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Résumé Suites réelles .pdf



Nom original: Résumé Suites réelles .pdf
Auteur: AmouLa

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Mr :Khammour.K

4ème Math et Sc-exp

Résumé : Suites réelles

Novembre 2015

 Suite arithmétique :

 Un  suite arithmétique de raison r

U n 1  U n  r

Relation entre deux termes quelconques
Terme général (Relation entre U n et n)

Un  U p   n  p  r
U n  U 0  n  r si U 0 est le premier terme de la suite

n 1

n 1

U

Somme U 0  U1  ...............  U n 1   U k
k 0

k 0

k

=

Nombre de termes er
n
1 terme  dernier terme    U n1 +U0 

2
2

 Suite géométrique :

 Un  suite géométrique de raison q

U n 1 =qU n

Relation entre deux termes quelconques
Terme général (Relation entre U n et n)

Un =U p q

U n =U 0 q n si U 0 est le premier terme de la suite

n 1

n 1

Somme U 0  U1  ...............  U n 1   U k

 U k =1er terme 

k 0

 Propriétés sur la


 U
kI



k 0



1  q Nombre de termes
1  qn
 U0 
1 q
1 q

 Vk    U k    Vk  .
kI

k I

 U     U  où   IR .
kI



k

n p 

k

kI

k

      nombre d'éléments de I 
kI

n

 nombre d'éléments de  U k  n  p  1  dernier indice  1er indice +1
k p

 Si on a : U n  Vn alors

 U    V  .
kI

k

kI

k

 Suites monotones :




 Un  est croissante sur I ssi U n1  U n  0 pour tout n I .
 Un  est décroissante sur I ssi U n1  U n  0 pour tout n I .
 Un  est croissante sur I ssi U n1 =U n pour tout n I .
Remarque :
Pour étudier la monotonie d’une suite (croissante ou décroissante)
- On étudie le signe de U n 1  U n .
U n 1
par 1.
Un

-

Quand U n  0 , on compare

-

Quand Un1  f  Un  , On compare f(x) et x.

 Suite majorée – minorée – bornée :
Soit  Un  est définie sur I.


 Un  est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout

n I U n  M .




 Un  est minorée s’il existe un réel m tel que
 Un  est bornée s’il existe deux réels m et M

U n  m pour tout n I .

tels que m  U n  M pour tout n I .

Remarque :
Pour démonter qu’une suite est majorée ou minorée ou bornée on utilise en général la
raisonnement par récurrence.
Exemple : Montrons que pour tout n I , a  U n  b .
-

1ère étape : Vérifions pour n = n0 , a  U n0  b .

-

2ème étape : Supposons que a  U n  b Démontrons que a  U n 1  b .

1ère méthode : Encadrement, on part de a  U n  b et on démontre que a  U n 1  b .
2ème méthode : Différence , on démontre que U n 1  b  0 et que U n 1  a  0 .
3ème méthode : Variation de la fonction f si Un1  f  Un  .


Si f est croissante a  U n  b alors f(a )  f(U n )  f(b) .



Si f est croissante a  U n  b alors f(b)  f(U n )  f(a) .

 Suites convergentes :
 Une suite est convergente si elle admet une limite finie lorsque n tend vers +∞

Lim U n   l  Lim U n  l   0 .

n

n

 Toute suite convergente est bornée (La réciproque est fausse : exemple : U n   1

n

est bornée mais n’est pas convergente)
 Règle de convergence des suites monotones :
 Toute suite croissante et majorée est convergente.
 Toute suite décroissante et minorée est convergente.
1erhypothèse à partir d’un certain rang
Vn  U n  Wn

Un  Vn
a  Un  b
U n  Vn
U n  Vn
Vn  U n

2ème hypothèse
comportement en +∞
Lim Wn   Lim Vn   l
n 

n

Lim Vn   0

n 

Lim U n   l

Lim U n   l et Lim Vn   l '

Lim Vn   

 Un  est convergente et
Lim U n   l
n 
 Un  est convergente et
Lim U n   0
n
al b

n 

n

Conclusion

n

l l'
Lim U n   

n

n 

n

n 

Lim Vn   

Lim U n   



Recherche de la limite d’une suite : Un1  f  Un 
Un  D



Si
{

alors f  l   l
f est continue sur D
U n est convergente vers l
Lim  q n   0

Si -1< q < 1

n 

Lim  q n   

Si q >1

n 

Si q  1

Pas de limite

 Suites adjacentes :
 Deux suites U et V sont adjacentes lorsqu’elles vérifient :
 U n  Vn .



 Un  est croissante et Vn  est décroissante.
Lim U n  Vn  = 0 .
n 

 Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

Exercice d’application:
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0 < a < b. On définies les suites Un  et Vn  par :
2Un Vn
U  Vn
U0  a, V0  b, Un1 
,V  n
Un  Vn n1
2
1) Vérifier que Un  et Vn  sont strictement positives.
2) On pose pour tout entier naturel n Tn = Un – Vn.

1
a) Montrer que pour tout entier n , Tn >0 puis 0  Tn 1  Tn .
2

b) En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a : 0  Tn  b n a .
2
3) Démontrer alors que les suites Un  et Vn  sont adjacentes.


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