EF Math1 ST 2015 Corrigé .pdf
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Université de Tlemcen
Faculté des Sciences
Janvier 2015
Première année ST (S1)Examen Final de Math1Durée 01H30
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Exercice 1: Soit (ݑ ) la suite numérique définie par :
1.
2.
3.
4.
ݑ ൌ ͳ ݁ݐǡ א ݊Գǣ ݑାଵ = ඥʹ ݑ .
Calculer les termes ݑଵ ݁ݑ ݐଶ.
Démontrer que pour tout entier naturel n : Ͳ ൏ ݑ < 2.
Etudier la monotonie de la suite (ݑ ).
En déduire que la suite (ݑ ) est convergente et calculer sa limite.
v
i
n
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Exercice 2: Soit ݂ la fonction numérique de la variable réelle ݔdéfinie par :
݂(= )ݔ
ͳ( ݔ ݔଶ)
.
ݔ
1. Déterminer le domaine de définition ܦ de ݂Ǥ
2. Calculer ݂(1) et ݂(−1).
3. Etudier la parité de la fonction f.
La fonction f est –elle injective ?
4. Calculer lim௫՜ ݂()ݔ.
s
e
c
n
e
i
Sc
5.
6.
(U
m
e
l
T
.
s
e
En déduire que la fonction f est prolongeable par continuité en 0.
d
Soit F ce prolongement, écrire l’expression
de )ݔ(ܨ.
é
t
l
Soit la fonction ݃ǣ[−1, 1]
u⟶ ℝ
c
ݔ ݃( )ݔൌ )ݔ(ܨ.
a
F de ݃ en 0.
a. Etudier la dérivabilité
b. Montrer que g ~
admet un extremum dans l’intervalle ]−1, 1[.
)
1െെ ݀Ǥǣ ] ∈ ݔ−1, 1[ Ǣ ݃ ( = ) ݔ0. )
ሺܥǤ
S
(
D
1
ݐ
.
LM
ᇱ
Exercice 3: 1. Décomposer en éléments simples la fonction rationnelle :
m
e
Pr
e
r
iè
ݐଶ െ ͵ ݐ ʹ
2. Calculer l’intégrale indéfinie suivante :
න
Barème:
Exercice 1 : 6 pts
݀ݔ
.
ݔെ ͵ ݔ ͵
Exercice 2 : 8 pts
c
Exercice 3 : 6 pts
Bon courage
)
n
e
Université de Tlemcen
Faculté des Sciences
Janvier 2015
Première année ST (S1)Examen Final de Math1Durée 01H30
Corrigé
Exercice 1(6pts) : (ݑ ) est la suite la suite numérique définie par :
ݑ ൌ ͳ ݁ݐǡ א ݊Գǣ ݑାଵ = ඥʹ ݑ .
1. ݑଵ = ඥʹ ݑ = √3 , ݑଶ = ඥʹ ݑଵ = ඥ 2 + √3.
א ݊Գǣ Ͳ ൏ < ݊ݑ2.
2. Montrons que ,
Par récurrence : - On a :
-
Ͳ ൏ ݑ ൏ ʹ ܿܽݑ ݎ = 1.
Supposons que pour n fixé : Ͳ ൏ ݑ < 2 ,
et montrons que : Ͳ ൏ ݊ݑͳ < 2.
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On a: Ͳ ൏ ݊ݑ൏ ʹ ฺ ʹ ൏ ʹ < ݊ݑ4 ⟹ √2 < ඥ ʹ < ݊ݑ2
s
e
c
2x0,5 pt
m
e
l
T
.
0,5 pt
(U
c
v
i
n
⟹ ඥ 2 ൏ ݊ݑͳ ൏ ʹ Ǥ ǡ ܜܘ
Ce qui implique que, Ͳ ൏ ݑାଵ < 2.
c
S
ݑest croissante, c.à.d:
ݑ൏ݑ
.
s
ݑ൏ ݑ. e
0,5 pt
d
- Supposons que pour n fixé : ݑ
é൏ ݑ,
t
l
et montrons que : ݑ
൏ ݑu
c
a
On a : ݑ൏ ݑ
ฺ ʹ
ݑ൏ʹ ݑ
⟹ ඥʹ < ݑඥʹ ݑ
F
ݑ
൏ ݑ.
0,5 pt
~
)ݑ൏ ݑ
.
La suite ( ) ݑest donc croissante.
1
( ݑS
( ) est croissante et majorée par 2, 2x0,5 pt
donc elle
D est convergente.
( ) ݑ:
LM
3. Monotonie de (ݑ ) : On a de la question 1. : ݑ ൏ ݑଵ ൏ ݑଶ.
Montrons alors que (
Par récurrence :
Ceci donne :
4. La suite
ାଵ
m
e
Pr
݊)
- On a déjà,
ାଵ
Ainsi , א ݊Գǣ ݊
e
r
iè
0,5 pt
n
e
i
Ainsi, א ݊Գǣ Ͳ ൏ < ݊ݑ2.
݊ͳ
݊ʹ
ଵ
ାଶ
݊ͳ
ାଵ
ାଵ
݊ͳ
Soit l la limite de la suite
א ݊Գǣ ݊
ାଵ.
0,5
݈ൌ = ݊ݑlim ݊ݑͳ = lim ඥ ʹ = ݊ݑඥ ʹ ݈ ǡ ܜܘ
՜ ஶ
՜ ஶ
՜ ஶ
2
݈ൌ ඥ ʹ ݈⟺ ቀ݈ Ͳ ݁ ݈ ݐൌ ʹ ݈ቁ
⟺ (݈ Ͳ ݈݁ ݐଶ െ ݈െ ʹ ൌ Ͳ)
⟺ (݈ Ͳ ݁ݐǡ ݈ൌ െͳ ݈ ݑൌ ʹ )Ǥ ǡ ܜܘ
Ainsi, ݈ൌ ʹ c.à.d. : lim՜ ஶ = ݊ݑ2. ǡ ܜܘ
)
n
e
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Janvier 2015
Première année ST (S1)Examen Final de Math1Durée 01H30
Corrigé
Exercice 2(8pts): Soit
݂ǣԹ ื Թ, la fonction définie par :
݂(= )ݔ
ͳ( ݔ ݔଶ)
.
ݔ
1. ݂ ݁݀ ݐݏ±݂݅݊݅݁ Ͳ ് ݔ ߨ݇ ് ݔǡሺ݇ אԺሻǤ
ܦ = ℝ − {݇ߨǡ݇ אԺ }Ǥ ܜܘ
2.
ln 2
− ln 2
− ln 2
ln 2
݂(1) =
ǡ ݂(−1) =
=
=
Ǥ ܠǡܜܘ
sin 1
sin( −1) − sin 1 sin 1
m
e
l
T
.
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(Car la fonction ݔ ݔ, est impaire.)
v
i
n
Parité de la fonction f : Soit ܦ א ݔ , alors, െܦ א ݔ (0,5pt) et on a :
െ( ݔ1 + (െ)ݔଶ) െ ͳ( ݔ ݔଶ) ͳ( ݔ ݔଶ)
݂(െ= )ݔ
=
=
ൌ ݂()ݔǤ ǡ
ሺെ ݔሻ
െ ݔ
ݔ
4.
(U
s
e
c
n
e
- f n’est pas injective (0,5pt), car elle est ipaire, d’ailleurs d’après la
question 2.
݂(1) ൌ ݂(−1)Ǥ ǡ
Sܜܘc
s ቁ ln(ͳ = ) ݔ1 × 0 = 0.
lim
݂( = )ݔlim
= lime
ቀ
d
(car lim
= lim
= 1.) é(1pt sur le calcul de lim
݂() )ݔ
t
l
La limite de f en 0 existe et u
est finie donc f est prolongeable par continuité
c
a F de f en 0 est défini par :
en 0. ሺǡܜܘሻ. Le prolongement
F
ͳ( ݔ ) ݔ
~ = )ݔ(ܨ
Ͳ ് ݔ ݅ݏǡ
݁(ܨ ݐ0) ൌ ͲǤ ሺǡܜܘሻ
ݔ
)
1 ( = ܦℝ − {݇ߨǡ ݇ אԺ })
S
(
݃ǣ [−1, 1] ื Թ ǡ ݔ ݃( )ݔൌ )ݔ(ܨ.
D
a. Dérivabilité de g en 0 :
LM
ͳ( ݔ ) ݔ
Ainsi la fonction f est paire.
3.
௫՜
௫՜
௫
௫ ୪୬൫ଵା௫మ൯
ୱ୧୬ ௫
௫՜ ୱ୧୬ ௫
௫՜ ௫
ୱ୧୬ ௫
௫
ଶ
௫՜ ୱ୧୬ ௫ ௫՜
௫՜
ଶ
5.
∗
ி
e݃( )ݔെ ݃(0) = lim )ݔ(ܨെ (ܨ0) = lim
r
lim
ݔെ Ͳ
iè ݔെ Ͳ
௫՜
௫՜
௫՜
ݔ
ݔ
ଶ
ln(ͳ ݔଶ)
= lim
ǡܜܘ
௫՜
ݔ
m On est devant une forme indéterminée (0/0), on peut utiliser la règle de l’Hospital.
e
ʹݔ
Pr
Ainsi,
lim
௫՜
(௫)ି()
௫ି
lim
௫՜
c
(ln(ͳ ݔଶ))′
ଶ
= lim ͳ = ݔ0.
௫՜ ݔ
()ݔ′
= 0, et g est dérivable en 0 et ݃ᇱ(0) = 0. ሺǡܜܘሻ
)
n
e
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Corrigé
b. Montrons que g admet un extremum dans l’intervalle ]−1, 1[.
On applique le théorème de Rolle :
- g est définie sur [−1, 1],
(0,25 pt)
- dérivable sur ]−1, 1[, (0,25 pt) et,
ln 2
݃(1) ൌ ݃(−1) =
Ǥ ሺǡ ܜܘሻ
sin 1
m
e
l
T
Exercice 3(6pts): 1. On décompose en éléments simples la fonction rationnelle
:
.
ݐ
.
v
ni
ݐെ ͵ ݐ ʹ ൌ (ݐെ ͳ)(ݐെ ʹ )ǡሺǡܜܘሻ , d’où
=
+ (Uሺǡܜܘሻ
s
e
Calcul de a:
ൌ ܽ (ݐെ ͳ)
, En prenant t=1, on trouve
c ; ܽ ൌ െͳǤ(0,5pt)
n
ietrouve ; ܾ ൌ ͳǤ(0,5pt)
Calcul de b:
= (ݐെ ʹ )
ܾ, En prenant t=2,con
S
Ainsi :
=
− . (0,25pt) s
de
2. Calculons l’intégrale :
∫
té .
l
u: ݐൌ ቀ ቁ, d’où : (4x0,25pt)
c
On utilise le changement de variable
Fa
ݔൌ ~ , ݔൌ
et ݀ ݔൌ
.
)
1
S
( =∫
ܦǯî ǡ∫
=∫
=∫
(1pt)
D
LM ݁ ݐන ݀ ݐൌ න ൬ 1 − 1 ൰݀ݐ
e
ݐെ ͵ ݐ ʹ
ݐെ ʹ
ݐെ ͳ
r
è
i
= ln(ݐെ ʹ ) − ln(ݐെ ͳ) ܥǡ( ܥǣܿݎ ݁ݐݏ±݈݈݁݁) ()ܜܘ
Ainsi d’après le théorème de Rolle : ݔ ∈ ]−1, 1[ Ǣ ݃ᇱ(ݔ) = 0. (0,25 pt)
ଵ
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c
௧మିଷ௧ାଶ
ଶ
ଵ
ଵ
௧ିଵ
ଵ
௧మିଷ௧ାଶ
(௧ିଵ)(௧ିଶ)
௧ିଶ
ଵ
ௗ௫
ୡ୭ୱ௫ିଷୱ୧୬ ௫ାଷ
m
e
Pr Finalement :
න
௧ିଶ
ௗ௫
ୡ୭ୱ௫ିଷୱ୧୬ ௫ାଷ
ଵା௧మ
௧ିଵ
ଵ
௧ିଵ
ଵି௧మ
௧ିଶ
௧ିଵ
௧ିଶ
ଵ
ଶ௧
௫
ଶ
ଶௗ௧
ଵା௧మ
మ
భశమ
భషమ
మ
ିଷ మାଷ
భశమ
భశ
ଵା௧మ
ଶௗ௧
ଵି௧మି௧ାଷାଷ௧మ
ௗ௧
,
௧మିଷ௧ାଶ
ଶ
݀ݔ
ݔ
ݔ
ൌ ቂቀ ቁെ ʹ ቃെ ቂቀ ቁെ ͳቃ ܥǤ ()ܜܘ
ݔെ ͵ ݔ ͵
2
2
)
n
e
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Remarques et commentaires :
Exercice 1 : 3. Pour la monotonie de (ݑ ), on peut étudier le signe de : ݑାଵ െ ݑ ,
c.à.d. celui de : ඥʹ ݑ െ ݑ , ce qui revient à étudier le signe de la fonction h :
- Ou bien montrer directement que : א ݊Գǣ ݑାଵ ݑ .
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C.à.d. : א ݊Գǣ ඥʹ ݑ ݑ ,
s
e
c
Comme ݑ > 0 , l’inégalité précédente devient : ʹ ݑ ݑଶ
c.à.d. :
(U
v
i
n
n
e
i
ݑଶ െ ݑ − 2 < 0, ( avec Ͳ ൏ ݑ < 2.)
c
S
6. b. Pour montrer l’existence d’un extremum,
on peut appliquer le théorème
s
e
des valeurs intermédiaires à la fonctiond
g’ sur l’intervalle [−1, 1].
té1].
l
La fonction g’ est continue sur [ −1,
u
c
݃ (1) ݃ (−1) < 0, car g’ estaimpaire (puisque g est paire) et que ݃ (1) > 0.
F
~( ݔെ )ݔ ݔln(ͳ ) ݔ ʹ ݔ ݔ⁄(ͳ ) ݔቇ
ቆܽ ݊ǡ ݃ ()ݔ
=
)
sin ݔ
1
(S
D ݃ (1) = (sin 1 − cossin1)1ln 2 + sin 1 > 0
M
L
(car, ͳ ͳ ͳȀʹ ǡ ߨ ݁ݑݍݏ݅ݑ⁄Ͷ ൏ ͳ ൏ ߨ⁄͵ ).
e
r
iè
Exercice 2 :
ᇱ
ᇱ
ᇱ
ଶ
ᇱ
ଶ
ᇱ
m
e
Pr
ଶ
c
m
e
l
T
.
ℎ( ʹ√ = )ݔ ݔെ ݔǡ [ ݎݑݏ0, 2].
ଶ
ଶ
)
n
e





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