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Terminale S

ROC 2015

Restitution Organisée des Connaissances
Voici la liste des ROC à connaître. Attention, il faut bien lire l’énoncé et les prérequis. Il peut
parfois y avoir une légère différence entre la ROC vue en classe et celle demandée.

TABLE DES MATIERES :
5) Les suites.
a)
b)
c)
d)
e)

Somme des termes d’une suite géométrique.
Inégalité de Bernoulli.
Théorème de comparaison.
Limite d’une suite géométrique.
Suite croissante non majorée.

..........2
..........3
..........4
..........5
..........6

5) Analyse.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)

Unicité de la fonction exponentielle.
Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle.
Limite en l’infini de la fonction exponentielle.
Limites de référence de la fonction exponentielle.
Logarithme du produit.
Limites de la fonction logarithme aux bornes de son ensemble de définition.
Croissance comparée.
Limites et dérivées des fonctions trigonométriques.
Théorème fondamental de l’intégration.
Existence des primitives.

……….7
……….8
……….9
……...10
……...11
……...12
……...13
……...14
……...15
……...17

5) Les nombres complexes.
a) Propriété des modules.
b) Propriété des arguments.
c) Propriété géométrique des complexes.

……...18
……...19
……...20

5) Probabilité et statistiques.
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Indépendance.
Loi exponentielle, loi sans mémoire.
Espérance d’une loi exponentielle.
Loi Normale. Probabilité d’intervalle centré en 0.
Intervalle de fluctuation.
Intervalle de confiance.

……...21
……...22
……...23
……...24
……...25
……...26

5) Géométrie dans l’espace.
a) Le théorème du Toit.
b) Droite orthogonale à un plan.
c) Equation cartésienne d’un plan.

……...27
……...28
……...29

1

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ROC 2015

4) Les suites
a) Somme des termes d’une suite géométrique.
Théorème 1:
Soit (un ) une suite géométrique de raison q ≠ 1 et de premier terme u0
La somme des n +1 premiers termes est égale à :
Sn = u0 + u1 + .......+ un = u0 ×

Démonstration :
On a : Sn = u0 + u1 + .......+ un
Soit

Sn = u0 + u0 × q + .......+ u0 × q n

Soit

Sn = u0 1+ q + .......+ q n

(

)

On pose alors An = 1+ q + .......+ qn
On a alors qAn = q + q2 + .......+ qn+1
En opérant une soustraction, An − qAn = 1− qn+1
Par factorisation, on obtient alors : An =

On a alors : Sn = u0 ×

1− q n+1
1− q

1− q n+1
1− q

2

1− q n+1
1− q

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b) Inégalité de Bernoulli.
Théorème 2 :
n

Soit a un réel positif. Alors, pour tout entier naturel n, (1+ a ) ≥ 1+ na
n

Montrons par récurrence la propriété notée : ∀n ∈ Ν Pn : (1+ a ) ≥ 1+ na
(1) Initialisation :
0

(1 + a )

0

= 1 et 1 + 0 × a = 1 , donc (1 + a ) = 1 + 0 ⋅ a P0 est vraie, la propriété est amorcée.

(2) Hérédité :
n

Je suppose que Pn : (1+ a ) ≥ 1+ na est vraie pour un entier naturel n.
Montrons alors que la propriété est vraie au rang n +1 Pn+1 : (1+ a )
n+1

Pour rappel, (1 + a )

n+1

(

)

≥ 1+ n +1 a

n

= (1 + a )(1 + a )

n

Puisque (1 + a ) ≥ 1 + na alors, en multipliant les deux membres de cette inégalité par le réel
positif 1 + a :
n
n+1
(1 + a )(1 + a ) ≥ (1 + a )(1 + na) ) , soit (1 + a ) ≥ 1 + ( n + 1) a + na²
n et a étant des nombres positifs, alors 1 + ( n + 1) a + na² ≥ 1 + ( n + 1) a .
D’où Pn+1 est vraie, la propriété est héréditaire.
(3) Conclusion
n

Pour tout entier naturel n, (1+ a ) ≥ 1+ na

3

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c) Théorème de comparaison.
Théorème 3 : (dit de l’ascenseur)
Soient ( un ) et ( vn ) deux suites vérifiant :
∃ n0 ∈ Ν tel que : pour tout entier n > no, on ait vn < un et lim vn = +∞
n→+∞

Alors, lim un = +∞
n→+∞

Démonstration :
Soit A un réel positif. Puisque lim vn = +∞ , alors tout intervalle ] A;+∞[ contient les termes de
n→+∞

la suite ( vn ) à partir d’un certain rang noté n1 .
Ainsi, ∀n ≥ n1 on a : vn ≥ A
De plus, ∀n ≥ n0 on a: un ≥ vn
En notant p = max(n1 ,n0 ) , ∀n ≥ p on a : un ≥ vn ≥ A
Ainsi tout intervalle de la forme ] A;+∞[ contient les termes de ( un ) à partir d’un certain rang
donc lim un = +∞
n→+∞

4

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d) Limite d’une suite géométrique.
Théorème 4:
La suite définie par un = qn est géométrique de raison q.
• Si q < −1 , la suite est alternée et divergente.
• Si −1< q < 0 , la suite est alternée et convergente de limite 0.
• Si 0 < q < 1 , la suite est décroissante et convergente de limite 0.
• Si q > 1 , la suite est croissante et divergente de limite +∞ .
Démonstration :
n

• On a démontré au premier chapitre l’inégalité de Bernoulli. (1+ a ) ≥ 1+ na .
Soit un = q n Comme q > 1 , on peut poser q = 1+ a avec a > 0 . On a alors q n = (1+ a) n
or (1+ a) n > 1+ na , donc q n = (1+ a) n > 1+ na
or a > 0 donc lim 1+ na = +∞ donc lim qn = +∞
n→+∞

n→+∞

• Pour démontrer lim qn = 0 avec 0 < q < 1
n→+∞

On pose Q =

1
, on obtient donc Q > 1
q

On revient alors à la première limite et on conclut avec le quotient des limites.

5

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e) Suite croissante non majorée.
Théorème 5 :
• Si la suite (un) est croissante et non majorée, alors lim un = +∞ .
n→+∞

• Si la suite (un) est décroissante et non minorée, alors lim un = −∞
n→+∞

Démonstration :
Supposons que ( un ) soit croissante et non majorée et soit un intervalle ] A;+∞[
v Si cet intervalle ne contenait aucun terme de la suite, alors ∀n ∈ ! , un < A et ainsi la
suite serait majorée par A. Puisque la suite n’est pas majorée, il existe un terme noté
u p qui appartient à ] A;+∞[ .
v La suite étant croissante, ∀n ≥ p , on a : un ≥ u p et donc u p ∈ ] A;+∞[ .
Ainsi, à partir du rang p, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle ] A;+∞[ . Ceci étant
vrai pour tout intervalle ] A;+∞[ , la suite diverge vers +∞

6

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4) Analyse
a) Unicité de la fonction exponentielle.
Théorème 6 :
Si f est une fonction dérivable sur ! vérifiant les deux conditions: f ( 0 ) = 1 et f ' = f
alors f ne s’annule pas sur ! .
Démonstration :
On pose une fonction h(x) = f ( x ) × f (−x ) . Cette fonction est définie et dérivable sur ! en
tant que produit de deux fonctions dérivables sur ! . On calcule donc la dérivée de h.
∀x ∈ ! , h'(x) = f ' ( x ) × f (−x ) − f ( x ) × f ' (−x ) . Puisqu’on a l’hypothèse f ' = f , on a alors :
h'(x) = f ( x ) × f (−x ) − f ( x ) × f (−x ) soit donc ∀x ∈ ! , h'(x) = 0

h est donc une fonction constante. h(0) = f ( 0 ) × f ( 0 ) = 1
Donc, ∀x ∈ ! , f ( x ) × f (−x ) = 1 et on a que f ne s’annule pas sur ! .
Théorème 7 :
Si f est une fonction dérivable sur ! vérifiant les deux conditions: f ( 0 ) = 1 et f ' = f
alors f est unique.
Démonstration :
On suppose qu’il existe une autre fonction, notée g, définie et dérivable sur ! qui vérifie les
f (x)
mêmes propriétés que f. On note alors ∀x ∈ ! k ( x ) =
. k est bien définie sur ! puisque
g ( x)
g ne s’annule pas sur ! . k est dérivable sur ! en tant que quotient de fonctions dérivables
g(x) f '(x) − g'(x) f (x)
sur ! . On a : ∀x ∈ ! k' ( x ) =
. A l’aide de la condition, on a :
g2 ( x )
∀x ∈ ! k' ( x ) =

g(x) f (x) − g(x) f (x)
f (0)
= 0 . k est donc constante et k ( 0 ) =
=1
2
g ( x)
g (0)

On a donc : ∀x ∈ !

f (x)
= 1 alors, ∀x ∈ ! g ( x ) = f (x) et f est unique.
g ( x)

7

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b) Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle.
Théorème 8:
Pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) × exp( y)

.

Démonstration :
On pose une fonction l(x) = exp ( x + y) × exp (−x ) ou y est un réel fixé.
Cette fonction est définie et dérivable sur ! en tant que produit de fonctions dérivables
sur ! . On calcule alors la dérivée de la fonction l.
∀x ∈ ! , l'(x) = exp' ( x + y ) × exp (−x ) − exp ( x + y ) × exp' (−x ) . Puisqu’on a l’hypothèse
exp' = exp , on a alors : l'(x) = exp ( x + y ) × exp (−x ) − exp ( x + y ) × exp (−x ) soit donc

∀x ∈ ! , l'(x) = 0 l est donc une fonction constante. l(0) = exp ( y )

On a donc : exp ( y) = exp ( x + y) × exp (−x ) soit avec la propriété précédente :
Pour tous réels x et y exp(x + y) = exp(x) × exp( y)

8

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c) Limite en l’infini de la fonction exponentielle.
Théorème 9 :
On a les limites suivantes: lim e x = +∞ et lim e x = 0
x→+∞

x→−∞

• Etude au voisinage de +∞
Soit ϕ la fonction définie sur ! par ϕ ( x ) = e x − x .

ϕ est dérivable sur ! comme somme de fonctions dérivables sur ! .
ϕ ' ( x ) = e x −1 soit alors ϕ ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0 et donc ϕ ' ( x ) > 0 ⇔ x > 0

x
ϕ'
ϕ

−∞

0
-

+

+∞

1

On a donc : ∀x ∈ !,e x > x et donc, à l’aide du théorème de comparaison : lim e x = +∞
x→+∞

• Etude au voisinage de −∞ :
On pose X = − x . Lorsque x tend vers −∞ , alors X tend vers +∞
1
lim e x = lim e − X = lim X = 0 . On a donc la limite suivante : lim e x = 0
x→−∞
X →∞ e
X →+∞
x→−∞

9

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d) Limites de référence de la fonction exponentielle.
Théorème 10 :

ex
= +∞ et lim xe x = 0
x→+∞ x
x→−∞

On a les limites des croissances comparées: lim
• Soit la fonction f : x !

ex
, définie sur !* .
x


La fonction f présente une forme indéterminée de la forme : lim f (x) = FI " "
x→+∞

x
Nous avons étudié la fonction ϕ définie sur ! par ϕ ( x ) = e − x , ce qui permet de démontrer
que : ∀x ∈ !,e x ≥ x
x

x
2

Soit x > 0 ; en appliquant cette relation au réel t = , on obtient : e 2 ≥

x
soit en divisant par
2

x

x,

e2
x



x
On élève au carré les deux membres ; le sens ne change pas puisque la fonction
2

x ! x 2 est croissante sur [0 ;+∞[ . Ainsi, ∀x ∈ ! +* ,

ex x
≥ En utilisant alors le théorème de
x 4

ex
= +∞
x→+∞ x

comparaison, on a : lim

• Considérons la fonction g : x ! xe x , définie sur
La fonction g présente une forme indéterminée de la forme lim xe x = FI"0 × ∞"
x→−∞

Puisqu’on cherche la limite au voisinage de −∞ , on pose alors X = −x . On a alors :
1
− −x
1
x
xe x = − (−x ) e ( ) = − Xe − X soit alors xe x = X et donc lim xe = lim X = 0
x→−∞
X→∞ e
e
X
X
Théorème 11 :

eh − 1
=1
h→0
h

lim

0
. Parmi les différentes
0
méthodes vues sur le chapitre des limites, la forme de l’expression doit nous faire penser au
taux d’accroissement. Il est important de noter qu’aucune autre méthode ne convient…
La fonction exp est dérivable sur ! . En particulier la fonction exp est dérivable en 0 et on a :

Remarquons tout d’abord qu’il s’agit d’une forme indéterminée

exp' (0) = 1 .
On a donc à l’aide de la limite du taux d’accroissement :
exp ( 0 + h ) − exp ( 0 )
lim
= exp' ( 0 ) = 1
h→0
h

10

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e) Logarithme du produit.
Théorème 12: (Relation fonctionnelle)
Pour tous réels a et b strictement positifs : ln(ab) = ln(a) + ln(b)
Démonstration :
Pour tous réels a et b strictement positifs exp(ln(ab)) = ab à l’aide de la propriété ci-dessus.
Puis exp(ln(a) + ln(b)) = exp(ln(a)) × exp(ln(b)) = ab .
On a donc: exp(ln(ab)) = exp(ln(a) + ln(b)) Puisque exp est une bijection de ! ,sur ! +* on a :
exp(A) = exp(B) ⇔ A = B d’ou ln(ab) = ln(a) + ln(b)

11

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f) Limites de la fonction logarithme aux bornes de son ensemble de définition.
Théorème 13 :
On a les limites suivantes: lim ln x = +∞ et limln x = −∞
x→+∞

x→0

En +∞ :
Rappelons que lim f (x) = +∞ si, et seulement si, pour tout réel B, il existe un intervalle du
x→+∞

type "# A ; + ∞$% (dépendant de B) tel que : x ∈ ] A ; + ∞[ ⇒ f (x) > B
Soit B un réel strictement positif fixé. On cherche A tel que x > A ⇒ ln x > B . Or on sait que :
ln x > B ⇔ x > e B , car la fonction x ! exp est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞[ .
En posant alors A = e B , on obtient x > A ⇒ ln x > B .
Ainsi l’intervalle "#B ; + ∞$% contient toutes les valeurs de ln x pour x suffisamment grand. On
peut donc écrire : lim ln x = +∞
x→+∞

• En 0 :
1
. A l’aide de ce
x
# 1&
1
changement de variable : lim = lim X = +∞ donc limln x = lim− % ln ( = lim − ln X = −∞
x→0
x→0 $
x→0 x
X→+∞
x ' X→+∞

On va utiliser la limite de fonctions composées. Pour cela on pose X =

12

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g) Croissance comparée.
Théorème 14 :
On a les limites remarquables : lim

x→+∞

ln x
x

= 0 et lim x ln x = 0
x→0

Démonstration :
On pose u(x) = ln x et v(x) =
limites : lim ln x = +∞ et lim

x→+∞

x→+∞

x

e
x

ex

x

Alors, v ! u(x) =

X→+∞

e

ln x

=

ln x
= f (x) Or on connaît les
x

= 0 . Grâce au théorème de composition des limites, on a

lim v ! u(x) = lim v(X) = 0 soit donc lim

x→+∞

ln x

x→+∞

ln x
x

=0

13

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h) Limites et dérivées des fonctions trigonométriques.
Théorème 15 :
On a les limites remarquables : lim
x→0

sinx
x

= 1 et lim

cos x −1

x→0

x

=0

Démonstration :
On revient pour calculer ces limites à la limite du nombre dérivée.
Puisque la fonction sinus est dérivable en 0, on a :
sinh− sin 0
sinh
sin'(0) = lim
= lim
h→0

h

h→0

h

Or, puisque sin'(0) = cos(0) = 1 on a donc lim

sinx
x

x→0

=1

De la même manière,
Puisque la fonction cosinus est dérivable en 0, on a :
cosh− cos0
cosh−1
cos'(0) = lim
= lim
h→0

h

h→0

h

Or, puisque cos'(0) = −sin(0) = 0 on a donc lim

cos x −1

x→0

14

x

=0

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Théorème fondamental de l’intégration.
Théorème 16 :
Soit f une fonction continue et positive sur !"a ; b#$ et (C) sa
! !

courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i , j ) .
∀t ∈ [ a ; b] , on note S (t ) l’aire en unités d’aire, du

domaine plan limité par la courbe (C), l'axe ( Ox ) et les
droites d'équations x = a et x = t
Alors la fonction S : t ! S (t ) est dérivable sur !"a ; b#$ et on a

C
f

∀t ∈ [ a ; b] S ' (t ) = f (t ) .

Remarque :
On appelle unité d’aire l’aire du rectangle OIKJ.
Démonstration :
La démonstration sera faite dans le cas d’une fonction continue, positive et croissante
sur !"a ; b#$ , le résultat dans le cas général est admis.
Soit t0 ∈ [ a ; b] avec t0 fixé et h un réel non nul tel que t0 + h ∈ [ a ; b] .
∀t0 ∈ [ a ; b] , on associe l’aire S(t0 ) du domaine délimité comme ci-dessus.

Premier cas : h > 0
On souhaite encadrer l’expression S(t0 + h) − S(t0 )
Cette expression correspond donc à la partie du plan
délimitée par la courbe et les deux droites d’équation
x = t0 + h et x = t0 . En utilisant les deux rectangles,
on a : f (t0 ) × h ≤ S(t0 + h) − S(t0 ) ≤ f (t0 + h) × h

y

puisque la fonction f est croissante sur !"a ; b#$ . Puisque
S(t0 + h) − S(t0 )
≤ f (t0 + h)
O
a
b
h
Puisque f est continue en t0 , on a : lim f (t0 + h) = f (t0 ) soit alors à l’aide du théorème des
h > 0 f (t0 ) ≤

x

h→0
h>0

S(t0 + h) − S(t0 )
= f (t0 )
h→0
h
h>0

gendarmes : lim

Deuxième cas : h < 0
Encadrons cette fois-ci: S(t0 ) − S(t0 + h) . De la même
manière, à l’aide des deux rectangles, on a :
− f (t0 + h) × h ≤ S(t0 ) − S(t0 + h) ≤ − f (t0 ) × h soit
S(t ) − S(t0 + h)
puisque h < 0 − f (t0 ) ≤ 0
≤ − f (t0 + h)
h
S(t + h) − S(t0 )
ou encore f (t0 + h) ≤ 0
≤ f (t0 )
h

y

O

15

a

x

b

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ROC 2015

S(t0 + h) − S(t0 )
= f (t0 )
h→0
h
h<0

On en déduit de la même manière que lim

Alors, on peut affirmer que S : t ! S (t ) est dérivable en t0 et que ∀t0 ∈ [ a ; b] S ' (t ) = f (t ) .
La fonction est S : t ! S (t ) donc une primitive de f sur !"a ; b#$ .
On remarque que S (a) = 0 donc S est la primitive de f qui s’annule en a. On a donc :
∀t ∈ [ a ; b] S(t) =

t

∫ f ( x) dx
a

16

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ROC 2015

i) Existence des primitives.
Théorème 17 :
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I
Démonstration :
On traitera le cas ou f est continue sur !"a ; b#$ et y admet un minimum, noté m.
On pose alors la fonction ∀x ∈ #$a ; b%& , g(x) = f (x) − m
g est alors continue sur !"a ; b#$ en tant que somme de fonctions continues sur !"a ; b#$ .
g est également positive sur !"a ; b#$
D’après le théorème fondamental (théorème 16), la fonction G définie ci-dessous est une
x
primitive de g sur !"a ; b#$ avec G ( x ) = ∫ a g (t ) dt
La fonction F, définie sur !"a ; b#$ par F(x) = G(x) + mx est alors une primitive de f.
En effet, F '(x) = G '(x) + m = f (x) − m + m = f (x)
Ainsi, f admet bien une primitive sur !"a ; b#$

17

Terminale S

ROC 2015

4) Les nombres complexes.
a) Propriété des modules.
Théorème 18 :
Pour tous nombres complexes z et z ' :
• z ∈ !+



• Si z ≠ 0 , 1 = 1 et
z



zz ' = z × z '
z

∀n ∈ !, z n = z

n

z' z'
=
z
z

Démonstration :
On suppose que zz = z 2
2

2

Pour le produit, on évalue : zz ' = zz '× zz ' = zz × z ' z ' = z × z '

2

Puisque le module d’un nombre complexe est un nombre positif, on zz ' = z × z '
n

Pour ∀n ∈ !, z n = z , on procède par un raisonnement par récurrence sur n.
Pour le quotient, on pose alors Z =

z'
soit alors z ' = zZ
z

On a alors z ' = z × Z soit donc Z = z ' soit alors z ' = z '
z

z

18

z

Terminale S

ROC 2015

b) Propriété des arguments.
Théorème 19 :

(

(

)

)

Soient z = r cosθ + i sin θ et z ' = r ' cosθ '+ i sin θ ' deux nombres complexes. Alors, on a:

( (

(

)



zz ' = rr ' cos θ + θ ' + i sin θ + θ '



1 1
= cos −θ + i sin −θ
z r

( ( )

( )) lorsque z

Démonstration :
zz ' = r cosθ + i sin θ × r ' cosθ '+ i sin θ '

(

))

) (

est non nul.

)

(

)

zz ' = rr ' cosθ cosθ '+ i cosθ sin θ '+ i sin θ cosθ '− sin θ sin θ ' . A l’aide des formules d’addition,

( (

)

(

zz ' = rr ' cos θ + θ ' + i sin θ + θ '

)) Puisque rr ' > 0 , c’est bien la forme trigonométrique. On a

" zz ' = rr ' = z × z '
$
donc : #
%$arg zz ' = θ + θ ' = arg z + arg z ' 2π

( )

Pour z ≠ 0 , on a :

( )

1 z
r
1
=
= 2 cos θ − i sin θ = cos −θ + i sin −θ . Puisque r > 0 , on a :
z zz r
r

( ()

( )) ( ( )

(1 1 1
* = =
*z r z
)
* !1$
*arg # z & = −θ = −arg z 2π
+ " %

( )

19

( ))

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ROC 2015

c) Propriété géométrique des complexes.
Théorème 20 :
Soit A, B et C trois points du plan, d’affixes z A , zB , zC telles que z A ≠ zB et z A ≠ zC .
! z −z $ !!!" !!!"
z C −z A AC
=
Alors
et arg ## C A && = AB, AC 2π
z B −z A AB
" z B −z A %

(

)(

)

Démonstration :
" z −z % zC − z A AC
=
Pour les modules, $$ C A '' =
# z B −z A & z B − z A AB

Pour les arguments,
! !!!"
! !!!"
!!!" !!!"
! z −z $
arg ## C A && = arg(z C −z A ) − arg(z B −z A ) = u, AC − u, AB = AB, AC
" z B −z A %

(

)(

20

) (

) ( 2π )

Terminale S

ROC 2015

4) Probabilité et statistiques.
a) Indépendance.
Théorème 21 :
Si deux événements A et B sont indépendants, alors les évènements A et B sont indépendants.
Démonstration :
On suppose que A et B sont indépendants donc P ( A∩ B) = P ( A) × P ( B) .
On utilise la formule des probabilités totales puisque B et B forment une partition de Ω .
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) soit en remplaçant P(A) = P ( A) × P ( B) + P(A ∩ B)

( )

En factorisant l’expression, P(A ∩ B) = P ( A) (1− P ( B)) donc P(A ∩ B) = P ( A) P B

21

Terminale S

ROC 2015

b) Loi exponentielle, loi sans mémoire.
Théorème 22 :
Lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ , on a :
∀t ≥ 0 et ∀h ≥ 0 , PX≥t (X ≥ t + h) = P(X ≥ h)
On dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement. La probabilité que l’objet
fonctionne à l’instant t + h sachant qu’il fonctionne à l’instant ne dépend pas de son âge t.
Démonstration :

PX≥t (X ≥ t + h) =

P(( X ≥ t + h ) ∩ ( X ≥ t )) P(( X ≥ t + h )) e− λ (t+h)
=
= − λt = e− λh = P(X ≥ h)
P(X ≥ t)
P(X ≥ t)
e

22

Terminale S

ROC 2015

c) Espérance d’une loi exponentielle.
Théorème 23:
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0) .
L’espérance mathématique de X est : E ( X ) =

1
λ

Démonstration :
On doit donc calculer E ( X ) = lim ∫ 0a λ te− λt dt
a→+∞

1
On pose donc : g(x) = λ xe− λ x définie sur "#0 ; + ∞"# . On note alors G(x) = (−x − )e− λ x
λ
"
"
Montrons alors que G est une primitive de g sur #0 ; + ∞#

G est dérivable sur "#0 ; + ∞"# en tant que produit et composée de fonction dérivables sur "#0 ; + ∞"#
1
G'(x) = −e− λ x + (−x − )(−)λ e− λ x = λ xe− λ x = g(x)
λ
a
#
1 −λx & 1
a
− λt
− λa
− λa
λ
te
dt
=
(−x

)e
∫0
%$
(' = (−λ ae − e +1)
λ
λ
0
On calcule donc la limite de cette expression :
X
1
lim − λ ae− λa = lim − X = 0 Par croissances comparées. Donc lim ∫ 0a λ te− λt dt =
a→+∞
X→+∞ e
a→+∞
λ

23

Terminale S

ROC 2015

d) Loi Normale. Probabilité d’intervalle centré en 0.
Théorème 24 :
Soit X une Variable Aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N (0 ;1) .
∀α ∈ ] 0 ; 1[ , il existe un unique réel strictement positif uα tel que P ( −uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α
Démonstration :
Puisque X suit la loi normale N (0 ;1) , alors ∀x ∈ ! + : P ( − x ≤ X ≤ x ) =
densité de la loi N (0 ;1) définie par f (t ) =

∀x ∈ ! + ,

x

0

−x

−x

1


×e



t2
2

x

x

0

0



x

−x

f (t ) dt , où f est la

.

∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt + ∫ f (t ) dt = 2 ∫ f (t ) dt par parité de f sur !

Définissons alors la fonction F sur [0 ; + ∞[ , par F ( x ) = 2 ×



x

0

f (t ) dt .

f étant continue sur ! + , la fonction F est dérivable sur ! + et F ' (t ) = f (t ) ∀t ∈ ! + .
Comme f > 0 sur ! + , alors F est strictement croissante sur ! + .
1
, donc lim F ( x ) = 1.
x→+∞ 0
x→+∞
0
2
F est continue (car dérivable), strictement croissante sur [0 ; + ∞[ et F ([0 ; + ∞[) = [0 ;1[ .
F (0) = 2 ×



0

f ( t ) dt = 0 et lim



x

f ( t ) dt =

Soit α un réel tel que 0 < α < 1 . Alors −1 < α < 0 , donc 0 < 1 − α < 1 . A l’aide du théorème des
valeurs intermédiaires, il existe un unique réel uα de [0 ; + ∞[ tel que F (uα ) = 1 − α .
Or F (uα ) = 1 − α ⇔ 2 ×





0

f (t ) dt = 1 − α ⇔





−uα

f (t ) dt = 1 − α ⇔ P ( −uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α .

24

Terminale S

ROC 2015

e) Intervalle de fluctuation.
Si les conditions d’approximation n ≥ 30 , np ≥ 5 et n (1 − p ) ≥ 5 sont remplies
Théorème et définition 25 :
• Soit X n une Variable Aléatoire qui suit une loi binomiale B ( n ; p ) , n ∈ ! * et α ∈ ] 0 ; 1[
Si X une Variable Aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N (0 ;1) , on note
uα l’unique réel strictement positif tel que P ( −uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α .
"
%
p 1− p
p 1− p '
$
On note I n l’intervalle I n = p − uα
; p + uα
$
'
n
n
$#
'&

(

(

)

)

X

X

Alors lim P ⎛⎜ n ∈ I n ⎞⎟ = 1 − α ou encore lim P ( Fn ∈ I n ) = 1− α avec Fn = n .
n→+∞
n→+∞ ⎝ n
n
⎠
• Lorsque n tend vers +∞ , la fréquence Fn appartient à l’intervalle I n avec une probabilité
qui se rapproche de 1 − α . I n est appelé l’intervalle de fluctuation asymptotique de la
fréquence Fn au seuil de 1 − α
Démonstration
Xn
∈ I n ⇔ p − uα
n

Fn ∈ I n ⇔
⇔ np − uα

n p (1− p)
n

p (1− p)
n

≤ X n ≤ np + uα



Xn
≤ p + uα
n

p (1− p)
n

n p (1− p)
n

⇔ np − uα np (1− p) ≤ X n ≤ np + uα np (1− p)
⇔ −uα np (1− p) ≤ X n − np ≤ uα np (1− p)
⇔ −uα ≤

X n − np
np (1− p)

≤ uα . En posant, Z n =

X n − np
np (1 − p )

on obtient ⇔ −uα ≤ Z n ≤ uα

D’après le théorème de Moivre-Laplace, si X n est une variable aléatoire qui suit la loi
%
(
X n − np
'
*
lim
P
−u


u
,
alors
B (n ; p)
α
α = P (−uα ≤ Z n ≤ uα ) = 1− α où Z n suit une N (0 ;1)
*
n→+∞ '
np
1−
p
(
)
&
)
Donc lim P ( Fn ∈ I n ) = 1− α .
n→+∞

25

Terminale S

ROC 2015

f) Intervalle de confiance.
Théorème 26 :
Soit X n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B ( n ; p ) où p est la proportion
inconnue d’apparition d’un caractère et Fn =

Xn
la fréquence associée à X n . Alors, pour n
n

#
&
suffisamment grand, p ∈ % Fn − 1 ; Fn + 1 ( avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95.
$

n

n'

Démonstration :
Il suffit d’inverser les doubles inégalités:
1
1
1
1
1
1
p−
≤ Fn ≤ p +
⇔−
≤ Fn − p ≤ +
⇔−
≤ p − Fn ≤ +
n
n
n
n
n
n
%
1
1
1
1 (
soit alors ⇔ Fn −
≤ p ≤ Fn +
⇔ p ∈ ' Fn −
; Fn +
*
&
n
n
n
n)
Deux évènements équivalents ont la même probabilité donc P ( p ∈ I c ) ≥ 0,95 lorsque n est
assez grand, ce qui montre que l’intervalle a un niveau de confiance de 95% pour l’estimation
de p.

26

Terminale S

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5) Géométrie dans l’espace.
a) Le théorème du Toit.

Théorème 27 :
Soient d1 et d 2 deux droites parallèles contenues respectivement dans les plans Ρ1 et Ρ 2
Si ces deux plans sont sécants en une droite Δ , alors cette droite Δ est parallèle à d1 et d 2
Démonstration :
On va raisonner par l’absurde.
On considère donc que Δ n’est pas parallèle à d1 ce qui entraine que Δ n’est pas non plus
parallèle à d 2
!
On appelle alors v un vecteur directeur de la droite Δ
!
Puisque d1 et d 2 sont parallèles, on appelle alors u leur vecteur directeur.
!
!
Comme Δ n’est pas parallèle à d1 , u et v ne sont pas colinéaires donc, puisque Δ est
!
!
contenue dans Ρ1 , u et v sont des vecteurs directeurs du plan Ρ1
!
!
Comme Δ est aussi contenue dans Ρ 2 , u et v sont des vecteurs directeurs du plan Ρ 2
On peut donc en déduire que les plans Ρ1 et Ρ 2 sont parallèles ce qui contredit l’hypothèse
selon laquelle les deux plans étaient sécants.
Δ est donc parallèle à d1 et d 2

27

Terminale S

ROC 2015

b) Droite orthogonale à un plan.
Théorème 28 :
Une droite de l’espace est orthogonale à un plan si et seulement si
son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires
du plan.
Démonstration :

!
Soit Δ une droite de l’espace de vecteur directeur u

( )
!
Soient ( d ) et ( d ) deux droites sécantes inclues dans ( P ) . On appelle u
1

2

d1

!
et u d2 leurs vecteur

directeur respectifs
Ø Si Δ est orthogonale au plan P , elle est orthogonale à toute droite inclue dans P ,

( )

( )

( )

( ) ( )

en particulier à d1 et d 2

( )

( ) ( )

Ø Réciproquement, On suppose que Δ est orthogonale à d1 et d 2 . Les deux droites
!
!
à d1 et d 2 étant sécantes, leurs vecteurs directeurs u d1 et u d2 forment une base du

( ) ( )
plan ( P ) . Ainsi, pour toute droite ( d ) du plan ( P ) , on sait qu’il existe un couple de
3

!
!
!
réels a et b vérifiant : u d3 = au d1 + bu d2
!!
! !
!
!!
!!
On a alors : u.u d3 = u. au d1 + bu d2 = au.u d1 + bu.u d2 = 0 ce qui prouve que la droite Δ

(

)

( )

( )

est orthogonale à toute droite du plan P

28

Terminale S

ROC 2015

c) Equation cartésienne d’un plan.
Théorème 29 :
Toute équation de la forme : ax + by + cz + d = 0 (avec a, b et c non tous nuls) est celle d’un
!
plan P de vecteur normal n a ; b ; c .

( )

(

)

Une telle équation est appelée une équation cartésienne d’un plan.
Démonstration :

(

( )

)

Ø On suppose que M x; y; z appartient au plan P passant par A ( xA ; y A ; z A ) et de vecteur
!
normal n a ; b ; c .
!!!!" !
A x A ; y A ; z A ∈ (P) et M x; y; z ∈ (P) , alors AM ⋅ n = 0 soit alors :

(

(

(

)

(

)

) (

) (

)

)

a x − x A + b y − y A + c z − z A = 0 soit ax + by + cz + (−ax A − by A − cz A ) = 0
En posant d = −ax A − by A − cz A , les coordonnées du point M vérifient bien l’équation

( )

cartésienne du plan P

Ø Réciproquement, montrons que l’ensemble des points M dont les coordonnées vérifient
!
ax + by + cz + d = 0 sont sur un plan passant par A et de vecteur normal n a ; b ; c

(

(

)

)

On note F l’ensemble des points M x; y; z vérifiant ax + by + cz + d = 0
Nous devons effectuer une disjonction de cas :
" −d
%
!
• Si a ≠ 0 , alors A$ ;0;0 ' ∈ F . On pose n a ; b ; c , alors pour tout point M x; y; z
# a
&
!!!!" !
!!!!" "
$
d
appartenant à F, on a : AM # x + ; y; z & . On calcule le produit scalaire AM ⋅ n
a
"
%
!!!!" !
d
AM ⋅ n = a(x + ) + by + cz = ax + by + cz + d = 0
a
!!!!" !
Les vecteurs AM et n sont orthogonaux, donc le point M est sur le plan passant par A
!
et de vecteur normal n
! −d $
• Si a = 0 et b ≠ 0 , on choisit alors A# 0; ;0 & ∈ F et on procède de la même manière
" b %
que précédemment.
• Enfin, si a = 0 et b = 0 , alors c ≠ 0 car les coefficient sont non tous nuls. On pose de
"
−d %
la même manière A$ 0;0; ' ∈ F et on recommence…
c &
#
!
Dans tous les cas, on obtient que M est sur le plan passant par A et de vecteur normal n

(

29

)

(

)


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