     X  u‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫حيث ‪ u‬تمثل حد الخطأ‬
‫حيث يمثل خطأ التابؤ‬
‫حيث إن‬
‫إذا تكون‬

‫‪  Y  (   )  (  )X  u‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫‪E(   )  0, E(  )  0, E(u 0 )  0‬‬
‫‪E(y 0  y 0 )  0‬‬

‫هذه تعاي إن قيمة ‪ Y‬هي قيمم غير متحيزة ويكون تباين يساوي‪:‬‬
‫)‪V(y 0  y 0 )  V(   )  X 20 V(  )  2X 0 COV(   ,   )  V(u‬‬

‫‪33‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X2 ‬‬
‫‪2 X0‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2X 0  2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xi‬‬
‫‪n  xi ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ 1 (X 0  X ) 2 ‬‬
‫‪  1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2 ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪2‬‬

‫أي إن التباين يرتفي بارتفاع تباين ‪ X‬أي باخت ف قيم ‪ X‬عن قيم متوسطها‬
‫باستخدام البيانات أع ه نحصل على‬

‫‪Y=10.0+0.90 X‬‬

‫‪ ˆ 2  0.01, X  200,  x i2 4000,‬إذا استخدماا ‪ 212= X0‬ستكون قيمة ‪ Y0‬المتابأ بها‬
‫يساوي‪:‬‬

‫‪=10.0+0.9(250)=235‬‬

‫‪Y0‬‬

‫‪ )  0.01 1  1  2500   0131‬‬
‫‪SE(Y‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 12 400 ‬‬

‫حيث أن ‪ t=2.228‬من جدوه مي ‪ 42‬درجات حريم‪ ،‬و فترة الثقة ‪ %11‬تكون‬
‫‪235 2.228 (0.131) = 235  0.29‬‬

‫آي أن فترة الثقة تساوي‬

‫)‪235.29‬‬

‫‪-‬‬

‫‪(234.71‬‬

‫التابؤ للقيمة المتوقعة‪-:‬‬
‫أحيانا يرغب الباحث في التابؤ بالقيمة المتوقعة لة‪ Y‬بدال من ‪ Y0‬آي قيمة )‪ E(Y0‬آي القيمة‬
‫المتوسطة لة ‪ E(Y0‬وليس ‪Y0‬‬

‫عاد التابؤ بالقيمة المتوقعة فان ‪ E(Y0) =Y0‬حيث أن‬

‫‪ E(Y0 )    X 0  u 0‬فان القيمة المتابأ بها تساوي‬
‫‪ E (Y0 )     X 0  u 0‬آي يساوي ‪ Y0‬ولكن الخطأ المعياري والتباين‬
‫سيكون مختلفا سيكون اصغر قيمم‬
‫‪E (y 0 )  E(y 0 )  (   )  (  )X 0‬‬

‫التباين يساوي‪:‬‬
‫‪ 1 (X 0  X ) 2 ‬‬
‫‪Var [E( y 0 )  E( y 0 )]    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬

‫والخطأ المعياري يساوي الجذر التربيعي للتباين وفترة الثقة تساوي‬

‫‪31‬‬
‫‪Eˆ ( y 0 )  t SE‬‬

‫مثاه‪:‬‬
‫المبيعات ‪Y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬

‫النفقات األعالنيه‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬

‫للحصوه على مقدرات الاموذج‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫‪0.80‬‬
‫‪0.60‬‬
‫‪2.60‬‬
‫‪0.20‬‬
‫‪1.00‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪XY‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪24‬‬
‫‪40‬‬

‫النفقات‬
‫األعالنيه‪X‬‬

‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪16‬‬
‫‪25‬‬
‫‪55‬‬

‫المبيعات ‪Y‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪23‬‬

‫‪Y =1.0 + 1.2 X‬‬

‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬

‫‪X=3.0‬‬

‫مشاهده‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬

‫‪SSE=8.8‬‬

‫نفترض إن مدير المبيعات يرغب في التابؤ بدخل المبيعات عادما تكون الافقات االع نيم‬
‫تساوي ‪ 600‬لاير ويريد أيضا بااء ‪ %11‬فترة ثقة لتابؤه ‪ 6= X0‬إذا‬
‫‪y=1.0 + 1.2(6)=8.2‬‬

‫والتباين يساوي‬

‫‪ 1 ( 6  3) 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  1  ‬‬
‫‪  2.1‬‬
‫‪10 ‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪2‬‬

‫‪SSE 8.8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3.93‬‬
‫‪d.f‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ˆ 2 ‬‬

‫‪21‬‬
‫‪. (2.93)  6153‬‬
‫‪.‬‬
‫الخطأ المعياري ‪ 2.48‬‬

‫عاد مستوى المعاوية ‪ ، %1‬ودرجة حرية ‪ df=2.353‬و ‪ %12‬فتره‬
‫تطبيق‬
‫دالة االسةةته ك الخاص للملكة العربية السةةعودية‪:‬‬

‫‪31‬‬
‫‪C  ˆ  ˆY‬‬

‫حيث ترمز ‪ X‬الى االسته ك الخاص و ‪ Y‬الى الدخل‬
‫البيانات‪:‬‬
‫‪GDP‬‬

‫‪Private Consumption X‬‬

‫الدخل (اجمالي الااتا المحلي) باسعار الجاريم‬

‫االسته ك الخاص‬

‫‪164.53‬‬
‫‪205.06‬‬
‫‪225.40‬‬
‫‪249.54‬‬
‫‪385.81‬‬
‫‪520.59‬‬
‫‪524.72‬‬
‫‪415.23‬‬
‫‪372.07‬‬
‫‪351.40‬‬
‫‪313.94‬‬
‫‪271.09‬‬
‫‪275.45‬‬
‫‪285.15‬‬
‫‪310.82‬‬
‫‪391.99‬‬
‫‪442.04‬‬
‫‪461.40‬‬
‫‪443.84‬‬
‫‪450.03‬‬
‫‪470.70‬‬
‫‪511.33‬‬
‫‪547.41‬‬

‫‪23.90‬‬
‫‪34.75‬‬
‫‪54.61‬‬
‫‪68.61‬‬
‫‪102.39‬‬
‫‪114.91‬‬
‫‪126..39‬‬
‫‪151.29‬‬
‫‪157.37‬‬
‫‪159.35‬‬
‫‪158.59‬‬
‫‪140.15‬‬
‫‪135.54‬‬
‫‪139.40‬‬
‫‪145.03‬‬
‫‪155.87‬‬
‫‪168.75‬‬
‫‪183.92‬‬
‫‪193.91‬‬
‫‪185.83‬‬
‫‪191.10‬‬
‫‪206.21‬‬
‫‪207.35‬‬

‫‪Year‬‬
‫‪1975‬‬
‫‪1976‬‬
‫‪1977‬‬
‫‪1978‬‬
‫‪1979‬‬
‫‪1980‬‬
‫‪1981‬‬
‫‪1982‬‬
‫‪1983‬‬
‫‪1984‬‬
‫‪1985‬‬
‫‪1986‬‬
‫‪1987‬‬
‫‪1988‬‬
‫‪1989‬‬
‫‪1990‬‬
‫‪1991‬‬
‫‪1992‬‬
‫‪1993‬‬
‫‪1994‬‬
‫‪1955‬‬
‫‪1996‬‬
‫‪1997‬‬

36
ln C  3.33  1.38ln Y
n  23, K  2
SSE  0.341
SSR  2.44
Y  4.82
SE (ˆ )  1.29, SE ( ˆ )  0.219
3.33  0
t  
 2.57
1.29
1.38  0
t  
 6.31
0.219
t( n  k )(1 0.025)  t( 21,0.975)  2.080
F  39.88 F( k 1)( n  k )  F1,21  4.32
R 2  0.65

‫‪30‬‬
‫الملحق (‪)2‬‬
‫طريقة اإلمكانية العظمى )‪Maximum Likelihood Method (ML‬‬
‫هي طري قة اح صائيم ت ستعمل في م جاه الت قدير أوه من قدمها اإلح صائي الم شهور ‪Fisher‬‬

‫اإلمكان ية ‪ :‬مف هوم احت ماه حدوث ع مل ما و هي طري قة للت قدير اإلح صائي مثل ها م ثل طري قة‬
‫المربعات الصغرى تستخدم في تقدير قيم المعالم المجهولة ويمكن أن تطبق ع لى ن ماذج االن حدار‬
‫ومم كن تطبيق ها ع لى آي ع قة مجت مي تح توي ع لى م عالم مجهو لة‪ ،‬تتم يز م قدرات اإلمكان ية‬
‫العظمى بخواص جيدة ومطلوبة سارى طب ية هذه ال خواص في ما ب عد طري قة اإلمكان ية العظ مى‬
‫تتط لب أ جراء ح سابات مع قدة م ثل الح سابات المع قدة كا نت عا مل م هم في الما ضي‪ ،‬ل كن اآلن‬
‫الحسابات تجري بواسطة الحاسبات اآلل ية وبال تالي هذا االعت بار ال ي شكل نقي صة في ما ي ختص‬
‫باستخدام اإلمكانية العظمى‬
‫اإلمكانية العظمى تشترك في بعض الحاالت مي م قدرات المرب عات ال صغرى‪ ،‬آي نتح صل ع لى‬
‫مقةدرات اإلمكانيةة العظمةةى تتطةابق مةةي مقةدرات المربعةات الصةةغرى العاديةة أن مقةةدرات أال‬
‫مكانيم العظمى في مثل نموذج االنحدار البسيط ما هي آال مقدرات المربعات الصغرى ‪ ،‬لكن في‬
‫ن ماذج أ خرى اك ثر تعق يدا نرى أن م قدرات اإلمكان ية العظ مى تخت لف عن م قدرات المرب عات‬
‫الصغرى العادية‬
‫مقدرات اإلمكانية العظمى ‪ :‬هي ت لك ال قيم ال تي تع ظم إمكان ية ( االحت ماه) الح صوه ع لى العي اة‬
‫المشاهدة والمستخدمة في التقدير‬
‫طريقة اإلمكانية العظمى‪ :‬نبدأ باموذج االنحدار البسيط‪:‬‬
‫‪Y    X  u‬‬

‫الخطوة األولى ‪ :‬افتراض حوه شكل التوزيي االحت مالي ال خاص بالعاا صر الع شوائية افتر ضاا‬
‫أن المتغير العشوائي يتوزع توزيي طبيعيا‬
‫الخ طوة الثان ية‪ :‬تحد يد دا لة االحت ماه أو دا لة الكثا فة االحتمال ية ‪Probability Density Function‬‬

‫الخاصة بالعااصر العشوائية‬
‫الخطوة الثالثة‪ :‬استخ ص دالة االحت ماه الخا صة بالمتغير ال تابي‪ ،‬ح يث أن المتغ ير ال تابي يعت مد‬
‫على المتغير العشوائي ثم يعمم على العياة‬
‫الخطوة الرابعة‪ :‬تعظم تلك الدالة بالاسبة لقيم المعالم فاتحصل على مقدرات اإلمكانية العظمى‬

‫‪31‬‬
‫‪ -4‬دالة الكثافة االحتمالية لةلعاصر العشوائي ‪ u‬هي دالة توزيي طبيعي معروفم تكتب على الا حو‬
‫التالي‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ u0 ‬‬
‫‪‬‬

‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ (ct ) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( 2  )1/ 2‬‬

‫حيث أن ‪ =-3.14‬و ‪e=2.718‬‬

‫الجزء الثاني من المعادلة هو مربي‬

‫‪ u1/2‬مضروب في المتغ ير الع شوائي م طروح من الو سط‬

‫ومقسوم على االنحراف المعياري وبالتعويض بالمتوسط الصفري يمكن كتابتها كما يلي‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ut ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪( 2  2 )1/ 2‬‬

‫‪ (ct ) ‬‬

‫‪ -2‬تحدد دالة االحتماه المشتركة ‪ join Density Function‬آي دالة العااصر العشوائية والتي‬
‫تكون عادة بعدد ‪ e1, e2, …… en n‬وحيث أن العاصر العشوائية غير مرتبطة مي بعض يمكن‬
‫كتابة دالة االحتماه المشتركة كما يلي‪:‬‬
‫) ‪ ( u i ........ u n )   ( u 1 ) ( u 1 ).....  ( u n‬‬

‫تعوض الدواه بقيمتها من معادلة دالة الكثافة االحتمالية للعشوائي‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ut ‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ut ‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ut ‬‬
‫‪‬‬

‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪.....‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ (ut ) ‬‬
‫‪( 2 2 )1/ 2‬‬
‫‪( 2 2 )1/ 2‬‬
‫‪( 2 2 )1/ 2‬‬

‫‪ u2t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ( 2  2 )1/ 2‬‬

‫‪ -3‬استخ ص دالة االحتماه الخاصة بالمتغير التابي ‪ ،Y‬حيث أن المتغير التابي يعتمد على‬
‫المتغير العشوائي ثم يعمم على العياة‬
‫حيث أن‬

‫‪u i  Y     i X‬‬

‫نعوض بقيمة ‪ u‬من دالة اإلمكانية العظمى‪:‬‬

‫‪31‬‬

‫‪ ( y X )t2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ( 2 )1/ 2‬‬
‫‪2‬‬

‫تحولاا عن البواقي‪ u‬إلى دالة يظهر فيها التابي ‪ Y‬وبحكم ظهور على الجانب األيمن من‬
‫المعادلة تعتبر هذه المعادلة دالة االحتماه المشتركة وتسمى بدالة اإلمكانية العظمى ويرمز لها‬
‫بالرمز ‪‬‬

‫) ‪  f ( Y1 ). f ( Y2 ).... f ( Yni‬‬

‫ومن دالة االحتماه المشتركة يمكن الحصوه مقدرات اإلمكانية العظمى بهذه المعادلة المطلوب‬
‫هو أيجاد القيم للمقدرات التي تعظم احتماه العثور على القيم الخاصة بة ‪ Y‬آي أن المعيار في‬
‫دالة اإلمكانية العظمى يتطلب تعظيم دالة أال مكانيم العظمى لتعظيم أي دالة من الدواه يجب‬
‫أجراء التفاضل حسب متطلبات شرط الدرجة األولى ومساواتم بالصفر وحيث أن المعادلة معقده‬
‫لذه تستخدم الخاصية الرياضية التي تقوه أن القيمة العظمى لدالة من الدواه أو قيمة المعلمة التي‬
‫تحقق القيمة العظمى لدالة من الدواه هي نفس القيمة التي تحقق القيمة العظمى للدالة الرئيسية‬
‫للتبسيط نأخذ لوغاريتم الدالة‬
‫) ‪  f ( Y1 ). f ( Y2 ).... f ( Yni‬‬

‫) ‪L   ln f ( Y1‬‬

‫‪ ( y  X )t2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪  ( 2 )1/ 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln    ln( 2 2 )  2  ( y    X ) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ln    ln( 2 )  ln  2 ‬‬
‫) ‪ ( y    X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫ن حظ وجم التب سيط ا نم بيا ما كا نت م عالم تظ هر ‪  ‬في األس لة ‪ u‬اآلن تظ هر ‪  ‬كدا لة‬
‫خطية وذلك يسهل عملية أجراء التفاضل‬

‫‪12‬‬
‫الغرض من كتابة المعادلة على الصورة المختلفة هو عزه الت باين ‪  2‬عن الثا بت (‪ )2‬و من‬
‫ذ لك يم كن التو صل إ لى م قدرة معل مة الت باين ل هذا تعت بر طري قة اإلمكان ية اف ضل من طري قة‬
‫المربعات الصغرى ألنها تعطياا باألضافم إلى مقدرة ‪  ‬تعطياا مقدرة ‪ 2‬‬

‫إذا للحصوه على مقدرات أال مكانيم العظمى يتم أجراء التفاضل الذي يعظم دالة اإلمكانية اختيار‬
‫المقدرات التي تعظم الدالة‬
‫‪L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ 2( y    X )( 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ 2( y    X )(  X t‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ ( y    X‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫للحصةةوه علةةى المجاهيةةل نحةةل المعةةادالت الةةث ث ومسةةةةاواتها بالصةةفر يمكةةن الحصةةوه علةةى‬
‫المعادالت التالية‪:‬‬
‫~‬
‫‪~n  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫) ‪( X i‬‬

‫‪ Yi‬‬

‫‪12‬‬
‫~‬
‫) ‪ X i Yi  ~ ( X i )  ( X i2‬‬

‫هذه المعادلتين هي نفس المعادلتين التي تم الحصوه عليها في طريقة المربعات ال صغرى العاد ية‬
‫أي إن اإلمكانية العظمى تقود إلي نفس المعادالت الطبيعية ال تي تم الح صوه علي ها في طري قة م‬
‫ص ع ول كن ا ستخدماا ر موز جد يده لم قدرات اإلمكان ية العظ مي أي الم قدرات ال تي تع ظم دا لة‬
‫~ ~‬
‫‪, ‬‬
‫اإلمكانية‪, :‬‬
‫وبحل المعادلتين أما بطريقة المصفوفات أو بالمعادالت اآلنية أو بطريقة ‪ Cramer‬وباتباع أي من‬
‫هذه الطرق نتحصل على صيغة خاصة ب مقدرات اإلمكانية العظمى‪:‬‬

‫‪~  x i yi‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x i2‬‬
‫~‬
‫‪~ Y‬‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫وهي نفس صيغة مقدرة المربعات الصغرى العادية في حالة الاموذج الخطي البسةةيط أما في‬
‫الاماذج المتعددة ف تاطبق المقدرات‬
‫ومن ميزات مقدرات اإلمكانية العظمى الحصوه مقدرة التباين ‪ σ2‬ويتم العثور من المعادلة رقم‬
‫‪3‬‬

‫‪14‬‬
‫‪    X) 2  0‬‬

‫وبحل المعادلة نتحصل‬

‫‪ Yi‬‬

‫‪L‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 4‬‬

‫~‬
‫‪~‬‬
‫‪~ 2  1 (Y  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Xi )2‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n‬‬

‫وهذه هي مقدرة اإلمكانية العظمى للتباين ويمكن إن تكتب على الاحو التالي‪:‬‬
‫‪~2  1 u2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬

‫تتميز هذه المقدرة بأنها متحيزة وال تتميز بالكفاءة… وال تستخدم في العياات الصغيرة ول كن إذا‬
‫كانت العياة كبيرة يمكن استخدام مقدرة اإلمكانية العظمى للتباين‬
‫‪ 21.2‬خصائص مقدرات اإلمكانية العظمى‪:‬‬
‫ويشار أليها بالخصائص التقاربية وهي الخصائص التي تتحقق إذا كان ح جم العي اة كب ير ‪ ،‬ول كن‬
‫في االقتصاد من الصعب الحصوه على عياات كبيرة الحجم وعادة ت كون س سل زما ية من ‪22‬‬
‫إلةةي ‪ 21‬وبالتةةالي العياةةات المسةةتخدمة فةةي االقتصةةاد كلهةةا صةةغيرة الحجةةم وال تاطبةةق عليهةةا‬
‫الخصائص التقاربية‬
‫الخصائص التقاربيم ‪ Asmpotitic result‬لمقدرات اإلمكانية العظمى كما يلي‪:‬‬
‫‪ -4‬عدم التحيز التقاربي‪ :‬إذا زاد حجم العياة أي كلما اقتربت ∞→‪ n‬كلما ت شى التح يز المو جود‬
‫بالعياة الصغيرة فعلى سبيل الم ثاه م قدرة الت باين متح يزة في العي اات ال صغيرة ول كن في‬
‫العياات الكبيرة يختفي ذلك التحيز أي إن وسط توزيعها عياات ها االحت مالي ال ي ساوي القي مة‬
‫الحقيقية أما إذا ارتفي حجم العياة فن التوزيي الخاص بم قدرات العي اات المختل فة يق ترب من‬
‫التوزيي الطبيعي وتكون القيمة المتوقعة في الوسط أي غير متحيزة‬
‫‪ -2‬الكفاءة التقاربية (أدنى تباين وأعلى دقة) ‪:‬‬
‫ياخفض التباين وياخفض التحيز إذا وجد بزيادة حجم العياة وتزداد دقة المقدرات‬
‫‪ -3‬االتسةةةةةاق ‪Consistency‬‬

‫إذا زاد ح جم العي اة إ لي النها ية فان التوز يي االحت مالي للمعل مة الم قدرة يا هار ع لى القي مة‬
‫الحقيقية للمعلمة سواء كانت مقدرة الميل أو القاطي أو التباين‬
‫الملخص‪:‬‬
‫ال فروض االساسةيم توضةح إن نمةوذج االنحةدار خ طي بخطةأ معيةاري ذا وسةط صةفري وغيةر‬
‫مرتبطة مي المتغيرات المفسرة ويتميز بتباين ثابت ‪ ،‬يتوزع توزيعا طبيعيا‬
‫تتميز مقدرات م ص ع بعدم التحيز وأدنى تباين وخطية‬

‫‪12‬‬

‫تمارين‬
‫‪-4‬عرف المصطلحات التالية‪:‬‬
‫‪ -4‬الخطأ المعياري‬
‫‪ -2‬التباين‬
‫‪-2‬عدد االفتراضات ال زمة لتطبيق طريقة المربعات الصغرى العادية‬
‫للمشاهدات التالية‬
‫‪-3‬‬
‫}‪ Y={5,2,3,2,-2‬و }‪X={3,2,1,,-1,0‬‬
‫أ‪ -‬أوجدي القيم التاليم‬
‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ x ,  x y ,  x ,  y , X,Y,‬‬
‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫ب‪-‬ارسم شكل االنتشار الخاص بالمتغيرين ‪X,Y‬‬
‫ج‪-‬أوجد الخط الذي يمثل الع قة ‪ Y=a+bX‬مي الرسم‬
‫د‪-‬مالمقصود بة ‪a,b‬‬
‫هة‪ -‬حدد متوسط ‪ Y‬ومتوسط ‪ X‬على الرسم‬

‫‪ -1‬حدد دالة االنتاج التي تعبر عن الع قة بين كم ية االن تاج وعا صر االن تاج الع مل ح سب‬
‫البيانات المعطاة في الجدوه التالي‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪Q‬‬
‫المشاهدات‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬

‫‪0.58‬‬
‫‪1.10‬‬
‫‪1.20‬‬
‫‪1.30‬‬
‫‪1.95‬‬
‫‪2.55‬‬
‫‪2.60‬‬
‫‪2.90‬‬
‫‪3.45‬‬
‫‪3.50‬‬
‫‪3.60‬‬
‫‪4.10‬‬
‫‪4.35‬‬
‫‪4.40‬‬
‫‪4.50‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬

‫اذا افتر ضاا ان البيا نات يم كن و صفها بع قة خط ية ت حت ال فروض الخم سة حددي ت لك‬
‫الع قة واشرحي الع قة االقتصادية التي تربط المتغ يرات ح سب المعاد لة مي ر سم شكل‬
‫االنتشار والخط المربعات الصغرى العدية‬

‫‪13‬‬

‫تمرين ‪:‬‬
‫جدول ‪ :‬حددي نتائج االنحدار للعالقة بين الكمية المطلوبة لسلعه والسعر كما يلي‬
‫‪Y    X u‬‬

‫من البيانات التالية‬
‫السعر ‪X‬‬

‫الكميه ‪Y‬‬

‫‪211‬‬

‫‪22‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪211‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪212‬‬

‫‪21‬‬

‫‪21‬‬

‫‪22‬‬

‫‪221‬‬

‫‪21‬‬

‫‪222‬‬

‫‪21‬‬

‫‪222‬‬

‫‪22‬‬

‫‪221‬‬

‫‪21‬‬

‫‪221‬‬

‫‪ -2‬حددي معامالت النموذج‪ .‬مع رسم شكل االنتشار وخط االنحدار‬
‫‪ -2‬قومي ببناء فترة الثقه لمعامل الميل وحددي فرضية العدم و نتائج اختبار ‪ .t,F‬مستخدمة‬
‫‪ %2‬مستوى الثقة‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ -2‬حددي معامل التحديد ‪R‬‬

11

‫الفصل الثالث ‪3‬‬

‫االنحدار المتعدد‬
‫‪ 3.3‬مقدمه‬
‫‪ 3.3‬الفروض االساسيه للنموذج العام‬
‫‪ 3.3‬طريقة المربعات الصغرى وتطبيقها على النموذج العام‬
‫‪ 3.3‬خصائص مقدرات النموذج الخطي العام‬
‫‪3.3.3‬االختبارات المعنوية لالنحدار المتعدد‬
‫‪ 3.3.3‬اختبار الفرضيات المركبه‪.‬‬
‫‪ 3.3.3‬معامل التحديد‬
‫‪ 3.3.3‬مصفوفة االرتباط الجزئي‬
‫‪ 3.3.3‬تحليل التباين في االنحدار المتعدد‬
‫‪ 3.3.3‬اختبارات فحص النموذج ‪:‬‬
‫اختبار المتغيرات المضافه‪.‬‬
‫اختبار مســــاواة انحدارين‪.‬‬
‫اختبار المتغيرات المحذوفه‬

‫الصفحة الرسمية للدكتور عدنان ‪adnanalsanoy.wordpress.com‬‬

‫‪33‬‬

‫‪ 3.3‬مقدمه‬
‫نموذج االنحدار المتعدد ويســمى أحيانا النموذج الخطي العام هو امتداد للنموذج البســيط حيث‬
‫انه يتضمن اكثر من متغير مســتقل واحد‪ ،‬في حالة النموذج البســيط كان األمر يعتمد على‬
‫متغيرين متغير تابع واآلخر متغير مســتقل‪ ،‬لكن في حالة النموذج العام قد يتضمن عدد من‬
‫المتغيرات من بينها قد يكون هناك تابع واحد والعديد من المتغيرات المستقلة‪.‬‬
‫‪Yi   0   1 X1   2 X 2 ..... k X k  u i‬‬

‫المتغيرات المستقلة هي ‪ X2 X1‬الى ‪ Xk‬و‬

‫‪0‬‬

‫‪ ‬هي القاطع ‪ .‬أي ن موذج يت ضمن اك ثر من‬

‫متغيرين يعتبر نموذج انحدار متعدد مثل نموذج االستهالك قد يتضمن التالي‪-:‬‬
‫‪Yi   0   1 X1   2 X 2   3 X 3  u i‬‬

‫حيث ‪ YI‬تمثل االستهالك و ‪ X1‬تمثل الدخل و‪ X2‬تمثل السعر‪ X 3‬ال ثروة‪ .‬أن الن ماذج المت عددة‬
‫تكون هي الحالة السائدة باالقتصاد حيث ا نه من الع سير إن ت جد متغ ير ن حدده بأ نه هو المتغ ير‬
‫التابع ومفسر من قبل متغير مفسر واحد هو ا لذي يؤثر ع لى المتغ ير ال تابع‪ ،‬ف في ال عادة يتو قع‬
‫كثير من التأثيرات‪.‬‬
‫في العادة تكون ‪ β1‬مضروبة في ‪ 1‬وذلك للحصول ع لى ال قاطع‪ .‬وتم ثل‪ β1 β2 β3‬معل مة الم يل‬
‫والتــي تمثــل مــدا اســتجابة المتغيــر التــابع للتغيــرات فــي و ‪ X1‬و‪ X2‬و‪ . X 3‬يتضــمن نمــوذج‬
‫االنحدار عدد من المتغيرات المستقلة يساوي ‪. K-1‬‬
‫تكثر النماذج المتعددة في اال قتصاد ال نه من العسير أن نجد متغير تابع مفس ــر من ق بل متغ ير‬
‫واحد فقط أي متغير واحد هو الذي يؤثر ع لى المتغ ير ال تابع‪ .‬نتو قع كث ير من ال تأثيرات فدوال‬
‫االستهالك على سبيل المثال تتأثر بمتغ ير ا لدخل‪ ،‬ال ثروة وال سعر‪ .‬فت كاد ت كون ن ماذج االن حدار‬
‫المتعدد او العام هي الحالة العامة وليس االستثناء‪ ،‬االستثناء هو النموذج البســـيط‪.‬‬
‫‪ 3.3‬الفروض االساسيه للنموذج العام‪:‬‬
‫هي نفس الفروض التي يستند عليها النموذج البسيط لكي نتحصل على النموذج المقدر‪:‬‬
‫‪ uI -1‬يتوزع طبيعيا‪.‬‬
‫‪E( u i )  0 -2‬‬

‫وس ــط ي ساوي ال صفر‪ .‬أي ا نه ليس ه ناك خ طأ تحد يد‪ ،‬وبال تالي نتو قع أن‬

‫تكون المقدرات غير متحيزة‪.‬‬

‫‪33‬‬
‫‪ -3‬ي ضيف الـى اف تراض افتـراض ث بات التبـاين فرض ي ـمل ث بات التبـاين وان عدام التغـاير‬
‫‪ COV( u i , u j )  0‬عنـــــدما تكـــــون ‪ . ij‬وبالمقابـــــل لـــــو كانـــــت ‪i‬‬

‫=‪ j‬فـــــان‬

‫‪COV (ui , u j )  COV (ui , u j )  V (ui )2‬‬

‫‪ -4‬المتغيرات المستقلة غير ع وائية إي ثابتة في المعاينات المتكررة‪.‬‬
‫‪ -5‬عدد الم اهدات ‪ n‬يفوق عدد المتغ يرات ‪ k‬أي أن ‪ n>K‬و يؤدي هذا إ لى در جات حر ية‬
‫‪2‬‬
‫‪n2‬‬

‫في حا لة ن موذج المتغ يرين‪ :‬ي كون الت باين‬
‫يكون التباين‬

‫‪V( u i ) ‬‬

‫في الحا لة العا مة‬

‫‪2‬‬
‫‪ V(u i ) ‬بحيث تقيس ‪ K‬عدد المتغيرات المتضمنة في الن موذج‬
‫‪nk‬‬

‫كافه‪ ،‬وكلما كانت‬

‫‪ n>k‬يؤدي إلى المزيد من در جات الحر ية وبال تالي إ لى المز يد من‬

‫دقة القياس‪ .‬حيث يستعمل التباين في قياس دقة المقدرات فكلما كان التباين قليل كلما كان‬
‫األمر افضل‪ ،‬إذا كانت‬

‫‪n>k‬‬

‫النتيجة سيكون المقام كبير و تقل قيمة مقدرة الت باين ‪ 2‬‬

‫وكلما قل تباين ‪  2‬كلما تحسن قياسها‪.‬‬
‫‪ -6‬ال توجد عالقة خطيه بين المتغيرات المستقلة‪ ،‬على سبيل المثال ال توجد عال قة بين ‪X1 , X2‬‬

‫كالتالي‪:‬‬
‫‪X2  X3‬‬

‫‪X 3  2X 4‬‬

‫أو‬

‫أو‬

‫‪X2  X3  X4‬‬

‫هذه عالقات خط يه يف ترض أن ها ال تو جد الح ظي أن نا ن حدد المتغ يرات الم ستقلة ف قط وبعال قة‬
‫خطيه إي انه ال يوجد اعتراض على العال قات الغ ير خط يه‪ .‬وال يو جد اع تراض ع لى العال قة‬
‫القو ية بين المتغ ير الم ستق ل والمتغ ير ال تابع في الوا قع ي فض أن ي كون ه ناك عال قة قو ية بين‬
‫المتغ ير الم ستقل والمتغ ير ال تابع‪ ،‬ول كن ال ي كون ه ناك عال قات قو ية تربط بين المتغ يرات‬
‫المستقلة بعضها مع بعض ال نه يترتب عليها ئ في غا ية الخ طورة وبال حد األق صى يم كن أن‬
‫يؤدي إلى انهيار طريقة المربعات الصغرا‪.‬‬
‫ال توجـــد عالقـــة خطيـــه محـــدده بـــين المتغيـــرات المفســـرة‪ .‬علـــى ســـبيل المثـــال إذا كانـــت‬
‫‪ 2X1  X 2  4‬فإن نا ن ستطيع أن نع بر عن ‪ X2‬بقي مه لـ ‪ X1‬ويم كن ا ستخدامها في عال قة‬
‫االنحدار‬

‫‪X 2  4  2X1‬‬

‫‪Y     1 X 1   2 ( 4  2X 1 )  u‬‬
‫‪Y  (  4 2 )  (1  2 2 )X 1  u‬‬

‫‪33‬‬
‫نستطيع أن نقدر القيم بين األقواس وال نستطيع أن نقدر المعالم ‪  1 ,  2 , ‬بمفردها‪.‬‬

‫للحصول على النموذج المقدر نتبع إحدا الطرق التالية‪-1 :‬طريقة المربعات الصغرا‪.‬‬
‫‪-2‬طريقة اإلمكانية العظمى‪.‬‬
‫‪ 3.3‬طريقة المربعات الصغرى وتطبيقها على النموذج العام‪:‬‬
‫المعيار الذي تعتمد علية المربعات الصغرا في الحصول ع لى الم قدرات ح يث يتط لب المع يار‬
‫ت صغير مج موع مرب عات ال بواقي أ لي أد نى قي مه ل ها‪ .‬اخت بار م قدرات تع طي مرب عات بواقي‬
‫تعطي أدنى مجموع من بين هذه المجاميع أي أن المعيار تصغير‬

‫‪ u i2‬‬

‫أي تحويل مربعات البواقي ألي كل تظهر فيه المقدرات المراد الحصول عليها ويتسنى ذلك‬
‫بإعادة كتابة المعيار على النحو التالي‪:‬‬
‫‪ ˆ 0  ˆ 1 X1 .....ˆ k X k ) 2‬‬

‫‪ u i2   (Yi‬‬

‫تفاضل البواقي بالنسبه لـ ‪  0‬ويساوا بالصفر ويعاد كذلك لقيم ‪  1 ,  2 ...  k‬وهكذا‬
‫‪  u i2‬‬
‫‪ 2 (YI  ˆ 1 X 1  ˆ 2 X 2 ...ˆ K X K )  0‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬

‫‪  u i2‬‬
‫‪ 2 X I1 (YI  ˆ 0  ˆ 2 X 2  ˆ 3 X 3 ...ˆ K X K )  0‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪1‬‬

‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪  u i2‬‬
‫‪ 2 X IK (YI  ˆ 0  ˆ 2 X 2  ˆ 3 X 3 ...ˆ K X K )  0‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪K‬‬

‫بفك األقواس والقسمة على ‪ 2‬وإعادة كتابة المعادالت الطبيعية مقابلة للنموذج الخطي العام‬
‫‪Yi   0  1 X1   2 X 2  u i‬‬

‫‪ u i2   (Yi  ˆ 0  ˆ 1X1  ˆ 2 X 2 )2‬‬
‫نحصل على مقدرات النموذج العام وعلى سبيل المثال سنكتفي بنموذج بثالث متغيرات‬

33

 YI

 nˆ 0  ˆ 1  X 1i  ˆ 2  X 2i

 X 1I Y  ˆ 0  X 1I

 ˆ 1  X 12I  ˆ 2  X 1I X 2 I

 X 2 I Y  ˆ 0  X 21I

 ˆ 1  X 1I X 2 I  ˆ 2  X 22 I

‫وباستخدام االنحرافات نتحصل على‬
( x y )( x2 )  ( x2 y )( x1 x2 )
ˆ1   1 
2
2
2
2

( x1 )( x2 )  ( x1 x2 )

( x y )( x1 )  ( x1 y )( x1 x2 )
ˆ2   2 
2
2
2
2

( x1 )( x2 )  ( x1 x2 )

ˆ0  Y  ˆ1 X 1  ˆ2 X 2

X1

Y
40
44
46
48
52
58
60
68
74
80
570

6
10
12
14
16
18
22
24
26
32
180

y

X2
4
4
5
7
9
12
14
20
21
24
120

x1

-17
-13
-11
-9
-5
+1
+3
+11
+17
+23
0

-12
-8
-6
-4
-2
0
+4
+6
+8
+14

x2
-8
-8
-7
-5
-3
0
+2
+8
+9
+12
0

x1 y
204
104
66
36
10
0
12
66
136
322
956

x 2 y x1 x 2
136
104
77
45
15
0
6
88
153
276
900

96
64
42
20
6
0
8
48
72
168
524

x 21
144
64
36
16
4
0
16
36
64
196
576

x 22
64
64
49
25
9
0
4
64
81
144
504

2
  (  x 1 y)(  x 2 )  (  x 2 y)(  x 1 x 2 )  ( 956)(504)  ( 900)(524)  0.65
1
(  x 12 )(  x 22 )  (  x 1 x 2 ) 2
(576)(504)  (524) 2
2
  (  x 2 y)(  x 1 )  (  x 1 y)(  x 1 x 2 )  ( 900)(576)  ( 956)(524)  111
.
1
(  x 12 )(  x 22 )  (  x 1 x 2 ) 2
(576)(504)  (524) 2
  Y   X   X  57  (0.65)(18)  (111
. )(12)  31.98
0

1

1

2

2

  3198
Y
.  0.65X 1i  110
. X 2i  u
1

‫‪33‬‬

‫‪ 3.6.3‬ختبار الفرضيات ‪:‬‬

‫الختبار الفرضيات الخاص بمعالم النموذج المقدر نتحصل أوال على تباين المقدرات والذي‬
‫يساوي‪:‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ x 1  x 2  ( x 1 x 2‬‬

‫‪V( 1 )   2‬‬

‫‪ x1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ x 1  x 2  ( x 1 x 2‬‬

‫‪V( 2 )   2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ui‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪2‬‬

‫تباين البواقي يساوي‬

‫‪2 ‬‬

‫‪2‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪V( 1 ) ‬‬
‫‪n  k  x 12  x 22  (  x 1 x 2 ) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x1‬‬
‫‪u‬‬
‫‪V( 2 ) ‬‬
‫‪n  k  x 12  x 22  (  x 1 x 2 ) 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪u‬‬
‫‪x22‬‬
‫‪13.67‬‬
‫‪504‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫‪V ( 1 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.06‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  k  x1  x2  ( x1 x2 ) 10  3 (576)(504)  (524) 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪u‬‬
‫‪13.67‬‬
‫‪576‬‬
‫‪ x12‬‬
‫‪V ( ˆ2 )  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.07‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  k  x1  x2  ( x1 x2 ) 10  3 (576)(504)  (524) 2‬‬
‫‪2‬‬

‫ويكون االنحراف المعياري كما يلي‪:‬‬
‫‪Se( 1 )  V( 1 )  0.06  0.24‬‬
‫‪Se( 2 )  V( 2 )  0.07  0.27‬‬

‫وباستخدام اختبار ‪ t‬الختبار فرضية العدم والتي تفترض انه ال يوجد عالقة أي أن‬
‫‪H 0 :1  0‬‬
‫‪H A :1  0‬‬

‫وكذلك‬
‫‪H 0: 2  0‬‬
‫‪H A : 2  0‬‬



Documents similaires


1 s2 0 s0301211505001739 main
jean daniel rolle
27 09 11h45 analyse de la variance suite lemdani n83
an assessment of the surgical apgar score in spine surgery
ch1
krueger 2002 unskilled