10 derivadas de funciones implicitas .pdf
Nom original: 10 derivadas de funciones implicitas.pdfTitre: D:\LIBROS TEXTO\Cálculo diferencial AREA 2\10 derivadas de funciones implicitas (141-150).wpdAuteur: Luis Castro P
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CAPÍTULO 10
FUNCIONES IMPLÍCITAS
10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)
En el curso de Precálculo del 4º semestre se vieron diferentes clasificaciones de las funciones, entre ellas las funciones explícitas y las funciones implícitas. Recordando: Una función
está escrita en forma explícita cuando su variable dependiente (por lo general, la y ) está despejada. Los siguientes ejemplos se refieren a funciones escritas en forma explícita:
y = 3 x 2 − 11x − 9
y = x 2 tan ( x 3 − 22 )
y = e6 x ( tan x − cos 2 x )
2
y=
ln x
x6 − 9 x
Si por el contrario, su variable dependiente (por lo general, la y ) no está despejada, se
dice que está escrita en forma implícita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funciones
escritas en forma implícita:
141
Funciones implícitas
x3 − y 3 = xy − 8
tan ( x − 4 y ) = 3 x + y 4
5 x 2 − 7 xy + 9 x − y 2 + 22 y − 6 = 0
y = arc sen
x4 − y2
Una función escrita en forma implícita puede estar así por dos razones: una, porque la variable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuando
aparece como parte de algún argumento al mismo tiempo que no parte de algún argumento. Por
(
ejemplo, en 4 y = sen 2 x − y 2
) la variable dependiente y aparece como parte del argumento
del seno y además como no argumento en 4y. La otra razón es simplemente porque así convino
escribirla, como en x 2 + 3 y + 5 = 0 (se podría despejar la y )
Para obtener la derivada
dy
de una función implícita se emplean las mismas fórmulas
dx
y las mismas reglas de derivación estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse solamente el
cuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupará el lugar de la u en las fórmulas.
Por ejemplo, para derivar y 3 debe utilizarse la fórmula (6) de la potencia vista en la página 69, en donde u = y y n = 3, de la siguiente forma:
d 3
y =N
3 N
y
dx
3 −1
N
d
y
dx
N
n-1
n
du
dx
u
142
Funciones implícitas
Por lo tanto
d 3
dy
y = 3y2
dx
dx
Para derivar, por ejemplo, x 6 y 3 debe emplearse la fórmula (7) del producto uv vista en
la página 77, en donde u = x6 y v = y3, de la siguiente forma:
d 6 3
d 3
d 6
x y =N
x6
y + N
y3
x
dx
dx
dx
u
dv
+
dx
v
du
dx
Para derivar y 3 debe seguirse el procedimiento visto en la página anterior. Por lo tanto,
d ⎤
⎡
y ⎥ + y 3 ⎡⎣6 x5 ⎤⎦
= x 6 ⎢3 y 2
dx ⎦
⎣
d 6 3
dy
x y = 3x6 y 2
+ 6 x5 y 3
dx
dx
En general, para obtener la derivada
dy
de cualquier función implícita deben derivarse
dx
ambos miembros de la igualdad aplicando las fórmulas ya estudiadas y luego despejar
143
dy
, lo
dx
Funciones implícitas
cual puede detallarse en la siguiente regla:
Para derivar funciones implícitas:
1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismas
fórmulas antes vistas.
2) Despejar
dy
, para lo cual:
dx
a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los términos
que contengan a la derivada y del lado derecho todos los términos que no la contengan.
b) Factorizar en el lado izquierdo
c) Despejar
dy
.
dx
dy
, dividiendo en el lado derecho el factor que le
dx
multiplica.
Ejemplo 1: Obtener
Solución:
dy
dx
si 5 xy 7 − y 3 = 9 x + 4 y
Paso 1: Aplicando el operador derivada en ambos miembros de la igualdad
d
d
5 xy 7 − y 3 ) =
(9x + 4 y )
(
dx
dx
144
Funciones implícitas
d
d 3
d
d
5 xy 7 −
y =
9x +
4y
dx
dx
dx
dx
d
d 3
d
d
5 xy 7 ) −
y
=
9
x
+
4y
(
dx
dx N
dx
dx N
son de la forma:
un
uv
c
du
dx
d 7
d
d
dy
3 −1
5x
y + N
y7
5x − N
3 N
y
y = 9+4
N
dx
dx
dx
dx
N
n-1
u
dv
dx
+
v
du
dx
n u
du
dx
dy ⎤
dy
dy
⎡
+ y 7 [ 5] − 3 y 2
=9+4
5 x ⎢7 y 6
⎥
dx ⎦
dx
dx
⎣
35 xy 6
dy
dy
dy
+ 5 y7 − 3 y2
=9+4
dx
dx
dx
Paso 2a: Escribiendo en el lado izquierdo todos los términos que contengan a la derivada y
del lado derecho los que no lo contengan:
35 xy 6
dy
dy
dy
− 3y2
−4
= 9 − 5 y7
dx
dx
dx
145
Funciones implícitas
Paso 2b: Factorizando
dy
dx
dy
35 xy 6 − 3 y 2 − 4 ) = 9 − 5 y 6
(
dx
Paso 2c: Despejando
dy
dx
dy
9 − 5 y7
=
dx
35 xy 6 − 3 y 2 − 4
Ejemplo 2: Calcular la derivada
Solución:
dy
dx
si y = x ln y + sen 3 x
Debe tenerse cuidado con casos como éste. Aparentemente la variable y está despejado por
aparecer del lado izquierdo como único término, pero realmente no está despejada por el hecho de volver a aparecer en el lado derecho. Por lo tanto, es una función implícita.
Paso 1: Derivando en ambos lados de la igualdad
d
d
y=
( x ln y + sen 3x )
dx
dx
dy
d
d
=
xN
ln y +
sen 3 x
dx
dx
dx
son de la forma
uv
sen u
146
Funciones implícitas
dy
d
d
d
=N
x
ln y + ln
y
x + cos
3x
3x
N
N
dx
dx
dx
dx
N
u
dv
dx
+ v
du
dx
cos u
du
dx
⎡ d
⎤
⎢ dx y ⎥
dy
= x⎢
⎥ + ln y [1] + cos 3 x [3]
dx
⎢ y ⎥
⎣
⎦
⎡ dy ⎤
⎢
⎥
dy
= x ⎢ dx ⎥ + ln y + 3 cos 3 x
dx
⎢ y ⎥
⎣
⎦
dy
x dy
=
+ ln y + 3 cos 3x
dx
y dx
Escribiendo en el lado izquierdo los términos que contienen a la derivada y del derecho los
que no la contienen
dy
x dy
−
= ln y + 3 cos 3x
dx
y dx
factorizando la derivada:
dy
dx
⎛
x ⎞
⎜1 −
⎟ = ln y + 3 cos 3 x
y ⎠
⎝
147
Funciones implícitas
y finalmente despejando la derivada:
dy
ln y + 3 cos 3 x
=
x
dx
1−
y
Por las reglas de escritura, como no debe dejarse el resultado como una fracción compleja, es
decir, fracción sobre fracción, entonces para quitar el denominador parcial y basta multiplicar numerador y denominador por y:
y ( ln y + 3 cos 3 x )
dy
=
dx
⎛
x ⎞
y ⎜1 −
⎟
y ⎠
⎝
dy
y ln y + 3 y cos 3 x
=
dx
y−x
Ejemplo 3: Hallar
Solución:
dy
si 3 x 2 + 5 y 3 − 4 x − y + 3 = 0
dx
Derivando en ambos lados:
d
d
d
d
d
d
3x 2 +
5 y3 −
4x −
y+
3=
0
dx
dx
dx
dx
dx
dx
6 x + 15 y 2
dy
dy
−4−
=0
dx
dx
Escribiendo en el lado izquierdo los términos que contienen a la derivada y del derecho los
que no la contienen:
148
Funciones implícitas
15 y 2
dy
dy
−
= 4 − 6x
dx
dx
Factorizando la derivada:
dy
(15 y 2 − 1) = 4 − 6 x
dx
y finalmente despejando la derivada:
dy
4 − 6x
=
dx
15 y 2 − 1
149
Funciones implícitas
EJERCICIO 16
Obtener la derivada
dy
dx
de las siguientes funciones implícitas:
1)
4 xy 8 = 5 x 2 − 7 y
2)
6 y + 3x = 9 − 4 x 2 y 3
3)
y 2 − y = x2 − x
4)
11x 6 y − 11xy 6 = 3 x − 12
5)
2 xy − 7 x + 6 y = y 3 − 8 x 5
6)
x3 − y 4 = 4 x6 y 2
7)
y = 2 x3 + 7 y 6
8)
y = y 4 − x4
9)
y = ex + e y
10)
y=
11)
ln y + ln x = y − x
12)
ln xy = xy
13)
sen xy = xy
14)
cos ( 2 x − 3 y ) = 2 x − 3 y
15)
tan ( x 2 − 3 y ) = x 2 + 3 y
16)
17)
x − y = xy
18)
150
2x
− x7
3y
x
y2
− 2 =0
y
x
y ln x + x ln y = 0
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