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esum´
e de cours : Nombres complexes.
Forme trigonom´
etrique d’un nombre complexe non nul

Forme alg´
ebrique d’un nombre complexe

Soit z un nombre complexe non nul de module r et dont un argument
est θ,
l’´ecriture z = r ( cos θ + i sin θ) est appel´ee forme trigonom´etrique de z .
Soit z = a + i b , avec a et b r´eels, un complexe non nul.
Si |z| = r et si arg(z) = θ[2π] alors a = r cos θ et b = r sin θ.

Tout nombre complexe z s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme ( dite
u a et b sont des r´eels.
alg´ebrique ) : z = a + i b o`
Le r´eel a est appel´e partie r´eelle de z et est not´e Re(z). Le r´eel b est
appel´e partie imaginaire de z et est not´e Im(z).
z est r´eel ⇔ b = 0 ; z est imaginaire pur ⇔ a = 0.
Le complexe 0 est `
a la fois r´eel et imaginaire pur.

Conjugu´
e d’un nombre complexe
On appelle conjugu´e du complexe z = a +i b , a et b r´eels, le complexe
not´e z et d´efini par : z = a − i b .
Les images de deux complexes conjugu´es sont sym´etriques par rapport `
a l’axe des abscisses (appel´e souvent axe des r´eels).
z +z = 2Re(z) ; z −z = 2i Im(z) ; z = z et zz = x 2 + y 2 , o`
u z = x +i y avec
x, y ∈ R.
z + z ′ = z + z ′ ; zz ′ = zz ′ ; z n = z n et


³z´

z′

=

z











r=

p

a 2 + b 2 ; cos θ =

a
b
; sin θ =
r
r

Forme algébrique

Forme trigonométrique

z = a + i b, a, b ∈ R,

z = r (cos θ + i sin θ), r > 0
a = r cos θ

;

b = r sin θ

Formes exponentielle d’un nombre complexe non nul
Pour tout r´eel θ on pose : e i θ = cos θ + i sinθ. Si z est un nombre complexe non nul de module r et dont un argument est θ, on appelle forme
exponentielle de z l’ ´ecriture : z = r e i θ .

.

z′

′′
′ ′′

Si z = z + i z avec z , z ∈ C alors z = z − i z ′′

Remarques
Si ρ et θ sont des r´eels quelconques et si z = ρe i θ , la forme exponentielle
de z
n’est pas toujours ρe i θ .
si ρ > 0, la forme exponentielle de z est ρe i θ ;
si ρ < 0, la forme exponentielle de z est −ρe i (π+θ) ;
si ρ = 0, z = 0 et la forme exponentielle de z n’existe pas.

Module et arguments d’un nombre complexe non nul
Soit z un nombre complexe
nul
¡ non #»
¢ d’image M dans le plan muni
d’un rep`ere orthonormal direct O; #»
u , v , et soit (r, θ) un couple de coordonn´ees polaires du point M dans (O; #»
u ).
le r´eel r est appel´e module de z et not´e |z| ;
le r´eel θ est appel´e argument de z et not´e arg(z). On a donc :
# »

|z| = r = OM ; arg(z) ≡ (á
u ; OM)[2π].
Le complexe 0 a pour module 0 mais n’a pas d’argument.
Tout complexe non nul z a une infinit´e d’arguments. Si θ est l’un
d’eux, tout autre argument de z est de la forme θ + 2kπ, k ∈ Z .

Pour montrer qu’un nombre complexe est r´
eel
?
?
?
?
?
?

on peut :
montrer que sa partie imaginaire est nulle ;
montrer qu’il est ´egal `
a son conjugu´e ;
montrer qu’il est nul ou que son argument est kπ, k ∈ Z.

Pour montrer qu’un nombre complexe est imaginaire pur
?
?
?
?
?
?
?

on peut :
montrer que sa partie r´eelle est nulle ;
montrer qu’il est ´egal `
a l’oppos´e de son conjugu´e ;
π
montrer qu’il est nul ou que son argument est + kπ, k ∈ Z.
2

Formules d’Euler
cos θ =

e i θ + e −i θ
;
2

sin θ =

e i θ − e −i θ
.
2i

Cons´
equences



A , B et C ´
etant trois points distincts du plan :
³ # » # »´
zc − z A
A , B et C sont align´
es ⇔
∈ R ⇔ det AB, AC = 0 ⇔
zB − z A
µ

zc − z A
arg
= kπ, k ∈ Z.
zB − z A
zc − z A

les droites (AB ) et (AC ) sont perpendiculaires ⇔
∈ iR ⇔
zB − z A
µ

π
zc − z A
#»#»
AB . AC = 0 ⇔ arg
= kπ + , k ∈ Z
zB − z A
2

Th´
eor`
eme :

Formule de Moivre
Pour tout r´eel θ et pour tout entier naturel n : [cos (θ) + i sin (θ)]n =
cos (nθ) + i sin (nθ)

L’´equation z n = 1 (n ∈ N∗ ) admet dans C n solutions distinctes deux
³ 2i π ´k
2i kπ
a deux, appel´ees les racine n i`eme de l’unit´e qui sont : e n = e n
`
avec
k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.

Si on pose z k = e

2i kπ
n

alors on a : z n−k = z k =

z 0 × z 1 × . . . × z n−1 = (−1)n−1 .

1
, z 0 + z 1 + . . . z n−1 = 0 et
zk

Cons´
equences
Pour ´ecrire 1+e i θ et 1−e i θ (θ ∈ R) sous la forme ρ e i α , avec (ρ, α) ∈ R2 ,
θ
on peut factoriser par e i 2 :


e +1 = e

i θ2

µ ¶
µ ¶ ¡
³ θ
´
³ θ
´
θ
θ
θ iθ
θ i θ+π¢
i2
i
−i θ2
i
θ
i
i
e +e
= 2 cos
e 2 ; e −1 = e 2 e 2 − e 2 = 2 sin
e 2 2
2
2
π

i = ei 2 ;

−1 = e i π ;

π

−i = e −i 2

Distances et angles orient´
es


Soient A , B et C ¯trois points
distincts du plan
¯
¯ zC − z A ¯ AC
¯=
|z B − z A | = AB ; ¯¯
¯

zB − z A
AB
³ # »´
³á
# »´

Mesure de l’angle u , AB est ´egale `
a : #»
u , AB ≡ arg (z B − z A ) [2π]
µ

³ # » # »´
³á
zC − z A
# » # »´
Mesure de l’angle AB , AC est ´egale `
a : AB , AC ≡ arg
[2π]
zB − z A

Th´
eor`
eme :
Soit U = ρe i α avec ρ > 0. L’´equation z n = U (n ∈ N∗ ) admet dans C
n solutions distinctes deux `
a deux, appel´ees les racine n i`eme de U qui
i (α+2kπ)
sont : e n avec k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.

Equation du second degr´
e`
a coefficients complexes
Soit (E ) l’´equation az 2 + bz + c = 0, a 6= 0. Soit ∆ = b 2 − 4ac le discriminant de l’´equation, il existe un δ tel que δ2 = ∆ alors les solutions de

−b + δ ′′ −b − δ
,z =
.
2a
2a
2

′′
az + bz + c = a(z − z )(z − z ).
b
c
z ′ + z ′′ = − ; z ′ z ′′ = .
a
a
1 est une solution de (E ) ⇔ a + b + c = 0,
−1 est une solution de
(E ) ⇔ a − b + c = 0
Si a , b et c sont r´eels alors les solutions de (E ) sont conjugu´ees.
(E ) sont z ′ =


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