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2015/2016
Lyc´ee EL ALIA

[ S´
erie n° 3: Nombres complexes \

Exercice 1

→ −


Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonorm´e O, u , v .
On consid`ere les points A, B et C d’affixes respectives i, −i et 1 − i. Soit f l’application de P \ {A} dans P, qui `
a tout point M(z) associe le point M ′ (z ′ ) tel que
1 − iz
z′ =
.
z−i


z+i

1. (a) V´erifier que pour tout z 6= i, on a : z = −i
.
z−i
(b) D´eterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z ′ soit r´eel.
(c) D´eterminer l’ensemble F de points M(z) tels que z ′ soit imaginaire
pur.
2. (a) V´erifier que pour tout z 6= i, on a : (z ′ + i)(z − i) = 2.

(b) Montrer que lorsque M varie sur le cercle de centre A et de rayon 1,
le point M ′ varie sur un cercle dont on pr´ecisera le centre et le rayon.

3. Soit θ ∈] − π, π[.
On consid`ere l’´equation (Eθ ) : z2 − (2 + eiθ )z + 2 + (1 − i)eiθ = 0.

4° Maths


√ 2
1. (a) Calculer 1 − 2 3i .


(b) R´esous dans C l’´equation (E) : z2 − z + 3 + i 3 = 0.

(c) Mettre les solutions de (E) sous la forme exponentielle.

→ −


2. Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonorm´e O, u , v .


On consid`ere les
points
A,B et M d’affixes respectives i 3 , 1 − i 3 et
√ iθ
π 3π
3 e o`
uθ∈
,
.
2 2


θ π
(a) Montrer que z − z = −2 3 sin θ − π ei( 2 − 4 ) .
M

A

2

4

(b) En d´eduire la distance AM en fonction de θ.


π 3π
(c) D´eterminer θ de
,
pour que le triangle OAM soit isoc`ele en A.
2 2



3. On d´esigne par B’ le sym´etrique de B par rapport `
a l’axe O, u et N le
point du plan tel que OB’NM soit un parall´elogramme.
(a) D´eterminer l’affixe du point N.


π 3π
,
(b) D´eterminer l’ensemble des points N lorsque θ varie dans
2 2

(a) V´erifier que 1 − i est une solution de eiθ .



(b) En d´eduire l’autre solution de (Eθ ).
1 − iz
Exercice 3
.
z−i

→ −


a un rep`ere orthonorm´e direct O, u , v .
(a) Montrer que lorsque θ varie sur ] − π, π[ le point M varie sur un cercle Le plan est rapport´e `
h πi
que l’on pr´ecisera.
Soit θ ∈ 0,
et on consid`ere dans C l’´equation (E) : z2 −(1+i)eiθ z+iei(2θ) = 0.

2
θ
(b) Montrer que z ′ + i = 1 − i tan
.
1. R´esoudre dans C, l’´equation (E)
2

2. On d´esigne par A et B les points d’affixes respectives eiθ et eiθ .
−−−→

θ −

(c) En d´eduire que CM = − tan
v
Montrer que OAB est un triangle rectangle et isoc`ele.
2
3. Pour tout nombre complexe z, distinct de eiθ et eiθ , on pose :
(d) Montrer alors que M ′ varie sur une droite que l’on pr´ecisera.

1 + ie−iθ z
Z=
.
1 − (e−iθ ) z
Exercice 2
On d´esigne par M et M’ les points d’affixes respectives z et Z.
4. Soit M le point d’affixe z = 1 + i + eiθ et M’ d’affixe z ′ =

- 1/2 -

Prof: Lahbib Ghaleb

2015/2016
Lyc´ee EL ALIA

(a) Montrer que

[ S´
erie n° 3: Nombres complexes \



−−−→
\


u , OM ′





−−\
→ −−→
π
≡ − + MA, MB [2π]
2

4° Maths

(b) D´eterminer les valeurs de θ pour lesquelles la droite (BM) est tangente
au cercle C.

MB
.
MA
(b) En d´eduire une construction de M’ lorsque M est le barycentre des
points pond´er´es (A, 2) et (B, 1).
et que OM ′ =

Exercice 6

Exercice 4

1. Soit θ ∈]0, π[. R´esoudre dans C, l’´equation : z2 − 2iz − 1 − e2iθ = 0.

→ →


2. Le plan complexe est rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e direct O, u , v .

On consid`ere les points A, M et N d’affixes respectives −1 + i, i + eiθ et

− →


Le plan est rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e direct O, u , v .
i − eiθ o`
u θ ∈]0, π[.
i πh
−−−→
−−→
(a) Montrer que les vecteurs AM et AN sont orthogonaux.
et on consid`ere dans C l’´equation :
Soit θ ∈ 0,
2
(b) Montrer que lorsque θ varie dans ]0, π[ les points M et N varient sur
(Eθ ) : z3 − (3 + 2i sin θ)z2 + (2 + 4i sin 2θ)z − 2i sin 2θ = 0
un cercle C que l’on d´eterminera.
1. (a) V´erifier que 1 est une solution de (Eθ ).
3. (a) D´eterminer en fonction de θ l’aire A(θ) du triangle AMN.
(b) R´esoudre dans C, l’´equation (Eθ ).
(b) D´eterminer la valeur de θ pour laquelle l’aire A(θ) est maximale et
2. On consid`ere les points A, M et N d’affixes respectives : z0 = 1, z1 = 1+e2iθ
−i2θ
placer dans ce cas les points M et N sur le cercle C.
et z2 = 1 − e
.
(a) D´eterminer l’ensemble d´ecrit
par
i π
h le point M, lorsque θ d´ecrit par les Exercice 7
points M lorsque θ d´ecrit 0,
i π πh
2
Soit
θ

− , . On consid`ere l’´equation, (Eθ ) : z2 −2(i+cos θ)z+1+2ie−iθ = 0.
(b) Mettre z1 et z2 sous la forme exponentielle.
2 2
Soit z1 et z2 les solution de (Eθ ) dans C et M1 et M
images
respectives
(c) Montrer que le triangle AMN est isoc`ele en A.
2 leurs
→ −


(d) D´eterminer θ pour que le triangle AMN soit ´equilat´eral.
dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonorm´e O, u , v .

Exercice 5
θ est un r´eel de l’intervalle [0, 2π[ ; on pose pour tout nombre complexe z,
fθ (z) = z2 − (i + eiθ )z + (1 + i)(−1 + eiθ )
1. (a) V´erifier que fθ (1 + i) = 0.
(b) En d´eduire les solutions dans C de l’´equation fθ (z) = 0

→ −


2. Le plan complexe rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e direct O, u , v .

On consid`ere les points A, B et M d’affixes respectives -1, i 3 et −1 + eiθ .
(a) Montrer que lorsque θ varie dans [0, 2π[ , M varie sur un cercle C de
centre A dont on pr´ecisera le rayon.

- 2/2 -

1. Soit I le milieu du segment [M1 M2 ] et J le pont d’affixe z1iz2 .
π πh
D´eterminer les ensembles des points I et J quand θ d´ecrit − ,
.
2 2
2. (a) V´erifier que (i + cos θ)2 − (1 + 2ie−iθ ) = −(1 + sin θ)2 .
(b) R´esoudre dans C, l’´equation (Eθ ).

3. On consid`ere les points A,B et C d’affixes respectifs a = i, b = e−iθ et
c = 2i + e−iθ .
(a) V´erifier que c − a et b − a sont conjugu´es.
(b) Ecrire sous forme exponentielle c-a.
(c) D´eduire la valeur de θ pour que ABC soit ´equilat´eral.

Prof: Lahbib Ghaleb


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