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trigo .pdf



Nom original: trigo.pdf
Auteur: SOS DEVOIRS CORRIGÉS;NICE TEACHING

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Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche :








Exercice 1 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les valeurs remarquables du
cosinus et du sinus d’un angle
Exercice 2 : résolution d’équation trigonométrique dans à l’aide des formules fondamentales
Exercices 3 et 4 : résolution d’équation trigonométrique dans un intervalle donné de
Exercices 5 et 6 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les angles associés
Exercice 7 : résolution d’équation trigonométrique de degré 2
Exercice 8 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les formules de duplication
Exercices 9 et 10 : équations trigonométriques difficiles

Remarque : Les relations et formules de cette fiche sont valables pour tout réel .

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

1

Exercice 1 (1 question)

Résoudre dans

Niveau : facile

les équations suivantes :




Correction de l’exercice 1

Rappel : Valeurs remarquables dans


Valeurs du cosinus et du sinus d’angles compris entre

















Valeurs du cosinus et du sinus d’angles compris entre















.


1ère équation
(



(

)

)

(

)

3ème équation




(

2ème équation




)

(

)

(

)

4ème équation
(

)

(

)

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

2

Exercice 2 (1 question)

Résoudre dans
(

Niveau : facile

les équations suivantes :

)

(

)

(



)

(

)

(

)

(

)

Correction de l’exercice 2

Rappel : Résolution d’équation trigonométrique
( )

( )



1ère équation

(

)

(

{

(

(

(

(

)

(

)

(

)

( )

)

(

)

(

(

( )

)

)
(



)

(
(
(

)

{

)
(

(

)

)

)

)
)

(

)

2ème équation
)



(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(
(
(

)

(

)
)

(
(

)

)
)

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3



3ème équation

(

)

(

(

)
(


(

(

)

(

)

)

(

)

(
(
(

(

)

)

)

)
)

4ème équation
)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(
(

)
)

(



(
(

)

)
)

(

)

Exercice 3 (1 question)

Résoudre dans [

Niveau : facile

] les équations suivantes :
(

)

(

)

(

)

Correction de l’exercice 3

Avant de résoudre les équations dans [


], déterminons les solutions dans

.

1ère équation
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4

(

)

(
(



Si

(

)

)







:

Si

Si

Si

[

]

Donc

est solution.

[

]

Donc

est solution.

[

]

Donc

est solution.

[

]

:

Si

:
Donc

, l’équation n’admet pas de solution de [

Si

n’est pas solution.

].

:
)

[

En résumé, l’ensemble

]

Donc

, l’équation n’admet pas de solution de [

Pour tout entier relatif

des solutions de l’équation dans [

n’est pas solution.

].

] est :

{

(

est solution.

:

(



Donc

]

:

Pour tout entier


)

)

[


(

}

2ème équation
)

(

(

)
(

)

)

(
(

)

(

)

)

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés
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5

(

)

(

(

)(

)

)

(

Les réels solutions de l’équation initiale ( ) dans [
entier relatif à déterminer pour que

[

Si

] sont les solutions de (





Si

Si

Si

Donc

]

est solution.

[

]

Donc

est solution.

[

]

Donc

est solution.

[

]

:

:

, l’équation (

Si

) n’admet pas de solution de [

Donc

n’est pas solution.

Donc

n’est pas solution.

].

:
)

Pour tout entier relatif
En résumé, l’ensemble

[
, l’équation (

) dans [

des solutions de l’équation (

Intéressons-nous désormais aux solutions de (

]

) n’admet pas de solution de [

{

Si

est un

:

(



) où

:

Pour tout entier


) et (

).

[


)

].

Intéressons-nous tout d’abord aux solutions de (


)(

].

] est :
}

).

:
[

]

Donc

est solution.

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6











Si

Si

Si

Si

Si

:
]

Donc

est solution.

[

]

Donc

est solution.

[

]

Donc

est solution.

[

]

Donc

est solution.

[

]

:

:

:

:

) n’admet pas de solution de [

, l’équation (

Pour tout entier


[

Si

Donc

n’est pas solution.

Donc

n’est pas solution.

].

:
(

)

[
, l’équation (

Pour tout entier relatif
En résumé, l’ensemble

]

) n’admet pas de solution de [

des solutions de l’équation (

) dans [

] est :

{
Finalement, les solutions
{

}

de l’équation initiale est la réunion des solutions
}

].

{

}

et

.

{

}

Exercice 4 (2 questions)

Résoudre dans

puis dans

Niveau : facile

les équations suivantes.
(

)

(

)

(

)

(

)

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7

Correction de l’exercice 4



1ère équation

Résolvons dans un premier temps l’équation proposée dans
(

)

(

Déterminons dans un second temps les solutions dans ]–


Si

]–

Si

]. Donc

Si

)

]–

. Or,

]. Donc

n’est pas solution dans ]–

].

]–

]. Donc

n’est pas solution dans ]–

].

, l’équation n’admet pas de solution.

Pour tout entier

En définitive, l’équation admet une solution

unique dans ]–

{ }.

]. On a

2ème équation

Tout d’abord, résolvons dans
)

(

l’équation proposée.
(

)
(
(
(

)

)

(

)
)(

(

(
)

Si

(

)

)
(

Intéressons-nous tout d’abord aux solutions de (

)

)

)(

Dorénavant, précisons les solutions de l’équation dans ]–



].

:
(

(

est solution dans ]–

, l’équation n’admet pas de solution.

Pour tout entier



].

:
. Or,



)

:
. Or,



.

)
].

).

:


Donc

est solution.

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8



Si

:

, l’équation (

Pour tout entier


Si

Donc

) n’admet pas de solution dans ]–

].

:




Si

Donc

, l’équation (

Pour tout entier relatif
En résumé, l’ensemble

des solutions de l’équation (

Intéressons-nous désormais aux solutions de (







Si

Si

Si

) dans ]–
}

).

:


Donc

est solution.



Donc

est solution.



Donc

est solution.

:

:

:

, l’équation (

Pour tout entier
Si

Donc

) n’admet pas de solution de ]–

Si

n’est pas solution.

].

:




].

] est :





n’est pas solution.

Donc

) n’admet pas de solution dans ]–

{

Si

est solution.

:




n’est pas solution.

Donc

est solution.

:
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9



En résumé, l’ensemble

) n’admet pas de solution de ]–

, l’équation (

Pour tout entier relatif

des solutions de l’équation (

) dans ]–

}

de l’équation initiale est la réunion des solutions

{

}

].

] est :

{
Finalement, les solutions

n’est pas solution.

Donc

{

}

et

.

{

}

Exercice 5 (1 question)

Résoudre dans

Niveau : facile

les équations suivantes :
(

)

(

)

Correction de l’exercice 5

Rappel : Angles associés
(



)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

1ère équation

1ère méthode :
(
(

)

(

)
(

)

)

(

(

)
(

)

)

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(

)

2ème méthode :
(

(

)
(

(




)

)

(

(

)

(

)

(

)

)

)

2ème équation
(
(

(

)

)

(

)

(

)

(

)(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

)

(

)(

)

Etudions les solutions selon les valeurs de , entier relatif, et remarquons alors que les solutions de (
trouvent dans l’ensemble des solutions de ( ).


(



Ainsi, l’ensemble



(

)

(

)

)
(
(

3ème équation

)

(

)

(

)

(

(

(
(

)
(

)

{

)

)
{

{

)
}

(
(

)

{

des solutions de l’équation est :

) se

)

(

)
(

)
(

)

{

(

)
)

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11

(

)

(

)


{

Exercice 6 (2 questions)

Résoudre dans

Niveau : facile

(

l’équation suivante :

puis dans

)

( )

Correction de l’exercice 6


Pour tout

(

)

réel,

( )

(
(

)
)

(
(

(

(

)

)

(

)

(



( )

(

)

(

)

)

)

)

(


)

(

Les solutions dans l’intervalle

)
sont :

En effet,


Si

:

Ces deux valeurs appartiennent à l’intervalle


Si

donc elles sont solutions de l’équation.

:

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12

Parmi ces deux valeurs, seule la première appartient à l’intervalle
l’équation ;


Si

est solution de

est en revanche exclue.
:

Aucune de ces valeurs n’appartient à l’intervalle
Pour tout entier naturel
,
.


donc

Si

. Aucune d’elle n’est donc solution de l’équation.

:
(

)

(

Parmi ces deux valeurs, seule la première appartient à l’intervalle

donc

)
est solution de l’équation ;

n’est en revanche pas solution.

Exercice 7 (1 question)
Résoudre dans

Niveau : facile

les équations suivantes :

Correction de l’exercice 7
Rappel : Résolution d’équation de la forme


Si

, l’ensemble des solutions est l’ensemble vide



Si

, l’ensemble des solutions est { }



Si

, l’ensemble des solutions est { √



1ère équation


(

)

√ }





(

)



(

)

(

)

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13



2ème équation










3ème équation

Rappel : Relation fondamentale entre le sinus et le cosinus d’un angle

On est ainsi amené à résoudre la première équation de cet exercice. D’après ce qui précède, les solutions sont :
(

)

(

)

(

)

(

Exercice 8 (1 question)

Résoudre dans

)

Niveau : moyen

les équations suivantes :
(

(

)

)

Correction de l’exercice 8

Rappel : Formules de duplication
(



)

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

( )

1ère équation
(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

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(

)

(

(

)



)(

)

(

)(

)

)

Remarquons en effet que les solutions de (
prendre

(

multiple de

: si

) se trouvent dans l’ensemble des solutions de (
(

, alors

)

(

). Il suffit de

).

2ème équation
(

Posons

)

. Alors, comme pour tout réel ,
devient
.

et l’expression

, il vient que
(

Soit le discriminant du trinôme du second degré
. Alors
Comme
,
admet deux racines réelles distinctes :


)(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

(

)

).

)(

(

)

)

(
(

(

(

)(

donc :
(

3ème équation

(

est factorisable :
et



.



En outre, le trinôme
On a bien

)

)
)

)

(

)

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Exercice 9 (1 question)

Résoudre dans

Niveau : difficile

l’équation suivante :

(

)

Correction de l’exercice 9

(

)

(
(



Lorsque

)

(

)

(

)

(

)

appartient à l’intervalle

, le réel

)

si et seulement si :

Or,

Donc la seule valeur de


telle que

De même, lorsque

est

.

appartient à l’intervalle

, le réel

si et seulement si :

Or,

Il n’existe donc aucun entier relatif

(

tel

.

Par conséquent,
)

Il existe un réel

unique de

. D’où :

tel que
(

)

(

)

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16

A l’aide de la calculatrice, on trouve

à

( )

près par défaut. En effet,

Exercice 10 (1 question)

Résoudre dans [

.

Niveau : difficile

(

] l’équation suivante :

)

(

)

( )

.

Correction de l’exercice 10

Rappel : Formules d’addition
(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

Résolvons dans [

(

] l’équation suivante :

)

(

)

( )

.

Pour tout réel ,
(

)

(

(

)

)

( )

(⏟

( ))
(

⏟ (

)

(

( )
(



( )
(

)

)

( )

( )

( )

)

( )

( )

(⏟

( ))

)

( )

( )

(

( )

( )

( )⏟
(

( )

( )

)

( )

( ))

( )

( )

( )

( )
( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )
( )(



( )

( )
( )

( )

( )

( ))

( )

( )(

( )

( )

)

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( )
Etudions le trinôme
réel,
( )
, donc

( )
. Pour cela, posons
( )
. L’expression

( ). Remarquons que, pour tout
( )
devient
.
(

le discriminant de ce trinôme du second degré d’inconnue ,

En posant

donc le trinôme

)

.

admet deux racines réelles distinctes :

(

En outre, comme
Enfin, comme


)

(

, le trinôme
et

(

est factorisable et
, on obtient que :

( )

( )

(

( )

)

)(

( )

)(

).

)

D’où, pour tout réel ,
(

)

(

( )(
( )[

)

( )

( )

( )

)

(

( )

)(

( )

)]

( )(

( )

)(

( )

)

( )(

( )

Or, dans [

)(

( )

)

], on a :



( )



( )

( )



( )

( )

L’équation

(

)

(

)

( )

admet 3 solutions dans [

]:

.

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