cours statistique 2015 12 02 .pdf
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Statistique déscriptive
Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran
2015-2016
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
1
Définition :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
1
Définition :
Si X et Y sont des variables dépendantes, faire un
ajustement du nuage de points avec une droite (ou avec
une courbe), consiste à estimer chaque point (xi , yj ) par
ˆj ) sur cette droite (ou cette courbe).
sa projection (xi , y
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
1
Définition :
Si X et Y sont des variables dépendantes, faire un
ajustement du nuage de points avec une droite (ou avec
une courbe), consiste à estimer chaque point (xi , yj ) par
ˆj ) sur cette droite (ou cette courbe).
sa projection (xi , y
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
1
Définition :
Si X et Y sont des variables dépendantes, faire un
ajustement du nuage de points avec une droite (ou avec
une courbe), consiste à estimer chaque point (xi , yj ) par
ˆj ) sur cette droite (ou cette courbe).
sa projection (xi , y
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
1
Définition :
Si X et Y sont des variables dépendantes, faire un
ajustement du nuage de points avec une droite (ou avec
une courbe), consiste à estimer chaque point (xi , yj ) par
ˆj ) sur cette droite (ou cette courbe).
sa projection (xi , y
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
2
Ajustement linéaire :
Si le nuage de points a une forme allongée, nous pouvons
l’ajuster par une droite (D) avec une équation du type :
ˆj = axi + b
y
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
2
Ajustement linéaire :
Si le nuage de points a une forme allongée, nous pouvons
l’ajuster par une droite (D) avec une équation du type :
ˆj = axi + b
y
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
2
Ajustement linéaire :
Si le nuage de points a une forme allongée, nous pouvons
l’ajuster par une droite (D) avec une équation du type :
ˆj = axi + b
y
On choisit a et b de telle sorte que ∀ i , j les distances
ˆj soient minimales.
entre yj et y
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
On cherche a et b tels que la fonction :
f (a, b) =
X
j
2
ˆ j − yj ) =
nij (y
XX
i
KARA-ZAÏTRI L.
nij [(axi + b) − yj ]
j
Probabilités et statistique
2
soit minimale
Ajustements
On cherche a et b tels que la fonction :
f (a, b) =
X
2
ˆ j − yj ) =
nij (y
j
c.à.d :
XX
i
df (a, b)
da
=0
KARA-ZAÏTRI L.
nij [(axi + b) − yj ]
j
et
df (a, b)
db
=0
Probabilités et statistique
2
soit minimale
Ajustements
On cherche a et b tels que la fonction :
f (a, b) =
X
2
ˆ j − yj ) =
nij (y
j
c.à.d :
XX
i
df (a, b)
da
=0
nij [(axi + b) − yj ]
j
et
df (a, b)
db
=0
Les points a et b qui minimisent f (a, b) sont :
a=
cov(X,Y )
var (X)
KARA-ZAÏTRI L.
et
b = Y − aX
Probabilités et statistique
2
soit minimale
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
Exemple : Dans l’exemple précedent :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
Exemple : Dans l’exemple précedent :
X
Y
155
55
159
78
162
65
169
75
172
66
KARA-ZAÏTRI L.
178
96
184
76
185
91
Probabilités et statistique
191
80
200
89
Ajustements
Exemple : Dans l’exemple précedent :
X
Y
155
55
159
78
162
65
169
75
172
66
178
96
184
76
185
91
cov(X, Y ) = 116.05
var (X) = 193.77
X = 175.5
Y = 77.1
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
191
80
200
89
Ajustements
Exemple : Dans l’exemple précedent :
X
Y
155
55
159
78
162
65
cov(X, Y ) = 116.05
var (X) = 193.77
X = 175.5
Y = 77.1
169
75
172
66
⇒
KARA-ZAÏTRI L.
178
96
184
76
185
91
191
80
cov(X,Y )
a = var (X) = 0.60
et
b = Y − aX = −28.2
Probabilités et statistique
200
89
Ajustements
Exemple : Dans l’exemple précedent :
X
Y
155
55
159
78
162
65
cov(X, Y ) = 116.05
var (X) = 193.77
X = 175.5
Y = 77.1
169
75
172
66
⇒
178
96
184
76
185
91
cov(X,Y )
a = var (X) = 0.60
et
b = Y − aX = −28.2
ˆj = 0.6xi − 28.2 .
Ainsi (D) : y
KARA-ZAÏTRI L.
191
80
Probabilités et statistique
200
89
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
2
Ajustement exponentiel :
Si le nuage de points a une forme exponetielle, nous
pouvons l’ajuster par une courbe exponentielle (E) avec
ˆj = a.bxi
une équation du type : y
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
2
Ajustement exponentiel :
Si le nuage de points a une forme exponetielle, nous
pouvons l’ajuster par une courbe exponentielle (E) avec
ˆj = a.bxi
une équation du type : y
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
Pour définir a et b :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
Pour définir a et b :
On pose :
ˆj
Zj = ln y
,
KARA-ZAÏTRI L.
A = ln a
et
Probabilités et statistique
B = ln b
Ajustements
Pour définir a et b :
On pose :
ˆj = a.bxi
y
ˆj
Zj = ln y
⇒
⇒
⇒
,
A = ln a
et
ˆj = ln a + xi ln b
ln y
Zj = A + xi B
B=
cov(X,Z)
var (X)
KARA-ZAÏTRI L.
et
A = Z − BX
Probabilités et statistique
B = ln b
Ajustements
Pour définir a et b :
On pose :
ˆj = a.bxi
y
ˆj
Zj = ln y
⇒
⇒
⇒
A = ln a
,
et
ˆj = ln a + xi ln b
ln y
Zj = A + xi B
B=
cov(X,Z)
var (X)
et
A = Z − BX
Ainsi :
a = exp (A)
KARA-ZAÏTRI L.
et
b = exp (B)
Probabilités et statistique
B = ln b
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
Exemple :
Sur une autoroute, on a relevé la consomation (en
litre/100km) d’une voiture en fonction de sa vitesse moyenne
en (Km/heure) :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
Exemple :
Sur une autoroute, on a relevé la consomation (en
litre/100km) d’une voiture en fonction de sa vitesse moyenne
en (Km/heure) :
Vitesse moyenne (X)
Consomation (Y)
70
3.7
80
4
KARA-ZAÏTRI L.
90
4.8
100
6.3
110
8
Probabilités et statistique
120
10
125
11.5
Ajustements
Exemple :
Sur une autoroute, on a relevé la consomation (en
litre/100km) d’une voiture en fonction de sa vitesse moyenne
en (Km/heure) :
Vitesse moyenne (X)
Consomation (Y)
70
3.7
80
4
90
4.8
100
6.3
110
8
120
10
125
11.5
Donner un ajustement du nuage de point de cette distribution.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
Le graphe a l’allure d’une courbe exponentielle. On cherche
ˆj = a.bxi .
alors à tracer une courbe d’équation : y
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
On pose zj = ln yj
,
A = ln a
KARA-ZAÏTRI L.
et
B = ln b .
Probabilités et statistique
Ajustements
On pose zj = ln yj
,
A = ln a
⇒ zj = Bxi + A, où B =
cov(X,Z)
var (X)
KARA-ZAÏTRI L.
et
B = ln b .
et A = Z − BX .
Probabilités et statistique
Ajustements
On pose zj = ln yj
A = ln a
,
⇒ zj = Bxi + A, où B =
X
Z
70
1.31
80
1.39
et
cov(X,Z)
var (X)
90
1.57
B = ln b .
et A = Z − BX .
100
1.84
110
2.08
120
2.30
cov(X, Z) = 7.47
var (X) = 361.34
X = 99.28
Z = 1.85
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
125
2.44
Ajustements
On pose zj = ln yj
A = ln a
,
⇒ zj = Bxi + A, où B =
X
Z
70
1.31
80
1.39
cov(X, Z) = 7.47
var (X) = 361.34
X = 99.28
Z = 1.85
et
cov(X,Z)
var (X)
90
1.57
⇒
B = ln b .
et A = Z − BX .
100
1.84
110
2.08
120
2.30
125
2.44
7.47
B = 361.34 = 0.021
et
A = 1.85 − 0.021 × 99.28 = −0.23
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Probabilités et statistique
Ajustements
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Ajustements
on retrouve ainsi les paramètres de la courbe (E) :
a = exp(A) = exp(−0.23)
KARA-ZAÏTRI L.
et
b = exp(B) = exp(0.021)
Probabilités et statistique
Ajustements
on retrouve ainsi les paramètres de la courbe (E) :
a = exp(A) = exp(−0.23)
b = exp(B) = exp(0.021)
et
L’équation de la courbe est alors :
ˆj = exp(−0.23). exp(0.021.xi )
y
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Probabilités et statistique
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droite
ajustements
forme
definition
courbe
statistique
exemple
points
pouvons
ajustement
precedent
fonction
probabilites
nuage
equation