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Statistique déscriptive

Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran

2015-2016

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
1

La moyenne arithmétique :
Elle est notée X, et est donnée par la formule :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
1

La moyenne arithmétique :
Elle est notée X, et est donnée par la formule :
1

Moyenne d’une variable discrète :
X=

n1 x1 + n2 x2 + · · · + nk xk
N

KARA-ZAÏTRI L.

=

k
1X

N

Probabilités et statistique

i=1

ni xi

Paramètres de position

Paramètres de position
1

La moyenne arithmétique :
Elle est notée X, et est donnée par la formule :
1

Moyenne d’une variable discrète :
X=

n1 x1 + n2 x2 + · · · + nk xk
N

=

k
1X

N

Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

i=1

ni xi

Paramètres de position

Paramètres de position
1

La moyenne arithmétique :
Elle est notée X, et est donnée par la formule :
1

Moyenne d’une variable discrète :
X=

n1 x1 + n2 x2 + · · · + nk xk
N

=

k
1X

N

Exemple : Dans l’exemple B précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

i=1

ni xi

Paramètres de position

Paramètres de position
1

La moyenne arithmétique :
Elle est notée X, et est donnée par la formule :
1

Moyenne d’une variable discrète :
X=

n1 x1 + n2 x2 + · · · + nk xk
N

=

k
1X

N

ni xi

i=1

Exemple : Dans l’exemple B précedent :
Nombre d’enfants (xi )
Nombre de travailleurs (ni )

0
16

KARA-ZAÏTRI L.

1
21

2
52

3
84

4
63

Probabilités et statistique

5
4

N
240

Paramètres de position

Paramètres de position
1

La moyenne arithmétique :
Elle est notée X, et est donnée par la formule :
1

Moyenne d’une variable discrète :
X=

n1 x1 + n2 x2 + · · · + nk xk
N

=

k
1X

N

ni xi

i=1

Exemple : Dans l’exemple B précedent :
Nombre d’enfants (xi )
Nombre de travailleurs (ni )

X=

0
16

1
21

2
52

3
84

(0×16)+(1×21)+(2×52)+(3×84)+(4×63)+(5×4)
240

KARA-ZAÏTRI L.

4
63

.

Probabilités et statistique

5
4

N
240

Paramètres de position

Paramètres de position
1

La moyenne arithmétique :
Elle est notée X, et est donnée par la formule :
1

Moyenne d’une variable discrète :
X=

n1 x1 + n2 x2 + · · · + nk xk
N

=

k
1X

N

ni xi

i=1

Exemple : Dans l’exemple B précedent :
Nombre d’enfants (xi )
Nombre de travailleurs (ni )

X=

0
16

1
21

2
52

3
84

(0×16)+(1×21)+(2×52)+(3×84)+(4×63)+(5×4)
240

4
63

.

Ainsi : X = 2.70
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

5
4

N
240

Paramètres de position

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

2

Moyenne d’une variable continue :
X=

n1 Ce1 + n2 Ce2 + · · · + nk Cek
N

KARA-ZAÏTRI L.

=

k
1X

N i=1

Probabilités et statistique

ni Cei

Paramètres de position

Paramètres de position

2

Moyenne d’une variable continue :
X=

n1 Ce1 + n2 Ce2 + · · · + nk Cek
N

=

k
1X

N i=1

Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

ni Cei

Paramètres de position

Paramètres de position

2

Moyenne d’une variable continue :
X=

n1 Ce1 + n2 Ce2 + · · · + nk Cek
N

=

k
1X

N i=1

ni Cei

Exemple : Dans l’exemple C précedent :
Tranche d’âge(ci )
Nombre de travailleurs(ni )
Cei

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17
20

45
30

68
40

59
50

51
60

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

2

Moyenne d’une variable continue :
X=

n1 Ce1 + n2 Ce2 + · · · + nk Cek
N

=

k
1X

N i=1

ni Cei

Exemple : Dans l’exemple C précedent :
Tranche d’âge(ci )
Nombre de travailleurs(ni )
Cei

X=

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17
20

45
30

68
40

59
50

51
60

(17×20)+(45×30)+(68×40)+(59×50)+(51×60)
240

KARA-ZAÏTRI L.

.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

2

Moyenne d’une variable continue :
X=

n1 Ce1 + n2 Ce2 + · · · + nk Cek
N

=

k
1X

N i=1

ni Cei

Exemple : Dans l’exemple C précedent :
Tranche d’âge(ci )
Nombre de travailleurs(ni )
Cei

X=

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17
20

45
30

68
40

59
50

51
60

(17×20)+(45×30)+(68×40)+(59×50)+(51×60)
240

.

Ainsi : X = 43.42

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Remarques :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Remarques :
Pour une variable statistique discrète :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Remarques :
Pour une variable statistique discrète :
X = f1 x1 + f2 x2 + · · · + fk xk =

KARA-ZAÏTRI L.

Pk

i=1 fi xi

.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Remarques :
Pour une variable statistique discrète :
X = f1 x1 + f2 x2 + · · · + fk xk =

Pk

ni
i=1 N

Pk

i=1 fi xi

.



xi − X = 0.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Remarques :
Pour une variable statistique discrète :
X = f1 x1 + f2 x2 + · · · + fk xk =

Pk

ni
i=1 N

Pk

i=1 fi xi

.



xi − X = 0.

Pour une variable statistique continue :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Remarques :
Pour une variable statistique discrète :
X = f1 x1 + f2 x2 + · · · + fk xk =

Pk

ni
i=1 N

Pk

i=1 fi xi

.



xi − X = 0.

Pour une variable statistique continue :
X = f1 Ce1 + f2 Ce2 + · · · + fk Cek =

KARA-ZAÏTRI L.

Pk

i=1 fi Cei

Probabilités et statistique

.

Paramètres de position

Remarques :
Pour une variable statistique discrète :
X = f1 x1 + f2 x2 + · · · + fk xk =

Pk

ni
i=1 N

Pk

i=1 fi xi

.



xi − X = 0.

Pour une variable statistique continue :
X = f1 Ce1 + f2 Ce2 + · · · + fk Cek =

Pk

ni
i=1 N

Pk

i=1 fi Cei



Cei − X = 0.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

.

Paramètres de position

Remarques :
Pour une variable statistique discrète :
X = f1 x1 + f2 x2 + · · · + fk xk =

Pk

ni
i=1 N

Pk

i=1 fi xi

.



xi − X = 0.

Pour une variable statistique continue :
X = f1 Ce1 + f2 Ce2 + · · · + fk Cek =

Pk

ni
i=1 N

Pk

i=1 fi Cei



Cei − X = 0.

∀a ∈ IR , a = a .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

.

Paramètres de position

Remarques :
Pour une variable statistique discrète :
X = f1 x1 + f2 x2 + · · · + fk xk =

Pk

ni
i=1 N

Pk

i=1 fi xi

.



xi − X = 0.

Pour une variable statistique continue :
X = f1 Ce1 + f2 Ce2 + · · · + fk Cek =

Pk

ni
i=1 N

Pk

i=1 fi Cei



Cei − X = 0.

∀a ∈ IR , a = a .
∀a, b ∈ IR , aX + b = aX + b .
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

.

Paramètres de position

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

2

Le mode :
Appelé aussi "valeur dominante", il représente la valeur
de la variable statistique pour laquelle l’effectif et la
fréquence sont au maximum. Il est noté Mo.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

2

Le mode :
Appelé aussi "valeur dominante", il représente la valeur
de la variable statistique pour laquelle l’effectif et la
fréquence sont au maximum. Il est noté Mo.
Remarques :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

2

Le mode :
Appelé aussi "valeur dominante", il représente la valeur
de la variable statistique pour laquelle l’effectif et la
fréquence sont au maximum. Il est noté Mo.
Remarques : Si la distribution a :
un seul mode, elle est dite "unimodale",
deux modes, elle est dite "bimodale",
plusieurs modes, elle est dite "multimodale".

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

1

Mode d’une variable discrète :
La valeur du mode est donnée par une valeur précise.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

1

Mode d’une variable discrète :
La valeur du mode est donnée par une valeur précise.
Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

1

Mode d’une variable discrète :
La valeur du mode est donnée par une valeur précise.
Exemple : Dans l’exemple B précedent :

Nombre d’enfants
Nombre de travailleurs

KARA-ZAÏTRI L.

0
16

1
21

2
52

3
84

Probabilités et statistique

4
63

5
4

Total
240

Paramètres de position

Paramètres de position

1

Mode d’une variable discrète :
La valeur du mode est donnée par une valeur précise.
Exemple : Dans l’exemple B précedent :

Nombre d’enfants
Nombre de travailleurs

0
16

1
21

2
52

3
84

4
63

5
4

Total
240

Le mode est 3, car son effectif "84" est le plus grand des
effectifs.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

2

Mode d’une variable continue :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

2

Mode d’une variable continue :
Lorsque les amplitudes sont égales, nous commençons
par chercher la classe modale [bi−1 , bi [. C’est l’intervalle
pour lequel l’effectif ni est au maximum.
Nous définissons ensuite α1 et α2 comme suit :

α1 = ni − ni−1

et

α2 = ni − ni+1

Ainsi :



1
Mo = bi−1 + a α1α+α
2
Où a est l’amplitude de la classe.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
Tranche d’âge
Nombre de travailleurs

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17

45

68

59

51

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Total
240

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
Tranche d’âge
Nombre de travailleurs

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17

45

68

59

51

Total
240

La classe modale est [35, 45[, car son effectif "ni = 68" est le
plus grand des effectifs.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
Tranche d’âge
Nombre de travailleurs

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17

45

68

59

51

Total
240

La classe modale est [35, 45[, car son effectif "ni = 68" est le
plus grand des effectifs.


 bi−1 =

 a=
 ni−1 =



ni+1 =

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
Tranche d’âge
Nombre de travailleurs

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17

45

68

59

51

Total
240

La classe modale est [35, 45[, car son effectif "ni = 68" est le
plus grand des effectifs.


 bi−1 = 35

 a=
 ni−1 =



ni+1 =

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
Tranche d’âge
Nombre de travailleurs

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17

45

68

59

51

Total
240

La classe modale est [35, 45[, car son effectif "ni = 68" est le
plus grand des effectifs.


 bi−1 = 35

 a = 10
 ni−1 =



ni+1 =

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
Tranche d’âge
Nombre de travailleurs

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17

45

68

59

51

Total
240

La classe modale est [35, 45[, car son effectif "ni = 68" est le
plus grand des effectifs.


 bi−1 = 35

 a = 10
 ni−1 = 45



ni+1 =

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
Tranche d’âge
Nombre de travailleurs

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17

45

68

59

51

Total
240

La classe modale est [35, 45[, car son effectif "ni = 68" est le
plus grand des effectifs.


 bi−1 = 35

 a = 10
 ni−1 = 45



ni+1 = 59

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
Tranche d’âge
Nombre de travailleurs

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17

45

68

59

51

Total
240

La classe modale est [35, 45[, car son effectif "ni = 68" est le
plus grand des effectifs.


 bi−1 = 35
(

 a = 10
α1 =
=⇒
 ni−1 = 45
α2 =



ni+1 = 59

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
Tranche d’âge
Nombre de travailleurs

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17

45

68

59

51

Total
240

La classe modale est [35, 45[, car son effectif "ni = 68" est le
plus grand des effectifs.


 bi−1 = 35
(

 a = 10
α1 = 68 − 45 = 23
=⇒
 ni−1 = 45
α2 =



ni+1 = 59

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
Tranche d’âge
Nombre de travailleurs

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

17

45

68

59

51

Total
240

La classe modale est [35, 45[, car son effectif "ni = 68" est le
plus grand des effectifs.


 bi−1 = 35
(

 a = 10
α1 = 68 − 45 = 23
=⇒
 ni−1 = 45
α2 = 68 − 59 = 9



ni+1 = 59

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique




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