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cours statistique 2015 11 11 .pdf



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Statistique déscriptive

Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran

2015-2016

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
1

Définition :
La distribution marginale est la distribution d’une seule
variable statistique calculée à partir du tableau de
contingence.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
1

Définition :
La distribution marginale est la distribution d’une seule
variable statistique calculée à partir du tableau de
contingence.
Pour la distribution marginale de X on calcule les effectifs
ni. et les fréquences relatives fi. comme suit :
ni. = ni1 + ni2 + · · · + nil =

l
X

nij

et

j=1

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

fi. =

ni.
N

Distribution marginale
1

Définition :
La distribution marginale est la distribution d’une seule
variable statistique calculée à partir du tableau de
contingence.
Pour la distribution marginale de X on calcule les effectifs
ni. et les fréquences relatives fi. comme suit :
ni. = ni1 + ni2 + · · · + nil =

l
X

nij

et

fi. =

j=1

ni.
N

Pour la distribution marginale de Y on calcule les effectifs
n.j et les fréquences relatives f.j comme suit :
n.j = n1j + n2j + · · · + nkj =

k
X

nij

et

i=1

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

f.J =

n.J
N

Distribution marginale

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

KARA-ZAÏTRI L.

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

5
0
0
1
2
1

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

5
0
0
1
2
1

n1. =

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

5
0
0
1
2
1

n1. = 9 + 5 + 1 + 1 + 0 = 16

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

5
0
0
1
2
1

n1. = 9 + 5 + 1 + 1 + 0 = 16
n4. =

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

5
0
0
1
2
1

n1. = 9 + 5 + 1 + 1 + 0 = 16
n4. = 0 + 10 + 24 + 31 + 19 = 84

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

5
0
0
1
2
1

n1. = 9 + 5 + 1 + 1 + 0 = 16
n4. = 0 + 10 + 24 + 31 + 19 = 84
n.1 =

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

5
0
0
1
2
1

n1. = 9 + 5 + 1 + 1 + 0 = 16
n4. = 0 + 10 + 24 + 31 + 19 = 84
n.1 = 9 + 5 + 3 + 0 + 0 + 0 = 17

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

5
0
0
1
2
1

n1. = 9 + 5 + 1 + 1 + 0 = 16
n4. = 0 + 10 + 24 + 31 + 19 = 84
n.1 = 9 + 5 + 3 + 0 + 0 + 0 = 17
n.4 =
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

5
0
0
1
2
1

n1. = 9 + 5 + 1 + 1 + 0 = 16
n4. = 0 + 10 + 24 + 31 + 19 = 84
n.1 = 9 + 5 + 3 + 0 + 0 + 0 = 17
n.4 = 1 + 0 + 9 + 31 + 16 + 2 = 59
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
2

Représentation dans le tableau :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
2

Représentation dans le tableau :

Y\ X
y1
y2
..
.
yj
..
.
yl

x1
n11
n12
..
.
n1j
..
.
n1l

x2
n21
n22
..
.
n2j
..
.
n2l

···
···
···

···
···
···

···

xi
ni1
ni2
..
.
nij
..
.
nil

Total
fi.

n1.
f1.

n2.
f2.

···
···

ni.
fi .

..

.

···
..

.

KARA-ZAÏTRI L.

···

xk
nk1
nk2
..
.
nkj
..
.
nkl

Total
n.1
n.2
..
.
n.j
..
.
n.l

f. j
f. 1
f. 2
..
.
f. j
..
.
f. l

···
···

nk.
fk .

N
100%

100%

..

.

···
..

.

Probabilités et statistique

Distribution marginale

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans le tableau de contingence des effectifs précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

Total
fi.

16
6.67%

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

21

52

84

8.75%

21.67%

35%

KARA-ZAÏTRI L.

4
0
7
14
16
26

5
0
0
1
2
1

Total
17
45
68
59
51

63

4

240

26.25%

1.66%

100%

Probabilités et statistique

f. j
7.08%
18.75%
28.33%
24.58%
21.25%
100%

Distribution marginale

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
3

Caractéristiques marginales :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
3

Caractéristiques marginales :
1

Moyenne arithmétique marginale :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
3

Caractéristiques marginales :
1

Moyenne arithmétique marginale :
Cas discret :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
3

Caractéristiques marginales :
1

Moyenne arithmétique marginale :
Cas discret :
X=

1
N

P
i

ni. xi =

KARA-ZAÏTRI L.

1
N

PP
i

j

nij xi

Probabilités et statistique

Distribution marginale
3

Caractéristiques marginales :
1

Moyenne arithmétique marginale :
Cas discret :
ni. xi =

1
N

PP

i

n.j yj =

1
N

PP

j

X=

1
N

P

Y=

1
N

P

i

j

nij xi

et

KARA-ZAÏTRI L.

j

i

nij yj

Probabilités et statistique

Distribution marginale
3

Caractéristiques marginales :
1

Moyenne arithmétique marginale :
Cas discret :
ni. xi =

1
N

PP

i

n.j yj =

1
N

PP

j

X=

1
N

P

Y=

1
N

P

i

j

nij xi

et
j

i

nij yj

Cas continue :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
3

Caractéristiques marginales :
1

Moyenne arithmétique marginale :
Cas discret :
ni. xi =

1
N

PP

i

n.j yj =

1
N

PP

j

X=

1
N

P

Y=

1
N

P

i

j

nij xi

et
j

i

nij yj

Cas continue :
X=

1
N

P
i

ni. Cexi =

KARA-ZAÏTRI L.

1
N

PP
i

j

nij Cexi

Probabilités et statistique

Distribution marginale
3

Caractéristiques marginales :
1

Moyenne arithmétique marginale :
Cas discret :
ni. xi =

1
N

PP

i

n.j yj =

1
N

PP

j

X=

1
N

P

Y=

1
N

P

i

j

nij xi

et
j

i

nij yj

Cas continue :
X=

1
N

P

ni. Cexi =

1
N

PP

i

Y=

1
N

P

n.j Ceyj =

1
N

PP

j

i

j

nij Cexi

et

KARA-ZAÏTRI L.

j

i

nij Ceyj

Probabilités et statistique

Distribution marginale

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
2

Variance marginale :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
2

Variance marginale :
Cas discret :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
2

Variance marginale :
Cas discret :
Var (X) =

1
N

P

i

ni. xi − X

KARA-ZAÏTRI L.

2

=

1
N

P

i



ni. xi2 − X

Probabilités et statistique

2

Distribution marginale
2

Variance marginale :
Cas discret :
Var (X) =

1
N

P

Var (Y ) =

1
N

P

i

ni. xi − X

2

=

1
N

P

i

ni. xi2 − X



2



2

et
j n.j yj − Y

KARA-ZAÏTRI L.

2

=

P
1
N

2
− Y
j n.j yj

Probabilités et statistique

Distribution marginale
2

Variance marginale :
Cas discret :
Var (X) =

1
N

P

Var (Y ) =

1
N

P

i

ni. xi − X

2

=

1
N

P

i

ni. xi2 − X



2



2

et
j n.j yj − Y

2

=

P
1
N

2
− Y
j n.j yj

Cas continue :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
2

Variance marginale :
Cas discret :
Var (X) =

1
N

P

Var (Y ) =

1
N

P

i

ni. xi − X

2

1
N

=

P

i

ni. xi2 − X



2



2



2

et
j n.j yj − Y

2

=

P
1

2
− Y
j n.j yj

N

Cas continue :
Var (X) =

1
N

P

i

ni. Cexi − X

KARA-ZAÏTRI L.

2

=

1
N

P

i

ni. Ce2xi − X

Probabilités et statistique

Distribution marginale
2

Variance marginale :
Cas discret :
Var (X) =

1
N

P

Var (Y ) =

1
N

P

i

ni. xi − X

2

1
N

=

P

i

ni. xi2 − X



2



2



2

et
j n.j yj − Y

2

=

P
1

2
− Y
j n.j yj

N

Cas continue :
Var (X) =

1
N

P

1
N

P

i

ni. Cexi − X

2

=

1
N

P

i

ni. Ce2xi − X

et
Var (Y ) =

j n.j Ceyj − Y

KARA-ZAÏTRI L.

2

=

P
1
N

2
j n.j Ceyj

Probabilités et statistique



− Y

2

Distribution marginale

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X :
X=

(0×16)+(1×21)+(2×52)+(3×84)+(4×63)+(5×4)
240

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

= 2.70 .

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X :
X=

(0×16)+(1×21)+(2×52)+(3×84)+(4×63)+(5×4)

Var (X) =

240

= 2.70 .

(02 ×16)+(12 ×21)+(22 ×52)+(32 ×84)+(42 ×63)+(52 ×4)

−2.702 = 1.43

KARA-ZAÏTRI L.

240

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X :
X=

(0×16)+(1×21)+(2×52)+(3×84)+(4×63)+(5×4)

Var (X) =

240

= 2.70 .

(02 ×16)+(12 ×21)+(22 ×52)+(32 ×84)+(42 ×63)+(52 ×4)

−2.702 = 1.43

240

variable Y :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X :
X=

(0×16)+(1×21)+(2×52)+(3×84)+(4×63)+(5×4)
240

Var (X) =

= 2.70 .

(02 ×16)+(12 ×21)+(22 ×52)+(32 ×84)+(42 ×63)+(52 ×4)

−2.702 = 1.43

240

variable Y :
Y=

(20×17)+(30×45)+(40×68)+(50×59)+(60×51)
240

KARA-ZAÏTRI L.

= 43.42.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X :
X=

(0×16)+(1×21)+(2×52)+(3×84)+(4×63)+(5×4)
240

Var (X) =

= 2.70 .

(02 ×16)+(12 ×21)+(22 ×52)+(32 ×84)+(42 ×63)+(52 ×4)

−2.702 = 1.43

240

variable Y :
Y=

(20×17)+(30×45)+(40×68)+(50×59)+(60×51)
240

Var (Y ) =

= 43.42.

(202 ×17)+(302 ×45)+(402 ×68)+(502 ×59)+(602 ×51)
240

= 144.70
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

−43.422


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