10 derivadas de funciones implicitas .pdf

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CAPÍTULO 10

FUNCIONES IMPLÍCITAS

10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)

En el curso de Precálculo del 4º semestre se vieron diferentes clasificaciones de las funciones, entre ellas las funciones explícitas y las funciones implícitas. Recordando: Una función
está escrita en forma explícita cuando su variable dependiente (por lo general, la y ) está despejada. Los siguientes ejemplos se refieren a funciones escritas en forma explícita:

y = 3 x 2 − 11x − 9
y = x 2 tan ( x 3 − 22 )

y = e6 x ( tan x − cos 2 x )
2

y=

ln x
x6 − 9 x

Si por el contrario, su variable dependiente (por lo general, la y ) no está despejada, se
dice que está escrita en forma implícita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funciones
escritas en forma implícita:

141

Funciones implícitas

x3 − y 3 = xy − 8
tan ( x − 4 y ) = 3 x + y 4
5 x 2 − 7 xy + 9 x − y 2 + 22 y − 6 = 0
y = arc sen

x4 − y2

Una función escrita en forma implícita puede estar así por dos razones: una, porque la variable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuando
aparece como parte de algún argumento al mismo tiempo que no parte de algún argumento. Por

(

ejemplo, en 4 y = sen 2 x − y 2

) la variable dependiente y aparece como parte del argumento

del seno y además como no argumento en 4y. La otra razón es simplemente porque así convino
escribirla, como en x 2 + 3 y + 5 = 0 (se podría despejar la y )

Para obtener la derivada

dy
de una función implícita se emplean las mismas fórmulas
dx

y las mismas reglas de derivación estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse solamente el
cuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupará el lugar de la u en las fórmulas.
Por ejemplo, para derivar y 3 debe utilizarse la fórmula (6) de la potencia vista en la página 69, en donde u = y y n = 3, de la siguiente forma:

d 3
y =N
3 N
y
dx

3 −1
N

d
y
dx
N

n-1

n

du
dx

u

142

Funciones implícitas

Por lo tanto
d 3
dy
y = 3y2
dx
dx

Para derivar, por ejemplo, x 6 y 3 debe emplearse la fórmula (7) del producto uv vista en
la página 77, en donde u = x6 y v = y3, de la siguiente forma:

d 6 3
d 3
d 6
x y =N
x6
y + N
y3
x
dx
dx
dx





u

dv
+
dx

v

du
dx

Para derivar y 3 debe seguirse el procedimiento visto en la página anterior. Por lo tanto,

d ⎤
⎡
y ⎥ + y 3 ⎡⎣6 x5 ⎤⎦
= x 6 ⎢3 y 2
dx ⎦
⎣
d 6 3
dy
x y = 3x6 y 2
+ 6 x5 y 3
dx
dx

En general, para obtener la derivada

dy
de cualquier función implícita deben derivarse
dx

ambos miembros de la igualdad aplicando las fórmulas ya estudiadas y luego despejar

143

dy
, lo
dx

Funciones implícitas

cual puede detallarse en la siguiente regla:

Para derivar funciones implícitas:
1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismas
fórmulas antes vistas.
2) Despejar

dy
, para lo cual:
dx

a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los términos
que contengan a la derivada y del lado derecho todos los términos que no la contengan.
b) Factorizar en el lado izquierdo
c) Despejar

dy
.
dx

dy
, dividiendo en el lado derecho el factor que le
dx

multiplica.

Ejemplo 1: Obtener

Solución:

dy
dx

si 5 xy 7 − y 3 = 9 x + 4 y

Paso 1: Aplicando el operador derivada en ambos miembros de la igualdad

d
d
5 xy 7 − y 3 ) =
(9x + 4 y )
(
dx
dx

144

Funciones implícitas

d
d 3
d
d
5 xy 7 −
y =
9x +
4y
dx
dx
dx
dx

d
d 3
d
d
5 xy 7 ) −
y
=
9
x
+
4y
(
 


dx 
dx N
dx
dx N

son de la forma:

un

uv

c

du
dx

d 7
d
d
dy
3 −1
5x
y + N
y7
5x − N
3 N
y 

y = 9+4
N
dx
dx

dx
dx
N



n-1

u

dv
dx

+

v

du
dx

n u

du
dx

dy ⎤
dy
dy
⎡
+ y 7 [ 5] − 3 y 2
=9+4
5 x ⎢7 y 6
⎥
dx ⎦
dx
dx
⎣
35 xy 6

dy
dy
dy
+ 5 y7 − 3 y2
=9+4
dx
dx
dx

Paso 2a: Escribiendo en el lado izquierdo todos los términos que contengan a la derivada y
del lado derecho los que no lo contengan:

35 xy 6

dy
dy
dy
− 3y2
−4
= 9 − 5 y7
dx
dx
dx

145

Funciones implícitas

Paso 2b: Factorizando

dy
dx

dy
35 xy 6 − 3 y 2 − 4 ) = 9 − 5 y 6
(
dx

Paso 2c: Despejando

dy
dx

dy
9 − 5 y7
=
dx
35 xy 6 − 3 y 2 − 4

Ejemplo 2: Calcular la derivada
Solución:

dy
dx

si y = x ln y + sen 3 x

Debe tenerse cuidado con casos como éste. Aparentemente la variable y está despejado por
aparecer del lado izquierdo como único término, pero realmente no está despejada por el hecho de volver a aparecer en el lado derecho. Por lo tanto, es una función implícita.
Paso 1: Derivando en ambos lados de la igualdad

d
d
y=
( x ln y + sen 3x )
dx
dx

dy
d
d
=
xN
ln y +
sen 3 x
dx
dx
dx 


son de la forma

uv

sen u

146

Funciones implícitas

dy
d
d
d
=N
x
ln y + ln
y
x + cos
3x
3x
N
N
dx
dx
dx
dx
N

 





u

dv
dx

+ v

du
dx

cos u

du
dx

⎡ d
⎤
⎢ dx y ⎥
dy
= x⎢
⎥ + ln y [1] + cos 3 x [3]
dx
⎢ y ⎥
⎣
⎦

⎡ dy ⎤
⎢
⎥
dy
= x ⎢ dx ⎥ + ln y + 3 cos 3 x
dx
⎢ y ⎥
⎣
⎦
dy
x dy
=
+ ln y + 3 cos 3x
dx
y dx

Escribiendo en el lado izquierdo los términos que contienen a la derivada y del derecho los
que no la contienen

dy
x dy
−
= ln y + 3 cos 3x
dx
y dx
factorizando la derivada:

dy
dx

⎛
x ⎞
⎜1 −
⎟ = ln y + 3 cos 3 x
y ⎠
⎝

147

Funciones implícitas

y finalmente despejando la derivada:

dy
ln y + 3 cos 3 x
=
x
dx
1−
y
Por las reglas de escritura, como no debe dejarse el resultado como una fracción compleja, es
decir, fracción sobre fracción, entonces para quitar el denominador parcial y basta multiplicar numerador y denominador por y:

y ( ln y + 3 cos 3 x )
dy
=
dx
⎛
x ⎞
y ⎜1 −
⎟
y ⎠
⎝
dy
y ln y + 3 y cos 3 x
=
dx
y−x

Ejemplo 3: Hallar
Solución:

dy
si 3 x 2 + 5 y 3 − 4 x − y + 3 = 0
dx

Derivando en ambos lados:

d
d
d
d
d
d
3x 2 +
5 y3 −
4x −
y+
3=
0
dx
dx
dx
dx
dx
dx
6 x + 15 y 2

dy
dy
−4−
=0
dx
dx

Escribiendo en el lado izquierdo los términos que contienen a la derivada y del derecho los
que no la contienen:

148

Funciones implícitas

15 y 2

dy
dy
−
= 4 − 6x
dx
dx

Factorizando la derivada:

dy
(15 y 2 − 1) = 4 − 6 x
dx
y finalmente despejando la derivada:

dy
4 − 6x
=
dx
15 y 2 − 1

149

Funciones implícitas

EJERCICIO 16

Obtener la derivada

dy
dx

de las siguientes funciones implícitas:

1)

4 xy 8 = 5 x 2 − 7 y

2)

6 y + 3x = 9 − 4 x 2 y 3

3)

y 2 − y = x2 − x

4)

11x 6 y − 11xy 6 = 3 x − 12

5)

2 xy − 7 x + 6 y = y 3 − 8 x 5

6)

x3 − y 4 = 4 x6 y 2

7)

y = 2 x3 + 7 y 6

8)

y = y 4 − x4

9)

y = ex + e y

10)

y=

11)

ln y + ln x = y − x

12)

ln xy = xy

13)

sen xy = xy

14)

cos ( 2 x − 3 y ) = 2 x − 3 y

15)

tan ( x 2 − 3 y ) = x 2 + 3 y

16)

17)

x − y = xy

18)

150

2x
− x7
3y

x
y2
− 2 =0
y
x

y ln x + x ln y = 0



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