Indice1reSTMG LDP chapitre3 ok .pdf



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CHAPITRE

3

Second degré

A Le programme
Contenus
Fonction polynôme de degré
deux.
Équation du second degré,
­discriminant.
Signe du trinôme.

Capacités attendues

Commentaires

Résoudre une équation ou une
inéquation du second degré.
●● Mobiliser les résultats sur le
second degré dans le cadre de la
résolution d’un problème.

On évitera toute technicité excessive.
Il s’agit de consolider et d’étendre les
connaissances acquises en Seconde
sur les fonctions du second degré.
La mise sous forme canonique n’est
pas un attendu du programme.
‘‘
Des activités algorithmiques peuvent
être réalisées dans ce cadre.

●●

B Notre point de vue
Les élèves ont appris, depuis la classe de Troisième, à factoriser certaines expressions, à résoudre des
« équations produits » et à étudier le signe d’un produit de facteurs du premier degré.
Néanmoins, il nous a paru important d’avoir une approche graphique et non algébrique de la résolution
d’une équation ou d’une inéquation du second degré.
En classe de Seconde, la notion de fonction polynôme du second degré a été abordée. Les élèves savent
que la courbe représentative d’une telle fonction est une parabole.
L’activité 1 permet de bien visualiser qu’une parabole peut être « tournée vers le haut » ou « tournée
vers le bas », et de conjecturer que cela dépend du signe de a (coefficient de x 2).
Les activités 2 et 3 permettent de visualiser, selon le signe de a et celui du discriminant, l’allure de la
parabole et sa position par rapport à l’axe des abscisses.
Dans le cours, nous nous appuyons sur cette approche graphique, pour justifier qu’une équation du
second degré a deux, une ou aucune solution(s) et pour déterminer, dans les différents cas, le signe de
ax 2 + bx + c selon les valeurs de x.
Les formules du discriminant et des solutions éventuelles d’une équation du second degré sont admises et
conformément à l’esprit du programme, nous n’avons mentionné ni la forme canonique, ni l’expression
de la forme factorisée d’un polynôme du second degré.
Les exercices proposés sont progressifs, allant de la reconnaissance d’un polynôme du second degré et
l’identification de ses coefficients, à des problèmes plus difficiles, où les résultats du cours ne sont qu’un
outil permettant de calculer une quantité à produire, un pourcentage, une vitesse… Afin de ne pas
anticiper sur le chapitre 5, consacré à l’étude des fonctions polynômes du second degré, nous n’avons
pas proposé d’exercices d’optimisation.
Nous avons veillé à proposer des exercices nécessitant, pour certains, l’utilisation de la calculatrice,
pour d’autres, celle d’un tableur. Par exemple, dans le TP 1, l’utilisation d’un tableur permet de faire
une conjecture sur les quantités à produire et à vendre pour réaliser un bénéfice, conjecture que l’on
démontre ensuite.

18

Ce chapitre se prête également à l’élaboration d’algorithmes. Le programme permettant de calculer
et d’afficher la valeur du discriminant et celui permettant de résoudre une équation du second degré
(TP 2) nous paraissent particulièrement utiles pour les élèves.

Les notions abordées dans le chapitre 3
• Résolution d’une équation du second degré
• Signe d’un polynôme du second degré

C Avant de commencer
Voir livre page 219.
Les corrigés détaillés sont disponibles sur le site www.bordas-indice.fr.

D Activités
Activité

1 U ne parabole « tournée vers
le haut ou vers le bas »

Cette activité a pour objectif d’amener les élèves à faire
une conjecture sur le lien entre le signe de a et « l’allure » de
la parabole représentant f, avec f une fonction polynôme
du second degré.
1. Pour Y1 : a = 0,5. Pour Y2 : a = 1.
Pour Y3 : a = 2. Pour Y4 : a = 3.
2. Sur l’écran ci-dessous, X varie de –5 à 15 et Y varie
de –10 à 25.

Activité

2 Z éro, une ou deux solutions ?

Cette activité a pour objectif d’introduire le discriminant
d’une fonction polynôme f du second degré et d’amener
les élèves à faire une conjecture sur le lien entre le signe de
b2 – 4ac et le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0,
c’est-à-dire le nombre de points d’intersection de la
parabole représentant f avec l’axe des abscisses.
Fichier associé sur www.bordas-indice.fr :
03_1STMG_activite2.ggb (GeoGebra).
1. L’équation f (x) = 0 a deux solutions, car la courbe
représentative de f coupe deux fois l’axe des abscisses.
2. Ouvrir le fichier 03_1STMG_activite2.ggb.
Sélectionner le mode Déplacer, cliquer gauche sur
chacun des curseurs pour les positionner sur les
différentes valeurs mises dans le tableau.
a

b

c

f (x)

b2 – 4ac

Nombre
de solutions

1

–4

1

x 2 – 4x + 1

12

2 solutions

3. On peut conjecturer que lorsque a > 0, les paraboles
sont « tournées vers le haut » et lorsque a < 0, elles sont
« tournées vers le bas ».

1

2

1

x + 2x + 1

0

1 solution

5

2

1

5x 2 + 2x + 1

–16

0 solution

5

–4

–2

5x 2 – 4x – 2

56

2 solutions

4. Pour g(x) : a = 0,5. On obtient a > 0, donc la parabole
représentant g est « tournée vers le haut » : il s’agit de
.
Pour h(x) : a = –0,5. On obtient a < 0, donc la parabole
représentant h est « tournée vers le bas » : il s’agit de .

5

–4

1

5x – 4x + 1

–4

0 solution

4

–4

1

4x 2 – 4x + 1

0

1 solution

4

2

1

4x 2 + 2x + 1

–12

0 solution

2

2

–1

2x + 2x – 1

12

2 solutions

On remarque que les paraboles sont « tournées vers
le bas ».

2

2

2

Chapitre 3 Second degré

19

3. On conjecture que :
si b2 – 4ac > 0, l’équation f (x) = 0 a deux solutions ;
si b2 – 4ac = 0, l’équation f (x) = 0 a une solution ;
si b2 – 4ac < 0, l’équation f (x) = 0 n’a pas de solution.

3 D ’une parabole

Activité

1. a. Pour déterminer le signe de f (x) selon les valeurs
de x, on regarde pour quelles valeurs de x, la courbe
est au-dessus ou au-dessous de l’axe des abscisses.
b. Ouvrir le fichier 03_1STMG_activite3.ggb.
Sélectionner le mode Déplacer, cliquer gauche sur le
curseur pour le positionner sur les différentes valeurs
mises dans le tableau.

1

12

2

8

4

6

Signe de f (x)
x

+

f (x)
x

–8

x

+

0



+∞
+

0

+∞

x2


+

0

+

0

+
+∞

–∞
+

f (x)

f (x)

20

+

0

+∞

–∞
+

2. Ouvrir le fichier 03_1STMG_activite3bis.ggb.
Sélectionner le mode Déplacer, cliquer gauche sur le
curseur afin de lui faire prendre différentes valeurs
(de –1 à –8).
Lorsque a < 0 :
Si D > 0
x

x1

–∞

f (x)



+∞

x2
+

0

0



Si D = 0
x

+∞

x1

–∞

f (x)



0



Si D < 0
x

+∞

–∞

f (x)

Activité



4 D ’une factorisation

au tableau de signes

Dans cette activité, nous avons utilisé le logiciel Xcas pour
donner la forme factorisée de trois polynômes du second
degré. Comme le logiciel donne le résultat sous la forme
a(x – x 1)(x – x 2 ), les élèves peuvent avoir une approche
algébrique de l’étude du signe de ax 2 + bx + c, et du rôle
du signe de a dans cette étude.
1. a. x 2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3).
b. 2x 2 + 4x – 6 = 2(x – 1)(x + 3).
c. –3x 2 – 6x + 9 = –3(x – 1)(x + 3).
2. P(x) = (x – 1)(x + 3)
–3

–∞

+∞

1

x –1



x+3



0

+

P(x)

+

0





0

+
+

0

+

S(x) = 2(x – 1)(x + 3) = 2P(x)
x

c. Lorsque a > 0 :
Si D > 0
x

+

Si D < 0

x
+∞

x1

–∞

f (x)
x

0

x2

x1

–∞

f (x)

0

x1

–∞

+∞

x1

–∞

f (x)

f (x)

Cette activité a pour objectif d’amener les élèves à bien
visualiser que la position de la parabole par rapport à
l’axe des abscisses dépend du signe de a et de celui du
discriminant.
Dans la première question, a > 0. En faisant varier a, la figure
s’anime. On observe alors différentes paraboles, toutes
« tournées vers le haut », qui coupent l’axe des abscisses,
ou qui sont au-dessus. On en déduit les trois tableaux de
signes possibles de f (x) lorsque a est strictement positif.
Dans la deuxième question, a < 0. On anime de même
la figure, les paraboles étant cette fois, toutes « tournées
vers les bas » et on en déduit les trois tableaux de signes
possibles de f (x) lorsque a est strictement négatif.
Fichiers associés sur www.bordas-indice.fr :
03_1STMG_activite3.ggb et
03_1STMG_activite3bis.ggb (GeoGebra).

D

x

x

au tableau de signes

a

Si D = 0

–3

–∞
+

S(x)

0

+∞

1


0

+

T(x) = –3(x – 1)(x + 3) = –3P(x)
x1

–∞
+

0

+∞

x2


0

+

x
T(x)

–3

–∞


0

+∞

1
+

0



E Exercices
POUR DÉMARRER
1

Voir livre page 219.

2 g et k sont des fonctions polynômes du second
degré, f et h ne le sont pas.
3

3. D = 0. L’équation f (x) = 0 a une unique solution.
4. D = 9. L’équation f (x) = 0 a deux solutions distinctes.
5. D = –11. L’équation f (x) = 0 n’a pas de solution.
6. D = 9. L’équation f (x) = 0 a deux solutions distinctes.
11

1.

Voir livre page 219.

4

a

b

c

ax 2 + bx + c

D = b2 – 4ac

1

4

3

x 2 + 4x + 3

4

3

–2

1

3x – 2x + 1

–8

–2

1

3

–2x + x + 3

25

3

0

1

3x 2 + 1

–12

2

1

0

2x 2 + x

1

2

2

Les solutions sont environ –3 et 2.
2.

5

ax 2 + bx + c

a

b

c

D = b2 – 4ac

x 2 + 3x +5

1

3

5

–11

–3x 2 + x – 1

–3

1

–1

–11

–x – 2x + 5

–1

–2

5

24

2x 2 + 8x – 1

2

8

–1

72

2x 2 – 7

2

0

–7

56

–3x + 2x

–3

2

0

4

2

2

1. f (x) = x 2 – 9x + 15.
a = 1, b = –9 et c = 15. D = 21.
2. f (x) = 3x 2 – 7x + 5.
a = 3, b = –7 et c = 5. D = –11.
3. f (x) = 2x 2 – 8x – 5.
a = 2, b = –8 et c = –5. D = 104.
4. f (x) = 2x 2 + 0x – 7.
a = 2, b = 0 et c = –7. D = 56.
5. f (x) = –3x 2 + x + 0.
a = –3, b = 1 et c = 0. D = 1.
6. f (x) = –2x 2 + 7x + 3.
a = –2, b = 7 et c = 3. D = 73.

Les solutions sont environ –1 et 3.
12

1. f (x) = 100 – 20x + x 2.

6

7 1. Le discriminant de f (x) est strictement positif.
2. Le discriminant de f (x) est strictement négatif.
8

Le discriminant est égal à 0.

La solution est environ 10.
2. f (x) = 2x 2 – 3x + 4.

L’équation f (x) = 0 n’a pas de solution.

L’équation 100x 2 – 7x – 11 = 0 a deux solutions
distinctes.

13 1. D = 36. Les solutions sont 1 et –0,2.
2. x 2 + 6x + 9 = 0 équivaut à (x + 3)2 = 0.
L’unique solution est –3.

10 1. D = –31. L’équation f (x) = 0 n’a pas de solution.
2. D = 96. L’équation f (x) = 0 a deux solutions distinctes.

14 1. D = –47. L’équation n’a pas de solution.
2. D = 16. Les solutions sont –5 et –1.

9

Chapitre 3 Second degré

21

15 1. D = 16. Les solutions sont –1 et –0,2.
2. –4x 2 + 12x – 9 = 0 équivaut à –(2x – 3)2 = 0.
L’unique solution est 1,5.

2.
x

1. D = 25. Les solutions sont 1 et –4.
2. –x 2 + 4x – 4 = 0 équivaut à –(x – 2)2 = 0.
L’unique solution est 2.
16

18 1. x – 9 = 0 équivaut à (x – 3)(x + 3) = 0.
Les solutions sont –3 et 3.
2. x 2 – x = 0 équivaut à x(x – 1) = 0.
Les solutions sont 0 et 1.

20

Voir livre page 219.

21

1.

x

+

f (x)

+



+∞
+

0

g(x)
22

x 2 + 2x – 35

+

0

+∞

5


+

0

+∞

–∞

x 2 + 2x + 11

+

–9

–∞

–6x 2 – 24x + 270

+

0

+∞

5
+

0



+∞

–1
+

–7x 2 – 14x – 7

0



0

+

0

+

–3

–∞

+∞

2

x–2



x + 3



0

+

f (x)

+

0





0

0

+

0


+

0

1

–∞



+

+∞

4

0



+

0

2. a = –1, b = –5 et c = 14.
D = 81. Les racines de f (x) sont 2 et –7.
–7

–∞


+∞

2
+

0

0



+∞

–∞
+

f (x)

x
f (x)

–∞

3



0

+

4

+∞

0



1. a = 9, b = –6 et c = 1.

1
D = 0. f (x) a une unique racine : .
3
1
3

–∞
+

+∞
+

0

2. a = –1, b = 3 et c = –2.
D = 1. Les racines de f (x) sont 2 et 1.
x

1.

x

+∞

7



f (x)
–∞

–1



x

25

x

+

f (x)

29

24

x

0

2. a = –1, b = 7 et c = –12.
D = 1. Les racines de f (x) sont 3 et 4.

23

x



1+x

x
–7

–∞

+

28 1. a = 1, b = –4 et c = 5.
D = –4. f (x) n’a pas de racine.



x

0

+

x

+∞

–∞

+



7–x

x

3

0

0

–∞

f (x)

x

22

f (x)

+

0

27 1. a = 1, b = –5 et c = 4.
D = 9. Les racines de f (x) sont 1 et 4.

2.

26



f (x)

–1

–∞



x–5

x

2

Les solutions sont environ –1 et –4.

2x

+∞

5

3.

1. D = –7. L’équation n’a pas de solution.
2. x 2 – 6x = 0 équivaut à x(x – 6) = 0.
Les solutions sont 0 et 6.
17

19

0

–∞

1

–∞

f (x)



0

+∞

2
+

0



1. f (x) = 2x 2 – x – 1.

+

30

+

x

+

f (x)

–0,5

–∞
+

0

+∞

1


0

+

2. f (x) = 2x 2 –x + 1.
x

+∞

–∞
+

f (x)
31

35 1. a. Pour f (x) > 0 : S = ]–3 ; –1[.
b. Pour f (x) ⩾ 0. S = [–3 ; –1].
c. Pour f (x) < 0. S = ]– ∞ ; –3[ ∙ ]–1 ; + ∞[.
d. Pour f (x) ⩽ 0. S = ]– ∞ ; –3] ∙ [–1 ; + ∞[.
2. a. Pour g(x) > 0 : S = ]– ∞ ; –5[ ∙ ]–2 ; + ∞[.
b. Pour g(x) ⩾ 0. S = ]– ∞ ; –5] ∙ [–2 ; + ∞[.
c. Pour g(x) < 0. S = ]–5 ; –2[.
d. Pour g(x) ⩽ 0. S = [–5 ; –2].

1. f (x) = x 2 – 4x + 4.

x

+

f (x)

+∞

2

–∞

+

0

2. f (x) = –x 2 + x – 2.
x

36 1. 2 représente f.
2. S = ]1 ; 5[.

+∞

–∞

f (x)

37



1. D = 64. Les racines de f (x) sont –3 et 1.

x
32

1. f (x) = 2x 2 – 9x – 5.

x

+

f (x)

0

+∞

5


0

+

2. f (x) = –x 2 + x + 2.
x
f (x)
33



0

+∞

2
+

0



1. f (x) = 5x 2 – 4x.

x

0

–∞
+

f (x)

0

+∞

0,8


0

+

x
f (x)
34



1.

0

+∞

11
+

0





+

0

+∞

3,5

7 – 2x

+

7 + 2x



0

+

f (x)



0

+

+

0


+

0



S = ]– ∞ ; –3,5] ∙ [3,5 ; + ∞[.
38

1. f (x) = –x 2 + 2x – 1 = –(x – 1)2.
+∞

1

–∞

f (x)
–11

–∞

0

–3,5

–∞

x

2. f (x) = –x 2 + 121.

+∞

1

S = [–3 ; 1].
2. f (x) = –4x 2 + 49 = (7 – 2x)(7 + 2x).
x

–1

–∞

+

f (x)

–0,5

–∞

–3

–∞



0



S = ℝ.
2. D = 9. Les racines de f (x) sont –2 et 1.
x

–2

–∞
+

f (x)

+∞

1

0



+

0

S = [–2 ; 1].
39

1. D = 4. Les racines de x 2 + 12x + 35 sont –7 et –5.

x
x 2 + 12x + 35

S = ]– ∞ ; 1[ ∙ ]3 ; + ∞[.
2.

–7

–∞
+

0

+∞

–5


0

+

S = ]–7 ; –5[.
2. D = 121. Les racines de –2x 2 + x + 15 sont 3 et –2,5.
x

–2,5

–∞

–2x + x + 15



2

0

+∞

3
+

0



S = ]– ∞ ; –2,5] ∙ [3 ; + ∞[.
40

1
1. D = 16. Les racines de –3x2 + 2x + 1 sont 1 et – .
3

x
–3x 2 + 2x + 1

S = ] –4 ; 1[.

–∞




1
3

0

+∞

1
+

0



1
S = ]–  ; 1[.
3
Chapitre 3 Second degré

23

49

2. 5x 2 – 25x ⩾ 0 équivaut à 5x(x – 5) ⩾ 0.
x

0

–∞

5x



x–5



5x 2 – 25x

+

+∞

5
+

0
0

+



0

+



0

+

S = ]– ∞ ; 0] ∙ [5 ; + ∞[.
41 1. a. B(x) > 0 équivaut à −x 2 + 60x − 500 > 0.
D = 1 600. Les racines de B(x) sont 10 et 50.

x

0

B(x)

10


0

50
+

0

60


L’ensemble des solutions de B(x) > 0 est ]10 ; 50[.
b. L’artisan fait un bénéfice (strictement positif) lorsqu’il
vend entre 11 et 49 vases.
2. B(x) = 300 équivaut à −x 2 + 60x − 800 = 0.
D = 400. Les solutions sont 20 et 40.
L’artisan fait un bénéfice de 300 € lorsqu’il vend 20
ou 40 vases.

Saisir a, b, c
d prend la valeur b2 – 4ac
Si d < 0
Alors afficher « pas de solution »
Sinon Si d = 0
Alors Afficher « une seule solution »
Sinon
Afficher « deux solutions distinctes »
Fin si
Fin si
50

Faux, le discriminant de x 2 – 3x + 1 est égal à 5.

51

Faux, le discriminant de ax 2 + bx est égal à b2.

52

Vrai, le discriminant de (x – 2)2 est égal à 0.

53 Vrai, b2 – 4ac = (– b)2 – 4ac, donc

ax 2 + bx + c et ax 2 – bx + c ont le même discriminant.
54 Vrai, b2 – 4ac = b2 – 4ca, donc

ax 2 + bx + c et cx 2 + bx + a ont le même discriminant.
55

1.

POUR S’ENTRAÎNER
42 f et g sont des fonctions polynômes du second
degré, h et k ne le sont pas.
43 f, h et k sont des fonctions polynômes du second
degré, g ne l’est pas.
44 Comme a = –3 et –3 < 0 : la parabole représentant
f est « tournée vers le bas ». f est représentée par 2.

Fichiers associés sur www.bordas-indice.fr :
03_1STMG_exercice45.xlsx (Excel 2007),
03_1STMG_exercice45.xls (Excel 2003)
et 03_1STMG_exercice45.ods (Open Office).
1. Formule dans la cellule D2 :  =B2*B2-4*A2*C2
2. En D2 : –8.   En D3 : 16.   En D4 : 0.
45

46

Voir livre page 219.

47

Voir livre page 219.

48 1. Cet algorithme calcule et affiche la valeur du
discriminant, l’utilisateur ayant saisi a, b et c.
2. Avec une calculatrice
TEXAS :

Les solutions sont environ 1 et 2.
2.

Les solutions sont environ 0,5 et 1.
56

1.

Avec une calculatrice
CASIO :
L’équation 3x 2 – x + 1 = 0 n’a pas de solution.

24

2.

3. Les abscisses des points d’intersection de 1 et 2
sont les solutions de l’équation f (x) = g(x), donc 1 et
2 ont deux points d’intersection : A(2 ; 9) et B(–1 ; 0).

Les solutions sont environ –2,45 et 1.
57 1. Vrai.
2. La réciproque de cette proposition est :
« Si la parabole qui représente une fonction polynôme
du second degré ne coupe pas l’axe des abscisses, alors
cette fonction n’a pas de racine. »
Cette réciproque est vraie.

1. 25 – 4x 2 = 0 équivaut à (5 – 2x)(5 + 2x) = 0.
Les solutions sont –2,5 et 2,5.
2. 3x 2 – 8x = 0 équivaut à x(3x – 8) = 0.
8
Les solutions sont 0 et .
3
3. (x – 2)2 – 49 équivaut à (x – 9)(x + 5) = 0.
Les solutions sont –5 et 9.
4. L’équation (x + 3)2 = 0 a pour solution –3.
58

59

Voir livre page 219.

1. 49x 2 + 14x + 1 = 0 équivaut à (7x + 1)2 = 0.
1
La solution est – .
7
2. –4x 2 –7x + 2 = 0.
1
D = 81. Les solutions sont et –2.
4
3. 7x 2 = 2x équivaut à x(7x – 2) = 0.
2
Les solutions sont 0 et .
7
4. 3x 2 + 2 = 0.
D = –24. L’équation n’a pas de solution.
5. 49x 2 – 1 = 0 équivaut à (7x + 1)(7x – 1) = 0.
1 1
Les solutions sont – et .
7 7
6. x 2 – 3x = –3 équivaut à x 2 – 3x + 3 = 0.
D = –3. L’équation n’a pas de solution.
60

62 Fichier associé sur www.bordas-indice.fr :
03_1STMG_exercice62.alg (AlgoBox).
Cet algorithme permet d’indiquer si un nombre est
solution d’une équation du second degré, l’utilisateur
ayant saisi a, b, c et le nombre à tester.

64

Faux, car –22 + 3 × 2 – 1 = 1 et 1 ≠ 0.

65

Vrai, car 2(–3)2 + 3 × (–3) = 9.

66 1. Faux, la parabole est « tournée vers le haut »,
donc a > 0.
2. Vrai, car la courbe coupe deux fois l’axe des abscisses.
3. Vrai, car la courbe coupe deux fois l’axe des abscisses.
67 1. Pour tout réel x :
(−2x +7)(x − 1) = –2x 2 + 7x + 2x – 7 = −2x 2 + 9x − 7
et P(x) = −2x 2 + 9x − 7 donc P(x) = (−2x + 7)(x − 1).
2.

x

1

–∞

−2x + 7

+

x−1



0

+

P(x)



0

+

+

0

0

Voir livre page 219.

69

Voir livre page 219.

70

1. f (x) = −100x 2 − 20x − 1 = −(10x + 1)2.

f (x)





+∞

−0,1

–∞


+

68

x

+∞

3,5

0



2. D = 36. Les racines de −5x 2 − 4x + 1 sont –1 et 0,2.
x

–1

–∞

f (x)



+∞

0,2
+

0

0



1. D = –8.
D < 0, donc 2x 2 − 4x + 3 n’a pas de racine.
71

x

+∞

–∞
+

f (x)

2. D = 36. Les racines de 5x 2 − 4x − 1 sont –0,2 et 1.
x
f (x)
72

−0,2

–∞
+

0

+∞

1


0

+

1.

63 1. Par lecture graphique, 1 et 2 ont un seul point
d’intersection.
2. f (x) = g(x) équivaut à –x 2 + x + 2 = 0.
D = 9. Les solutions sont 2 et –1.

Chapitre 3 Second degré

25

x

1

–∞

f (x)



0

+∞

4
+

0



2. f (x) = x(1 – x) – 2 = –x 2 + x – 2.
D = –7. f (x) n’a pas de racine.
x

2.

77

x

–1

–∞
+

f (x)

0

+∞

–0,5


0



1. f (x) = (2 + x)2 – 4 = x(x + 4).

x

73

+∞

–∞

f (x)

−4

–∞

x



x + 4



0

+

0

f (x)

78

0

+

0

–4


+∞

+∞

1
+

0

0

−1

–∞
+

x2 – x – 2
2





1. Vrai.

x

+

+

2

–∞

f (x)

–∞

+

0

+

2. f (x) = –3x – (x – 4) = –x – 3x + 4.
D = 25. Les racines de f (x) sont –4 et 1.

+

x

f (x)



2

1.

x

+∞

0

0

+∞

2


0

+

Sur [–1 ; 2], x 2 – x – 2 ⩽ 0.

+

79 Faux, D = –11. D < 0.
a = –1, donc a < 0 : pour tout réel x, –x 2 + 3x – 5 < 0.

2.

80 1. Pour tout réel x :
(−3x + 1)(x − 2) = −3x 2 + 6x + x − 2 = −3x 2 + 7x − 2
et P(x) = −3x 2 + 7x − 2 donc P(x) = (−3x + 1)(x − 2).
2. −3x 2 + 7x − 2 > 0 équivaut à P(x) > 0 et donc à
(−3x + 1)(x − 2) > 0.

x

x

+∞

–∞
+

f (x)

74 Fichiers associés sur www.bordas-indice.fr :
03_1STMG_exercice74.xlsx (Excel 2007),
03_1STMG_exercice74.xls (Excel 2003)
et 03_1STMG_exercice74.ods (Open Office).
1. Formule dans B2 :  =-A2*A2+6*A2-5
2. Si 1 < x < 5, alors f (x) > 0.
Si x < 1 ou x > 5, alors f (x) < 0.
3. D = 16. Les racines de f (x) sont 1 et 5.

x

76

1

–∞

f (x)



0

0



–3x + 1

+

x–2



P(x)



+∞

3

3–x

+

+

x + 5



0

+

f (x)



0

+

0
0

0


0

+

+

0



x

–0,2

–∞
+

10x 2 – 3x – 1

0

+∞

0,5


0

+

2. S = ] – ∞ ; – 0,2[ ∙ ]0,5 ; + ∞[.
1. (2 + 5x)(1 – x) ⩾ 0.
–0,4

–∞

1–x

+

2 + 5x



0

+

+

(2 + 5x)(1 – x)



0

+

S = [–0,4 ; 1].

+∞

1








81 1. D = 49.
Les racines de 10x 2 – 3x – 1 sont 0,5 et –0,2.

x
−5

–∞

0

+∞

2

1
S = ˘ ; 2 È .
˚˙ 3 ÎÍ

82

1.

x

26

+∞

5
+

1
3

–∞

+

0


+

0



2. x 2 – 3x < 0 équivaut à x(x – 3) < 0.
x

0

–∞

x



x–3



x(x – 3)

+

0
0

x
+∞

3
+

2 + 5x



2 – 5x

+

4 – 25x 2



0

+



0

+

0

+∞

+

0



+

0



1. D = 100.
Les racines de –2x 2 – 2x + 12 sont 2 et –3.
84

–3

–∞

–2x – 2x + 12



2

0

+∞

2
+

0



0,5

–∞

2x 2 – 5x + 2

+

0

0

+

1. D = 1. Les racines de –3x 2 + 7x – 4 sont

x
–3x 2 + 7x – 4



0

+

0

3x – 5x + 2

+

0

0

+

0

0



S = [–6 ; 1].
3. f est au-dessus de g sur l’intervalle [–6 ; 1].
1.

2. a.
x

–3

–∞
+

0

+∞

1


0

+

92

1.

+∞

1




+∞

1

b. S = ]– ∞ ; –3[ ∙ ]1 ; + ∞[.

1. 3x 2 – 5x ⩾ –2 équivaut à 3x 2 – 5x + 2 ⩾ 0.
2
D = 1. Les racines de 3x 2 – 5x + 2 sont 1 et .
3

2

–6

–∞

f (x)

2
3





88

–∞

0

+∞

Voir livre page 219.

x

+

0

4
et 1.
3

4
S = ]– ∞ ; 1[ ∙ ˘ ; È.
˙˚ 3
ÍÎ
2. D = –11. D < 0.
a = 3 donc a > 0 : pour tout réel x, 3x 2 – 5x + 3 > 0.
S = ℝ.
87

+∞

1

90 1. Par lecture graphique, f est au-dessus de g
sur l’intervalle ]– ∞ ; 1].
2. f (x) ⩾ g(x) équivaut à f (x) – g(x) ⩾ 0 et donc à
–x 2 – 5x + 6 ⩾ 0.
D = 49. Les racines de –x 2 – 5x + 6 sont –6 et 1.

91

4
3

1

–∞



–x – 5x + 6

S = ] – ∞ ; 0,5] ∙ [2 ; + ∞[.
85

–9x 2 + 13x – 4

2

+∞

2


4
9

–∞

x

S = ] –3 ; 2[.
2. D = 9. Les racines de 2x 2 – 5x + 2 sont 0,5 et 2.
x

x

4
S = È ; 1˘ .
ÍÎ 9 ˙˚
2. 5 – 2(x 2 + x + 3) ⩾ 0 équivaut à –2x 2 – 2x – 1 ⩾ 0.
D = –4. D < 0.
a = –2 donc a < 0 : pour tout réel x, –2x 2 – 2x – 1 < 0.
L’inéquation –2x 2 – 2x – 1 ⩾ 0 n’a pas de solution.

+

S = ]– ∞ ; –0,4] ∙ [0,4 ; + ∞[.
2. x 2 – 14x + 49 ⩾ 0 équivaut à (x – 7)2 ⩾ 0.
S = ℝ.

x

+

0

89

0,4
+



1. 13x – (9x 2 + 4) ⩾ 0 équivaut à –9x 2 + 13x – 4 ⩾ 0.
4
D = 25. Les racines de – 9x 2 + 13x – 4 sont 1 et .
9

0

–0,4

–∞

0

S = ] –2 ; 3[.



1. 4 – 25x 2 ⩽ 0 équivaut à (2 – 5x)(2 + 5x) ⩽ 0.

x

+

x –x–6

+∞

3

+

S = ]0 ; 3[.
83

–2

–∞
2

+

2
S = ˘ - ; ˘ ∙ [1 ; + ∞[.
3 ˚˙
˚˙
2. (1 + x)(x – 2 ) < 4 équivaut à x 2 – x – 6 < 0.
D = 25. Les racines de x 2 – x – 6 sont –2 et 3.
Chapitre 3 Second degré

27

2. a.
x

–6

–∞

f (x)



+

0

+∞

4
0

x



Vrai, car –22 + 3 × 2 – 1 = 1 et 1 ⩾ 0.

1
Faux, car – est solution de 9x 2 + 6x + 1 ⩽ 0.
3
95 Faux, l’inéquation –2x 2 + x + 1 < 0 a pour ensemble
de solutions ]– ∞ ; –0,5[ ∙ ]1 ; + ∞[.
94

96 Soit x, la longueur, en cm, du côté du carré.
x est strictement positif.
On doit résoudre (x + 5)2 = 1,44x 2, ce qui équivaut à :
–0,44x 2 + 10x + 25 = 0.
25
D = 144. Les solutions sont 25 et – .
11
Comme x > 0, seul 25 est solution : le côté mesurait
initialement 25 cm.

1. La recette, en milliers d’euros, est R(x) = 1,5x.
B(x) = R(x) – C(x) = 1,5x – (0,02x 2 – 2x + 98), donc :
B(x) = –0,02x 2 + 3,5x – 98.
D = 4,41 = 2,12. Les racines de B(x) sont 140 et 35.
97

x

0

B(x)

35


140
+

0

0

150


L’entreprise fait un bénéfice (positif ou nul) lorsqu’elle
vend entre 35 et 140 téléviseurs.
2. B(x) = 40 équivaut à – 0,02x 2 + 3,5x – 138 = 0.
D = 1,21 = 1,12. Les solutions sont 115 et 60.
L’entreprise fait un bénéfice de 40 000 € lorsqu’elle
vend 115 ou 60 téléviseurs.
1. R(n) = 80n
2. L’artisan réalise un bénéfice lorsque ℛ est au-dessus
de , c’est-à-dire lorsqu’il vend plus de 50 chaises.
3. B(n) = R(n) – C(n) = 80n – (− 0,2n2 + 50n + 2 000)
donc B(n) = 0,2n2 + 30n – 2 000.
D = 2 500. Les racines de B(n) sont –200 et 50.
98

n

0

B(n)

50


90
+

0

1. f (x) = 0 équivaut à x 2 – 10x + 9 = 0.
D = 64. Les solutions sont 1 et 9.
2.
99

f (x)

28

1

–∞
+

0

+∞

9




+∞

1
+

0

1
.
6

0



1
2. S = ˘ - ; È ∙ ]1 ; + ∞[.
6 ÎÍ
˚˙
101 1. x 2 + 5x – 1 = 10x 2 – 7x + 3 équivaut à :

–9x 2 + 12x – 4 = 0 et donc à –(3x – 2)2 = 0.
2
La solution est x = .
3
2. Comme l’équation x 2 + 5x – 1 = 10x 2 – 7x + 3 a une
unique solution, les deux paraboles ont un seul point
2
d’intersection. Son abscisse est égale à .
3
102 1. f (x) < g(x) équivaut à 2x 2 – 3x + 1 < –x 2 + 8x – 9

et donc à 3x 2 – 11x + 10 < 0.

5
D = 1. Les racines de 3x 2 – 11x + 10 sont 2 et .
3
x

5
3

–∞

3x – 11x + 10
2

+

0

+∞

2


0

+

5
S = ˘ ; 2 È .
˚˙ 3 ÎÍ
2. La parabole qui représente f est strictement au5
dessous de celle représentant g sur l’intervalle ˘ ; 2 È .
˚˙ 3 ÎÍ

POUR FAIRE LE POINT
Voir livre page 219.
Les corrigés détaillés sont disponibles sur le site
www.bordas-indice.fr

ACCOMPAGNEMENT
­P ERSONNALISÉ
103 a. 2x 2 – 5x = –3 équivaut à 2x 2 – 5x + 3 = 0.

On retrouve bien le résultat de la question 2.

x

1
6

–∞

P(x)

b. S = ] –6 ; 4[.
93

100 1. D = 25. Les racines de –6x 2 + 7x – 1 sont 1 et

0

+

D = 1. Les solutions sont 1 et 1,5.
b. x 2 – 5x = 6 équivaut à x 2 – 5x – 6 = 0.
D = 49. Les solutions sont –1 et 6.
c. x 2 = 3x – 4 équivaut à x 2 – 3x + 4 = 0.
D = –7. D < 0 : il n’y a pas de solution.
d. 20x(5x – 1) = –1 équivaut à 100x 2 – 20x + 1 = 0 et
donc à (10x – 1)2 = 0.
L’équation a une unique solution : 0,1.

104 D = 289 = 172. Les racines de B(x) sont 19 et 2.

x

1

B(x)

2


0

19
+

24

0



L’entreprise réalise un bénéfice (positif ou nul) lorsqu’elle
vend entre 2 et 19 montres.

x
B(x)

1

2

3


0

21
+

24

0

x



L’entreprise réalise un bénéfice (positif ou nul) lorsqu’elle
vend entre 3 et 21 montres.

POUR APPROFONDIR
106 1. Vrai d’après le cours.
2. Contraposée de cette proposition :
« Si l’équation ax 2 + bx + c = 0 n’a pas deux solutions
distinctes, alors b2 – 4ac ⩽ 0 ».
107 1. Comme Philippidès parcourt 100 km, alors :

100
donc 100 = vt.
t
De même, pour le vainqueur : 100 = VT.
2. Philippidès met une heure de plus que le vainqueur,
donc t = T + 1 d’où t – 1 = T.
S’il avait augmenté sa vitesse de 1,5 km/h, elle aurait
été égale à celle du vainqueur. On a donc v + 1,5 = V.
100
100
3. t – 1 = T donc
– 1 =
.
v
V
100
100
Donc
– 1 =
. Cette équation est équivalente
v
v 1, 5
v =

à (v + 1,5)(100 – v) = 100v et donc à v2 + 1,5v – 150 = 0.
- 1, 5 - 602 , 25
4. D = 602,25. x 1 =
≈ –13,02
2
- 1, 5 602 , 25
et x 2 =
≈ 11,52.
2
Comme x 1 < 0, x 1 ne convient pas. Il y a une unique
solution : x 2 ≈ 11,52.
5. La vitesse de Phillipidès est d’environ 11,52 km/h.
100 100
t =

≈ 8,68.
11, 52
v



2. B(x) = R(x) – C(x) = 62x – 0,25x − (0,2x + 8x + 500)
donc B(x) = −0,45x 2 + 54x − 500.
2

2

0

120

x1
+

0



Pour réaliser un bénéfice de 400 €, l’entreprise doit
vendre 20 objets ou 100 objets.
109 Fichiers associés sur www.bordas-indice.fr :
03_1STMG_exercice109.xlsx (Excel 2007),
03_1STMG_exercice109.xls (Excel 2003) et
03_1STMG_exercice109.ods (OpenOffice).
1. 3 × 5,5 = 16,5
La recette pour 3 piscines est de 16 500 €.
16,5 − C(3) = 16,5 − 16,1 = 0,4
Le bénéfice est de 400 €.
2. a. Formule à écrire en B2 :  =0,4*A2*A2+1,5*A2+8
Formule à écrire en C2 :  = 5,5*A2
Formule à écrire en D2 :  =C2-B2
b.

3. a. Il faut vendre entre 3 et 7 piscines pour faire un
bénéfice.
b. B(q) = 5,5q – (0,4q2 + 1,5q + 8) = −0,4q2 + 4q − 8.
B(q) > 0 équivaut à − 0,4q2 + 4q – 8 > 0.
D = 3,2.
x 1 =

108 1. a. p(40) = 52 et 40 × 52 = 2 080.

Pour 40 objets vendus, la recette est de 2 080 €.
x
b. R(x) = xp(x) = x  62 = 62x – 0,25x 2.
4

x2


L’entreprise réalise un bénéfice lorsqu’elle vend entre
11 et 109 objets.
b. B(x) = 400 équivaut à −0,45x 2 + 54x − 900 = 0.
D = 1 296 = 362.
- 54 - 36
- 54 36
x 1 =
 = 100 et x 2 =
 = 20.
-0 , 9
-0 , 9

Il a mis 8,68 heures, soit environ 8 heures et 41 minutes.



10

B(x)

105 B(x) = 26x – (x + 2x + 63) = –x + 24x – 63.
D = 324 = 182. Les racines de B(x) sont 21 et 3.
2

3. a. B(x) > 0 équivaut à −0,45x 2 + 54x − 500 > 0.
D = 2 016.
- 54 - 2 016
- 54 2 016
x1 =
≈ 109,9 et x2 =
≈ 10,1.
-0 , 9
-0 , 9

q
B(q)

- 4 - 3, 2
- 4 3, 2
≈ 7,24 et x 2 =
- 0, 8
- 0 , 8 ≈ 2,76.
0

x2


0

10

x1
+

0



Comme on vend un nombre entier de piscines, on
retrouve bien le résultat de la question 3. a.
Chapitre 3 Second degré

29

4. a. Pour faire un bénéfice de 1 600 €, il faut vendre
4 ou 6 piscines.
b. B(q) = 1,6 équivaut à –0,4q2 + 4q – 9,6 = 0.
D = 0,64 = 0,82.
- 4 - 0, 8
- 4 0, 8
x 1 =
 = 6 et x 2 =
 = 4.
- 0, 8
- 0, 8

113 Partie A

1.
x

16

20

25

30

35

40

45

C(x)

144

160

225

340

505

720

985

2.

On retrouve bien le résultat de la question 4. a.
110 1. Pour un prix de 18 €, le nombre de produits
demandés est d’environ 25 et le nombre de produits
offerts d’environ 52.
2. a. La demande est égale à l’offre lorsque f (x) = g(x),
et donc lorsque 0,05x 2 − 4x + 80,8 = 2x + 16, ce qui
équivaut à 0,05x 2 – 6x + 64,8 = 0.
D = 23,04 = 4,82.
6 - 4, 8
6 4, 8
x 1 =
 = 12 et x 2 =
 = 108.
0 ,1
0 ,1

Comme le prix est compris entre 2 et 30 et que x 2 > 30,
x 2 ne convient pas.
Le prix d’équilibre est donc de 12 €.
Graphiquement, on lit l’abscisse du point d’intersection
des deux courbes.
b. f (12) = g(12) = 40.
Lorsque le prix est de 12 €, le nombre de produits
demandés (et offerts) est égal à 40.
Le chiffre d’affaires réalisé est 12 × 40 = 480 €.
111 1. 0 ⩽ t ⩽ 100.
Le prix initial, égal à 200 €, est multiplié par
t
t 5
1–
puis par 1 –
. Après ces deux remises, le
100
100
prix est égal à 100 €, on doit donc résoudre :
t
t 5
200 × (1 –
) × (1 –
) = 100.
100
100
2. 200(100 – t)(95 – t) = 100 × 100 × 100 équivaut à
(100 – t)(95 – t) = 5 000 et donc à t2 – 195t + 4 500 = 0.
D = 20 025.
195 - 20 025
x 1 =
≈ 26,7
2
195 20 025
et x 2 =
≈ 168,3.
2

Comme x 2 > 100, x 2 ne convient pas.
À 1 % près par excès, la remise accordée est égale à
27 %.
112 1. A(x) = (4x – 6)(x – 4) = 4x 2 – 22x + 24.

2. A(x) = 120 équivaut à 4x 2 – 22x – 96 = 0.
3. D = 2 020.
22 - 2 020
22 2 020
x 1 =
≈ –2,87 et x 2 =
≈ 8,37.
8
8
x 1 < 0 donc x 1 ne convient pas. L’entrepôt a pour largeur
8,37 mètres et pour longueur 4 × 8,37 = 33,48 mètres.

30

Partie B
1. a. 36 × 4,5 + 275 × 0,72 = 360.
La recette correspondant à une vente de 36 sachets de
berlingots et de 275 sucettes est de 360 €.
b. 36 × 0,25 + 275 × 0,040 = 20.
La quantité de pâte utilisée pour cette vente est de
20 kg.
2. La recette pour 20 kg de pâte est égale à 360 €, donc
la recette pour x kg est égale à 18x.
On a bien pour tout x de [16 ; 45] : R(x) = 18x.
3. a. Voir graphique ci-dessus.
b. L’artisan réalise un bénéfice lorsque la droite des
recettes est au-dessus de la courbe des coûts, c’est-àdire pour x compris entre 16 et 40.
4. R(x) ⩾ C(x) équivaut à 18x ⩾ x 2 – 32x + 400 et donc à :
–x 2 + 50x – 400 ⩾ 0.
D = 900. Les racines de –x 2 + 50x – 400 sont 40 et 10.
x

16

40

–x 2 + 50x – 400

+

45

0



S = [16 ; 40].
L’artisan réalise un bénéfice (positif ou nul) pour x
compris entre 16 et 40.
5. Correctif : il faut lire un bénéfice supérieur à 200 € et
non pas un bénéfice de 200 €.
R(x) – C(x) ⩾ 200 équivaut à – x 2 + 50x – 600 ⩾ 0.
D = 100. Les racines de – x 2 + 50x – 600 sont 30 et 20.
x

16

–x + 50x – 600
2

20


0

30
+

0

45


L’artisan réalise un bénéfice supérieur à 200 € pour x
compris entre 20 et 30.

F Activités TICE
TP

1 C oûts, recettes et bénéfices

L’objectif de ce TP est d’utiliser un tableur pour calculer
le coût, le prix (variable), la recette, puis le bénéfice de la
production et de la vente de certaines quantités de produit
(ici des paires de chaussettes), de faire une conjecture sur
la quantité à produire pour réaliser un bénéfice, puis de
démontrer, par le calcul, cette conjecture.
Fichiers associés sur www.bordas-indice.fr :
03_1STMG_TP1.xlsx (Excel 2007),
03_1STMG_TP1.xls (Excel 2003) et
03_1STMG_TP1.ods (Open Office).
A. 1.  a. Le coût de production de 60 000 paires de
chaussettes est d’environ 450 000 €.
b. La recette réalisée est alors d’environ 490 000 €.
c. Il est rentable de produire 60 000 paires de chaussettes
car les recettes sont alors supérieures aux coûts.
2. L’entreprise réalise un bénéfice lorsqu’elle vend
entre 2 000 et 64 000 paires de chaussettes.
B. 1. a. et b. On entre en B3 la formule
=0,1*A3*A3+A3+40 , on la recopie vers le bas jusqu’à la
cellule B75.
c. Pour 60 000 paires de chaussettes, le coût de
fabrication est de 460 000 €.
2. a. et b. On entre en C3 la formule  =11,2-0,05*A3 , on
la recopie vers le bas jusqu’à la cellule C75.
c. Le prix de vente diminue lorsque la quantité vendue
augmente.
d. Le prix de vente d’un millier de paires de chaussettes
lorsqu’on en vend 60 000 est de 8 200 €.
3. a et b. On doit écrire en D3, la formule  =A3*C3 .
c. Pour 60 000 paires de chaussettes, la recette est de
492 000 €.
4. a. et b. On entre en E3 la formule  =D3-B3 , on la
recopie vers le bas jusqu’à la cellule E75.
c. Pour 60 000 paires de chaussettes, le bénéfice est
de 32 000 €.

C. 1. B(q) = qP(q) – C(q)
B(q) = q(11,2 – 0,05q) – (0,1q2 + q + 40)
B(q) = − 0,15q2 + 10,2q − 40.
2. D = 10,22 – 4(–0,15)(–40) = 80,04.
- 10 , 2 - 80 , 04
x 1 =
≈ 63,8217
- 0, 3
- 10 , 2 80 , 04
et x 2 =
≈ 4,1783.
- 0, 3
q

0

B(q)

x2


0

72

x1
+

0



B(q) ⩾ 0 a pour ensemble de solutions [x 2 ; x 1].
3. L’entreprise réalise un bénéfice lorsqu’elle vend
entre 4 179 et 63 821 paires de chaussettes.

TP

2 R ésolution d’une équation
du second degré

L’objectif de ce TP est d’écrire puis de programmer un
algorithme permettant d’afficher les solutions éventuelles
d’une équation du second degré, l’utilisateur ayant saisi
les coefficients a, b et c.
Fichiers associés sur www.bordas-indice.fr :
03_1STMG_TP2.alg et 03_1STMG_correctionTP2.alg
A. 1. Voir cours.
2.

Saisir a, b, c
d prend la valeur b2 – 4ac
Si d < 0
Alors afficher « pas de solution »
Sinon Si d = 0
Alors afficher –b/2a
Sinon afficher (–b – d )/(2a),
(–b + d )/(2a)
Fin si
Fin si

B. 1. Avec une calculatrice Texas :

5. L’entreprise réalise un bénéfice lorsqu’elle produit
et vend entre 5 000 et 63 000 paires de chaussettes.

Chapitre 3 Second degré

31

• Faire de même pour les quatre dernières lignes.
Pour l’affichage de la variable x1,
cocher la case  Ajouter un retour à la ligne  .

Avec une calculatrice Casio :

Après l’affichage, taper sur  EXE  pour avoir la deuxième
solution, ou pour revenir à la liste des programmes.
2.
a. 10x 2 + 7x + 1 = 0

b. 0,1x 2 – 0,7x + 1


c. x 2 – 12x + 11 = 0

d. x 2 – 5x + 7 = 0
3. Pour exécuter le programme :
Sélectionner  Tester Algorithme  , puis  Lancer Algorithme  .
a. x 2 + 7x + 10 = 0


e. 16x + 56x + 49 = 0

f. 36x 2 – 35x + 34 = 0

2


C. 1. et 2. Ouvrir le fichier 03_1STMG_TP2.alg.
• Se placer, en cliquant gauche, sur la première ligne
à compléter.
• Sélectionner  Ajouter AFFICHER Message  , puis taper le
message : pas de solution, puis  OK .
• Se placer, en cliquant gauche, sur la deuxième ligne
à compléter.
• Sélectionner :  AFFECTER valeur à variable  puis compléter
l’écran ci-dessous.

puis  OK .
• Se placer, en cliquant gauche, sur la troisième ligne
à compléter.
• Sélectionner  Ajouter AFFICHER Variable  puis compléter
l’écran ci-dessous.

puis  OK .

32

b. 3x 2 – 21x + 30 = 0

c. – 0,1x 2 – 1,2x – 1,1 = 0

d. 7x 2 – 5x + 1 = 0

e. 16x 2 – 72x + 81 = 0

f. 34x 2 + 35x + 36 = 0




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