binaire et logiqueHOUARD2015 2003 .pdf



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HEAJ- INFOGRAPHIE

MATH 1
Calcul Binaire et Hexadécimal
Éléments de Logique

Jacques Houard

2015-2016

1

Unite D'enseignement Informatique
1
UE6


1 Activité d'enseignement (AE) Math



MATH1(M1) - > 15h de cours (1er Quadrim.)



Autre activités en informatique...

Jacques Houard

2015-2016

2

UE, UA et crédits
SI la note de L'UA ≥ 10


→ UA réussie. Un report se fait de session en
session, d'année en année.




UE reussie si toutes les UA sont réussies.



UE réussie → Crédits obtenus.

Jacques Houard

2015-2016

3

Math 1


PROGRAMME :



Calcul binaire et hexadécimal ( 2 séances)



Elements de logique



Révision ( 1 séance)



Evaluation (Janvier 2016)



Deuxième chance (Juin 2016)



Troisième chance (Aout 2016)

(4 séances)

Jacques Houard

2015-2016

4

Math 1


Cours « Général » - exercices en Classe



Support de cours : Voir extranet



Aussi : ....



Référence : « Logic for Dummies »



nb : pas la même chose que « Logique pour les
Nuls (UCL)»

Jacques Houard

2015-2016

5

Math 1


Titulaire



Jacques Houard ( 4 classes sur 9)



jacques.houard@prof.heaj.be



Mail : moyen de communication par défaut



Facebook : Jacques Houard HEAJ

Jacques Houard

2015-2016

6

Calcul Binaire et Hexadécimal
Systèmes de numération
Numération écrite à l'aide de chiffres
Notation positionelle
1306=
1 millier
3 centaines
(0 dizaines)
6 unités
Le rôle spécial du Zéro ( 0).
Jacques Houard

2015-2016

7

Ecriture décimale positionelle




Utilise 10 symboles, de 0 à 9 = Base 10
Reliquats d'autres systèmes ça et là dans notre
culture, (lesquels ?)




Choix de la base 10



Notation :



D'autres bases sont parfois utilisées...

137 ≡ 13710
Jacques Houard

2015-2016

8

Autres Bases


2 autres bases seront ici considérées



Base 2 , avec les symboles 0 et 1



Notation ( exemple): 1001012



--> Système Binaire



Base 16, symboles 0....9, A,B,C,D,E,F



Notation ( exemple) : 4AF216



-> Système Hexadécimal


Jacques Houard

2015-2016

9

Système Binaire
Un Bit ( binary digit) peut prendre 2 valeurs, 0 ou 1
Le transistor, élément fondamental du monde digital actuel
Un transistor peut prendre deux états, 0 ou 1.
Calcul binaire
0+0 = 0

0 +1 = 1 / 1+0 = 1

1+1 = 10

( NB : pour pouvoir réaliser ce dernier calcul il faut 2 bits)
Octet (= byte, en général) > 8 Bits (exemple code ASCII)
Note 1MB= 1 megabyte et 1Mb = Un mégabit
Jacques Houard

2015-2016

10

Système Binaire

Jacques Houard

2015-2016

11

Système Hexadécimal
Calcul en base 16
Pratique car :
Conversion facile à partir du système binaire
Permet d'écrire la valeur d'un octet avec deux chiffres

Jacques Houard

2015-2016

12

Conversion Binaire -> Décimal
Base 10 : Rappel
147310 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 3 * 100
= 1* 1000 +4* 100 + 7*10 +3*1
Base 2 :
100100112=1*27 + 0*26 + 0*25 + 1*24 +0*23 +0*22 +1*21 +1*20
=
=

1*128 +
128

0*64 +

0*32 +
+

= 14710
Jacques Houard

1*16 + 0*8 +

0*4 +

16

1*2 +
+2 +

1 *1 =
1=

2015-2016

13

Conversion Binaire -> Decimal


Facile si on commence à l'envers



( et si on connait les multiples de 2...)



11012 = 1*20 + 0*21 +1*22 +1*23




= 1*1
=

+ 0*2

+ 1*4 +1*8=

13

Jacques Houard

2015-2016

14

Conversion Binaire -> Decimal


Autre méthode...



Conversion du nombre 1110011012




512│256│128│64│32│16│8│4│2│1│
1




=



= 46110

1

1

0

256 +128+64

Jacques Houard

0 1 1 0 1
+ 8 +4

+1

2015-2016

15

Conversion Binaire -> Decimal
Autre exemple : conversion de 10110011012

Attention ! Le tableau débute à droite avec 1(=20) et non pas 0...
Jacques Houard

2015-2016

16

Conversion Décimal-> Binaire

2 Méthodes
1) Par division succesives par 2
2) Par soustraction des puissances de 2

Jacques Houard

2015-2016

17

Conversion Décimal -> Binaire

Methode 1: divisions successives ( attention
à l'ordre !
Jacques Houard

2015-2016

18

Conversion Décimal -> Binaire

Exemple pratique de conversion décimale vers binaire : Conversion de 2410 en
Binaire = 110002

Jacques Houard

2015-2016

19

Conversion Décimal -> Binaire
2ème Methode


Soustraction des Puissances de 2

EXEMPLE
5310= 32 + 16 +4 +1 = 25 +24 +22 +20 = 1101012
Question : Combien de bits nécessaires pour écrire 5310 ?
Jacques Houard

2015-2016

20

Conversion Décimal -> Binaire
Nombre de bits nécessaires :
Une conversion décimal-> binaire est une opération de base en informatique.
Il est important de savoir si l'on dispose de la « place nécessaire » pour écrire
le résultat dans la mémoire
Chaque bit correspond à une position.
Exemple :
3310 = 10000012

7 bits nécessaires ( le nombre comprend 7 chiffres)

Jacques Houard

2015-2016

21

Conversion Binaire -> Décimal
Exercices
Convertir en décimal ( base 10)
101110102 =
10102

=

20102

=

110010012

=

000000112

=

111112

=

Jacques Houard

2015-2016

22

Conversion Décimal -> Binaire


Convertir en binaire



29410 =



10910 =



110010 =



22110 =



3410 =



NB : Pour chaque calcul, indiquer le nombre de
23
bits nécessaires.Jacques Houard 2015-2016

Système Hexadécimal

Comparaison entre système binaire, décimal et hexadécimal
Jacques Houard

2015-2016

24

Conversion Hexadécimal->Décimal


Exemple





FB316 = F*162

+ B*161 + 3*160



= 15 * 256 + 11 * 16 + 3



= 3840

+176

+3 =

401910



Jacques Houard

2015-2016

25

Conversion Décimal-> Hexadécimal
Methode 1
Divisions successives par 16


Exemple : conversion de 91810 en base 16

Résultat = 39616 Attention à l'ordre de lecture inverse !
Jacques Houard

2015-2016

26

Conversion Décimal-> Hexadécimal
Methode 2
Recherche des plus hautes puissances de 16
Exemple
91810 = 3*162 + 9 * 161 + 6 *160 = 39616


Jacques Houard

2015-2016

27

Conversion Hexadecimal <->Binaire
Il s'agit d'une conversion « facile »
- à 4 bits d'un binaire correspond un chiffre
hexadécimal :
1010-0111-10012 = A -7- 9 = A7916


à chaque chiffre hexadécimal correspond 4 bits
d'un binaire
F 9 6 B16 = 1111 1001 0110 10112



Il est parfois plus simple de passer par le binaire pour les
conversion entre décimal et hexadécimal.
Jacques Houard

2015-2016

28

Exercices
Convertir en binaire ou décimal


29410 =



11002 =



10910 =



1000100001102 =



110010 =



22110 =



3410 =
Pour les conversions vers
le binaire,
de combien de bits doit-on29
Jacques Houard
2015-2016
disposer ?





Exercices


Conversion vers le décimal



120016 =



FEE16 =



A1C16 =



1BB16 =



2A616

=



B0B16

=
Jacques Houard

2015-2016

30

Exercices
Conversion vers l'hexadécimal


47710 =



101110110012 =



55510 =



10110 =



99910
Jacques Houard

2015-2016

31

Exercices
Convertir vers les autres bases
ACDC16 =


11110 =



82016 =



....

Jacques Houard

2015-2016

32

Eléments de Logique
Introduction






Exemple :
Au moins 2 personnes ont le même nombre de
cheveux sur la tête dans Bruxelles

...en effet, le nombre maximal de cheveux sur la tête est
de 500 000, et Bruxelles compte au moins 1 000 000
habitants


Jacques Houard

2015-2016

33




Eléments de Logique
Introduction




La logique peut être définie comme l'étude du
raisonnement
Le raisonnement peut être présent dans
différents domaine ( parfois de manière
discrète) :


Activités technico-scientifiques



Au tribunal



La publicité



La vie de tous les jours
Jacques Houard






2015-2016

34

Eléments de Logique


Exemple Logique et vie quotidienne






PROF : « Marie, va au tableau et localise L'Amérique sur
la carte »
MARIE : « Voila, monsieur »




(Marie se lève et montre l'Amérique sur la carte au mur)



PROF : « Bien. La classe, qui a découvert l'Amérique ? »






LA CLASSE : ….
Jacques Houard

2015-2016

35

Limites de la Logique


Exemple Logique et vie quotidienne



LA CLASSE : Marie !

Jacques Houard

2015-2016

36

Test de Logique
Question : Combien de pastèques faut-il pour
construire une maison ?


Réponse : 24, car les frites n'ont pas de cuir
chevelu.




Votre détecteur inné de logique devrait vous
alerter....



Jacques Houard

2015-2016

37

Logique et langage


Le garçon : « Fromage ou dessert ? »



Le client : « Les deux ! »



Le Garçon : « Euh...il faut choisir, en fait.. »







Ambiguïté de la langue française
La grammaire française est logique ... à
quelques exceptions près.
La logique nécessite un langage rigoureux.
Jacques Houard

2015-2016

38

Logique et Langage


« Un fou trouve toujours un plus fou que lui »



Pourrait se dire aussi ainsi :







Chaque fou trouve toujours au moins un autre
encore plus fou que lui
N'importe quel fou trouve toujours un autre
encore plus fou que lui
Pour tout fou, il en existe un encore plus fou
que lui
Jacques Houard

2015-2016

39

Logique et langage
Intérêt d'une mathématisation


« Traduction » mathématique




Avec,


« pour tout »


« contenu dans »

« identique à »

« il existe »
« tel que »
Jacques Houard

2015-2016

40

Logique et Informatique


Exemple d'exercice : Recherche de l'élément
« toto » dans un tableau :



Quand s'arrête-t-on ?



La recherche est arrêtée SI





« toto » est trouvé OU la dernière cellule du
tableau est lue
NB : OU exclusif ou inclusif ?



Jacques Houard

2015-2016

41

Logique et causalité


« S'il fait beau, je suis à la pêche »



( il fait beau, condition suffisante)



Je ne suis pas à la pêche, donc il ne fait pas
beau.



Jacques Houard

2015-2016

42

Logique - Propositions


La logique travaille avec des propositions (ou assertions), qui
peuvent être vraie ou fausses. Il faut cependant que cette
valeur (vrai ou faux), puisse être obtenue.
Autre définition



« Une proposition est un énoncé simple, susceptible d'être vrai
ou faux »



EXEMPLE :



Les hommes sont mortels



Sujet (êtres ou objets) : les hommes



Copule : sont (verbe être)



Prédicat (propriété) : mortels
Jacques Houard

2015-2016

43

Logique - Propositions


Exemples :



B. Obama est un grand président



« Avatar » est un mauvais film



Il fera beau demain



5 est un nombre pair



7 est plus petit que 8



Les Ondes Wifi sont mauvaises pour la santé



Un exemple paradoxal :
Je mens
Jacques Houard

2015-2016

44

Proposition
Une proposition ne peut pas être :
–optative (un souhait)
–interrogative (une question)
–impérative (un ordre)

Jacques Houard

2015-2016

45

Propositions simples et composées
( formules)


« Simple » -> l'énoncé ne peut être décomposé
en plusieurs énoncés.






Exemple de proposition composée ou formule :
« je ne mange pas de glace, mais des
carottes »
NB : « Mais » est équivalent à « et » ( dans le
domaine de la logique...)

Jacques Houard

2015-2016

46

Exercice : trouver les propositions
qui conviennent !


1) Namur est la capitale de la Flandre



2) Génial !



3) Deux plus deux font cinq



4) Il faut nettoyer la classe !



5) les hommes sont comme des chiens



6) Venez-vous souvent ici ?



7) Astana est la capitale du Kazakhstan



8) Que la force soit avec vous !
Jacques Houard



2015-2016

47

Raisonnements-syllogismes




Les raisonnement sont composées de
propositions
Exemple


Tous les hommes sont mortels



Je suis un homme



Donc je suis mortel



Exemple de raisonnement déductif
Jacques Houard

2015-2016

48

Ce que la logique peut..et ne peut
pas


La logique peut



Critiquer la validité d'un raisonnement



Travailler avec des propositions vraies et fausses



Dire si un raisonnement est valide



Justifier par déduction



La logique ne peut pas



Créer un raisonnement valide



Vous dire ce qui est réellement vrai ou faux



Vous dire si un raisonnement est sensé



Raisonner par induction





Jacques Houard

2015-2016

49



LOGIQUE
Principes de base


Principe du tiers exclu ( Aristote- Russel)



Toute proposition doit être soit vraie, soit fausse





Principe de non contradiction
Une proposition ne peut être à la fois, être vraie
et fausse.

Jacques Houard

2015-2016

50

Logique et mathématiques



La logique est utile pour les mathématiques
Les mathématiques sont aussi utiles pour la
logique
=> Utilisation d'un formalisme mathématique

Jacques Houard

2015-2016

51

Formules et propositions: les
symboles utilisés
1) Les lettres propositionnelles représentent des
proposi,ons simples : p, q, r, …
Exemple :
h représente « les hommes sont mortels »
p représente « il pleut »

Définition : valeur de vérité = valeur que peuvent prendre les
proposi,ons et formules logiques
Ces valeurs sont :
VRAI = V = TRUE = T = 1
FAUX = F = FALSE = F = 0
Jacques Houard

2015-2016

52

Formules et propositions: les
symboles utilisés
2) Les opérateurs (ou symboles) logiques :

–L’opérateur unaire (1 argument) :


La négation = NON (p) = NOT (p) = NON(p)= p= ~p

–Les opérateurs binaires (2 arguments) :


ET = AND = la conjonction = Ʌ = & = ∩



OU inclusif = OR = la disjonction inclusive = V = U



OU exclusif = XOR = la disjonction exclusive = W

Jacques Houard

2015-2016

53

Formules et propositions: les
symboles utilisés
Exemples :

Jacques Houard

2015-2016

54

Formules et propositions: les
symboles utilisés
1) les formules correspondent à des propositions
composées
2) Si A est une formule, alors non(A) est une
formule
3) Si A et B sont des formules, alors (A et B), (A ou
B) sont des formules
Exemples : A = (p ET q) = (p Ʌ q)
B = non(A) v (r v q)
Rem : les () servent à préciser et modifier l’ordre
d’exécution des opérateurs dans une formule
Jacques Houard

2015-2016

55

Réalisation d’une formule
Définition 1 : une réalisation pour une formule
consiste à donner une valeur (de vérité) pour
CHAQUE variable de cette formule.
•Définition 2 : une table de vérité consiste à
envisager toutes les réalisations possibles d’une
formule
Jacques Houard

2015-2016

56

Table de vérité à une variable

Toutes les réalisations de p sont présentées

Jacques Houard

2015-2016

57

Table de vérité à une variable
Application: Table de la négation

Exemple : p = « la fleur est jaune »
non(p) = « la fleur n’est pas jaune » = p
Jacques Houard

2015-2016

58

Exercices

Nier : Ce Chien possède 4 pattes.

Jacques Houard

2015-2016

59

Solutions

Nier : Ce Chien possède 4 pattes => Ce chien NE possède PAS 4 pattes

Jacques Houard

2015-2016

60

Table de vérité à deux variables

Jacques Houard

2015-2016

61

Table de la conjonction (ET, Ʌ)

Exemple :
Si
p = « la Terre est une planète » est VRAIE
q = « Le Soleil est une étoile » est VRAIE
Alors la formule (pɅq) est VRAIE
Jacques Houard

2015-2016

62

Table de la disjonction inclusive OU inclusif - V

Exemple :
Si
p = « la Terre est une étoile » est FAUSSE
q = « Le Soleil est une planète » est FAUSSE
Alors la formule (pVq) est FAUSSE
Jacques Houard

2015-2016

63

Table de la disjonction exclusive OU exclusif - W

Exemple :
Si
p = « la Terre est une étoile » est FAUSSE
q = « La Terre est une planète » est VRAIE
Alors la formule (pWq) est VRAIE
Jacques Houard

2015-2016

64

Table de vérité








Il s'agit d'un tableau qui permet d'évaluer une
formule
Formule, ou proposition composée:
proposition construite à partir de propostions
simples, reliées par des connecteurs logiques
Permet d'évaluer le résultat d'opérations
logiques
Tous les cas de figures doivent être évalués
Jacques Houard

2015-2016

65

Table de vérité à trois variables

Jacques Houard

2015-2016

66

Importance de l'ordre des
parenthèses



Faire la table de vérité de
1) (A et B) ou C




2) A et (B ou C)




3) A et B ou C est impossible ( par quelle
expression devrait-on commencer ?)



Exemple : Je possède une auto et une moto ou un cheval...


Jacques Houard

2015-2016

67

Exercice


Obtenir la table de vérité de l'expression

Examen 2013

Jacques Houard

2015-2016

68

... Solution
non C

B ou
excl C

A et C

non(A
et C)

(B ou excl C) ou
non(A et C)

A

B

C

~C

Bw~C

(A∩C)

~(A∩C)

(Bw~C)U(~(A∩C))

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

Jacques Houard

2015-2016

69

Types de formules
Définition : une formule A est une loi logique ou
une tautologie si toutes les réalisations de A sont
VRAIES (= 1)
Définition : une formule A est une contradic/on si
A est fausse dans toutes ses réalisations
Définition : une formule A est dite con/ngente si
A est VRAIE dans certaines réalisations et
FAUSSE dans d’autres
Jacques Houard

2015-2016

70

Equivalence Logique
Définition : deux formules A et B sont équivalentes
SSI toutes leurs réalisations ont la même valeur de
vérité ( = même table de vérité)
Notation :

A≡B

aussi A ~ B

Exemple :

p≡p

Jacques Houard

2015-2016

71

Exercice
Montrer que

Jacques Houard

2015-2016

72

Solution
1) Application de la loi de Morgan

2) Table de vérité

Solution

Non A

Non A U
Non B

Non B

A comparer...

A

B

AUB



~(A)

U

~B

AwB

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

Jacques Houard

2015-2016

73

Lois de Morgan


Exemple :



Nier



« Je n'ai ni chat ni chien »




Nier :



Je possède une Porsche ou une Ferrari

Jacques Houard

2015-2016

74

Lois de Morgan


Loi 1

Loi 2

Jacques Houard

2015-2016

75

Lois de Morgan
1)


Non (A ou B) ↔ (Non A) et (Non B)



(NB : ↔ ≡ « est équivalent à » )




2)
Non (A et B) ↔ (Non A) ou (Non B)






Exercice : vérification des équivalences par la
table de vérité Jacques Houard 2015-2016
76

Lois de Morgan

Jacques Houard

2015-2016

77

Exercices


Nier, et vérifier avec une table de vérité :
1)

2)

3)

Jacques Houard

2015-2016

78

Exercices


Montrer que

1)

Par les lois de Morgan

2) Avec une table de vérité

Jacques Houard

2015-2016

79

Exercices

1) Par les lois de Morgan

Jacques Houard

2015-2016

80

Exercices
2) Avec une table de vérité

Jacques Houard

2015-2016

81

Implication
« Si je ne vous vois pas au cours, vous pouvez revenir en deuxième session »
Se lit

« Si p alors q »
« Si p , on a q »

Avec p = « je ne vous vois pas au cours »
q= « vous pouvez revenir en deuxième session »
... p est une condition suffisante pour q
NOTATION :

p→q

Jacques Houard

2015-2016

82

Implication
Table de vérité

Exemple : si p = « il pleut » est VRAI,
q = « j’étudie mes maths » est FAUX
ALORS la formule (p -> q) = « s’il pleut, alors j’étudie
mes maths » est FAUSSE
Jacques Houard

2015-2016

83

Implication
Exercice : démontrer avec une table de vérité que

Si p est vrai, on peut en déduire que q est vrai
...si p est faux, on ne peut rien en déduire sur q

« Venez au cours OU revenez en deuxième Session... »

Jacques Houard

2015-2016

84

Implication
Remarque : - Si (p -> q) ALORS p est une condition suffisante
pour q
q est une condition nécessaire pour p
- implication ≠ déduction
Exemple : la formule « la lune est verte donc la Meuse n’est pas
un fleuve» est VRAIE (0 -> 1 = 1) Si p ALORS q mais si p = 0
ALORS il s’ensuit ce que l’on veut.

Jacques Houard

2015-2016

85

Négation de l'implication

« Je ne vous vois pas au cours ET vous ne revenez pas en deuxième session...

Jacques Houard

2015-2016

86

Réciproque
Exemple
Proposition : « S'il pleut, alors il y a des nuages »
Réciproque : « S'il y a des nuages, alors il pleut »
Ecriture formelle : La proposition

La réciproque

NB : l'implication et sa réciproque
Ne sont PAS équivalents..
Donner des exemples....

Jacques Houard

2015-2016

87

Contraposée
Exemple
Proposition : « S'il pleut, c'est qu'il y a des nuages »
Contraposée : « S'il n'y a pas de nuages, c'est qu'il ne pleut pas »
Ecriture formelle : La proposition

La contraposée

Exercice : dresser la table de vérité de la contraposée
Jacques Houard

2015-2016

88

Contraposée
La contraposée est équivalente à la proposition

Or

....CQFD !
Jacques Houard

2015-2016

89

Implication exercices
Donner la négation, la réciproque et la contraposée de :
« Si mon train a un retard de 50', alors j'arrive en retard au cours
mais les étudiants attendent »
« Si mon chien a une laisse, alors il peut se pendre ou faire des maths »
« Si j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous de 50 %, alors
Je réussis mon année. »
« Si une perruque pend dans la garderobe, c'est que tante Doris nous rend visite »

Remarque: Il est parfois plus facile de raisonner par contraposée

Jacques Houard

2015-2016

90

Implication - exercices
« Si mon train a un retard de 50', alors j'arrive en retard au cours
mais les étudiants attendent »
p = « train en retard de 50' »
q = « j'arrive en retard »
r = « les étudiants m'attendent »
p → (q Ʌ r)

≡ p V (qɅr)

Négation : p V (qɅr) = p Ʌ(qVr)
=>« Mon train a un retard de 50' et je n'arrive pas en retard ou les étudiants ne m'attendent pas
Réciproque : (q Ʌ r) → p
=>«J'arrive en retard et les étudiants m'attendent donc mon train a un retard de 50'»
Contraposée :

(qɅr) -> p

≡ (q Vr) → p

=> «je n'arrive pas en retard ou les étudiants ne m'attendent pas, donc mon train n'a
pas un retard de 50' » 
Jacques Houard

2015-2016

91

Implication - exercices
« Si mon chien a une laisse, alors il peut se pendre ou faire des maths »
p = « mon chien a une laisse »
q = « il peut se pendre »
r = « il fait des maths »
p → (q V r)

≡ p V (qVr)

Négation : p V (qVr) = p Ʌ(q Ʌr)
=>« Mon chien a une laisse et il ne peut pas se pendre et ne fait pas des maths
Réciproque : (q V r) → p
=>«mon chien peut se pendre ou il fait des maths donc il a une laisse»
Contraposée: (qVr) -> p

≡ (q Ʌr) → p

=> «mon chien ne peut pas se pendre et il ne fait pas de math, donc il n'a
pas de laisse »

Jacques Houard

2015-2016

92

Implication - exercices
« Si j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous de 50 %, alors
Je réussis mon année. »
p = « plus de 60 % de moyenne »
q = « pas de note en dessous de 50 %»
r = « je réussis mon année »
(pɅq) → r

≡ (pɅq)V r ≡ (pVq)Vr

Négation : (p Vq)Vr) = (p Ʌq)Ʌr)
=>« j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous de 50 % et je ne réussis pas...
Réciproque :
r → (pɅq)
=> «je réussis mon année donc j'ai plus de 60 % de moyenne et pas de note en dessous
de 50 % »

≡ r→ pVq

Contraposée: r -> p^q

=> je ne réussis pas mon année donc je n'ai pas 60 % de moyenne ou des notes
en dessous de 50 % »
Jacques Houard

2015-2016

93

La bi-implication
Exemple :

« Un nombre est pair si sa division par deux ne laisse pas de reste »

« Je prends le train le matin si et seulement s'il y a des embouteillages »
(ATTENTION : différent de « Je prends le train s'il y a des embouteillages »)

Notation

Jacques Houard

2015-2016

94

La bi-implication

.. p est une condition nécessaire et suffisante pour q

Exercice : Construire la table de vérité de l'expression
(p→q) Ʌ (q →p)

Jacques Houard

2015-2016

95

La bi-implication

Jacques Houard

2015-2016

96

Quantificateurs
« Les hommes savent pourquoi ! »
=> « Tous les hommes savent pourquoi »
ou
« Chaque Homme sait pourquoi
Le symbole du quantificateur universel
« Chaque Homme est amateur de Jupiler »

Jacques Houard

2015-2016

97

Jacques Houard

2015-2016

98

Jacques Houard

2015-2016

99

Quantificateurs
Négation de la proposition « les hommes savent pourquoi
« Il existe au moins un homme qui n'est pas amateur de Jupiler »

Jacques Houard

2015-2016

100


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