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´ Saad Dahlab Blida
Universite

1)f (x) = x2 − 4x sur [0, 4]

Premi`ere Ann´ee LMD TCST
2015/2016

2)f (x) = x +

3)f (x) = sin x sur [0, π].

1
1
sur [ 14 , 4],
x

Exercice 6::
Module: Maths I

o


erie d’Exercices n : 4

D´erivabilit´e
Exercice 1:
I.Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en x0 = 0?


1
 2
x
x sin
si x 6= 0
a. f (x) =
, b. f (x) =
,
x

1 + |x|
0
si x = 0

c. f (x) = cos ( x),
2
1
x ln (x)
si x > 0
, e. f (x) =
.
d. h(x) =
exp (x) − 1 si x ≤ 0
x
II.Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en x0 = 1?

a. f (x) =
x2 +
x−2 ,

3
x
si
x≤1
b. f (x) =
.
ax2 + bx + 1 si x > 1

1. A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis montrer
que:
1
1
< ln(x + 1) − ln (x) <
∀x > 0,
x+1
x
2. Trouver les limites de

limx→+∞ x (ln(x + 1) − ln (x))
limx→+∞ x (ln(x + 1) − ln (x))

x
1
3. En d´eduire que limx→+∞ 1 +
= e, puis calculer
x
x

1
.
limx→+∞ 1 −
x

Exercice 2:

Exercice 7:
D´eterminer les limites suivantes en utilisant la r`egle de
L’Hospital :
3

1 − cos (x)
x − 2x2 − x + 2
, 2. limx→0
,
1. limx→1
x3 − 4x + 3
x2
2
3
x x −1
3. limx→1
, 4. limx→0 cos (2x) x2
|x − 1|

I. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´e de f , puis calculer f 0 sur ce domaine

1. f (x) = cos 2x2 + 1 ,
2. f (x) = cos3 (x) ,


3
3. f (x) = cos x , 4. f (x) = x2 + 2x + 2.

x sin (x)
x2 + 3x + 2
, 6. limx→0
,
(x + 2) ln(x + 1) p
1 − cos (x)
cos (x) − 1
ln (x + 1)
7. limx→0
, 8. limx→0
.
x
x

II. Soit f une fonction d´erivable sur R.

` r´
Exercice 8:(A
esoudre en Cours)
Soit f l’application suivante:

III. Avec la notion de d´eriv´ee, calculer pour a, b > 0,
ax − bx
ax − 1
, puis la limite limx→0
.
la limite limx→0
x
x

1. Trouver en fonction de f 0 la d´eriv´ee de
sin(f 2 (x)) et sin(f (x2 )).
2. On suppose que f (x) 6= 0 pour tout x ∈ R. Calculer la
d´eriv´ee de x 7→ ln(|f (x)|).
` r´
Exercice 3:(A
esoudre en Cours):
Montrer que la fonction f d´efinie par
f (x) =

1 5
x + 2x2 − 1
10

admet une application r´eciproque sur [0, +∞[, puis
d´etreminer Df −1 .
11
Calculer f (1), f´(1) puis (f −1 )´( 12
).
` r´
Exercice 4:(A
esoudre en Cours):
π
Soit f une fonction d´efinie sur [ , π[ par:
2
1
f (x) =
.
sin (x)
1. D´emontrer que f r´ealise une bijection de I vers un
intervalle J que l’on pr´ecisera.
2. Sans calculer f −1 , d´eterminer le plus grand intervalle
K ⊂ J sur lequel f −1 est d´erivable.
0
1
3. D´emontrer que ∀x ∈ K, f −1 (x) = √
.
x x2 − 1
Exercice 5:
Les conditions du th´eoreme de Rolle sont-elles v´erifi´ees
pour les fonctions suivantes?

5. limx→+∞

f : R∗+ → R
x 7→ f (x) =



xe

√1
x

.

1. Etudier la continuit´e de f sur R∗+ .
2. Montrer que f est d´erivable sur R∗+ , puis v´erifier que :

f 0 (x) = f (x)g( x),
o`
u g est une fonction a
` d´eterminer.
3. Dresser le tableau de variation de f , puis en d´eduire:
a. f (]0, 2]) et f −1 (] − 1, 2[).
b. f n’est pas surjective.
4. Montrer que f r´ealise une bijection de [1, +∞[ vers
un intervalle I a
` d´eterminer.
5. Prouver que l’´equation f (x) − 3 = 0, admet une
unique solution sur l’intervalle ] 14 , 1[.

6. Calculer f (4) et f 0 (4) puis en d´eduire (f −1 )0 (2 e).

Exercices suppl´
ementaires
Exercice (1): Indiquer le domaine de d´erivabilit´e et calculer la d´eriv´ee sur ce domaine:
f (x) = sin2 (x/2) + cos3 (4x);

g(x) = ln(ln(|x|)).

Exercice (9):(Examen 2011/2012)
Soient α, β ∈ R et f une fonction r´eelle d´efinie par:

1−cos(2x)


,
si x < 0;


1+4x2 −1

2/x
f (x) =
+ 1, si x ∈]0, 1];
α 1 − x/2


 β sin(πx) ,
si x > 1.
1−x

Exercice (2):
1.
1. D´eterminer si les fonctions suivantes sont d´erivables
sur R:

3(x + 1)2 ,
si x ≤ −1;
f (x) =
; g(x) = ||x−1|−2|.
(2x + 1)(x + 1)3 , si x > −1.
2. Pr´eciser a et b pour que la fonction suivante soit
d´erivable sur R
2
x + x + 1,
si x ≥ 1;
f (x) =
ax3 + bx + 2, si x < 1.
Exercice (3):
Soit la fonction f d´efinie sur R par:
3
x ln(|x|), si x 6= 0;
f (x) =
0,
si x = 0.
Donner la plus grande valeur k, telle que f soit de classe
C k sur R.
Exercice (4):
D´eterminer lequel des deux nombres est le plus grand :eπ
avec π e puis ln(8) avec 2.
Exercice (5):
Soient a, b deux r´eels. Pour n ∈ N∗ \{1}, soit l’´equation
xn − ax − b = 0.
Montrer que si n est pair, cette ´equation admet au plus
deux racines r´eelles et si n est impair, cette ´equation
admet au plus trois racines r´eelles.

Calculer, sans utiliser la r`egle de l’Hopital, les limites suivantes:
2/x
1−cos(2x)
a) limx7→0 √
, b) limx7→0 1 − x/2
, c)
2
limx7→1

1+4x −1
sin(πx)
.
1−x

2. D´eterminer le domaine Df .
3. Trouver la valeur de α pour que f soit prolongeable
par continuit´e au x0 = 0.
Dans tout ce qui suit on suppose α = 0.
4. Pour quelle valeur de β la fonction f est-elle continue
en x0 = 1?
5. Pour la valeur de β trouv´ee, montrer qu’il existe au
moins un c ∈]1/2, 2[ solution de l’´equation f (x) = x.
Exercice (10):(Examen 2013/2014)
Soit f la fonction d´efinie par:
f (x) = arctan(
1.
2.
3.
4.
5.

2x
2x
< arctan(
) < 2x.
x2 + 1
1 − x2
6. En d´eduire la limite suivante:
lim

x7→1

2

1). lim

x7→0

sin (x)
,;
1 − exp(x)

3). lim

x7→0

1 tan(x)
,;
x

2). lim ln(x) ln(x − 1).
x7→1+

4). lim

x7→1

x
1

.
x−1
ln(x)

1
2x
arctan(
).
x
1 − x2

Exercice (11):(Examen 2013/2014)
I) Calculer, sans utiliser la r`
egle de l’Hopital, les limites suivantes:
lim

Exercice (7):
Calculer les limites suivantes:

2x
).
1 − x2

D´eterminer le domaine de d´efinition de f .
Peut-on prolonger f par continuit´e en x0 = 1?
Calculer la d´eriv´ee de f sur [0, 1[∪]1, +∞[.
Enoncer le Th´eor`eme des accroissements finis.
Montrer que ∀x ∈]0, 1[ on a:

x7→0+

Exercice (6):
Montrer les in´egalit´es suivantes:
a). ∀x > 0, x + 1 < exp(x) < x exp(x) + 1.
b). ∀x > y > 0, x−y
< ln( xy ) < x−y
.
x
y

sin(πx)
;
sin(2πx)


1
lim ( 1 + x − x) x .

x7→0

II)
a) Enoncer le Th´eor`eme des accroissements finis.
b) Montrer que ∀x > 0, on a:
3x
< ln(1 + 3x) < 3x.
1 + 3x
c) En d´eduire la limite suivante:

Exercice (8):
Pr´eciser le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees
des fonctions suivantes :
1).f (x) = arctan(1/x);

3).h(x) = arccos( x), ;

2).g(x) =
4).k(x) =

arcsin(x)
,
x

p
1 − x2 arcsin(x).

2

lim

x7→0+

1
ln(1 + 3x).
x


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