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CHAPITRE 1. SÉRIE STATISTIQUE À UN CARACTÈRE

⎧
⎪
bi−1 = 35
⎪
⎪
⎪
⎨ a = 10
⎪ ni−1 = 45
⎪
⎪
⎪
⎩
ni+1 = 59


=⇒

=⇒ M o = bi−1 + a



1.5. PARAMÈTRES DE POSITION

α1 = 68 − 45 = 23
α2 = 68 − 59 = 9

α1
α1 +α2



= 35 + 10



23
23+9



= 42, 19 .

• Determination graphique : Nous utilisons l’histogramme des effectifs.
Exemple. Dans l’exemple C précedent :

3. La médiane : Elle représente la valeur de la variable statistique qui divise l’effectif total (ou
la fréquence totale) en deux parties égales. Elle est notée M e.
(a) Médiane d’une variable discrète : Elle est déterminée directement du tableau, elle
correspond à :
NM e−1 ≤ N/2 ≤ NM e

FM e−1 ≤ 50% ≤ FM e

ou

Exemple. Dans l’exemple B précedent :
ci

ni

0

16

1

21

2

52

3

84

4

63

5

4

Ainsi, la médiane : M e = 3 .

Ni

Fi

0

0%

16

6, 67%

37

15, 42%

89

37, 09%

173

72, 09%

236

98, 34%

240

100%

⇐= N/2 = 120

16

CHAPITRE 1. SÉRIE STATISTIQUE À UN CARACTÈRE

1.5. PARAMÈTRES DE POSITION

• Determination graphique : Nous utilisons le diagramme cumulatif croissant.
Exemple. Dans l’exemple B précedent :

Cas particulier. Si Ni = N/2 ou Fi = 50% nous ne pouvons pas determiner la médiane.
Nous pouvons juste avoir la classe médiane.
Exemple.

ci

ni

0

16

1

21

2

83

3

53

4

63

5

4

Ni

Fi

0

0%

16

6, 67%

37

15, 42%

120

50%

173

72, 09%

236

98, 34%

240

100%

⇐= N/2 = 120

La valeur médiane est comprise entre 2 et 3.
(b) Médiane d’une variable continue : Nous commençons par chercher la classe médiane
[bi−1 , bi [. Ainsi :

M e = bi−1 + a

(N/2) − Ni−1
Ni − Ni−1




Remarque. Nous pouvons aussi calculer la médiane comme suit :



0.5 − Fi−1
M e = bi−1 + a
Fi − Fi−1
Exemple. Dans l’exemple c précedent :
17

CHAPITRE 1. SÉRIE STATISTIQUE À UN CARACTÈRE

bi

ci

ni

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

68

15
25
35

59

[55, 65[

51

55
65

Ainsi :



M e = bi−1 + a

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

130

54, 16%

189

78, 74%

⇐= N/2 = 120

45
[45, 55[

1.5. PARAMÈTRES DE POSITION

240

(N/2) − Ni−1
Ni − Ni−1




100%


= 35 + 10

120 − 62
130 − 62



= 43.53

Cas particulier. Si N/2 correspond à bi alors M e = bi .
Exemple.
bi

ci

ni

[15, 25[

17

[25, 35[

45

[35, 45[

58

[45, 55[

69

[55, 65[

51

15
25
35
45
55
65

Ni

Fi

0

0%

17

7, 08%

62

25, 83%

120

50%

189

78, 74%

240

100%

⇐= N/2 = 120

Ici : M e = 45 .
• Determination graphique : Nous utilisons les courbes cumulatives croissantes et
décroissantes.
Exemple. Dans l’exemple C précedent :

18

CHAPITRE 1. SÉRIE STATISTIQUE À UN CARACTÈRE

1.6

1.6. PARAMÈTRES DE DISPERSION

Paramètres de dispersion

1. La variance : Elle représente la moyenne des carrés des écarts entre xi et X. Elle est notée
V ar(X), et est donnée par la formule :
(a) Variance d’une variable discrète :
V ar(X) =

k
k

2
2
1
ni x i − X =
fi xi − X
N i=1
i=1

(b) Variance d’une variable continue :
V ar(X) =

k
k

2
2
1
ni Cei − X =
fi Cei − X
N i=1
i=1

Remarque. En pratique nous utilisons la formule suivante pour calculer la variance :
• Cas d’une variable discrète :
V ar(X) =
• Cas d’une variable continue :
V ar(X) =





1
N

1
N

k

i=1


2
ni x2i − X


2
2
n
Ce
i
i −X
i=1

k

Propriétés.
(a) ∀a ∈ IR , V ar(a) = 0 .
(b) ∀a, b ∈ IR , V ar(aX + b) = a2 V ar(X) .
2. L’écart-type : Il représente la moyenne des écarts entre xi et X. Il est noté σ(X), et est
donné par la formule :
σ(X) =


V ar(X)

Exemple. Dans l’exemple B précedent :
(02 × 16) + (12 × 21) + (22 × 52) + (32 × 84) + (42 × 63) + (52 × 4)
− 2.702 = 1.43
240
Ainsi : σ(X) = 1.2 .

V ar(X) =

19

CHAPITRE 1. SÉRIE STATISTIQUE À UN CARACTÈRE

20

1.6. PARAMÈTRES DE DISPERSION

Chapitre 2

Série statistique à deux caractères
2.1

Introduction

1. Définition : Lorsque nous étudions deux caractères différents simultanément sur une même
population, les résultats obtenus forment une série statistique à deux caractères : X et Y .
Exemple.
• La répartition des voitures vendues en Algérie selon leur couleurs et leur marques.
• La répartition des travailleurs d’une entreprise selon leur qualifications et leur âges.
• La répartition des étudiants selon leur niveaux universitaires et leur moyennes de fin
d’année.
2. Tableau de contingence : C’est un tableau qui donne les effectifs nij répartis selon deux
axes : l’un pour les modalités de X, et l’autre pour les modalités de Y .
H

HH
X
x1
H
HH
Y
H

x2

···

xi

···

xk

y1

n11

n21

···

ni1

···

nk1

y2
..
.

n12
..
.

n22
..
.

···
..
.

ni2
..
.

···
..
.

nk2
..
.

yj
..
.

n1j
..
.

n2j
..
.

···
..
.

nij
..
.

···
..
.

nkj
..
.

yl

n1l

n2l

···

nil

···

nkl

Exemple. Dans l’entreprise précedente, on a fait la répartition des travailleurs selon leur
nombre d’enfants (X) et leur âges (Y ), de la manière suivante :
21

CHAPITRE 2. SÉRIE STATISTIQUE À DEUX CARACTÈRES

2.1. INTRODUCTION

H

HH

X
0
HH
Y
H
H
[15, 25[
9

1

2

3

4

5

5

3

0

0

0

[25, 35[

5

9

14

10

7

0

[35, 45[

1

6

22

24

14

1

[45, 55[

1

0

9

31

16

2

[55, 65[

0

1

4

19

26

1

3. Tableau des fréquences :C’est un tableau qui donne les fréquences fij répartis selon deux
axes : l’un pour les modalités de X, et l’autre pour les modalités de Y .
H

HH
X
x1
H
H
Y
H
H

x2

···

xi

···

xk

y1

f11

f21

···

fi1

···

fk1

y2
..
.

f12
..
.

f22
..
.

···
..
.

fi2
..
.

···
..
.

fk2
..
.

yj
..
.

f1j
..
.

f2j
..
.

···
..
.

fij
..
.

···
..
.

fkj
..
.

yl

f1l

f2l

···

fil

···

fkl

Exemple. Dans la répartition précedente, le tableau des fréquences est donné par :
HH

HH X
0
H
Y
H
H
[15, 25[
3.75%

1

2

3

4

5

2.08%

1.25%

0%

0%

0%

[25, 35[

2.08%

3.75%

5.83%

4.17%

2.92%

0%

[35, 45[

0.42%

2.50%

9.17%

10%

5.83%

0.42%

[45, 55[

0.42%

0%

3.75%

12.92%

6.67%

0.83%

[55, 65[

0%

0.42%

1.67%

7.91%

10.83%

0.42%

4. Représentation graphique :
(a) Caractère qualitatif : Lorsque l’un des caractères X ou Y est qualitatif, nous les
représentons par un diagramme en tuyaux d’orgue.
Exemple. On a étudié la répartition des voitures vendues en Algérie selon leur couleurs
et leur marques :

PP

PP

couleur
PP
Blanc
PP
Marque
P
P
Peugeot
109

Noir

Gris

105

90

Renault

98

101

52

Seat

47

30

65

22

CHAPITRE 2. SÉRIE STATISTIQUE À DEUX CARACTÈRES

2.1. INTRODUCTION

(b) Caractère quantitatif :
• Nuage de points : Dans un repère orthonormé, nous représentons chaque individu par
un point Mij de coordonnées (xi , yj ). Plus il y a d’individus de coordonnées (xi , yj )
et plus le point Mij sera gros.
Exemple. On a étudié la distribution des étudiants d’un groupe de la section selon
les notes d’analyse (X) et les notes de physique (Y ) obtenues à un D.S :
HH
HH X 08 09 10 11 12
H
Y
H
H
09
0
0
1
2
1
10

2

3

0

1

1

11

3

2

2

0

3

12

0

1

1

4

1

23

CHAPITRE 2. SÉRIE STATISTIQUE À DEUX CARACTÈRES

2.1. INTRODUCTION

• Stéréogramme : C’est un diagramme à trois dimensions : un axe pour les xi , un axe
pour les yj , et le troisième axe pour les nij .
Exemple. On a étudié une autre distribution des étudiants du groupe de la section
selon leur années de naissance (X) et leur tailles en cm (Y ) obtenues à un D.S :
H
HH
X
1995 1996 1997
H
H
Y
H
H
[150, 160]
2
5
4
[160, 170]

3

1

3

[170, 180]

0

4

6

24