Série n01 EDO (5) .pdf


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Université de Djilali Bounaàma
Faculté des Science et de la Téchnologie
Département :Mathématique et Informatique
Niveau :L3 Mathématique. 2015/2016
Série N 1 : Equations di¤erentielles du 1èr ordre

Exercice 1 :
Résoudre les équations di¤érentielles du premier ordre suivants :
0

1) y = 3y;
y
0
1;
2) y = 2
x
0
3) y
xy = x;
y
1
0
4) y + p = p ;
x
x

0

5) y
2xy = 3x exp (x2 ) ;
0
6) y = x exp(y);
0

7) yy = x;
p
0
8) y = y:

Exercice 2 :
1) Déterminer la solution f de l’équation di¤erentielle y 0 3y = 0 qui véri…e f (0) = 5:
2) Déterminer la solution de l’équation di¤erentielle 3y 0 3y = 0 dont la courbe reprèsentative
passe par le point M (0; 3) :
2
3) Déterminer la solution f de l’équation di¤erentielle y 0 3y = 0 qui prend la valeur en
e
x = 5:
4) Déterminer la solution f de l’équation di¤erentielle y 0 = ay + b; avec a et b réels, a 6= 0; dont
la courbe représentative dans un repère O;~i; ~j du plan véri…e les deux conditions suivantes :
- la droite d’équation y = 5 est une asymptote de la courbe C en +1;
- la courbe C passe par O et admet en ce point une tangente de coe¢ cient directeur 5.
5) Soit (E) l’équation di¤erentielle y 0 2y = 0:
Déterminer un réel a tel que la fonction u (x) = ax exp (2x) soit une solution de (E) :

Exercice 3 :
Déterminer les solutions des équations di¢ rentielles suivantes avec la condition initiale y(1) =
0:
0

0

1) (1 + x)y = 2 y; 3) 2x(1
0
2) y + yx = cos x;
4) x(x2

x)y + (1 + x) y = x;
0
1)y + 2y = x ln x x2 :

Exercice 4 :
Déterminer les solutions de l’équation di¤erentielle
(E) : (x2

1)y

0

y = x2

Exercice 5 :
Former une équation di¤érentielle linéaire d’ordre 1 dont les fonctions
f (x) =

x+C
x2 + 1

seraient les solutions.

Exercice 6 :

Montrer que l’unique solution de
0

y (x) = a (x) y (x) ;
y (x0 ) = y0 :
s’écrit
y (x) = y0 exp (A (x)
1

A (x0 )) :

0

En d´eduire que si une solution de y (x) = a (x) y (x) s’annule en un point, elle est identiquement
nulle.

Exercice 7 :

1) Donner une solution particulière (évidente) de
0

y (x) cos x + y (x) sin x = 1:
En déduire la solution générale de cette équation.
2) Meme question pour
0
(a) y (x) + 2y (x) = x;
0
(b) y (x) ay (x) = exp ( x) ;
0
(c) y (x) + y (x) = 3x2 + x 4:

Exercice 8 :
On considère l’équation di¤érentielle suivante :
0

x + P (t) x + Q (t) xr = 0;

(1)

où r 2 R, P et Q sont deux fonctions dé…nies et continues sur un intervalle I de R .
1. Résoudre cette équation dans le cas où r = 1:
2. Résoudre cette équation dans le cas où r = 0.
3. On suppose maintenant r 2 Rnf0; 1g .
(a) L’équation di¤érentielle (B) est-elle alors linéaire ? Si non, pourquoi ?
(b) On suppose que l’intervalle I est dé…ni de telle sorte que les solutions x sont à valeursdansR+
. On pose u = x1 r .
Montrer que u satisfait alors l’équation di¤érentielle suivante :
0

u + (1

r) P (t) u + (1

r) Q (t) = 0:

(c) L’équation (BU) est-elle linéaire ?
(d) Résoudre (BU).
(e) En déduire les solutions de (B).
4. Application : résoudre l’équation
0

tx + x = t2 x2 :

2

(2a)


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