série2 complexes 2015 2016 .pdf

2015/2016
Lyc´ee EL ALIA

[ S´
erie n° 2: Nombres complexes \

2. (a) Soit K le point d’affixe 2ei

Exercice 1

− →
→
−
Soit P le plan complexe rapport´e au rep`ere O, u , v (unit´e graphique : 4 cm).

et K ′ l’image de K par F.

(b) Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. D´eterminer l’image de C2
par l’application F.
3. On d´esigne par R un point d’affixe 1 + eiθ o`
u θ ∈] − π ; π[. R appartient au
cercle C3 de centre A et de rayon 1.

et la forme exponentielle de l’affixe b ′ de B ′ .

z−1
.
z
En d´eduire que : |z ′ + 1| = |z ′ |.

(a) Montrer que z ′ + 1 =

(b) D´eterminer les affixes des points ayant pour image par f leur
sym´etrique par rapport `
a O.

(b) Si on consid`ere maintenant les points d’affixe 1 + eiθ o`
u θ ∈] − π ; π[,

2. (a) Exprimer |z ′ | et arg (z ′ ) en fonction de |z − 1| et arg (z − 1).

montrer que leurs images sont situ´ees sur une droite. On pourra utiliser

(b) Soit C le cercle de centre A et de rayon r. On suppose que M est un

le r´esultat du a..

point de C. D´eterminer |z ′ |. En d´eduire que M ′ appartient `
a un cercle
C ′ dont on pr´ecisera le centre et le rayon.
(c) Placer un point M quelconque sur le cercle de centre A et de rayon
et construire son image

5π
6

Calculer l’affixe de K ′ .

Soit A le point d’affixe 1. On note f l’application de P priv´e de A dans P qui, `
a
1
′
′
′
.
tout point M d’affixe z, associe le point M d’affixe z telle que z =
z−1
√
1. (a) Sois B le point d’affixe b = 4 + i 3. D´eterminer la forme alg´ebrique

M ′.

4° Maths

(On laissera les traits de construction,)

1
2

Exercice 3

− →
→
−
Dans le plan complexe, rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e direct O, u , v on

appelle A et B les points d’affixes respectives 2 et - 2. `
a tout point M d’affixe

Exercice 2


z, z diff´erent de 2, on associe le point N d’affixe z et M ′ d’affixe z ′ tel que
2z − 4
z′ =
z−2

→ →
−
−
O, u , v est un rep`ere orthonormal du plan P.

Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe −1.

1. Calculer z ′ et |z ′ | lorsque z = 5 puis lorsque z = 1 + i.

Soit F l’application de P priv´e de O dans P qui `
a tout point M d’affixe z distinct
−1
′
′
.
de O associe le point M = F(M) d’affixe z =
z

2. (a) Interpr´eter g´eom´etriquement |z − 2| et |z ′ − 2|.

π

1. (a) Soit E le point d’affixe ei 3 ; on appelle E ′ son image par F. D´eterminer

(b) Montrer que, pour tout z distinct de 2, |z ′ | = 2. En d´eduire une information sur la position de M ′ .

l’affixe de E ′ sous forme exponentielle, puis sous forme alg´ebrique.
(b) On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1. D´eterminer l’image de
C1 par l’application F.

- 1/3 -

3. D´eterminer l’ensemble E des points M d’affixe z (z 6= 2) tels que M ′ = B.
−−−→
−−−→
−→ et Z−−−→
4. On note Z−
, les affixes respectives des vecteurs AM et BM ′ .
AM
BM ′
Prof: Lahbib Ghaleb

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[ S´
erie n° 2: Nombres complexes \

Montrer que, pour tout point M distinct de A et n’appartenant pas `
a E, le
−−−→
AM
quotient −−−→ est un nombre r´eel. Interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.
BM ′
5. Un point M distinct de A, n’appartenant pas `
a E, ´etant donn´e, proposer

4° Maths

2. En d´eduire que A, M et M ′ sont align´es si et seulement si

z2
est un r´eel.
z−1

Exercice 5


→ −
→
une m´ethode g´eom´etriquement pour construire le point M ′ . On illustrera Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonorm´e O, −
u , v . On consid`ere
par une figure.
u
le point A d’affixe −1 et les points M, N et P d’affixes respectives z, z2 et z3 o`
z est un nombre complexe non nul diff´erent de -1 et de 1.

Exercice 4

− →
→
−
Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonormal direct O, u , v ; unit´e

graphique 2 cm. On d´esigne par A le point d’affixe zA = 1, et par (C) le cercle
de centre A et de rayon 1.
π

Partie A : Soit F le point d’affixe 2, B le point d’affixe zB = 1 + ei 3 et E le
point d’affixe (1 + z2B ).
1. (a) Montrer que le point B appartient au cercle (C).

1. (a) Montrer que : ( Le triangle MNP est rectangle en P ) si, et seulement
1+z
si
est imaginaire pur.
z
(b) On pose z = x + iy o`
u x et y sont des r´eels. Montrer que
x2 + y2 + x − iy
.
x2 + y2

1+z
=
z

(c) En d´eduire l’ensemble des points M tels que le triangle rectangle en P

−−→ −−→
(b) D´eterminer une mesure en radians de l’angle de vecteurs AF ; AB .
Placer le point B.

2. (a) D´eterminer la forme exponentielle des nombres complexes (zB − zA )

est le cercle (Γ ) de diam`etre [OA], priv´e de O et A.
2. Dans la figure de l’annexe ci-jointe, on a trac´e le cercle (Γ ) et on a plac´e un
→
−
point M d’affixe z sur (Γ ) et son projet´e orthogonal H sur l’axe O, u .
On se propose de construire les points N et P d’affixes respectives z2 et z3

et (zE − zA ).
(b) En d´eduire que les points A , B et E sont align´es.
3. Placer le point E.
Partie B : Pour tout nombre complexe z tel que z 6= 1, on consid`ere les points

M et M ′ d’affixes respectives z et z ′ o`
u z ′ = 1 + z2 .

1. Pour z 6= 0 et z 6= 1, donner, `
a l’aide des points A, M et M ′ , une inz′ − 1
terpr´etation g´eom´etrique d’un argument du nombre complexe
.
z−1
- 2/3 -

tels que le triangle MNP soit rectangle en P.




−−−
→ −−→
−\
→
−−−→
\
(a) Montrer que
OM , ON
≡
u , OM [2π].



−−\
→ −−→
→\
−
−−−→
ON , OP ≡ u , OM [2π].

Puis

que

(b) Montrer que OH = OM2 .
(c) Donner un proc´ed´e de construction des points N et P puis le construire.

Prof: Lahbib Ghaleb

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[ S´
erie n° 2: Nombres complexes \

4° Maths

1. Soit θ ∈]0, π[. R´esoudre dans C, l’´equation : z2 − 2iz − 1 − e2iθ = 0.
2. Dans le plan complexe rapport´e a
` un rep`ere orthonorm´e direct

→ −
−
→
O, u , v on consid`ere les points A, M et N d’affixes respectives −1 + i,

~v

u θ ∈]0, π[.
i + eiθ et i − eiθ o`

−−−→
−−→
(a) Montrer que les vecteurs AM et AN sont orthogonaux.

M
b

(b) Montrer que lorsque θ varie dans ]0, π[ les points M et N varient sur

A
b
b

b

O

−1 H

~u

un cercle C que l’on d´eterminera.

1

3. (a) D´eterminer en fonction de θ l’aire A(θ) du triangle AMN.
(b) D´eterminer la valeur de θ pour laquelle l’aire A(θ) est maximale et
placer dans ce cas les points M et N sur le cercle C.

Exercice 8

Exercice 6

i π πh
θ est un r´eel de l’intervalle [0, 2π[ ; on pose pour tout nombre complexe z, Soit θ ∈ − , . On consid`ere l’´equation, (Eθ ) : z2 −2(i+cos θ)z+1+2ie−iθ = 0.
2 2
fθ (z) = z2 − (i + eiθ )z + (1 + i)(−1 + eiθ )
Soit z1 et z2 les solution de (Eθ ) dans C et M1 et M2 leurs images respectives

→ −
−
→
dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonorm´e O, u , v .
1. (a) V´erifier que fθ (1 + i) = 0.
(b) En d´eduire les solutions dans C de l’´equation fθ (z) = 0

2. Dans le plan complexe rapport´e a
` un rep`ere orthonorm´e direct

√
→ −
−
→
O, u , v on consid`ere les points A, B et M d’affixes respectives -1, i 3
et −1 + eiθ .

1. Soit I le milieu du segment [M1 M2 ] et J le pont d’affixe z1 z2 .
i π πh
D´eterminer les ensembles des points I et J quand θ d´ecrit − ,
.
2 2
2. (a) V´erifier que (i + cos θ)2 − (1 + 2ie−iθ ) = −(1 + sin θ)2 .
(b) R´esoudre dans C, l’´equation (Eθ ).

(a) Montrer que lorsque θ varie dans [0, 2π[ , M varie sur un cercle C de
centre A dont on pr´ecisera le rayon.

3. On consid`ere les points A,B et C d’affixes respectifs a = i, b = e−iθ
etc = 2i + e−iθ .

(b) D´eterminer les valeurs de θ pour lesquelles la droite (BM) est tangente
au cercle C.

(a) V´erifier que c − a et b − a sont conjugu´es.
(b) Ecrire sous forme exponentielle c-a.

Exercice 7

(c) D´eduire la valeur de θ pour que ABC soit ´equilat´eral.

- 3/3 -

Prof: Lahbib Ghaleb