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cours statistique 2015 11 25 .pdf



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Statistique déscriptive

Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran

2015-2016

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux
caractères

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

1

Covariance de deux caractères :
Elle mesure la liaison linéaire qui existe entre les deux
variables X et Y. Elle est notée Cov(X, Y ) et est donnée
par la formule :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

1

Covariance de deux caractères :
Elle mesure la liaison linéaire qui existe entre les deux
variables X et Y. Elle est notée Cov(X, Y ) et est donnée
par la formule :
Cov(X, Y ) =

k
l
1 XX

N i=1 j=1

KARA-ZAÏTRI L.

nij xi − X



yj − Y

Probabilités et statistique



Corrélation entre deux caractères

1

Covariance de deux caractères :
Elle mesure la liaison linéaire qui existe entre les deux
variables X et Y. Elle est notée Cov(X, Y ) et est donnée
par la formule :
Cov(X, Y ) =

k
l
1 XX

N i=1 j=1

nij xi − X



yj − Y

Remarque :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique



Corrélation entre deux caractères

1

Covariance de deux caractères :
Elle mesure la liaison linéaire qui existe entre les deux
variables X et Y. Elle est notée Cov(X, Y ) et est donnée
par la formule :
Cov(X, Y ) =

k
l
1 XX

N i=1 j=1

nij xi − X



yj − Y

Remarque :


Cov(X, Y ) = 

k
l
1 XX

N i=1 j=1

KARA-ZAÏTRI L.


nij xi yj  − X Y

Probabilités et statistique



Corrélation entre deux caractères

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
Propriétés :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
Propriétés :
Si X et Y sont indépendantes alors Cov(X, Y ) = 0 .
Le contraire n’est pas toujours vrais.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
Propriétés :
Si X et Y sont indépendantes alors Cov(X, Y ) = 0 .
Le contraire n’est pas toujours vrais.
Cov(X, X) = var (X) .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
Propriétés :
Si X et Y sont indépendantes alors Cov(X, Y ) = 0 .
Le contraire n’est pas toujours vrais.
Cov(X, X) = var (X) .
Cov(X, Y ) = Cov(Y , X) .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
Propriétés :
Si X et Y sont indépendantes alors Cov(X, Y ) = 0 .
Le contraire n’est pas toujours vrais.
Cov(X, X) = var (X) .
Cov(X, Y ) = Cov(Y , X) .
Cov(aX + b , Y ) = aCov(Y , X) et
Cov(a1 X + b1 , a2 Y + b2 ) = a1 a2 Cov(Y , X).

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
Propriétés :
Si X et Y sont indépendantes alors Cov(X, Y ) = 0 .
Le contraire n’est pas toujours vrais.
Cov(X, X) = var (X) .
Cov(X, Y ) = Cov(Y , X) .
Cov(aX + b , Y ) = aCov(Y , X) et
Cov(a1 X + b1 , a2 Y + b2 ) = a1 a2 Cov(Y , X).
var (aX + bY ) = a2 var (X) + b2 var (Y ) + 2abCov(X, Y ).

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
2

Corrélation entre deux caractères :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
2

Corrélation entre deux caractères :
Elle est notée ρ(X, Y ), et est donnée par la formule :

ρ(X, Y ) =

KARA-ZAÏTRI L.

Cov(X, Y )

σ(X) σ(Y )

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
2

Corrélation entre deux caractères :
Elle est notée ρ(X, Y ), et est donnée par la formule :

ρ(X, Y ) =

Cov(X, Y )

σ(X) σ(Y )

Propriétés :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
2

Corrélation entre deux caractères :
Elle est notée ρ(X, Y ), et est donnée par la formule :

ρ(X, Y ) =

Cov(X, Y )

σ(X) σ(Y )

Propriétés :
1

−1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
2

Corrélation entre deux caractères :
Elle est notée ρ(X, Y ), et est donnée par la formule :

ρ(X, Y ) =

Cov(X, Y )

σ(X) σ(Y )

Propriétés :
1

−1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1.

2

ρ(X, Y ) ≈ 1 ⇒ X et Y varient dans la même direction.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
2

Corrélation entre deux caractères :
Elle est notée ρ(X, Y ), et est donnée par la formule :

ρ(X, Y ) =

Cov(X, Y )

σ(X) σ(Y )

Propriétés :
1

−1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1.

2

ρ(X, Y ) ≈ 1 ⇒ X et Y varient dans la même direction.

3

ρ(X, Y ) ≈ −1 ⇒ X et Y varient dans des directions
opposées.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères
2

Corrélation entre deux caractères :
Elle est notée ρ(X, Y ), et est donnée par la formule :

ρ(X, Y ) =

Cov(X, Y )

σ(X) σ(Y )

Propriétés :
1

−1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1.

2

ρ(X, Y ) ≈ 1 ⇒ X et Y varient dans la même direction.

3

ρ(X, Y ) ≈ −1 ⇒ X et Y varient dans des directions
opposées.

4

ρ(X, Y ) ≈ 0 ⇒ il n’y a pas de relation linéaire entre X et Y.
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

Exemple :
Nous avons étudié la relation entre la taille X en cm et le
poids Y en kg de 10 individus :

X
Y

155
55

159
78

162
65

169
75

172
66

178
96

184
76

185
91

191
80

Calculons le coefficient de corrélation entre X et Y :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

200
89

Corrélation entre deux caractères

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

X = 175.5

et

σ(X) = 13.92

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

X = 175.5
Y = 77.1

et
et

σ(X) = 13.92
σ(Y ) = 12.10

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

X = 175.5
Y = 77.1
cov(X, Y ) =

et
et

σ(X) = 13.92
σ(Y ) = 12.10

1
[(155
10

∗ 55) + (159 ∗ 78) + (162 ∗ 65) + (169 ∗ 75) + (172 ∗ 66)
+(178 ∗ 96) + (184 ∗ 76) + (185 ∗ 91) + (191 ∗ 80) + (200 ∗ 89)]
− (175.5 ∗ 77.1) = 116.05

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

X = 175.5
Y = 77.1
cov(X, Y ) =

et

σ(X) = 13.92
σ(Y ) = 12.10

et

1
[(155
10

∗ 55) + (159 ∗ 78) + (162 ∗ 65) + (169 ∗ 75) + (172 ∗ 66)
+(178 ∗ 96) + (184 ∗ 76) + (185 ∗ 91) + (191 ∗ 80) + (200 ∗ 89)]
− (175.5 ∗ 77.1) = 116.05

ρ(X, Y ) =

cov(X,Y )
σ(X) σ(Y )

=

116.05
13.92×12.10

KARA-ZAÏTRI L.

= 0.69

Probabilités et statistique

Corrélation entre deux caractères

X = 175.5
Y = 77.1
cov(X, Y ) =

et

σ(X) = 13.92
σ(Y ) = 12.10

et

1
[(155
10

∗ 55) + (159 ∗ 78) + (162 ∗ 65) + (169 ∗ 75) + (172 ∗ 66)
+(178 ∗ 96) + (184 ∗ 76) + (185 ∗ 91) + (191 ∗ 80) + (200 ∗ 89)]
− (175.5 ∗ 77.1) = 116.05

ρ(X, Y ) =

cov(X,Y )
σ(X) σ(Y )

=

116.05
13.92×12.10

= 0.69

On en déduit qu’il y a une bonne corrélation entre X et Y.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Exemple de corrélations positives :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Exemple de corrélations négatives :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Exemple de corrélations nulles :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique


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