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Math´
ematiques des Syst`
emes Dynamiques
TD no 4 : Suites r´ecurrentes non lin´eaires d’ordre 1
L3 Economie 2015-2016 (A. Le Ny 1 , M. Khatib et H. Lˆe)
Exercice 1 : On consid`ere l’´equation r´ecurrente :
1
un+1 = (u2n − 3) = f (un ) avec u0 ∈ R.
2
1. Rechercher les ´etats d’´equilibre potentiels de cette suite.
2. Montrer que l’intervalle [−3, +3] est stable pour f .
3. Repr´esenter graphiquement la fonction f sur [−3, +3] et effectuer la construction
des termes u1 , u2 et u3 a` partir de u0 choisi dans ] − 3, +3[.
4. Que peut-on dire (rapidement) de la nature des ´etats d’´equilibre de cette suite ?
Exercice 2 : On consid`ere l’´equation r´ecurrente :
un+1 = un − u2n = f (un ) avec u0 ∈ R.
1. Montrer que l’intervalle I = [0, 1] est stable pour f .
2. Rechercher les ´etats d’´equilibre de cette suite dans I. Peut-on en donner la nature ?
3. Montrer que pour u0 ∈]0, 1[, la suite est d´ecroissante et minor´ee. Conclure.
4. L’intervalle J =] − ∞, 0[ est-il stable pour f ? Quel sont les comportements de la
suite (un )n pour u0 < 0 et u0 > 1 ?
Exercice 3 : On consid`ere l’´equation r´ecurrente :

3
un+1 = un + un = f (un ) avec u0 ∈ R∗+ .
4
1. Montrer que I = [9, 25] est stable pour f et que f est contractante sur I.
2. En d´eduire le nombre d’´etats d’´equilibre dans I. Donner leur/sa valeur et nature.
3. Aurait-on le mˆeme r´esultat sur [0, +∞[ ?
Exercice 4 : Dans un mod`ele de Solow, le capital par tˆete kn est solution de :
kn+1 =


1 p
s kn + (1 − δ)kn avec k0 > 0
1+τ

o`
u τ d´esigne le taux de croissance de la population, s = 0, 2 le taux d’´epargne et δ = 0, 1
le taux de d´epr´eciation du capital.
1. Donner l’´equation r´ecurrente en l’absence de croissance de population. Trouver
l’´etat d’´equilibre et donner sa nature.
2. Mˆeme question lorsque la population augmente a` un taux ´egal a` un tiers.
1. FSEG-UPEC, bˆ
atiment d’´economie, bureau 230. E-mail :arnaud.le-ny@u-pec.fr

1


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