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Statistique déscriptive

Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran

2015-2016

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

3

La médiane :
Elle représente la valeur de la variable statistique qui
divise l’effectif total (ou la fréquence totale) en deux
parties égales. Elle est notée Me.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

3

La médiane :
Elle représente la valeur de la variable statistique qui
divise l’effectif total (ou la fréquence totale) en deux
parties égales. Elle est notée Me.
1

Médiane d’une variable discrète :
Elle est déterminée directement du tableau, elle
correspond à :
NMe−1 ≤ N/2 ≤ NMe

KARA-ZAÏTRI L.

ou

FMe−1 ≤ 50% ≤ FMe

Probabilités et statistique

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple B précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple B précedent :
ci

ni

0

16

1

21

2

52

3

84

4

63

5

4

Ni

Fi

0

0%

16

6, 67%

37

15, 42%

89

37, 09%

173

72, 09%

236

98, 34%

240

100%

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple B précedent :
ci

ni

0

16

1

21

2

52

3

84

4

63

5

4

Ni

Fi

0

0%

16

6, 67%

37

15, 42%

89

37, 09%

173

72, 09%

236

98, 34%

240

100%

⇐= N/2 = 120

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple B précedent :
ci

ni

0

16

1

21

2

52

3

84

4

63

5

4

Ni

Fi

0

0%

16

6, 67%

37

15, 42%

89

37, 09%

173

72, 09%

236

98, 34%

240

100%

⇐= N/2 = 120

Ainsi, la médiane : Me = 3 .
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Determination graphique : Nous utilisons le diagramme
cumulatif croissant.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Determination graphique : Nous utilisons le diagramme
cumulatif croissant.
Exemple : Dans l’exemple B précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Determination graphique : Nous utilisons le diagramme
cumulatif croissant.
Exemple : Dans l’exemple B précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Cas particulier :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Cas particulier : Si Ni = N/2 ou Fi = 50% nous ne pouvons
pas determiner la médiane. Nous pouvons juste avoir la
classe médiane.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Cas particulier : Si Ni = N/2 ou Fi = 50% nous ne pouvons
pas determiner la médiane. Nous pouvons juste avoir la
classe médiane.
Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Cas particulier : Si Ni = N/2 ou Fi = 50% nous ne pouvons
pas determiner la médiane. Nous pouvons juste avoir la
classe médiane.
Exemple :
ci

ni

0

16

1

21

2

83

3

53

4

63

5

4

Ni

Fi

0

0%

16

6, 67%

37

15, 42%

120

50%

173

72, 09%

236

98, 34%

240

100%

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Cas particulier : Si Ni = N/2 ou Fi = 50% nous ne pouvons
pas determiner la médiane. Nous pouvons juste avoir la
classe médiane.
Exemple :
ci

ni

0

16

1

21

2

83

3

53

4

63

5

4

Ni

Fi

0

0%

16

6, 67%

37

15, 42%

120

50%

173

72, 09%

236

98, 34%

240

100%

KARA-ZAÏTRI L.

⇐= N/2 = 120

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Cas particulier : Si Ni = N/2 ou Fi = 50% nous ne pouvons
pas determiner la médiane. Nous pouvons juste avoir la
classe médiane.
Exemple : La valeur médiane est comprise entre 2 et 3.
ci

ni

0

16

1

21

2

83

3

53

4

63

5

4

Ni

Fi

0

0%

16

6, 67%

37

15, 42%

120

50%

173

72, 09%

236

98, 34%

240

100%

KARA-ZAÏTRI L.

⇐= N/2 = 120

Probabilités et statistique

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

2

Médiane d’une variable continue :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

2

Médiane d’une variable continue :
Nous commençons par chercher la classe médiane
[bi−1 , bi [. Ainsi :


(N/2) − Ni−1
Me = bi−1 + a
Ni − Ni−1

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

2

Médiane d’une variable continue :
Nous commençons par chercher la classe médiane
[bi−1 , bi [. Ainsi :


(N/2) − Ni−1
Me = bi−1 + a
Ni − Ni−1
Remarque : Nous pouvons aussi calculer la médiane
comme suit :


0.5 − Fi−1
Me = bi−1 + a
Fi − Fi−1

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

68

[45, 55[

59

[55, 65[

51

25
35
45
55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

130

54, 16%

189

78, 74%

240

100%

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

68

25
35
45

[45, 55[

59

[55, 65[

51

55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

130

54, 16%

189

78, 74%

240

100%

⇐= N/2 = 120

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

68

25
35
45

[45, 55[

59

[55, 65[

51

55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

130

54, 16%

189

78, 74%

240

100%

⇐= N/2 = 120

Ainsi :

(N/2) − Ni−1
Me = bi−1 + a
Ni − Ni−1




KARA-ZAÏTRI L.

=

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

68

25
35
45

[45, 55[

59

[55, 65[

51

55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

130

54, 16%

189

78, 74%

240

100%

⇐= N/2 = 120

Ainsi :

(N/2) − Ni−1
Me = bi−1 + a
Ni − Ni−1




KARA-ZAÏTRI L.

= 35 +

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

68

25
35
45

[45, 55[

59

[55, 65[

51

55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

130

54, 16%

189

78, 74%

240

100%

⇐= N/2 = 120

Ainsi :

(N/2) − Ni−1
Me = bi−1 + a
Ni − Ni−1






KARA-ZAÏTRI L.

= 35 + 10

Probabilités et statistique



=

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

68

25
35
45

[45, 55[

59

[55, 65[

51

55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

130

54, 16%

189

78, 74%

240

100%

⇐= N/2 = 120

Ainsi :

(N/2) − Ni−1
Me = bi−1 + a
Ni − Ni−1






KARA-ZAÏTRI L.

= 35 + 10

120 −

Probabilités et statistique



=

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

68

25
35
45

[45, 55[

59

[55, 65[

51

55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

130

54, 16%

189

78, 74%

240

100%

⇐= N/2 = 120

Ainsi :

(N/2) − Ni−1
Me = bi−1 + a
Ni − Ni−1






KARA-ZAÏTRI L.

= 35 + 10

120 − 62

Probabilités et statistique



=

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

68

25
35
45

[45, 55[

59

[55, 65[

51

55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

130

54, 16%

189

78, 74%

240

100%

⇐= N/2 = 120

Ainsi :

(N/2) − Ni−1
Me = bi−1 + a
Ni − Ni−1






KARA-ZAÏTRI L.

= 35 + 10

120 − 62
130 − 62

Probabilités et statistique



=

Paramètres de position
Exemple : Dans l’exemple c précedent :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

68

25
35
45

[45, 55[

59

[55, 65[

51

55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

130

54, 16%

189

78, 74%

240

100%

⇐= N/2 = 120

Ainsi :

(N/2) − Ni−1
Me = bi−1 + a
Ni − Ni−1






KARA-ZAÏTRI L.

= 35 + 10

120 − 62
130 − 62

Probabilités et statistique



= 43.53

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Cas particulier :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Cas particulier : Si N/2 correspond à bi alors Me = bi .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Cas particulier : Si N/2 correspond à bi alors Me = bi .
Exemple :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

58

[45, 55[

69

[55, 65[

51

25
35
45
55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

120

50%

189

78, 74%

240

100%

KARA-ZAÏTRI L.

⇐= N/2 = 120

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Cas particulier : Si N/2 correspond à bi alors Me = bi .
Exemple :
bi

ci

ni

15

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

58

[45, 55[

69

[55, 65[

51

25
35
45
55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

120

50%

189

78, 74%

240

100%

⇐= N/2 = 120

Ainsi : Me = 45 .
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Determination graphique : Nous utilisons les courbes
cumulatives croissantes et décroissantes.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Determination graphique : Nous utilisons les courbes
cumulatives croissantes et décroissantes.
Exemple : Dans l’exemple c précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de position
Determination graphique : Nous utilisons les courbes
cumulatives croissantes et décroissantes.
Exemple : Dans l’exemple c précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de dispersion

Paramètres de dispersion

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de dispersion

Paramètres de dispersion

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de dispersion

Paramètres de dispersion
1

La variance :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Paramètres de dispersion

Paramètres de dispersion
1

La variance :
Elle représente la moyenne des carrés des écarts entre xi
et X. Elle est notée Var (X), et est donnée par la formule :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique



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