SERIE 2 4 ème M.(limite continuité) .pdf



Nom original: SERIE 2 - 4 ème M.(limite-continuité).pdfTitre: Exercice :Auteur: Boubaker Tabbabi

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L.S.C.J.Gafsa

SERIE N°2 ( limites-continuité 4è.M)

Exercice 1 :
On considère la fonction f définie sur


1
2
1  x sin  
par f ( x )  
 x
1  x  x 3






si x < 0
si x  0

( C ) est la courbe de f dans un repère orthonormé O, i, j .
f ( x)
.Interpréter graphiquement ces résultats.
x
sin x
2.On considère la fonction définie sur IR * par u ( x) 
.
x
1
a.Vérifier que pour tout x<0 on a : f ( x)  1  x.u   .
x
1
b.Calculer lim u   et en déduire lim f ( x) .
x 
x 
x
3.a.Vérifier que pour tout x < 0 on a : 1  x 2  f ( x )  1  x 2 .

1.Calculer lim f ( x) et lim

x 

x 

b.Calculer alors lim f ( x ).
x 0 

c.Etudier la continuité de f en 0.
d.Montrer que f est continue sur IR.
4.a.Montrer que l’équation f(x) = 0 admet dans 0,1 une solution unique  .
b. Vérifier que 1   2 

1



.

x 1
5.Etudier chacune des limites suivantes : lim f 

x 
 x 1 
Exercice 2 :

Dans la figure ci-contre,on a tracé les courbes
(C f ) et (C g ) de deux fonctions f et g dans un





repère orthonormé O, i, j .
Chacune des deux courbes admet deux
asymptotes.
1.Par lecture graphique :
f ( x)
a.Donner lim f ( x) , lim
,
x 
x 
x
lim g ( x) et lim g ( x) .
x 2

x 

b.Déterminer g  2,   et f

 , 2  .

c.Calculer lim f g ( x) et lim f g ( x) .
x 2

x 

5
2.On donne g    0
2
a.Vérifier que f g est continue sur 2,  .

b.Montrer que l’équation f g ( x) 

3
2

5 
admet dans  ,3 une solution unique.
2 

 x 1

et lim f 
.
x 1
 x 1
+

B.Tabbabi

Exercice 3 :
On considère la fonction f définie sur

 x 3  x  1
par f ( x ) = 
2
 1  4x  x

si x  0



.

si x > 0



( C ) désigne la courbe de f dans le plan muni d'un repère orthonormé O , i , j .

f (x )
.Interpréter ces résultats graphiquement.
x
2.Montrer que ( C ) admet en +  une asymptote oblique  dont on donnera une équation.
3.Etudier la continuité de f en 0 puis sur .
4.a.Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet dans  1 ,0  une solution unique  .
1.Calculer lim f (x ) et lim

x 

x 

b.Montrer que 

1

 1  2 .



c.Vérifier que pour tout réel x de



d.En déduire que la fonction g: x

 , 0



1

on a : f ( x )   x     x 2   x   .



1 x  x 3
est prolongeable par continuité en  .
x 

Exercice 4 :
Répondre par vrai ou faux en justifiant.
1.Si la fonction f est continue en un réel a alors f est continue en a.
2.f est une fonction continue sur IR.
a.Si l’équation f ( x)  x admet une solution dans IR alors l’équation f
b. Si l’équation f

f ( x)  x admet une solution dans IR.

f ( x)  x admet une solution dans IR alors l’équation f ( x)  x admet une solution dans IR

3.On donne ,ci-dessous le tableau de variation d’une fonction f définie et continue sur IR\ 1 .
x




0



1




f

1

0

a.L’équation f ( x)  0 admet dans IR\ 1 exactement deux solutions.
b. f

 ,1   0,  .

c.Pour tout réel x différent de 1,on a : f ( x)  x.
d.Pour tout x<1 on a : f ( x)  x  1.
e. La courbe de f admet exactement deux asymptotes.

* * * ** * * *

Exercice 3:





Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, u, v .
On note A et B les points d’affixes respectives i et –i.
A tout point M d’affixe z  i,on associe le point M’ d’affixe z ' 

iz  1
.
z i

i( z  i)
.
z i
b.Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que z’ est réel.
c.Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que z’ est imaginaire pur.
d.Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que |z’| = 1.
2
2.a.Vérifier que pour tout z  i on a : | z’- i| 
.
z i

1.a.Vérifier que z ' 

b.En déduire que si M varie sur le cercle de centre A et de rayon 2 ,le point M’ varie sur le même cercle.
b.En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ est un réel négatif.
iz  1
3.a.Vérifier que pour tout nombre complexe z différent de i on a : z '  i
iz  1

b.Soit  un réel différent de 2k ; k  .On pose z  ei .Montrer que z’ est réel.
2
c.En déduire l’ensemble sur lequel varie le point M’ lorsque M varie sur le cercle trigonométrique.

Exercice 3 : ( 6 points )





Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, u, v .
Soit z un nombre complexe non nul.

8
8
et zD  .

z
1.Montrer que si z est un nombre réel alors les points A,B,C et D sont alignés.
2.Dans la suite de l’exercice,on suppose que z n’est pas réel.
Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si z 3  4 z 2  8z  8  0 .
3.a.Vérifier que z 3  4 z 2  8 z  8  ( z  2)( z ²  2 z  4) puis résoudre dans
l’équation z 3  4 z 2  8z  8  0 .
b.En déduire les valeurs de z pour lesquelles ABCD est un parallélogramme.
On considère les points A , B , C et D d’affixes respectives z A  4, zB  z, zC 

voir verso 
4.a.Vérifier que

z
z
zD
z
 2 C et que A  4 C .
zA
zD
zB
zD





b.En déduire que la demi-droite [OD) est une bissectrice de l’angle orienté OA, OC et que la demi-droite





[OA) est une bissectrice de l’angle orienté OB, OD .
c.Montrer que les deux vecteurs OC et OD sont orthogonaux si et seulement si z est imaginaire pur.
Que peut-on alors dire des points O,B et D dans ce cas ?
Exercice 4 : ( 6 points )


 a0  1 ; b0  2

an2
; n  IN
On considère les deux suites réelles ( an ) et (bn ) définies sur IN par  an 1 
an  bn


bn2
bn 1 
; n  IN
an  bn


1.a.Montrer que pour tout n de IN on a : an  0 et bn  0 .
b.Montrer que les deux suites ( an ) et (bn ) sont décroissantes.
c.En déduire que les deux suites ( an ) et (bn ) sont convergentes.
d.On note l  lim an et l’  lim bn .Montrer que ll '  0 .
n 

n 

2.On considère la suite réelle (un ) définie sur IN par un  an  bn .
a.Montrer que la suite  un  est constante.
b.En déduire les valeurs de l et l’.

3.Soit la suite (vn ) définie sur IN par vn 

an
.
bn

a.Vérifier que vn 1  vn2 .
1
b.Montrer par récurrence que pour tout n de IN on a vn   
2

2 
n

puis calculer lim vn .
n

* * * * * * * * * * *

Bon travail


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