cours statistique 2015 11 18 .pdf



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Statistique déscriptive

Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran

2015-2016

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
1

Définition :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
1

Définition :
1

Distribution conditionnelle de X sachant Y :
C’est l’étude du caractère X sur la sous population de
Y = yj .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
1

Définition :
1

Distribution conditionnelle de X sachant Y :
C’est l’étude du caractère X sur la sous population de
Y = yj . L’effectif total est alors n.j .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
1

Définition :
1

Distribution conditionnelle de X sachant Y :
C’est l’étude du caractère X sur la sous population de
Y = yj . L’effectif total est alors n.j .

Exemple : Dans l’exemple précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

KARA-ZAÏTRI L.

5
0
0
1
2
1

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
1

Définition :
1

Distribution conditionnelle de X sachant Y :
C’est l’étude du caractère X sur la sous population de
Y = yj . L’effectif total est alors n.j .

Exemple : Dans l’exemple précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

KARA-ZAÏTRI L.

5
0
0
1
2
1

La distribution conditionnelle
de X sachant y2 = [25, 35[,

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
1

Définition :
1

Distribution conditionnelle de X sachant Y :
C’est l’étude du caractère X sur la sous population de
Y = yj . L’effectif total est alors n.j .

Exemple : Dans l’exemple précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

KARA-ZAÏTRI L.

5
0
0
1
2
1

La distribution conditionnelle
de X sachant y2 = [25, 35[,
c’est l’étude du nombre
d’enfants des 45 travailleurs
qui ont entre 25 et 35 ans.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

2

Distribution conditionnelle de Y sachant X :
C’est l’étude du caractère Y sur la sous population de
X = xi .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

2

Distribution conditionnelle de Y sachant X :
C’est l’étude du caractère Y sur la sous population de
X = xi . L’effectif total est alors ni. .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

2

Distribution conditionnelle de Y sachant X :
C’est l’étude du caractère Y sur la sous population de
X = xi . L’effectif total est alors ni. .

Exemple : Dans l’exemple précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

2

Distribution conditionnelle de Y sachant X :
C’est l’étude du caractère Y sur la sous population de
X = xi . L’effectif total est alors ni. .

Exemple : Dans l’exemple précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

KARA-ZAÏTRI L.

5
0
0
1
2
1

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

2

Distribution conditionnelle de Y sachant X :
C’est l’étude du caractère Y sur la sous population de
X = xi . L’effectif total est alors ni. .

Exemple : Dans l’exemple précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

KARA-ZAÏTRI L.

5
0
0
1
2
1

La distribution conditionnelle
de Y sachant x3 = 2, c’est

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

2

Distribution conditionnelle de Y sachant X :
C’est l’étude du caractère Y sur la sous population de
X = xi . L’effectif total est alors ni. .

Exemple : Dans l’exemple précedent :
Y\ X
[15, 25[
[25, 35[
[35, 45[
[45, 55[
[55, 65[

0
9
5
1
1
0

1
5
9
6
0
1

2
3
14
22
9
4

3
0
10
24
31
19

4
0
7
14
16
26

KARA-ZAÏTRI L.

5
0
0
1
2
1

La distribution conditionnelle
de Y sachant x3 = 2, c’est
l’étude de l’âge des 52
travailleurs qui ont 2 enfants .

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

2

Fréquence conditionnelle :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

2

Fréquence conditionnelle :
Fréquence conditionnelle de X sachant Y :

fi/Y =yj =

KARA-ZAÏTRI L.

nij
n.j

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

2

Fréquence conditionnelle :
Fréquence conditionnelle de X sachant Y :

fi/Y =yj =

nij
n.j

Fréquence conditionnelle de Y sachant X :

fj/X=xi =

KARA-ZAÏTRI L.

nij
ni.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
Exemple : Dans l’exemple précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
Exemple : Dans l’exemple précedent :
l’étude de X sachant y2 = [25, 35[ est donnée par le
tableau suivant :
X
ni2
fi/Y =y2

0
5
11.11%

1
9
20%

2
14
31.11%

KARA-ZAÏTRI L.

3
10
22.22%

4
7
15.56%

Probabilités et statistique

5
0
0%

Total
n.2 = 45
100%

Distribution conditionnelle
Exemple : Dans l’exemple précedent :
l’étude de X sachant y2 = [25, 35[ est donnée par le
tableau suivant :
X
ni2
fi/Y =y2

0
5
11.11%

1
9
20%

2
14
31.11%

3
10
22.22%

4
7
15.56%

5
0
0%

Total
n.2 = 45
100%

l’étude de Y sachant x3 = 2 est donnée par le tableau
suivant :
Y
n3j
fj/X=x3

[15, 25[

[25, 35[

[35, 45[

[45, 55[

[55, 65[

3
5.77%

14
26.92%

22
42.31%

9
17.31%

4
7.69%

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Total
n3. = 52
100%

Distribution conditionnelle

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

3

Caractéristiques conditionnelles :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

3

Caractéristiques conditionnelles :
1

Moyenne arithmétique conditionnelle :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

3

Caractéristiques conditionnelles :
1

Moyenne arithmétique conditionnelle :
Cas discret :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

3

Caractéristiques conditionnelles :
1

Moyenne arithmétique conditionnelle :
Cas discret :

X/Y =yj =

1
n .j

P

KARA-ZAÏTRI L.

i

nij xi

et

Y /X=xi =

Probabilités et statistique

1
ni.

P
j

nij yj

Distribution conditionnelle

3

Caractéristiques conditionnelles :
1

Moyenne arithmétique conditionnelle :
Cas discret :

X/Y =yj =

1
n .j

P
i

nij xi

et

Y /X=xi =

Cas continue :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

1
ni.

P
j

nij yj

Distribution conditionnelle

3

Caractéristiques conditionnelles :
1

Moyenne arithmétique conditionnelle :
Cas discret :

X/Y =yj =

1
n .j

P
i

nij xi

et

Y /X=xi =

1
ni.

P

1
ni.

P

j

nij yj

j

nij Ceyj

Cas continue :

X/Y =yj =

1
n.j

P

i

nij Cexi

KARA-ZAÏTRI L.

et

Y /X=xi =

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
2

Variance conditionnelle :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
2

Variance conditionnelle :
Cas discret :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
2

Variance conditionnelle :
Cas discret :

Var (X/Y =yj ) =

1
n.j

P

i


2
P

2
= n1 i nij xi2 − X/Y =yj
nij xi − X/Y =yj
.j

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
2

Variance conditionnelle :
Cas discret :

Var (X/Y =yj ) =

1
n.j

P

1
ni.

P

i


2
P

2
= n1 i nij xi2 − X/Y =yj
nij xi − X/Y =yj
.j

et
Var (Y/X=xi ) =

2
P
2


1
2
n
y

Y
=
n
y

Y
ij
j
ij
/X=xi
/X=xi
j
j
j
n
i.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
2

Variance conditionnelle :
Cas discret :

Var (X/Y =yj ) =

1
n.j

P

1
ni.

P

i


2
P

2
= n1 i nij xi2 − X/Y =yj
nij xi − X/Y =yj
.j

et
Var (Y/X=xi ) =

2
P
2


1
2
n
y

Y
=
n
y

Y
ij
j
ij
/X=xi
/X=xi
j
j
j
n
i.

Cas continue :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
2

Variance conditionnelle :
Cas discret :

Var (X/Y =yj ) =

1
n.j

P

1
ni.

P

i


2
P

2
= n1 i nij xi2 − X/Y =yj
nij xi − X/Y =yj
.j

et
Var (Y/X=xi ) =

2
P
2


1
2
n
y

Y
=
n
y

Y
ij
j
ij
/X=xi
/X=xi
j
j
j
n
i.

Cas continue :
Var (X/Y =yj ) =

1
n.j

P

i


2
nij Cexi − X/Y =yj
=

KARA-ZAÏTRI L.

1
n.j

P

i


2
nij Ce2xi − X/Y =yj

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle
2

Variance conditionnelle :
Cas discret :

Var (X/Y =yj ) =

1
n.j

P

1
ni.

P

i


2
P

2
= n1 i nij xi2 − X/Y =yj
nij xi − X/Y =yj
.j

et
Var (Y/X=xi ) =

2
P
2


1
2
n
y

Y
=
n
y

Y
ij
j
ij
/X=xi
/X=xi
j
j
j
n
i.

Cas continue :
Var (X/Y =yj ) =


2
nij Cexi − X/Y =yj
=

1
n.j

P


2
Y
=
n
Ce

yj
/X=xi
j ij

1
ni.

P

1
n.j

P

1
ni.

P

i

i


2
nij Ce2xi − X/Y =yj

et
Var (Y/X=xi ) =

KARA-ZAÏTRI L.


2
2
Y
n
Ce

/X=xi
yj
j ij

Probabilités et statistique

Distribution marginale

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X sachant Y = y2 :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X sachant Y = y2 :
X/Y =y2 =

(0×5)+(1×9)+(2×14)+(3×10)+(4×7)+(5×0)
45

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

= 2.11 .

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X sachant Y = y2 :
X/Y =y2 =

(0×5)+(1×9)+(2×14)+(3×10)+(4×7)+(5×0)
45

Var (X/Y =y2 ) =

= 2.11 .

(02 ×5)+(12 ×9)+(22 ×14)+(32 ×10)+(42 ×7)+(52 ×0)

−2.112 = 1.17

KARA-ZAÏTRI L.

45

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X sachant Y = y2 :
X/Y =y2 =

(0×5)+(1×9)+(2×14)+(3×10)+(4×7)+(5×0)
45

Var (X/Y =y2 ) =

= 2.11 .

(02 ×5)+(12 ×9)+(22 ×14)+(32 ×10)+(42 ×7)+(52 ×0)

−2.112 = 1.17

45

variable Y sachant X = x3 :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X sachant Y = y2 :
X/Y =y2 =

(0×5)+(1×9)+(2×14)+(3×10)+(4×7)+(5×0)
45

Var (X/Y =y2 ) =

= 2.11 .

(02 ×5)+(12 ×9)+(22 ×14)+(32 ×10)+(42 ×7)+(52 ×0)

−2.112 = 1.17

45

variable Y sachant X = x3 :
Y /X=x3 =

(20×3)+(30×14)+(40×22)+(50×9)+(60×4)
52

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

= 39.42.

Distribution marginale
Exemple :
Dans l’exemple précedent :
variable X sachant Y = y2 :
X/Y =y2 =

(0×5)+(1×9)+(2×14)+(3×10)+(4×7)+(5×0)
45

Var (X/Y =y2 ) =

= 2.11 .

(02 ×5)+(12 ×9)+(22 ×14)+(32 ×10)+(42 ×7)+(52 ×0)

−2.112 = 1.17

45

variable Y sachant X = x3 :
Y /X=x3 =

(20×3)+(30×14)+(40×22)+(50×9)+(60×4)
52

Var (Y/X=x3 ) =

= 39.42.

(202 ×3)+(302 ×14)+(402 ×22)+(502 ×9)+(602 ×4)

−39.422 = 97.99
KARA-ZAÏTRI L.

52

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

Remarque :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

Remarque :
fi/Y =yj =

nij
n.j

=

nij
N

×

N
n.j

=

fij
f.j

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

Remarque :
fi/Y =yj =

nij
n.j

=

nij
N

×

N
n.j

=

fij
f.j

On obtient alors que :
fij = fi/Y =yj × f.j .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Distribution conditionnelle

Remarque :
fi/Y =yj =

nij
n.j

=

nij
N

×

N
n.j

=

fij
f.j

On obtient alors que :
fij = fi/Y =yj × f.j .

fj/X=xi =

nij
ni .

=

nij
N

×

N
ni.

=

fij
fi.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique




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