cours statistique 2015 12 02 .pdf



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Statistique déscriptive

Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran

2015-2016

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
1

Définition :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
1

Définition :
Si X et Y sont des variables dépendantes, faire un
ajustement du nuage de points avec une droite (ou avec
une courbe), consiste à estimer chaque point (xi , yj ) par
ˆj ) sur cette droite (ou cette courbe).
sa projection (xi , y

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
1

Définition :
Si X et Y sont des variables dépendantes, faire un
ajustement du nuage de points avec une droite (ou avec
une courbe), consiste à estimer chaque point (xi , yj ) par
ˆj ) sur cette droite (ou cette courbe).
sa projection (xi , y

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
1

Définition :
Si X et Y sont des variables dépendantes, faire un
ajustement du nuage de points avec une droite (ou avec
une courbe), consiste à estimer chaque point (xi , yj ) par
ˆj ) sur cette droite (ou cette courbe).
sa projection (xi , y

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
1

Définition :
Si X et Y sont des variables dépendantes, faire un
ajustement du nuage de points avec une droite (ou avec
une courbe), consiste à estimer chaque point (xi , yj ) par
ˆj ) sur cette droite (ou cette courbe).
sa projection (xi , y

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
2

Ajustement linéaire :
Si le nuage de points a une forme allongée, nous pouvons
l’ajuster par une droite (D) avec une équation du type :
ˆj = axi + b
y

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
2

Ajustement linéaire :
Si le nuage de points a une forme allongée, nous pouvons
l’ajuster par une droite (D) avec une équation du type :
ˆj = axi + b
y

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
2

Ajustement linéaire :
Si le nuage de points a une forme allongée, nous pouvons
l’ajuster par une droite (D) avec une équation du type :
ˆj = axi + b
y

On choisit a et b de telle sorte que ∀ i , j les distances
ˆj soient minimales.
entre yj et y
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

On cherche a et b tels que la fonction :
f (a, b) =

X
j

2

ˆ j − yj ) =
nij (y

XX
i

KARA-ZAÏTRI L.

nij [(axi + b) − yj ]

j

Probabilités et statistique

2

soit minimale

Ajustements

On cherche a et b tels que la fonction :
f (a, b) =

X

2

ˆ j − yj ) =
nij (y

j

c.à.d :

XX
i

df (a, b)
da

=0

KARA-ZAÏTRI L.

nij [(axi + b) − yj ]

j

et

df (a, b)
db

=0

Probabilités et statistique

2

soit minimale

Ajustements

On cherche a et b tels que la fonction :
f (a, b) =

X

2

ˆ j − yj ) =
nij (y

j

c.à.d :

XX
i

df (a, b)
da

=0

nij [(axi + b) − yj ]

j

et

df (a, b)
db

=0

Les points a et b qui minimisent f (a, b) sont :
a=

cov(X,Y )
var (X)

KARA-ZAÏTRI L.

et

b = Y − aX

Probabilités et statistique

2

soit minimale

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
Exemple : Dans l’exemple précedent :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
Exemple : Dans l’exemple précedent :

X
Y

155
55

159
78

162
65

169
75

172
66

KARA-ZAÏTRI L.

178
96

184
76

185
91

Probabilités et statistique

191
80

200
89

Ajustements
Exemple : Dans l’exemple précedent :

X
Y

155
55

159
78

162
65

169
75

172
66

178
96

184
76

185
91


cov(X, Y ) = 116.05



 var (X) = 193.77

X = 175.5



Y = 77.1

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

191
80

200
89

Ajustements
Exemple : Dans l’exemple précedent :

X
Y

155
55

159
78

162
65


cov(X, Y ) = 116.05



 var (X) = 193.77

X = 175.5



Y = 77.1

169
75

172
66



KARA-ZAÏTRI L.

178
96

184
76

185
91

191
80


cov(X,Y )

 a = var (X) = 0.60
et


b = Y − aX = −28.2

Probabilités et statistique

200
89

Ajustements
Exemple : Dans l’exemple précedent :

X
Y

155
55

159
78

162
65


cov(X, Y ) = 116.05



 var (X) = 193.77

X = 175.5



Y = 77.1

169
75

172
66



178
96

184
76

185
91


cov(X,Y )

 a = var (X) = 0.60
et


b = Y − aX = −28.2

ˆj = 0.6xi − 28.2 .
Ainsi (D) : y

KARA-ZAÏTRI L.

191
80

Probabilités et statistique

200
89

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
2

Ajustement exponentiel :
Si le nuage de points a une forme exponetielle, nous
pouvons l’ajuster par une courbe exponentielle (E) avec
ˆj = a.bxi
une équation du type : y

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
2

Ajustement exponentiel :
Si le nuage de points a une forme exponetielle, nous
pouvons l’ajuster par une courbe exponentielle (E) avec
ˆj = a.bxi
une équation du type : y

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

Pour définir a et b :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

Pour définir a et b :
On pose :

ˆj
Zj = ln y

,

KARA-ZAÏTRI L.

A = ln a

et

Probabilités et statistique

B = ln b

Ajustements

Pour définir a et b :
On pose :

ˆj = a.bxi
y

ˆj
Zj = ln y




,

A = ln a

et

ˆj = ln a + xi ln b
ln y
Zj = A + xi B
B=

cov(X,Z)
var (X)

KARA-ZAÏTRI L.

et

A = Z − BX

Probabilités et statistique

B = ln b

Ajustements

Pour définir a et b :
On pose :

ˆj = a.bxi
y

ˆj
Zj = ln y




A = ln a

,

et

ˆj = ln a + xi ln b
ln y
Zj = A + xi B
B=

cov(X,Z)
var (X)

et

A = Z − BX

Ainsi :
a = exp (A)

KARA-ZAÏTRI L.

et

b = exp (B)

Probabilités et statistique

B = ln b

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

Exemple :
Sur une autoroute, on a relevé la consomation (en
litre/100km) d’une voiture en fonction de sa vitesse moyenne
en (Km/heure) :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

Exemple :
Sur une autoroute, on a relevé la consomation (en
litre/100km) d’une voiture en fonction de sa vitesse moyenne
en (Km/heure) :

Vitesse moyenne (X)
Consomation (Y)

70
3.7

80
4

KARA-ZAÏTRI L.

90
4.8

100
6.3

110
8

Probabilités et statistique

120
10

125
11.5

Ajustements

Exemple :
Sur une autoroute, on a relevé la consomation (en
litre/100km) d’une voiture en fonction de sa vitesse moyenne
en (Km/heure) :

Vitesse moyenne (X)
Consomation (Y)

70
3.7

80
4

90
4.8

100
6.3

110
8

120
10

125
11.5

Donner un ajustement du nuage de point de cette distribution.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

Le graphe a l’allure d’une courbe exponentielle. On cherche
ˆj = a.bxi .
alors à tracer une courbe d’équation : y
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements
On pose zj = ln yj

,

A = ln a

KARA-ZAÏTRI L.

et

B = ln b .

Probabilités et statistique

Ajustements
On pose zj = ln yj

,

A = ln a

⇒ zj = Bxi + A, où B =

cov(X,Z)
var (X)

KARA-ZAÏTRI L.

et

B = ln b .

et A = Z − BX .

Probabilités et statistique

Ajustements
On pose zj = ln yj

A = ln a

,

⇒ zj = Bxi + A, où B =

X
Z

70
1.31

80
1.39

et

cov(X,Z)
var (X)

90
1.57

B = ln b .

et A = Z − BX .

100
1.84

110
2.08

120
2.30


cov(X, Z) = 7.47



 var (X) = 361.34

X = 99.28



Z = 1.85

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

125
2.44

Ajustements
On pose zj = ln yj

A = ln a

,

⇒ zj = Bxi + A, où B =

X
Z

70
1.31

80
1.39


cov(X, Z) = 7.47



 var (X) = 361.34

X = 99.28



Z = 1.85

et

cov(X,Z)
var (X)

90
1.57



B = ln b .

et A = Z − BX .

100
1.84

110
2.08

120
2.30

125
2.44


7.47

 B = 361.34 = 0.021
et


A = 1.85 − 0.021 × 99.28 = −0.23

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Ajustements

on retrouve ainsi les paramètres de la courbe (E) :

a = exp(A) = exp(−0.23)

KARA-ZAÏTRI L.

et

b = exp(B) = exp(0.021)

Probabilités et statistique

Ajustements

on retrouve ainsi les paramètres de la courbe (E) :

a = exp(A) = exp(−0.23)

b = exp(B) = exp(0.021)

et

L’équation de la courbe est alors :

ˆj = exp(−0.23). exp(0.021.xi )
y

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique



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