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MASTER MMSP

T11
TRAITEMENT NUMERIQUE DES EQUATIONS AUX
DERIVEES PARTIELLES
Paul Lipinski
ENIM

23/10/2006

P. Lipinski

1

1. BASES MATHEMATIQUES
1.1

Définitions

Déf.1 : Opérateur P
Une application P qui transforme certain ensemble D de l’espace vectoriel V, appelé
domaine de P, en un autre espace vectoriel U s’appelle opérateur.
P :V → U

Déf.2 : Opérateur linéaire L
L’opérateur P est linéaire P ≡ L si et seulement si, ∀α , β ∈ R et ∀a, b ∈V
L(α a + β b) = α La + β Lb

23/10/2006

P. Lipinski

2

Déf.3 : Opérateur adjoint à L
L† est un opérateur adjoint de L si ∀a, b ∈V

La, b = L† b, a
•, • désigne ici le produit scalaire de deux éléments de l’espace vectoriel V.

Déf.4 : Opérateur auto - adjoint ou symétrique
L’opérateur L est symétrique si , ∀a, b ∈V :
La, b = Lb, a

Déf.5 : Opérateur défini - positif
L’opérateur L est défini, positif si et seulement si, ∀a ∈V :
La, a ≥ 0
l’égalité prenant place si a = 0

La, a = 0

23/10/2006

⇔ a=0

P. Lipinski

3

1.2 Position du problème
L - un opérateur symétrique, défini, positif sur un espace euclidien des fonctions E.
f - fonction bornée, définie de même dans E.
Problème 1
Déterminer la fonction u vérifiant (P1) et les conditions aux limites associées.
(P1)

Lu = f

dans

D=V (domaine de L)

Bu = b sur ∂V =S .

D=V

∂D = S

Conditions aux limites appliquées sur ∂D = S (frontière du domaine)
B - un opérateur linéaire
b - une autre fonction de E.

23/10/2006

P. Lipinski

4

Théorème 1 : Unicité de la solution
La solution du problème (P1), si elle existe, est unique.

Démonstration
Supposons qu’il existent deux solutions u1 et u2 telles que :
Lu1 = Lu2 = f

dans

V

Construisons
ud = u1 − u2
L opérateur linéaire
Lud = L ( u1 − u2 ) = Lu1 − Lu2 = f − f = 0


Lud , ud = 0

L - défini, positif (par hypothèse)
Lud , ud = 0

⇔ ud = 0

soit u1 = u2 (solution unique).

CQFD
23/10/2006

P. Lipinski

5

1.3 Construction d’une solution approchée
1.3.1 Définition des systèmes orthogonaux
Soient X ∈E et Y ∈E
On dit qu'ils sont orthogonaux quand: :
X ,Y = 0

On note cette propriété X ⊥ Y .

φ = {ϕ i }i∈I - une famille d’éléments de l’espace euclidien E indexée par l’ensemble I.
φ est un système orthogonal (orthonormal) quand les éléments ϕi de la famille φ sont de
norme 1 et orthogonaux deux à deux

ϕi ,ϕ j = δ ij ∀ϕi ,ϕ j ∈ φ
1
0

δ ij = 

si i = j
si i ≠ j

delta Kronecker

∀X ∈E on peut associer à X la famille de nombres réels {ci }i∈I obtenus au moyen des

produits scalaires par les éléments ϕ i de la famille φ .
ci = X ,ϕ i

coefficients de Fourier

ci - projections de X sur φ
ci - composantes de X dans φ (car φ = {ϕ i }i∈I - système orthogonal)

23/10/2006

P. Lipinski

6

I.3.2 Systèmes orthogonaux finis

ϕ1 ,ϕ 2 ,.....,ϕ K - un système orthogonal fini (ou partie finie d’un système orthogonal quelconque)
Soit X K - un élément de E obtenu par combinaison linéaire de ϕ i , tel que :
K

X K = ∑ γ iϕ i ≡γ iϕ i (convention d’Einstein)
i =1

On vérifie les propriétés suivantes :

a) X K ,ϕi = γ jϕ j ,ϕi = γ. j ϕ j ,ϕi = γ jδ ij = γ i

γi - les coefficients de Fourier de X K .

b) X K

2

= X K , X K = ϕ iγ i , γ jϕ j = γ iγ j ϕ i ,ϕ j = γ i γ jδ ij = γ iγ i

norme de l’élément X K vaut

23/10/2006

γ iγ i .

P. Lipinski

7

1.3.3 Définition d’une approximation
Etant donné un élément ∀X ∈E , on se pose la question d’approximation suivante :

Parmi les combinaisons linéaires X K = γ iϕ i des éléments du système orthogonal fini

ϕ1 ,ϕ 2 ,.....,ϕ K , en existe-t-il une qui approche X ∈E mieux que toutes les autres ?

Théorème 2 : Existence d’une meilleure approximation

X ∈ E - élément d'espace Euclidien
c1, c2,…,cK - coefficients de Fourier de X par rapport au système orthonormal fini ϕ1 ,ϕ 2 ,.....,ϕ K .
a) La distance δ entre X et ciϕ i vérifie l’inégalité suivante :

δ = X − ciϕ i ≤ X − γ iϕ i

∀γ i ∈ R

b) La norme de l’élément X vaut :

X

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2

= ci ci + δ 2

P. Lipinski

8

Démonstration
Evaluons la distance entre X et X K = γ iϕ i

X −XK

2

= X − γ iϕ i , X − γ l ϕ l = X , X − γ l X , ϕ l − γ i ϕ i , X + γ i γ l ϕ i , ϕ l =
X

X
X

X

2

2

− 2γ i ϕ i , X + γ iγ l δ il = X

2

− 2γ i ϕ i , X + γ iγ i =

− 2γ i ϕi , X + γ iγ i + ci ci − ci ci =

2

− 2γ i ci + γ iγ i + ci ci − ci ci =

2

+ (γ i − ci )(γ i − ci ) − ci ci

Alors :
X −XK

2

≥ X

2

− ci ci

(γ i − ci )(γ i − ci ) ≥ 0

car

ou encore :

X − γ iϕ i

23/10/2006

2

= X

2

+ (γ i − ci )(γ i − ci ) − ci ci ≥ X

P. Lipinski

2

− ci ci

9

Si γ i = ci alors nous avons une égalité

δ 2 = X − ciϕi

2

= X

2

− ci ci

ou

X

2

= δ 2 + ci ci (partie b) du théorème)

Par conséquent :

X − γ iϕ i

2

= X − ciϕ i

2

+ (γ i − ci )(γ i − ci )

alors
X − ciϕi ≤ X − γ iϕ i (partie a) du théorème)

CQFD
Conclusion :
La combinaison ciϕ i apparaît la plus proche de X parmi toutes les combinaisons
linéaires X K = γ iϕ i .
23/10/2006

P. Lipinski

10

Comment trouver la meilleure approximation ?

Soient :
-

E un espace métrique (muni d’une notion de la distance)
J un sous-espace de E
Déf.6 : Meilleure approximation
X

Chercher à approcher un élément X ∈ E par un élément Y ∈ J
c’est déterminer Y ∈ J tel que :

δ
Y

δ ( X , Y ) = min δ ( X , Z )

J

∀Z ∈J

E

ou encore

δ ( X , Y ) = X − Y = min X − Z
∀Z ∈J

23/10/2006

P. Lipinski

11

Théorème 3 : Meilleure approximation
La condition nécessaire et suffisante pour que Y ∈ J soit une meilleure approximation de
X ∈E est :
X −Y,Z = 0
∀Z ∈ J
(Méthode 1)

Démonstration
a) condition nécessaire

Soit Y ∈ J la meilleure approximation de X ∈E
Supposons qu’il existe Z1 ∈ J vérifiant

X − Y , Z1 = C ≠ 0

C∈R

Construisons
Z2 = Y +

Alors :

X − Z2

2

= X − Z2 , X − Z2 = X − Y −

C
Z1
Z1 , Z1

C
C
Z1 , X − Y −
Z1 =
Z1 , Z1
Z1 , Z1

C
X −Y, X −Y − 2
Z1 , Z1

23/10/2006

Z1 , X − Y +

P. Lipinski

C2
Z1 , Z1

2

Z1 , Z1

12

puisque X − Y , Z i = C
2

X − Z2

= X −Y



2

C2
C2
−2
+
= X −Y
Z1 , Z1
Z1 , Z1
X − Z2

2

≤ X −Y

¨2

C2

Z1 , Z1

2

Ceci est contradictoire avec l’hypothèse que Y est la meilleure
approximation de X





C =0

Z2 = Y

b) condition suffisante

Soit Y ∈ J tel que X − Y , Z = 0
X −Z

2

∀Z ∈ J

= X − Z, X − Z =

X −Y − Z +Y, X −Y − Z +Y =

X − Y , X − Y + 2 X − Y ,Y − Z + Z − Y , Z − Y

23/10/2006

P. Lipinski

13

Puisque Y − Z ∈ J

X −Z

2



X − Y ,Y − Z = 0 .

= X −Y, X −Y + Z −Y,Z −Y = X −Y

2

+ Z −Y

2

ou encore :
X −Y ≤ X − Z

définition de la meilleure approximation

CQFD

23/10/2006

P. Lipinski

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Théorème 4 : Unicité de la meilleure approximation
La meilleure approximation est unique.

Démonstration

Soient Y1 ∈ J et Y2 ∈ J deux meilleures approximations de X ∈E

X − Y1 , Z = X − Y2 , Z = 0

∀Z ∈ J

Prennons en particulier Z = Y1 − Y2

Z

2

= Z , Z = Y1 − Y2 , Y1 − Y2 =

Y1 − X + X − Y2 , Y1 − Y2 =
Y1 − X , Y1 − Y2 − Y2 − X , Y1 − Y2 =
Y1 − X , Z − Y2 − X , Z = 0 − 0 = 0
Z =0



Y1 = Y2

CQFD
23/10/2006

P. Lipinski

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Remarques

1. La meilleure approximation est unique pour un choix donné de sous-espace J. En
changeant ce sous-espace J nous changeons la meilleure approximation de X ∈ E .
2. Dans la suite du cours, la différence X − Y figurant dans (Méthode 1) est appelée
erreur ou résidu et est notée R
R = X −Y

3. L’élément Z figurant dans la même équation est fréquemment nommé poids. Il en résulte
que cette équation prend la forme

R, Z = 0

∀Z ∈ J

(Méthode 2)

4. Cette équation est interprétée comme le problème d’orthogonalisation du résidu R par
rapport à un poids Z.

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P. Lipinski

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