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au 1an cours geometrie descriptive .pdf



Nom original: au-1an-cours-geometrie_descriptive.pdf
Titre: Geometrie Descriptive
Auteur: belblid

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GÉOMETRIE DESCRIPTIVE

École d’Architecture de Nancy

TABLE DES MATIÈRES

1.
1.1
1.2
1.3
1.4

2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

3.
3.1
3.2
3.3

4.
4.1
4.2

5.
5.1
5.2
5.3

6.
6.1
6.2

7.
7.1
7.2

8.
8.1
8.2
8.3

9.
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8

ELEMENTS DE FIGURES

7

Principes
Le point :
La droite :
Le plan :

7
11
15
24

PROBLEMES SUR LES DROITES ET LES PLANS
Droite et plan parallèles
Plans parallèles
Intersection de deux plans
Intersection d’une droite et d’un plan
Droite et plan perpendiculaires
Autres problèmes de géométrie dans l’espace

LES OMBRES

37
37
39
41
48
52
55

61

Ombres propres
Ombres portées sur les plans de projection
Ombres portées par la méthode du point de perte

61
65
70

LES POLYÈDRES

73

Représentation :
Ombres propres :

73
74

MÉTHODES

77

Changements de plans de projection
Rotations
Rabattements

77
83
86

PROBLÈMES MÉTRIQUES

91

Les distances :
Angles :

91
93

GÉNÉRALITES SUR LES COURBES
Définitions
Projection d’une courbe plane

97
97
99

L’ELLIPSE

103

Définition par affinité du cercle
Définition par deux diamètres conjugués
L’ellipse comme projection d’un cercle

CÔNES ET CYLINDRES

103
108
110

113

Définition
Cône ou cylindre circonscrit à une surface
Détermination des cônes et cylindres
Trace sur un plan de projection
Intersection avec une droite
Problèmes sur les plans tangents
Contours apparents des cônes et des cylindres
Ombres des cônes et des cylindres

3

113
113
114
115
115
116
117
119

INTRODUCTION
La géométrie descriptive n’est pas l’invention d’un seul homme. Si G. Monge, à la fin du
XVIIIe siècle, en a développé la théorie et fixé les principes, Dürer, dés le XVI siècle,
avait ébauché une méthode similaire à l’usage des peintres. Il s’agit avant tout d’une
méthode graphique, c’est-à-dire opérant graphiquement sur des êtres graphiques,
permettant de résoudre des problèmes d’angles, de dimensions, de positions,
d’intersections, etc.
La géométrie descriptive telle que l’a définie Monge peut donc se percevoir comme la
théorisation d’un “art du trait” utilisé depuis la naissance des métiers afin de résoudre
plus ou moins empiriquement les problèmes posés par la coupe des pierres et la coupe
du bois. La géométrie descriptive est une géométrie pratique, et en ce sens se distingue
des géométries euclidienne ou analytique (l’algèbre) par essence spéculatives.
Cette dimension pratique est la raison pour laquelle l’étude de la géométrie descriptive ne
requiert pas de solides connaissances mathématiques. Une étudiant ayant suivi une
filière littéraire peut aborder cette discipline sans complexe.
La géométrie descriptive est aussi une des rares disciplines dont l’enseignement dans les
écoles d’architecture persiste depuis le XIXe siècle, et on est en droit de se demander, à
l’heure de l’informatique triomphante notamment dans la conception et la représentation
des objets en trois dimensions, si cet enseignement est toujours justifié.
Certes les outils actuels permettent d’élaborer des volumes complexes plus rapidement
et avec plus de précision, mais la géométrie descriptive possède deux vertus essentielles
pour l’élève architecte : d’une part la gymnastique mentale qu’elle implique lui apprend à
voir dans l’espace et à comprendre la représentation des objets tridimensionnels, ce qui
sera de la plus grande utilité devant l’écran d’un modeleur 3D, et d’autre part le soin
qu’elle exige dans la réalisation des épures apporte la rigueur nécessaire à une
expression graphique pertinente, fut-elle assistée par ordinateur.
∗∗∗∗

5

Éléments de figures

1. ELEMENTS DE FIGURES
1.1 Principes
La géométrie descriptive se propose de donner, dans les deux dimensions de la
feuille de papier, une représentation opératoire des objets tridimensionnels : cette
représentation bi-dimensionnelle doit décrire suffisamment complètement l’objet afin
de pouvoir servir de support à des opérations sur celui-ci.
1.1.1 La projection orthogonale :
On appelle projection orthogonale d’un point (P) sur un plan le pied (p) de la
perpendiculaire (Pp) abaissée de ce point sur le plan.

Plan de projection

Projection du point
p

P
Point à projeter

Remarque : Tous les points appartenant à une même droite perpendiculaire au plan de projection se
projettent en un même point. La projection orthogonale sur un seul plan n’est donc pas suffisante pour
déterminer la position du point dans l’espace.

Plus généralement, la projection orthogonale d’un solide se construit en recherchant
la projection de ses points caractéristiques.

7

Géométrie descriptive – Cours de première année

La projection orthogonale sur un plan des objets tridimensionnels en donne une
représentation bidimensionnelle. Cependant, une seule projection orthogonale n’est
pas suffisante pour caractériser entièrement un objet dans l’espace, car dans ce
passage des 3 aux 2 dimensions, de l’information est nécessairement perdue :

Est-ce la projection d’un cylindre, d’une sphère ?

Est-ce la projection d’un cylindre, d’un parallélépipède ?
Afin d’éviter cette perte d’information, la géométrie descriptive a recours à deux
projections orthogonales distinctes mais coïncidentes.
1.1.2 Les deux plans de projections :
Afin de représenter les objets tridimensionnels dans les deux dimensions de la feuille
de papier, on commence donc par se donner dans l’espace deux plans de
projections perpendiculaires. Ces deux plans se coupent suivant une droite (y’y)
appelée ligne de terre.
Le premier plan (H) est appelé plan horizontal de projection.
Le second plan (F) est appelé plan frontal de projection.
Ces deux plans découpent l'espace en quatre régions, ou dièdres, numérotés
comme ci dessous:
1.1.3 Les quatre dièdres :

Plan Frontal

2ème Dièdre

1er Dièdre

y

Plan Horizontal

Ligne de terre
y’
3ème Dièdre
4ème Dièdre

8

Eléments de figures

1.1.4 Rabattement du plan frontal :
Quelle que soit sa position dans l’espace, un objet tridimensionnel (V) à représenter
se projette orthogonalement sur le plan horizontal en une figure bidimensionnelle (v)
et sur le plan frontal en une autre figure bidimensionnelle (v 1).
(v) est appelée projection horizontale de (V)
(v 1 ) est appelée projection frontale de (V)
Pour obtenir les deux projections bidimensionnelles sur un même plan (la feuille de
papier), et les faire ainsi coïncider, on fait tourner le plan frontal (F) en choisissant
comme axe de rotation la ligne de terre (y’y) de façon a le rabattre sur le plan
horizontal (H). Le projection frontale (v 1 ) se trouve alors en (v’).

v1

V

y
v’
v

y’

9

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.1.5 L’épure :
Les projections horizontale et frontale se trouvant donc sur un même plan (toujours
la feuille de papier), nous avons ainsi réalisé une épure de l’objet tridimensionnel à
représenter.
Pour faciliter la lecture d’une épure et reconstituer mentalement la forme de l’objet et
sa position dans l’espace, on utilise des conventions de représentation :
Les lignes vues sont dessinées en trait plein.
Les lignes cachées en points ronds ou ponctués.
Les lignes de rappel et les lignes de constructions en trait rouge (ou noir) fin.

c'
d'

b'

v’

a'

g'
h'
f'
e'

Ligne de rappel

y’

y

Ligne de terre

h
d
g

c

e
a

v

f
b

10

Eléments de figures

1.2 Le point :
1.2.1 Représentation du point :
Soit un point (P) de l’espace. Ce point (P) se projette horizontalement sur le plan (H)
en (p) et frontalement sur le plan (F) en (p1). Le plan (pPp1) ainsi défini est
perpendiculaire aux deux plans de projection (H) et (F), et donc à la ligne de terre en
(α).
Les points (Ppαp1) définissent un rectangle.
Les droites (pα) et (p1α) sont perpendiculaires à la ligne de terre (y’y).
Ainsi, lorsque le plan frontal est amené en coïncidence avec le plan horizontal par
rotation autour de (y’y), le point (p1) décrit un quart de cercle de centre (α).
Ce point (p1) vient donc se placer en (p’) dans le prolongement de (pα). La droite
(pp’) est appelée ligne de rappel du point (P). Cette droite est donc nécessairement
perpendiculaire à la ligne de terre (y’y).

p1
P
y
p’

α
y’

(p) est la projection horizontale de (P).
(p’) est la projection frontale de (P).

11

p

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.2.2 Epure du point. Cote et éloignement :
Un point de l’espace est donc figuré sur une épure par ses deux projections
orthogonales sur les deux plans de projections. Ces deux projections sont situées
sur une même perpendiculaire à la ligne de terre appelée ligne de rappel.
On appelle éloignement d’un point la distance de ce point au plan frontal de
projection.
Eloignement de (P) = (Pp1) = (pα).
L’éloignement d’un point est considéré comme positif si ce point est situé en avant
du plan frontal (1er et 4ème dièdre), il est négatif si ce point est situé en arrière du
plan frontal (2ème et 3ème dièdre).
On appelle cote d’un point la distance de ce point au plan horizontal de projection.
Cote (P) = (Pp) = (p’α).
La cote d’un point est considérée comme positive si ce point est situé au-dessus du
plan horizontal (1er et 2ème dièdre), elle est négative si le point est situé au-dessous
du plan horizontal (3ème et 4ème dièdre).
L’épure ci-dessous montre que le point (P), se projetant
frontalement en (p’) et horizontalement en (p), appartient au
1er dièdre. Son éloignement et sa cote sont positifs; le point
(P) est donc situé en avant du plan frontal et au-dessus du
plan horizontal.
p'
P

cote de P
α
éloignement de P
p

L’épure ci-dessous montre que le point (Q), se projetant en
frontalement en (q’) et horizontalement en (q), appartient au
3éme dièdre. Son éloignement et sa cote sont négatifs; le point
(Q) est donc situé en arrière du plan frontal et au-dessous du
plan horizontal.
q

éloignement de Q
α
cote de Q

Q

q'

12

Eléments de figures

1.2.3 Les plans bissecteurs :
Par convention, on subdivise les 4 dièdres par deux plans médians appelés
bissecteurs.
Ces plans bissecteurs sont perpendiculaires et forment un angle de 45° avec les
plans de projections. Les points appartenant aux plans bissecteurs ont donc pour
caractéristique d’être à égale distance du plan de projection horizontal et du plan de
projection vertical. Les cotes et éloignements de tels points sont donc égaux en
valeur absolue.

Plan Frontal

2ème bissecteur

1er bissecteur

Plan Horizontal
45 °

45 °

13

Géométrie descriptive – Cours de première année

Soit (P) un point du premier bissecteur (B1).
(P) est a égale distance du plan frontal et du plan horizontal. Il appartient au 1er ou
au 3ème dièdre.
Cote et éloignement sont donc de même signe.
éloignement (P) = Cote (P)

B1

p’
p’

α

P

α

p

45 °

y’

y

p

Soit (Q) un point du second bissecteur (B2).
(Q) est a égale distance du plan frontal et du plan horizontal. Il appartient au 2ème
ou au 4ème dièdre.
Cote et éloignement sont par conséquent de signe opposé.
éloignement (Q) = - Cote (Q)
B2

45 °

α

q

y’
q’

α
y

Q

q q’

14

Eléments de figures

1.3 La droite :
1.3.1 Représentation de la droite :
La géométrie nous apprend qu’une droite est entièrement déterminée par deux
points distincts.
Il suffira donc pour déterminer une droite dans l’épure de connaître deux de ses
points par leurs projections horizontales et verticales. Une droite est ainsi elle-même
définie par sa projection horizontale et sa projection frontale.
Soient (A) et (B) deux points distincts de l’espace. Par ces deux points passe une et
une seule droite. Soit (a) et (b) les projections horizontales des points (A) et (B) et
(a’) (b’) leurs projections frontales. Par (a) et (b) passe une et une seule droite : la
projection horizontale de la droite (AB), et par (a’) et (b’) passe une et une seule
droite : la projection frontale de la droite (AB).

b1

a1

b’

B

a’
A

y
y

y’
y’

b

a

a

b

15

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.3.2 Droites remarquables :
Les droites particulières, qui peuvent poser certains problèmes de construction, sont
les droites parallèles ou perpendiculaires au plans de projection, ou encore situées
dans les plans bissecteurs.
1.3.2.1 Droite verticale :
Est dite verticale toute droite perpendiculaire au plan horizontal de projection. Sa
projection frontale est donc perpendiculaire à la ligne de terre (y’y), et sa projection
horizontale se réduit à un point.
Tous les points d’une droite verticale ont même éloignement.

d’

d1

D
y

d’

y

y’

d
y’

d

1.3.2.2 Droite de bout :
Est dite droite de bout toute droite perpendiculaire au plan frontal de projection. Sa
projection horizontale est perpendiculaire à la ligne de terre (y’y) et sa projection
frontale est réduite à un point.
Tous les points d’une droite de bout ont même cote.

d1

D

d’

y
d’

y

y’
d

y’
d

16

Eléments de figures

1.3.2.3 Droite horizontale :
Est dite horizontale toute droite parallèle au plan horizontal de projection. Tous les
points d’une droite horizontale ont donc la même cote et sa projection frontale est
parallèle à la ligne de terre (y’y).

d’

d’
D

y

y

y’
d

y’

d

1.3.2.4 Droite frontale :
Est dite frontale toute droite dont parallèle au plan frontal de projection. Tous les
points d’une droite frontale ont donc le même éloignement et sa projection
horizontale est parallèle à la ligne de terre.

d’

d’
D
y

y

y’
y’

d

d

17

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.3.2.5 Droite horizonto-frontale :
Est dite horizonto-frontale toute droite parallèle aux deux plans de projection. Tous
les points d’une telle droite ont donc même cote et même éloignement. Ses
projections sont elles-mêmes parallèles à la ligne de terre.

d’

d’
D

y
y

y’
d
y’
d

1.3.2.6 Droite appartenant à un plan bissecteur :
Tous les points d’une telle droite sont à équidistance des plans de projection. Si la
droite appartient au 1er bissecteur, ses projections horizontale et verticale sont
symétrique par rapport à la ligne de terre (y’y).

d’

D

d’

y
y

y’

d
y’

d

18

Eléments de figures

Si la droite appartient au 2ème bissecteur, ses deux projections sont confondues :

y
y’

y

d

y’

D

d’

d d’

1.3.2.7 Droite de profil :
Est dite de profil toute droite appartenant à un plan perpendiculaire à la ligne de
terre, et ainsi aux deux plans de projections. Les deux projections d’une telle droite
sont donc elles-mêmes perpendiculaires à la ligne de terre et alignées sur une même
ligne de rappel. Le problème est que toutes les droites appartenant à un même plan
perpendiculaire à la ligne de terre ont les mêmes projections. On ne peut alors
déterminer une droite de ce plan qu’en en caractérisant deux points. Nous verrons
plus loin comment traiter ce problème.

a’

A

a’

B

b’
a

b’

b

a
b

19

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.3.3 Constructions sur les droites :
1.3.3.1 Marquer un point sur la droite :
Soit la droite (D) dont on connaît les projections horizontale et frontale et soit (m) la
projection horizontale d’un point (M) de cette droite.
La projection frontale (m’) de ce point appartient nécessairement à la projection
frontale (d’) de la droite (D) et est située sur une ligne de rappel issue de (m). On
construit donc graphiquement cette projection frontale (m’) en relevant de (m) la ligne
de rappel et en interceptant ainsi la projection frontale (d’) de (D). Le point (M) est
alors déterminé.

d’

d’
m’

D
M

m1
y

y’

y
m

y’

d

m
d

1.3.3.2 Marquer sur une droite un point de cote donnée :
Soit la droite (D) dont on connaît les projections horizontale et frontale et soit c la
cote du point recherché.
Tous les points de cote égale à c se projette frontalement sur une droite parallèle à
la ligne de terre, à une distance c de celle-ci.
On commence donc par tracer sur l’épure cette droite des projections des points de
cote égale à c. Cette droite intercepte la projection frontale (d’) de la droite (D) en
point (m’) d’où il suffit alors de descendre une ligne de rappel vers la projection
horizontale (d) de la droite (D). Le point (M) appartenant à (D) et de cote égale à c
est ainsi déterminé.

m’
c

d’
d
m

On traite de façon similaire la recherche sur une droite donnée d’un point
d’éloignement donné.

20

Eléments de figures

1.3.3.3 Traces d’une droite sur les plans de projection :
Les droites sont par définition infinies. Par conséquent, sauf cas particuliers vus plus
haut (droites horizontales, verticales et horizonto-frontales), les droites interceptent
les deux plans de projection.
On appelle trace frontale de la droite l’intersection de cette droite avec le plan
frontal de projection.
On appelle trace horizontale de la droite l’intersection de cette droite avec le plan
horizontal de projection.
La trace frontale de la droite est un point d’éloignement nul puisque ce point
appartient au plan frontal. La recherche de ce point se réduit donc à la recherche du
point de la droite d’éloignement nul. La trace horizontale de la droite est un point de
cote nulle puisque ce point appartient au plan horizontal. La recherche de ce point se
réduit donc à la recherche du point de la droite de cote nulle.

f’

f’
D

d’

h’

h

f

h’
f

d

h

21

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.3.3.4 Droites concourantes :
Soient deux droites (D) et (L) de l’espace ayant un point commun (M). Ce point
appartient au deux droites, et donc à leurs deux projections.
Sa projection frontale se trouvent donc à l’intersection des projections frontales (d’)
et (l’) des deux droites, et sa projection horizontale à l’intersection des projections
horizontales (d) et (l). Donc, lorsque deux droites sont sécantes, l’intersection des
projections frontales et l’intersection des projections horizontales se trouvent
nécessairement sur une même ligne de rappel.

d’

m’
l’

l’

M

m
l

m’

d
D

m

L
d

l

1.3.3.5 Droites parallèles :
Rappel géométrique : Si deux droites sont parallèles, leurs projections orthogonales
sur un plan sont également parallèles.
Donc, si deux droites de l’espace sont parallèles, les projections frontales sont
parallèles ainsi que les projections horizontales.
Soient (D) une droite de l’espace et (M) un point de l’espace donnés. Pour construire
une droite parallèle à (D) et passant par (M), il suffit donc de construire une parallèle
à la projection frontale (d’) de (D) passant par la projection frontale (m’) de (M) et une
parallèle à la projection horizontale (d) de (D) passant par la projection horizontale
(m) de (M).
d’
m’

y

y’

m
d
Rappel géométrique : Pour qu’une droite soit parallèle à un plan, if faut et il suffit que
cette droite soit parallèle à une des droites de ce plan.
Nous allons maintenant chercher à construire une droite passant par un point donné
et parallèle au premier bissecteur. Nous savons que les droites du premier
bissecteur ont leurs projections horizontales et frontales symétriques par rapport à la
ligne de terre.
Donc, pour construire une droite parallèle au 1er bissecteur passant par un point
donné, il suffit de se donner une droite ayant ses projections horizontales et

22

Eléments de figures

frontales symétriques par rapport à la ligne de terre et de mener des parallèles à ses
projections passant par les projections horizontales et frontales du point donné.
d’

a’

y

y’
a
d

De la même façon, on construit par un point donné une parallèle au 2ème bissecteur
dont on sait que les projections sont confondues.

d d’

a’

y’

y
a

On peut construire de même une droite perpendiculaire à un plan bissecteur passant
par un point donné. Sachant que les deux plans bissecteurs sont perpendiculaires
entre eux, une droite perpendiculaire à l’un est nécessairement parallèle à l’autre. Le
problème ici est qu’une telle droite est également de profil, et qu’il est donc
nécessaire de la caractériser par deux points.
La méthode consiste donc à se donner une droite de profil dans le bissecteur
opposé, puis à mener par le point donné une parallèle à cette droite. Rappelons que
pour caractériser une droite de profil sur une épure, il est nécessaire de connaître
deux points de cette droite.
L’exemple ci-dessous montre la construction d’une droite perpendiculaire au 1er
bissecteur passant par le point (A). On remarquera dans ce cas qu’un segment (AB)
perpendiculaire au 1er bissecteur a des projections égales et de même sens. Dans
le cas d’un segment perpendiculaire au 2ème bissecteur, ses projections seront
égales mais de sens contraire.

d d’

A

a’

a’
B

b’
a

b’
y

y’

b

a
b

23

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.4 Le plan :
1.4.1 Détermination du plan. Traces du plan :
Rappel géométrique : Un plan est défini par
- 3 points non colinéaires
- 1 point et une droite distincts.
- 2 droites concourantes en un point.
- 2 droites parallèles distinctes.
En géométrie descriptive, un plan est le plus souvent caractérisé par deux droites
concourantes, et notamment par ses traces.
On appelle traces d’un plan les droites suivant lesquelles celui-ci coupe les plans de
projection. Ces deux droites  la trace horizontale (P) et la trace frontale (Q) du
plan  se rencontrent sur la ligne de terre en un point (α).

Q’

Q

α

P’
P

Le plan est ainsi entièrement déterminé dans l’épure par ses traces horizontale et
frontale.

Q’

α

Q
P’

P

24

Eléments de figures

1.4.1.1 Construire les traces d’un plan défini par deux droites concourantes
Soient (D) et (L) deux droites concourantes en un point (M). On obtient les traces du
plan défini par ces droites en cherchant les traces horizontales et frontales de ces
droites.
Les traces horizontales (A) et (B) des droites appartiennent au plan horizontal de
projection ainsi qu’au plan défini par ces droites. Elles appartiennent donc à la trace
horizontale de ce plan. La trace horizontale du plan est donc la droite qui joint les
deux traces horizontales des droites. De même, les traces frontales (C) et (D) des
droites appartiennent au plan frontal de projection ainsi qu’au plan défini par ces
droites. Elles appartiennent donc à la trace frontale de ce plan. La trace frontale du
plan est donc la droite qui joint les deux traces frontales des droites.
Q’

c’

b’
m’
d’

l’
d’

a’
c

α

b
m
l
d
d

P

a

1.4.2 Plans remarquables :
Les plans remarquables sont les plans parallèles ou orthogonaux aux plans de
projections ou aux plans bissecteurs.

25

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.4.2.1 Plan vertical :
Est dit vertical tout plan perpendiculaire au plan horizontal de projection. Sa trace
frontale est donc perpendiculaire à la ligne de terre et tous les points appartenant à
ce plan se projettent horizontalement sur sa trace horizontale.

Q’
Q’
a’

a’

A

α Q

α

a

P’

P

a

P
Remarque : Le plan frontal est un plan vertical particulier
1.4.2.2 Plan de bout :
Est dit de bout tout plan perpendiculaire au plan frontal de projection. Sa trace
horizontale est donc perpendiculaire à la ligne de terre et tous les points appartenant
à ce plan se projettent frontalement sur sa trace frontale.

Q’
Q’

a’

α

a’
A

α
a

Q

P’
P

a

P
Remarque : le plan horizontal de projection est un plan de bout particulier.

26

Eléments de figures

1.4.2.3 Plan horizontal :
Est dit horizontal un plan parallèle au plan horizontal de projection. Tous ses points
ont même cote. Il n’a donc pas de trace horizontale et sa trace frontale est parallèle
à la ligne de terre.

Q’

Q’
y’

Q

y

Remarque : tout plan horizontal est aussi un plan de bout.

1.4.2.4 Plan frontal :
Est dit frontal un plan parallèle au plan frontal de projection. Tous ses points ont
même éloignement. Il n’a donc pas de trace frontale et sa trace horizontale est
parallèle à la ligne de terre.

P

y’ P’

P

Remarque : Tout plan frontal est aussi un plan vertical.

27

y

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.4.2.5 Plan parallèle au premier bissecteur :
Un plan parallèle au 1er bissecteur a ses traces horizontale et frontale confondues et
parallèles à la ligne de terre.

y

y’

P

P
Q


Q


1.4.2.6 Plan parallèle au deuxième bissecteur :
Un plan parallèle au 2ème bissecteur a ses traces horizontale et frontale parallèles à
la ligne de terre et symétriques par rapport à celle-ci.

Q’
Q’

y’
P

Q
P’

P

28

y

Eléments de figures

1.4.2.7 Plan passant par la ligne de terre :
Un plan passant par la ligne de terre a ses traces confondues avec celle-ci. Il faut et
il suffit, pour définir un tel plan, de connaître un de ses points (A).
Toute droite joignant ce point et un point quelconque de la ligne de terre (B)
appartient à ce plan.

a’

a’

A
b b’

y’

a

y

a

Remarque : les deux bissecteurs peuvent être définis de cette façon.
1.4.2.8 Plan parallèle à la ligne de terre :
Un plan parallèle à la ligne de terre a ses traces horizontale et frontale parallèles à la
ligne de terre mais non nécessairement confondues ou symétriques par rapport à
celle-ci.

P
Q’

Q’
P

y’

29

P’
Q

y

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.4.2.9 Plan de profil :
Un plan de profil est perpendiculaire au deux plans de projection, et donc à la ligne
de terre. Ses traces horizontale et frontale sont alignées et perpendiculaires à la
ligne de terre.

Q’

Q’

α

α
P

P

1.4.3 Droites principales d’un plan :
On appelle droites principales d’un plan les droites de ce plan parallèles au plan
frontal ou au plan horizontal de projection, ainsi que les droites perpendiculaires à
celles-ci, c’est-à-dire les lignes de plus grande pente.
1.4.3.1 Droites frontales et horizontales d’un plan :
Ce sont les droites appartenant au plan considéré et qui sont parallèles au plan
frontal ou au plan horizontal de projection.
Les droites frontales d’un plan sont obtenues en coupant ce plan avec des plans
frontaux, les droites horizontales en coupant le plan avec des plans horizontaux.

Droite frontale du plan

Droite horizontale du plan

La trace frontale d’un plan est une droite frontale d’éloignement zéro de ce plan. De
même, la trace horizontale du plan est la droite horizontale de cote zéro de ce plan.

30

Eléments de figures

1.4.3.2 Lignes de plus grande pente d’un plan :
On appelle lignes de plus grande pente d’un plan en référence à un plan de
projection les droites de ce plan qui forment le plus grand angle possible avec ce
plan de projection. En géométrie descriptive, on distingue classiquement les lignes
de plus grande pente avec le plan horizontal et les lignes de plus grande pente avec
le plan frontal.
Théorème : Soient (P) et (R) deux plans se coupant selon une droite (D). Les lignes de
plus grande pente du plan (P) par rapport au plan de référence (R) sont les droites de
(P) perpendiculaires à (D).
Rappel géométrique : pour qu’un angle droit se projette en un angle droit, il faut et il
suffit qu’un de ses cotés soit parallèle à ce plan.
Ligne de plus grande
pente du plan (P).

La trace horizontale d’un plan représente la droite d’intersection de ce plan avec le
plan horizontal de projection. Selon le plan de référence considéré, les lignes de plus
grande pente du plan sont donc les droites perpendiculaires à la trace du plan
correspondante. D’autre part, les droites horizontales ou frontales du plan étant
parallèles respectivement aux traces horizontales ou frontales, les lignes de plus
grande pente d’un plan sont également perpendiculaires aux droites horizontales ou
frontales de ce même plan.
Remarque : Une ligne de plus grande pente est suffisante pour caractériser entièrement un plan. En effet,
connaissant la ligne de plus grande pente (G) avec, par exemple, le plan horizontal, il est possible de
construire sa trace horizontale, soit le point (A). Nous savons que la trace horizontale du plan, soit la
droite (P), passe par le point (A) et est perpendiculaire à (G). Une fois construite, cette trace horizontale,
nous donne le point (α) intersection de cette droite avec la ligne de terre. Ce point (α) appartient
également à la trace frontale (Q’) du plan. Il ne reste alors qu’à construire la trace frontale de (G), soit le
point (B), pour obtenir un second point de cette trace frontale du plan.
Q’
b’

g’

α

a’
b
g
a

P

31

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.4.4 Constructions sur les plans :
1.4.4.1 Marquer une droite dans un plan :
Soit un plan défini par deux droites concourantes (D) et (L). La projection horizontale
(k) d’une droite (K) de ce plan est connue. Pour construire la projection frontale (k’)
de cette droite, il suffit de rappeler les intersections (a) et (b) de (k) avec les
projections horizontales (d) et (l) de (D) et (L) sur leur projections frontales (d’) et (l’).
l’

d’
m’

k’

b’

a’

a

b

k

m
l

d

Cas d’un plan défini par ses traces (PαQ’) :
Cette fois, la projection frontale (d’) de la droite du plan est connue et on cherche sa
projection horizontale (d).
Soit (A) le trace horizontale de (D). Ce point appartient au plan horizontal de
projection ainsi qu’au plan défini par (PαQ’). Il appartient donc également à la trace
horizontale (P) du plan. De même la trace frontale (B) de (D) appartient au plan
frontal de projection ainsi qu’au plan (PαQ’), et donc à la trace frontale (Q’) de ce
plan. Ces traces de la droite (D) sont connues et nous permettent donc de construire
sa projection horizontale.
Q’

b’

d’
α

a’
b

d

a

32

P

Eléments de figures

Cas d’un plan parallèle à la ligne de terre :
Le plan est connu par ses traces (P) et (Q) qui sont parallèles à la ligne de terre. La
projection horizontale de la droite (D), soit (d), est également connue et on cherche
sa projection frontale (d’) de façon à caractériser (D) dans le plan.
Nous savons que la trace horizontale de (D), soit le point (A), appartient à (P) et que
sa trace frontale, soit le point (B), appartient à (Q). Il suffit donc de construire ces
points à partir de (d) pour trouver (d’).

Q’

b’

d’

a’
b

d

P
a

1.4.4.2 Construire une horizontale d’un plan défini par deux droites concourantes :
Il suffit de couper les deux projections frontales (d’) et (l’) des droites caractérisant le
plan par une projection frontale (h’) parallèle à la ligne de terre, puis de rappeler les
points d’intersection sur les projections horizontales des droites afin de construire
(h).
d’

l’
m’

a’

b’

a

b

h’

h

m
l

d
1.4.4.3 Marquer un point dans un plan :

Ici, une des projection du point est connue, et on cherche son autre projection
sachant que le point appartient au plan. Le problème se décompose en deux étapes:
- on cherche d’abord à construire une droite passant par ce point et appartenant
au plan.

33

Géométrie descriptive – Cours de première année

- On rappelle ensuite ce point sur les projections de la droite.
Cas d’un plan défini par deux droites concourantes :
On connaît (D) et (L) deux droites sécantes définissant un plan (P) ainsi que (m’), la
projection frontale d’un point dont on cherche la projection horizontale sachant que
ce point appartient au plan des deux droites.
On construit donc une droite passant par (m’) et coupant les droites (D) et (L). Cette
droite, ainsi définie par deux points appartenant au plan (P), appartient donc elleaussi à ce plan. Si maintenant on définit la projection horizontale (m) comme
appartenant donc à cette droite, le point (M) appartiendra lui aussi au plan.
l’

d’

m’

m
d

l

Cas d’un plan défini par deux droites principales :
Soit un plan (P) caractérisé par deux de ses droites principales, (H) et (F),
concourantes en un point (A). La projection horizontale (m) du point recherché est
connue. On cherche à construire sa projection frontale (m’) de telle sorte que le point
appartienne au plan.
On construit tout d’abord une droite horizontale passant par (m), parallèle à (H) et qui
coupe la droite (F) en un point (B). (B) est un point du plan (P). La droite ainsi définie
est donc parallèle à (H) et passe par (B), un point de (P). Elle appartient donc elle
aussi à (P). Il ne reste alors qu’à rappeler (m’) sur cette droite pour que (M)
appartienne à (P).
f’
m’

b’
a’

h’

f
a

b

m
h

34

Eléments de figures

1.4.4.4 Construire la ligne de plus grande pente d’un plan passant par un point donné
Soit un plan (P) défini par deux droites (D) et (L) concourantes et soit (A) un point de
ce plan donné. On cherche à construire la ligne de plus grande pente par rapport au
plan horizontal passant par (A).
On construit tout d’abord une horizontale du plan. La droite cherchée est la
perpendiculaire à cette droite menée par (A).

d’

l’

a’
g’

k’

l

d

a

k

g

35

Problèmes sur les droites et les plans

2. PROBLEMES SUR LES DROITES ET LES PLANS
2.1 Droite et plan parallèles
Rappel géométrique :
Pour qu’une droite soit parallèle à un plan, il faut et il suffit qu’elle soit parallèle à une des
droites de ce plan.
2.1.1 Mener par un point une droite parallèle à un plan :
Selon le théorème précédent, il suffit de mener par le point donné une parallèle à une
droite appartenant au plan.
Dans le cas d’un plan défini par ses traces (PαQ’), il suffit donc de mener par le point (A)
une droite parallèle à la trace horizontale ou à la trace frontale du plan.
Q’

a’

Q
P’

α

a

P

Dans le cas d’un plan défini par deux droites concourantes (F) et (G), il suffit de mener
par le point (A) une droite parallèle à (F) ou à (G).
g’

f’

a’

a
g
f

37

Géométrie descriptive – Cours de première année

2.1.2 Mener par une droite donnée le plan parallèle à une direction donnée :
Selon le théorème précédent, il suffit de construire un plan contenant la droite (D) donnée
et une droite parallèle à la direction (L), donnée également. Pour ce faire, on se donne un
point (A) de la droite (D) par lequel on mène une droite (G) parallèle à (L). Les droites (D)
et (G) sont concourantes en (A) et définissent donc bien un plan parallèle à (L).

a’
l’

g’

d’

g

d

l
a

38

Problèmes sur les droites et les plans

2.2 Plans parallèles
Rappel géométrique
Pour que deux plans soient parallèles, il faut et il suffit que deux droites concourantes de
l’un soient parallèles à l’autre.
2.2.1 Mener par un point donné un plan parallèle à un plan donné :
Soit (O) un point de l’espace et (P) un plan de l’espace défini par deux droites
concourantes (G) et (F). Pour mener par (O) un plan parallèle à (P), if suffit de mener par
(O) des droites parallèles à (G) et (F).

o’
g’
f’

g

f
o

Soit (O) un point de l’espace et (V) un plan de l’espace défini par ses traces (PαQ’). Si
ces traces ne sont pas parallèles entre elles, if suffit, pour mener par (O) un plan parallèle
à (V), de mener par (O) des droites (H) et (F) parallèles aux traces horizontale et frontale
de (V).
Q’
f’

h’

o’

Q
P’

α

f
o

h
P

39

Géométrie descriptive – Cours de première année

Dans le cas où le plan (V) est parallèle à la ligne de terre, ses traces horizontale et
frontale sont parallèles entre elles puisque parallèles à la ligne de terre. Les parallèles à
chacune de ces droites menées par (O) seront confondues et ne suffiront donc pas à
déterminer un plan. Il est donc nécessaire ici de construire une autre droite (G)
appartenant au plan (V) puis de mener par (O) une parallèle à cette droite.

o’

h’

Q’
g’
Q
P’
g

o

h

P

40

Problèmes sur les droites et les plans

2.3 Intersection de deux plans
L’intersection de deux plans est soit une droite, soit nulle. Si deux plans se coupent, ils se
coupent selon une droite et il suffira donc d’en déterminer deux points.
Pour ce faire, plusieurs méthodes s’offrent à nous :
On recherche l’intersection de deux droites distinctes d’un plan avec l’autre. Les
deux points de l’intersection seront ainsi donnés.

E
D

O

M

N

On coupe les deux plans donnés dont on recherche l’intersection par un plan
auxiliaire. Les droites d’intersection de ce plan auxiliaire avec les plans donnés
se rencontrent en un point appartenant à l’intersection recherchée. Il suffit alors
de répéter l’opération avec un autre plan auxiliaire pour déterminer un autre
point de l’intersection recherchée.
Bien entendu, les plans auxiliaires sont pris tels qu’il soit facile de déterminer
leurs intersections avec les plans donnés. Ce sont en général des plans
verticaux ou de bout.

1er plan auxilaire
M

2ème plan auxilaire
N

41

Géométrie descriptive – Cours de première année

2.3.1 Un des plans est perpendiculaire à un des plans de projection :
2.3.1.1 Un des plans est vertical (ou de bout) :
Soit un plan (V) vertical et un plan (P) défini par deux droites concourantes (D) et (E).
Nous savons que tous les points d’un plan vertical se projettent horizontalement sur la
trace horizontale de ce plan. L’intersection du plan (P) avec le plan (V) appartient au plan
(V) et donc se projette également sur la trace horizontale de (V). Les intersections des
droites (D) et (E) avec le plan (V) sont donc données en projection horizontale. Il ne reste
alors qu’à rappeler ces intersections en projection frontale.
Q’
n’
a’
m’

α

a
m

n
P

2.3.1.2 Les deux plans sont de bout :
Les plans de bout sont perpendiculaires au plan frontal. Leur intersection sera donc ellemême perpendiculaire au plan frontal, c’est-à-dire une droite de bout. Un seul point est
suffisant pour la définir.
Q’

S’

d’

S

β
R’

α
P’

d

P

R

42

Q

Problèmes sur les droites et les plans

2.3.1.3 Un plan de bout et un plan vertical :
Tous les points d’un plan de bout se projettent frontalement sur sa trace frontale et tous
les points d’un plan vertical se projettent horizontalement sur sa trace horizontale.
L’intersection d’un plan de bout avec un plan vertical se projette donc nécessairement
horizontalement sur la trace horizontale du plan vertical et frontalement sur la trace
frontale du plan de bout.
Q’
S’

d’

β S

α
P’

R’

Q

d

R

P

2.3.1.4 Un plan de bout et un plan défini par ses traces :
Nous savons qu’en projection frontale, la droite d’intersection recherchée sera confondue
avec la trace frontale du plan de bout. Il suffit donc, pour déterminer la droite (D)
recherchée, de construire les points (A) et (B), intersections des traces.
On peut de plus remarquer que dans le cas de plans définis par les traces, les
intersections avec deux plans auxiliaires sont données pour peu que l’on considère les
plans de projections comme plans auxiliaires. Les traces d’un plan sont, rappelons-le, les
intersections de ce plan avec les plans de projections. Il suffit donc de construire les deux
points d’intersections de ces traces pour déduire l’intersection (D) recherchée.
Q’

S’

a’
d’

α
P’ b’

S
R’

β

a

d

b
R
P

43

Q

Géométrie descriptive – Cours de première année

2.3.2 Cas général (méthode des plans auxiliaires) :
2.3.2.1 Deux plans définis par deux droites concourantes :
On considère deux plans quelconques définis chacun par deux droites concourantes. La
méthode employée ici pour déterminer l’intersection de ces deux plans est celle des
plans auxiliaires.
Soit un plan (P) déterminé par les droites (D) et (E) concourantes en un point (A), et un
plan (V) déterminé par les droites (F) et (G) concourantes en un point (B).
On se donne ici deux plans auxiliaires horizontaux (H1) et (H2). Le plan (H1) coupe le plan
(P) selon la droite (T) et le plan (V) selon la droite (X). Le plan (H2) coupe le plan (P)
selon la droite (U) et le plan. (V) selon la droite (Y).
La droite (I), intersection des plans (P) et (V) recherchée, est déterminée par le point
d’intersection des droites (T) et (X) et le point d’intersection des droites (U) et (Y).

d’

e’

g’

f’

H1’
b’

a’

i’
H2’

t

x

i

a
u
d

b
f
e

y
g

44

Problèmes sur les droites et les plans

2.3.2.2 Deux plans définis par leurs traces :
La trace horizontale d’un plan est l’intersection de ce plan avec le plan horizontal de
projection; sa trace frontale est son intersection avec le plan frontal de projection. Dans le
cas de la recherche de l’intersection entre deux plans définis par leur traces, il suffit donc
de prendre comme plans auxiliaires les plans de projections horizontal et frontal puisque
les intersections des plans considérés avec de tels plans auxiliaires sont données par les
traces.
Afin de déterminer l’intersection entre les deux plans considérés, il suffit de rechercher
l’intersection de leurs traces horizontales et de leurs traces frontales.
(d’)

(e’)
a’

(g’)

i’

b’

b

i
a

(g)
(e)

(d)

2.3.2.3 Intersections des traces hors des limites de l’épure :
Si, dans le cas de plans définis par leurs
traces, ces traces ne se coupent pas dans
les limites de l’épure et qu’il est par
conséquent difficile ou impossible de
construire leurs intersections, on aura alors
recours à deux autres plans auxiliaires,
comme ici deux plans horizontaux.

Q’
n’

S’

m’
β

α

n
m
P

45

R

Géométrie descriptive – Cours de première année

2.3.2.4 Deux plans parallèles à la ligne de terre :
Dans ce cas, les traces étant parallèles à la ligne de terre, elles n’ont pas d’intersection.
Cependant, nous savons que l’intersection de deux plans parallèles à la ligne de terre
sera elle-même parallèle à la ligne de terre. Il suffira donc de construire un point de cette
intersection pour la déterminer.
On se donne un seul plan auxiliaire que l’on prendra vertical ou de bout. Dans le cas d’un
plan auxiliaire vertical (épure ci-dessous), nous savons que tous les points de ce plan se
projettent horizontalement sur sa projection horizontale, et notamment les droites
d’intersections entre ce plan et les plans parallèles à la ligne de terre. On construit donc
aisément ces droites d’intersection. L’intersection de ces droites d’intersection donne un
point de l’intersection recherchée entre les deux plans parallèles à la ligne de terre. Cette
intersection recherchée étant elle-même parallèle à la ligne de terre, ce point suffit à la
déterminer complètement.

Données:
Q’

S’

Q

Intersection
recherchée
S
y
x

y

P
R
y’
P
R

Résolution :
U’
Q’

S’

M

m’

d’

m

d

ε

P
R
V

46

Problèmes sur les droites et les plans

2.3.2.5 Deux plans dont les traces se coupent en un même point de la ligne de terre :
Ici encore, il n’est pas possible de déterminer l’intersection des plans par intersection des
traces. Cependant, un point de l’intersection des deux plans est donné : leur point
commun sur la ligne de terre. Afin de déterminer l’intersection de ces plans, il suffit donc
d’en construire un deuxième point. Là encore, un seul plan auxiliaire suffit.
Dans l’épure ci-dessous, on recherche l’intersection entre les plans (PαQ’) et (RαS’). Le
point (α) est un point de cette intersection. Afin d’en déterminer un autre, on utilise un
plan auxiliaire vertical (VεU’).
On construit ensuite les droites (AB) et (CD) respectivement intersections de (PαQ’) et de
(RαS’) avec (VεU’). L’intersection (M) de ces droites donne un second point de la droite
(I) d’intersection recherchée.

U’

S’

d’

Q’

b’
i’
m’
εbd

α
a’

V’

c’
m
i
c
R
a

V
P

47

QS
P’ R’

Géométrie descriptive – Cours de première année

2.4 Intersection d’une droite et d’un plan
Afin de déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan, la méthode consiste à faire
passer par la droite un plan auxiliaire et à ensuite chercher l’intersection de ce plan
auxiliaire avec le plan donné. Cette intersection donne une droite auxiliaire. Le point
recherché est à l’intersection de cette droite auxiliaire avec la droite donnée.

Plan auxiliaire
Droite de référence

Plan de référence

Droite auxiliaire
Point d’intersection

2.4.1 Le plan est parallèle ou perpendiculaire à un plan de projection :
2.4.1.1 Plan horizontal :
La construction de l’intersection d’une droite et d’un plan horizontal est immédiate en
projection frontale puisque tous les points d’un plan horizontal se projettent frontalement
sur sa trace frontale. Il ne reste alors qu’à rappeler la projection frontale du point
d’intersection sur la projection horizontale de la droite.
Dans l’épure ci-dessous, on considère que le plan horizontal (H) est opaque. La droite
(D) est donc représentée en pointillé lorsqu’elle est masquée par le plan (H).

d’
H’
i’

i
d

48

Problèmes sur les droites et les plans

2.4.1.2 Plan frontal :
Ici l’intersection est immédiate en projection horizontale puisque tous les points du plan
(F) se projettent sur sa projection horizontale.
De même, le plan (F) est considéré comme opaque.

d’

i’

F

i
d

2.4.1.3 Plan vertical :
Tous les points du plan vertical (PαQ’) se projettent sur sa projection horizontale. Là
encore la construction de l’intersection (I) avec la droite (D) est immédiate en projection
horizontale.

Q’

i’
d’

α

d
i
P

49

Géométrie descriptive – Cours de première année

2.4.1.4 Plan de bout :
L’intersection entre un plan de bout (PαQ’) et une droite (D) est immédiate en projection
frontale.
Q’
i’
d’

α

d
i

P

2.4.2 Le plan est quelconque
2.4.2.1 Plan défini par deux droites concourantes :
On recherche l’intersection (I) entre une droite (D) et un plan (P) défini par deux droites
concourantes (E) et (G). On utilise donc la méthode du plan auxiliaire contenant la droite.
On choisira un plan auxiliaire vertical ou de bout qui projette donc la droite (D)
horizontalement ou verticalement. On recherchera ensuite l’intersection de ce plan
auxiliaire avec le plan (P). Le point (I) recherché est à l’intersection de cette droite (F)
avec la droite (D).
Le plan (P) étant considéré comme opaque, il est nécessaire de rendre compte des
parties cachées de la droite (D). Pour ce faire, on utilisera la méthode vue en 1.4.4.5. En
projection frontale, la partie de la droite (D) qui est en avant de (P) sera vue; en
projection horizontale, la partie de (D) au-dessus de (P) sera vue.

d’

e’
a’

g’

i’

f’
b’

b

i
f

a
e

d

50

g

Problèmes sur les droites et les plans

2.4.2.2 Le plan est défini par ses traces :
La méthode utilisée pour déterminer l’intersection (I) d’une droite (D) avec un plan (PαQ’)
est la même que dans le cas précédent : on recherche la droite (E) d’intersection entre le
plan (P) et un plan auxiliaire vertical contenant (D). Le point (I) recherché est à
l’intersection de la droite (E) et de la droite (D).
Q’
b’

d’

i’

α

a’
b
i
a

d

P

51

Q
P’

Géométrie descriptive – Cours de première année

2.5 Droite et plan perpendiculaires
Rappels géométriques :
- Deux droites orthogonales se projettent sur un plan suivant un angle droit si et
seulement si une des droites est parallèle au plan de projection.
- Pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il faut et il suffit qu’elle soit
orthogonale à deux droites non parallèles de ce plan.

Incidence en géométrie descriptive :
Pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il faut et en général il suffit :
1) que la projection horizontale de la droite soit perpendiculaire à la projection
horizontale d’une horizontale du plan. (Rappel : la trace horizontale d’un plan
est une des horizontales de ce plan).
2) que la projection frontale de la droite soit perpendiculaire à la projection
frontale d’une frontale de ce plan. (Rappel : la trace frontale d’un plan est une
des frontales de ce plan).

Q’
d’



d
P

2.5.1 Mener par un point la droite perpendiculaire à un plan :
2.5.1.1 Le plan est défini par ses traces :
Ici, la construction est immédiate : les traces horizontale et frontale d’un plan étant des
droites horizontale et frontale de ce plan, il suffit de mener par le point des
perpendiculaires à ces traces.

52


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