Dépl antidép .pdf


Nom original: Dépl-antidép.pdfTitre: D:\mathmouf(résumés de cours 4MAuteur: ZOUHAIER

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Un résumé de: Déplacement-antidéplacement

1. Définitions et propriétés
Théorème

(Symétrie orthogonale et orientation)

Toute symétrie orthogonale change les mesures des angles orientés
en leurs opposées. On dit qu’une symétrie orthogonale change
l’orientation.

Définition

(Déplacement et antipéplacement)

On appelle déplacement toute isométrie qui conserve les mesures
des angles orientés.
On appelle déplacement toute isométrie qui change les mesures
des angles orientés en leurs opposées.

Théorème
Une isométrie est un déplacement si et seulement si elle est la
composée de deux symétries orthogonales.
Une isométrie est un antidéplacement si et seulement si elle est une
symétrie orthogonale ou la composée de trois symétries orthogonales.

Conséquences
1/ L’identité, les rotations et les translations sont les déplacements.
2/ Les symétries orthogonales et les symétries glissantes sont les
antidéplacements.

Théorème
La composée de deux déplacements est un déplacement
La composée de deux antidéplacements est un déplacement
La réciproque d’un déplacement est un déplacement
La réciproque d’un antidéplacement est un antidéplacement
La composée d’un antidéplacement et d’un déplacement est
un antidéplacement.

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Un résumé de: Déplacement-antidéplacement

2.Détermination d’un déplacement - antidéplacement
Théorème
Deux déplacements, qui coincident sur deux points, sont égaux.
Deux antidéplacements, qui coincident sur deux points, sont égaux.

Théorème
Soient A, B, C et D quatre points tels que AB

CD

0. On a:

1/ Il existe un unique déplacement qui envoie A sur C et B sur D.
2/ Il existe un unique antidéplacement qui envoie A sur C et B sur D.

3. Déplacements
Théorème

et

Définitions

Soient f un déplacement et A, B, C et D des points du plan tels que
AB

0 et CD

0. Si A , B , C et D sont les images respectives par

f des points A, B, C et D alors AB, A B
En désignant par

CD, C D

2 .

une mesure de l’angle AB, A B , on dit que f

est un déplacement d’angle .

Corollai re

(Angle d’un déplacement et sa nature)

Soit f un déplacement d’angle .
Si

2k , k

alors f est une translation.

Si

2k , k

alors f est une rotation d’angle

Corollai re

(Déplacements et angles)
1

Si f est un déplacement d’angle

alors f

Si f est un déplacement d’angle

et g est un déplacement d’angle

alors f g est un déplacement d’angle

Théorème

un déplacement d’angle
.

(Composée de deux translations)

La composée de deux translations t u et t v est la translation
tu v
tu tv
tv tu tv u
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Théorème

(Composée de deux rotations)

Soient R et R deux rotations d’angles respectifs

et

. On a:

Si

0

2

alors

R R est une rotation d’angle

Si

0

2

alors

R R est une translation.

Théorème

(Rotation et translation)

La composée d’une rotation d’angle non nul

et d’une translation est

une rotation d’angle .

Théorème

(Translation et nombres complexes)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, i , j .
Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe
z associe le point M d’affixe z . On a :
f est une translation de vecteur u si et seulement si il existe un nombre
complexe b tel que z

z

Théorème

b où b est l’affixe de u.

(Rotation et nombres complexes)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, i , j .
Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe
z associe le point M d’affixe z . On a :
f est une rotation d’angle non nul

et de centre I si et seulement si

il existe deux nombres complexes a et b tels que z
b .
a e i , a 1 et aff I
1 a

az

b avec

4. Antidéplacements
Théorème
Une isométrie est un antidéplacement si et seulement si c’est la
composée d’une symétrie orthogonale et d’une translation.

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Théorème

Définitions

et

Soit f une symétrie glissante. On a:
Il existe un unique vecteur non nul u et

tu M

u

M

D

une droite D unique tels que:
f

tu

SD

SD t u

u

où u est un vecteur directeur de D.

M

fM

SD M

Cette décomposition est appelée
forme réduite de f.

Théorème

(Caractérisation d’une s. glissante)
M

Soit f une symétrie glissante de
vecteur u et d’axe D. Soit M un
point d’image M par f. On a :
1/ M
2/ Si M

M

D

M

D
D alors u

u

u

MM

SD M

SD M

u

M

f f M

M

M

fM

3/ f f est la translation de vecteur 2u.

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