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Relations binaires et Applications .pdf



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1

´ Saad Dahlab Blida
Universite
Premi`ere Ann´ee LMD TCST
2015/2016


erie d’Exercices no : 2

Module: Maths I

Relations binaires et Applications
Note: Sauf mention du contraire ces exercices sont `
a traiter en TD.
Exercice (1):
Soit E = {a, b, 3, 4} et < la relation binaire sur E dont le graphe est
Γ = {(a, a) , (a, b) , (b, a) , (b, b) , (3, 3) , (3, 4) , (4, 3) , (4, 4)}
1. V´erifier que la relation < est une relation d’´equivalence.
2. Faire la liste des classes d’´equivalence distinctes et donner l’ensemble quotient E/<.
Exercice (2):
Soit < une relation binaire d´efinie sur R par:
∀x, y : x<y ⇔ x2 − y 2 = x − y
1. Montrer que < est une relation d’´equivalence.
2. Donner cl(x) la classe d’´equivalence d’un r´eel x, puis discuter le nombre d’´el´ement de cl(x).
Exercice (3):
Soit < une relation d´efinie sur Z × N∗ par: (a, b) < (a0 , b0 ) ⇔ ab0 = a0 b.
1. Montrer que < est une relation d’´equivalence.
2. Soit (2, 3), d´ecrire sa classe d’´equivalence.
` r´
Exercice (4)(A
esoudre en Cours):
Sur R2 , on consid`ere la relation binaire not´ee < et d´efinie par:
∀(a, b), (c, d) ∈ R2 : (a, b)<(c, d) ⇔ a − 5d = c − 5b.
1. V´erifier que < est une relation d’´equivalence.
2. D´eterminer Cl(0, 0) et Cl(1, 1) les classes d’´equivalences des couples (0, 0) et (1, 1).
Exercice (5):
On d´efinit dans N∗ la relation binaire <, en posant pour tout couple (x, y) ∈ N × N∗
x<y ⇔ ∃n ∈ N∗ /y = xn .
1. Montrer que < est une relation d’ordre dans N∗ .
2. L’ordre est-il partiel ou total?
Exercice (6):
Sur R2 , on consid`ere la relation binaire not´ee < et d´efinie par:
∀(a, b), (c, d) ∈ R2 : (a, b)<(c, d) ⇔ (a = c et b ≤ d).
1. En justifiant, les propositions suivantes sont-elles vraies?
(1, 2)<(1, 3), (−2, 3)<(0, 1), (0, 1)<(−2, 3).
2. V´erifier que < est une relation d’ordre.
3. L’ordre est-il total?

` r´
Exercice (7):(A
esoudre en Cours):
x2
Soit l’application f de R vers lui mˆeme d´efinie par: f (x) = 1+x
4.

1. Soit a ∈ R . Trouver tout les x ∈ R, poss`edant la mˆeme image que a.
2. D´eterminer les principales parties A ⊆ R, telles que f de A vers R, soit injective.
3. Soit a ∈ R. Trouver les ant´ec´edents de a, puis calculer f ([−1, 1]) et f −1 ([−1, 1]).
Exercice (8):(Examen 2013/2014):
Soit f la fonction d´efinie sur R par:
f (x) =

x
.
1 + x2

I)
1. D´eterminer f (A1 ), f (A2 ), f −1 (B) pour A1 = {0, 13 , 3}, A2 =]2, 3[, B = {−1, 12 }.
2. L’application f est-elle injective? surjective? justifier.
3. Montrer que f est bijective de I =]1, +∞[ vers f (I) a
` d´eterminer.
II) Maintenant, on consid`ere sur I la relation binaire < d´efinie par:
∀x, y ∈ I : x<y ⇔ f (x) ≤ f (y).
4. Montrer que < est une relation d’ordre total.
Exercice (9):
Soit f la fonction d´efinie sur R par:
f (x) =

ex
.
1 + e2x

I)
1. D´eterminer f (A), f −1 (B1 ), f −1 (B2 ) pour A = {− ln(4), 0, ln(4)}, B1 =] − 1, 0[, B2 = { 21 }.
2. L’application f est-elle injective? surjective? justifier.
II)
Maintenant, on consid`ere sur R la relation binaire < d´efinie par:
∀x, y ∈ R : x<y ⇔ f (x) = f (y).
3. Montrer que < est une relation d’´equivalence sur R.
4. Donner les ´el´ements des classes d’´equivalences cl(0) et cl(ln(a)) pour a > 0.
Exercice (10):
I) Soit l’application f d´efinie de R dans lui mˆeme par: f (x) = (x − 2)2 .
- f est-elle injective? est-elle surjective? justifier.
II) On d´efinit sur R la relation binaire < par:
∀x, y ∈ R :
1.
2.
3.
4.

x<y ⇔ f (x) = f (y).

V´erifie que < est une relation d’´equivalence sur R.
Montrer que ∀x, y ∈ R, x<y ⇔ (x − y) (x + y − 4) = 0.
Pour a r´eel, on note cl(a) la classe d’´equivalence de a. D´eterminer cl(0) et cl(2).
Donner cl(a) pour a quelconque, puis discuter le nombre d’´el´ements de l’ensemble cl(a).

2

3

Exercices suppl´
ementaires

Exercice (11):
Soit P ∗ l’ensemble des nombres premiers strictement sup`erieurs `
a 2. On consid`ere la relation < entre deux ´el´ements
de P ∗ par:
p+q
p<q ⇔
∈ P ∗.
2
Cette relation est-elle r´efl´exive, sym´etrique, transitive?.
Exercice (12):
Soit < la relation binaire d´efinie sur R par:
x<y ⇔ [(x = y) ou (∃n ∈ N/x ≺ n ≤ y)]
1. Montrer que < est une relation d’ordre dans R.
2. L’ordre est-il partiel ou total?
Exercice (13):
Soit l’application f d´efinie de Q × Q∗ dans R par: f (a, b) =

a
.
b

1. D´eterminer f (A) avec A = {(1, 1) , (3, −1) , (−3, 1) , (2, 2)} . f est-elle injective?

2. D´eterminer f −1 (B) avec B =
2 . f est-elle surjective?
Exercice (14):
Soit f l’application f : R → R
x 7→ f (x) =

2x
1 + x2

1. f est-elle injective? surjective?
2. Montrer que f (R) = [−1, 1] .
3. Montrer que g la restriction de f sur : [−1, 1] vers [−1, 1] est une bijection, puis d´eterminer sa g −1 .
Exercice (15):
On d´efinit dans R la relation ∆ par:



∀(x, y) ∈ R2 : x∆y ⇔ x2 − 5 = y 2 − 5 .
1. Montrer que ∆ est une relation d’´equivalence.
2. Donner la classe d’´equivalence de 0 (cl(0))
√ et la classe d’´equivalence de 1 (cl(1)) pour la relation ∆.
3. Pour quelle valeur de x v´erifiant |x| < 10, l’ensemble (cl(x)) contient quatre ´el´ements distincts?
Exercice (16):
Soient f : N → N d´efinie par f (n) = 2n et g : N → N d´efinie par g(n) = E
1. Les fonctions f et g sont-elles injectives? surjectives?.
2. D´eterminer f ◦ g et g ◦ f.
3. Les fonctions f ◦ g et g ◦ f sont-elles injectives?

n
2



o`
u E(x) d´esigne la partie enti`ere de x.

4

Exercice (17):
On d´efinit dans R la relation binaire suivante:
∀x, y ∈ R : x<y ⇔ sin2 x = sin2 y
1. Montrer que < est une relation d’´equivalence.
2. D´eterminer cl(0) et cl( π2 ).
Exercice (18):
Soit l’application f : R → R d´efinie par :
x 7→ f (x) =

|x|
1 + |x|

1. Que vaut f ([−2, 1])?, f −1 ([0, 2])?
2. Que vaut f (−1)?, f (1)?, f −1 ([−2, −1]?
3. f est-elle injective? surjective? Justifier votre r´eponse.
Exercice (19):
Soit E = P (N) l’ensemble des parties de N. On d´efinit l’application f : E → N par:
(
Σk si X 6= ∅
k∈X
∀X ∈ E,
f (X) =
0
si X = ∅
1. Calculer f (X) dans le cas o`
u X = {1, 2, 3, ....., n} .
2. Montrer que f est surjective, f est-elle injective?
3. D´eterminer f (A) et f −1 (B) o`
u A = {{2} , {1, 5} , {0}} et B = {4} .
Exercice (20):
I) Soit l’application f d´efinie de Z dans Z par:
f (n) = n2 − 4

2

.

1. D´eterminer f (A) lorsque A = {n ∈ Z/ |n| ≤ 2} . f est-elle injective?
2. D´eterminer f −1 (B) lorsque B = {n ∈ Z/ |n| ≤ 4} . f est-elle surjective?
II) On d´efinit sur Z la relation binaire < par:
∀n, m ∈ Z : n<m ⇔ f (n) = f (m).
1.
2.
3.
4.

V´erifie que < est une relation d’´equivalence sur
Z.2

n + m2 − 8 = 0.
Montrer que ∀n, m ∈ R : n<m ⇔ n2 − m2
D´eterminer cl(0), cl(2) et cl(4).
Montrer que ∀n ∈ Z∗ le nombre d’´el´ements de cl(n) est ´egale a
` 2.


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