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Terminale S

ROC 2015

b) Inégalité de Bernoulli.
Théorème 2 :
n

Soit a un réel positif. Alors, pour tout entier naturel n, (1+ a ) ≥ 1+ na
n

Montrons par récurrence la propriété notée : ∀n ∈ Ν Pn : (1+ a ) ≥ 1+ na
(1) Initialisation :
0

(1 + a )

0

= 1 et 1 + 0 × a = 1 , donc (1 + a ) = 1 + 0 ⋅ a P0 est vraie, la propriété est amorcée.

(2) Hérédité :
n

Je suppose que Pn : (1+ a ) ≥ 1+ na est vraie pour un entier naturel n.
Montrons alors que la propriété est vraie au rang n +1 Pn+1 : (1+ a )
n+1

Pour rappel, (1 + a )

n+1

(

)

≥ 1+ n +1 a

n

= (1 + a )(1 + a )

n

Puisque (1 + a ) ≥ 1 + na alors, en multipliant les deux membres de cette inégalité par le réel
positif 1 + a :
n
n+1
(1 + a )(1 + a ) ≥ (1 + a )(1 + na) ) , soit (1 + a ) ≥ 1 + ( n + 1) a + na²
n et a étant des nombres positifs, alors 1 + ( n + 1) a + na² ≥ 1 + ( n + 1) a .
D’où Pn+1 est vraie, la propriété est héréditaire.
(3) Conclusion
n

Pour tout entier naturel n, (1+ a ) ≥ 1+ na

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