EF Math1 ST 2015 Corrigé .pdf

Université de Tlemcen

Faculté des Sciences

Janvier 2015

Première année ST (S1)Examen Final de Math1Durée 01H30

 L’usage de tout appareil électronique est strictement interdit

Exercice 1: Soit (‫ݑ‬௡ ) la suite numérique définie par :
1.
2.
3.
4.

‫ݑ‬଴ ൌ ͳ ݁‫ݐ‬ǡ ‫ א ݊׊‬Գǣ ‫ݑ‬௡ାଵ = ඥʹ ൅ ‫ݑ‬௡ .

Calculer les termes ‫ݑ‬ଵ ݁‫ݑ ݐ‬ଶ.
Démontrer que pour tout entier naturel n : Ͳ ൏ ‫ݑ‬௡ < 2.
Etudier la monotonie de la suite (‫ݑ‬௡ ).
En déduire que la suite (‫ݑ‬௡ ) est convergente et calculer sa limite.

v
i
n

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Exercice 2: Soit ݂ la fonction numérique de la variable réelle ‫ ݔ‬définie par :
݂(‫= )ݔ‬

‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫ݔ‬ଶ)
.
•‹‫ݔ‬

1. Déterminer le domaine de définition ‫ܦ‬௙ de ݂Ǥ
2. Calculer ݂(1) et ݂(−1).
3. Etudier la parité de la fonction f.
La fonction f est –elle injective ?
4. Calculer lim௫՜ ଴ ݂(‫)ݔ‬.

s
e
c

n
e
i

Sc

5.
6.

(U

m
e
l
T
.

s
e
En déduire que la fonction f est prolongeable par continuité en 0.
d
Soit F ce prolongement, écrire l’expression
de ‫)ݔ(ܨ‬.
é
t
l
Soit la fonction ݃ǣ[−1, 1]
u⟶ ℝ
c
‫ ݔ‬฽ ݃(‫ )ݔ‬ൌ ‫)ݔ(ܨ‬.
a
F de ݃ en 0.
a. Etudier la dérivabilité
b. Montrer que g ~
admet un extremum dans l’intervalle ]−1, 1[.
)
1െെ ݀Ǥǣ ‫] ∈ ݔ׌‬−1, 1[ Ǣ ݃ (‫ = ) ݔ‬0. )
ሺ‫ܥ‬Ǥ
S
(
D
1
‫ݐ‬฽
.
LM
ᇱ

଴

଴

Exercice 3: 1. Décomposer en éléments simples la fonction rationnelle :

m
e
Pr

e
r
iè

‫ݐ‬ଶ െ ͵ ‫ݐ‬൅ ʹ

2. Calculer l’intégrale indéfinie suivante :

න
Barème:

Exercice 1 : 6 pts

݀‫ݔ‬
.
…‘•‫ ݔ‬െ ͵ •‹‫ ݔ‬൅ ͵
Exercice 2 : 8 pts

c

Exercice 3 : 6 pts

Bon courage

)
n
e

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Corrigé
Exercice 1(6pts) : (‫ݑ‬௡ ) est la suite la suite numérique définie par :
‫ݑ‬଴ ൌ ͳ ݁‫ݐ‬ǡ ‫ א ݊׊‬Գǣ ‫ݑ‬௡ାଵ = ඥʹ ൅ ‫ݑ‬௡ .

1. ‫ݑ‬ଵ = ඥʹ ൅ ‫ݑ‬଴ = √3 , ‫ݑ‬ଶ = ඥʹ ൅ ‫ݑ‬ଵ = ඥ 2 + √3.
‫ א ݊׊‬Գǣ Ͳ ൏ ‫ < ݊ݑ‬2.

2. Montrons que ,

Par récurrence : - On a :
-

Ͳ ൏ ‫ݑ‬଴ ൏ ʹ ܿܽ‫ݑ ݎ‬଴ = 1.

Supposons que pour n fixé : Ͳ ൏ ‫ݑ‬௡ < 2 ,

et montrons que : Ͳ ൏ ‫݊ݑ‬൅ͳ < 2.

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On a: Ͳ ൏ ‫ ݊ݑ‬൏ ʹ ฺ ʹ ൏ ʹ ൅ ‫ < ݊ݑ‬4 ⟹ √2 < ඥ ʹ ൅ ‫ < ݊ݑ‬2

s
e
c

2x0,5 pt

m
e
l
T
.

0,5 pt

(U

c

v
i
n

⟹ ඥ 2 ൏ ‫݊ݑ‬൅ͳ ൏ ʹ Ǥ ૙ǡ૞ ‫ ܜܘ‬

Ce qui implique que, Ͳ ൏ ‫ݑ‬௡ାଵ < 2.

c
S
‫ ݑ‬est croissante, c.à.d:
‫ ݑ‬൏‫ݑ‬
.
s
‫ ݑ‬൏ ‫ ݑ‬. e
0,5 pt
d
- Supposons que pour n fixé : ‫ݑ‬
é൏‫ ݑ‬,
t
l
et montrons que : ‫ݑ‬
൏ ‫ݑ‬u
c
a
On a : ‫ ݑ‬൏ ‫ݑ‬
ฺ ʹ ൅
‫ ݑ‬൏ʹ ൅‫ݑ‬
⟹ ඥʹ ൅ ‫ < ݑ‬ඥʹ ൅ ‫ݑ‬
F
‫ݑ‬
൏‫ ݑ‬.
0,5 pt
~
‫ )ݑ‬൏ ‫ݑ‬
.
La suite (‫ ) ݑ‬est donc croissante.
1
(‫ ݑ‬S
( ) est croissante et majorée par 2, 2x0,5 pt
donc elle
D est convergente.
(‫ ) ݑ‬:
LM

3. Monotonie de (‫ݑ‬௡ ) : On a de la question 1. : ‫ݑ‬଴ ൏ ‫ݑ‬ଵ ൏ ‫ݑ‬ଶ.
Montrons alors que (
Par récurrence :

௡

Ceci donne :

4. La suite

௡ାଵ

m
e
Pr

௡

݊)

- On a déjà,

௡ାଵ

Ainsi , ‫ א ݊׊‬Գǣ ݊

e
r
iè

0,5 pt

n
e
i

Ainsi, ‫ א ݊׊‬Գǣ Ͳ ൏ ‫ < ݊ݑ‬2.

݊൅ͳ

଴

݊൅ʹ

௡

ଵ

௡

௡ାଶ

݊൅ͳ

௡ାଵ

௡ାଵ

݊൅ͳ

Soit l la limite de la suite

‫ א ݊׊‬Գǣ ݊

௡

௡ାଵ.

0,5

௡

௡

݈ൌ Ž‹ ‫ = ݊ݑ‬lim ‫݊ݑ‬൅ͳ = lim ඥ ʹ ൅ ‫ = ݊ݑ‬ඥ ʹ ൅ ݈ ૙ǡ૛૞ ‫ܜܘ‬
௡՜ ஶ

௡՜ ஶ

௡՜ ஶ

2
݈ൌ ඥ ʹ ൅ ݈⟺ ቀ݈൒ Ͳ ݁‫ ݈ ݐ‬ൌ ʹ ൅ ݈ቁ

⟺ (݈൒ Ͳ ݁‫݈ ݐ‬ଶ െ ݈െ ʹ ൌ Ͳ)

⟺ (݈൒ Ͳ ݁‫ݐ‬ǡ ݈ൌ െͳ ‫݈ ݑ݋‬ൌ ʹ )Ǥ ૙ǡ૞ ‫ܜܘ‬

Ainsi, ݈ൌ ʹ c.à.d. : lim௡՜ ஶ ‫ = ݊ݑ‬2. ૙ǡ૛૞ ‫ܜܘ‬

)
n
e

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Corrigé
Exercice 2(8pts): Soit

݂ǣԹ ื Թ, la fonction définie par :
݂(‫= )ݔ‬

‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫ݔ‬ଶ)
.
•‹‫ݔ‬

1. ݂ ݁‫݀ ݐݏ‬±݂݅݊݅݁ ฻ •‹‫ Ͳ ് ݔ‬฻ ‫ߨ݇ ് ݔ‬ǡሺ݇ ‫ א‬ԺሻǤ
‫ܦ‬௙ = ℝ − {݇ߨǡ݇ ‫ א‬Ժ }Ǥ ૚‫ܜܘ‬
2.
ln 2
− ln 2
− ln 2
ln 2
݂(1) =
ǡ ݂(−1) =
=
=
Ǥ ૛‫ܠ‬૙ǡ૞‫ܜܘ‬
sin 1
sin( −1) − sin 1 sin 1

m
e
l
T
.

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(Car la fonction ‫ ݔ‬฽ •‹‫ݔ‬, est impaire.)

v
i
n

Parité de la fonction f : Soit ‫ܦ א ݔ‬௙ , alors, െ‫ܦ א ݔ‬௙ (0,5pt) et on a :
െ‫(Ž ݔ‬1 + (െ‫)ݔ‬ଶ) െ‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫ݔ‬ଶ) ‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫ݔ‬ଶ)
݂(െ‫= )ݔ‬
=
=
ൌ ݂(‫)ݔ‬Ǥ ૙ǡ૞
•‹ሺെ ‫ݔ‬ሻ
െ •‹‫ݔ‬
•‹‫ݔ‬

4.

(U

s
e
c

n
e
- f n’est pas injective (0,5pt), car elle est ipaire, d’ailleurs d’après la
question 2.
݂(1) ൌ ݂(−1)Ǥ ૙ǡ
S૞‫ܜܘ‬c
s ቁ Ž‹ ln(ͳ ൅ ‫ = ) ݔ‬1 × 0 = 0.
lim
݂(‫ = )ݔ‬lim
= lime
ቀ
d
(car lim
= lim
= 1.) é(1pt sur le calcul de lim
݂(‫) )ݔ‬
t
l
La limite de f en 0 existe et u
est finie donc f est prolongeable par continuité
c
a F de f en 0 est défini par :
en 0. ሺ૙ǡ૞‫ܜܘ‬ሻ. Le prolongement
F
‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫) ݔ‬
‫~ = )ݔ(ܨ‬
‫Ͳ ് ݔ ݅ݏ‬ǡ
݁‫(ܨ ݐ‬0) ൌ ͲǤ ሺ૙ǡ૞‫ܜܘ‬ሻ
•‹‫ݔ‬
)
1 (‫ = ܦ‬ℝ − {݇ߨǡ ݇ ‫ א‬Ժ })
S
(
݃ǣ [−1, 1] ื Թ ǡ ‫ ݔ‬฽ ݃(‫ )ݔ‬ൌ ‫)ݔ(ܨ‬.
D
a. Dérivabilité de g en 0 :
LM
‫ ͳ(Ž ݔ‬൅ ‫) ݔ‬

Ainsi la fonction f est paire.

3.

௫՜ ଴

௫՜ ଴

௫

௫ ୪୬൫ଵା௫మ൯

ୱ୧୬ ௫

௫՜ ଴ ୱ୧୬ ௫

௫՜ ଴ ௫

ୱ୧୬ ௫

௫

ଶ

௫՜ ଴ ୱ୧୬ ௫ ௫՜ ଴

௫՜ ଴

ଶ

5.

∗

ி

e݃(‫ )ݔ‬െ ݃(0) = lim ‫ )ݔ(ܨ‬െ ‫(ܨ‬0) = lim
r
lim
‫ݔ‬െ Ͳ
iè ‫ ݔ‬െ Ͳ
௫՜ ଴

௫՜ ଴

௫՜ ଴

•‹‫ݔ‬
‫ݔ‬

ଶ

ln(ͳ ൅ ‫ݔ‬ଶ)
= lim
૙ǡ૞‫ܜܘ‬
௫՜ ଴
•‹‫ݔ‬

m On est devant une forme indéterminée (0/0), on peut utiliser la règle de l’Hospital.
e
ʹ‫ݔ‬
Pr
Ainsi,

lim

௫՜ ଴

௚(௫)ି௚(଴)
௫ି଴

lim

௫՜ ଴

c

(ln(ͳ ൅ ‫ݔ‬ଶ))′
ଶ
= lim ͳ ൅ ‫ = ݔ‬0.
௫՜ ଴ …‘•‫ݔ‬
(•‹‫)ݔ‬′

= 0, et g est dérivable en 0 et ݃ᇱ(0) = 0. ሺ૙ǡ૞‫ܜܘ‬ሻ

)
n
e

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Corrigé
b. Montrons que g admet un extremum dans l’intervalle ]−1, 1[.
On applique le théorème de Rolle :
- g est définie sur [−1, 1],
(0,25 pt)
- dérivable sur ]−1, 1[, (0,25 pt) et,
ln 2
݃(1) ൌ ݃(−1) =
Ǥ ሺ૙ǡ૛૞ ‫ܜܘ‬ሻ
sin 1

m
e
l
T
Exercice 3(6pts): 1. On décompose en éléments simples la fonction rationnelle
:
.
‫ݐ‬฽
.
v
ni
‫ ݐ‬െ ͵ ‫ݐ‬൅ ʹ ൌ (‫ݐ‬െ ͳ)(‫ݐ‬െ ʹ )ǡሺ૙ǡ૛૞‫ܜܘ‬ሻ , d’où
=
+ (Uሺ૙ǡ૞‫ܜܘ‬ሻ
s
e
Calcul de a:
ൌ ܽ ൅ (‫ݐ‬െ ͳ)
, En prenant t=1, on trouve
c ; ܽ ൌ െͳǤ(0,5pt)
n
ietrouve ; ܾ ൌ ͳǤ(0,5pt)
Calcul de b:
= (‫ݐ‬െ ʹ )
൅ ܾ, En prenant t=2,con
S
Ainsi :
=
− . (0,25pt) s
de
2. Calculons l’intégrale :
∫
té .
l
u: ‫ݐ‬ൌ –‰ቀ ቁ, d’où : (4x0,25pt)
c
On utilise le changement de variable
Fa
…‘•‫ ݔ‬ൌ ~ , •‹‫ ݔ‬ൌ
et ݀‫ ݔ‬ൌ
.
)
1
S
( =∫
‫ܦ‬ǯ‫݋‬î ǡ∫
=∫
=∫
(1pt)
D
LM ݁‫ ݐ‬න ݀‫ ݐ‬ൌ න ൬ 1 − 1 ൰݀‫ݐ‬
e
‫ ݐ‬െ ͵ ‫ݐ‬൅ ʹ
‫ݐ‬െ ʹ
‫ݐ‬െ ͳ
r
è
i
= ln(‫ݐ‬െ ʹ ) − ln(‫ݐ‬െ ͳ) ൅ ‫ܥ‬ǡ( ‫ܥ‬ǣܿ‫ݎ ݁ݐݏ‬±݈݈݁݁) (૚‫)ܜܘ‬
Ainsi d’après le théorème de Rolle : ‫ݔ׌‬଴ ∈ ]−1, 1[ Ǣ ݃ᇱ(‫ݔ‬଴) = 0. (0,25 pt)
ଵ

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c

௧మିଷ௧ାଶ

ଶ

ଵ

ଵ

௧ିଵ

ଵ

௧మିଷ௧ାଶ

(௧ିଵ)(௧ିଶ)

௕

௧ିଶ

௔

ଵ

ௗ௫

ୡ୭ୱ௫ିଷୱ୧୬ ௫ାଷ

m
e
Pr Finalement :
න

௧ିଶ

ௗ௫

ୡ୭ୱ௫ିଷୱ୧୬ ௫ାଷ

ଵା௧మ

௧ିଵ

௕

ଵ

௧ିଵ

ଵି௧మ

௔

௧ିଶ

௧ିଵ

௧ିଶ

ଵ

ଶ௧

௫

ଶ

ଶௗ௧

ଵା௧మ

మ೏೟
భశ೟మ
భష೟మ
మ೟
ିଷ మାଷ
భశ೟మ
భశ೟

ଵା௧మ

ଶௗ௧

ଵି௧మି଺௧ାଷାଷ௧మ

ௗ௧

,

௧మିଷ௧ାଶ

ଶ

݀‫ݔ‬
‫ݔ‬
‫ݔ‬
ൌ Žቂ–‰ቀ ቁെ ʹ ቃെ Žቂ–‰ቀ ቁെ ͳቃ൅ ‫ܥ‬Ǥ (૚‫)ܜܘ‬
…‘•‫ ݔ‬െ ͵ •‹‫ ݔ‬൅ ͵
2
2

)
n
e

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Remarques et commentaires :
Exercice 1 : 3. Pour la monotonie de (‫ݑ‬௡ ), on peut étudier le signe de : ‫ݑ‬௡ାଵ െ ‫ݑ‬௡ ,
c.à.d. celui de : ඥʹ ൅ ‫ݑ‬௡ െ ‫ݑ‬௡ , ce qui revient à étudier le signe de la fonction h :
- Ou bien montrer directement que : ‫ א ݊׊‬Գǣ ‫ݑ‬௡ାଵ ൐ ‫ݑ‬௡ .

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C.à.d. : ‫ א ݊׊‬Գǣ ඥʹ ൅ ‫ݑ‬௡ ൐ ‫ݑ‬௡ ,

s
e
c

Comme ‫ݑ‬௡ > 0 , l’inégalité précédente devient : ʹ ൅ ‫ݑ‬௡ ൐ ‫ݑ‬௡ଶ
c.à.d. :

(U

v
i
n

n
e
i

‫ݑ‬௡ଶ െ ‫ݑ‬௡ − 2 < 0, ( avec Ͳ ൏ ‫ݑ‬௡ < 2.)

c
S
6. b. Pour montrer l’existence d’un extremum,
on peut appliquer le théorème
s
e
des valeurs intermédiaires à la fonctiond
g’ sur l’intervalle [−1, 1].
té1].
l
La fonction g’ est continue sur [ −1,
u
c
݃ (1) ݃ (−1) < 0, car g’ estaimpaire (puisque g est paire) et que ݃ (1) > 0.
F
~(•‹‫ ݔ‬െ ‫)ݔ•‘…ݔ‬ln(ͳ ൅ ‫ ) ݔ‬൅ ʹ ‫ݔ‹• ݔ‬⁄(ͳ ൅ ‫) ݔ‬ቇ
ቆ‫ܽ ݊݋‬ǡ ݃ (‫)ݔ‬
=
)
sin ‫ݔ‬
1
(S
D ݃ (1) = (sin 1 − cossin1)1ln 2 + sin 1 > 0
M
L
(car, •‹ͳ ൐ …‘•ͳ ൐ ͳȀʹ ǡ ‫ߨ ݁ݑݍݏ݅ݑ݌‬⁄Ͷ ൏ ͳ ൏ ߨ⁄͵ ).
e
r
iè
Exercice 2 :

ᇱ

ᇱ

ᇱ

ଶ

ᇱ

ଶ

ᇱ

m
e
Pr

ଶ

c

m
e
l
T
.

ℎ(‫ ʹ√ = )ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬ǡ ‫[ ݎݑݏ‬0, 2].

ଶ

ଶ

)
n
e