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Institut préparatoire aux études

2015-2016

d’ingénieurs de Tunis

MP 1 / MP 2

Devoir à la maison 4:

Problème I
Préambule:
Dans tout le probléme f : [ 1; 1] ! R continue et n 2 N . (rk )1

k n

famille

de n réels de [-1, 1] deux à deux distincts.
On dit qu’un polynome P interpolle f aux points (rk )1

k n

si et seulement si

P (rk ) = f (rk ) 8k 2 [j1; nj].

I- Polynomes d’interpolation de Lagrange:
Pour tout i 2 [j1; nj], on pose : Li (X) =

n
Y
X
r
j=1 i

rj
rj

j6=i

1. Donner le degré de chaque polynome, Li , ses racines ainsi que
son coe¢ cient dominant.
2. Calculer : Li (rk ) 8i; k 2 [j1; nj]
3. En déduire que P (X) =

n
X

f (ri )Li (X) est l’unique polynome de degré n

1

i=1

qui interpole f aux points (rk )1

k n.

II- Polynomes de tchebechev:
Dans la suite on pose : Tn (X) = cos(n arccos(X)).
4. Montrer que Tn+1 (X) = 2X Tn (X)

Tn

1 (X).

5. En déduire que Tn est un polynome, on l’appelle n-éme polynomes de tchebychev.
Montrer que son degré est n et que son coe¢ cient dominant vaut 2n
e-mail: hafsi.hamza1@gmail.com

1

1

si n

1
2015/2016

6. Determiner les racines de Tn
7. Montrer supx2[

1;1]

jTn (x)j = 1:

III- Recherche des points réalisant la meilleure interpolation:
On se propose dans cette partie de déterminer les points (rk )1 k n pour les quels
l’interpolation est meilleure, c’est à dire pour les quels supx2[ 1;1] jf (x) P (x)j est minimal, où P est l’unique polynome de degré n 1 qui interpole f aux points (rk )1 k n .
On suppose que f est de classe C n
8. Soit x 2 [ 1; 1] di¤érent de tous les (rk )1

k n,

f (x) P (x)
n
Y
(x ri )

et A =

i=1

Soit g la fonction de…nie sur [ 1; 1] par : g(t) = f (t)

P (t)

A

n
Y

(t

ri )

i=1

(a) Montrer que g s’annule n + 1 fois sur [ 1; 1],
puis que g (n) s’annule au moins une fois sur [ 1; 1].
(b) En déduire que 9cx 2 [ 1; 1] tel que : A =
(c) En déduire que : supx2[
avec M = supt2[

1;1]

1;1] jf (x)

P (x)j

f (n) (cx )
n!
M
supt2[
n!

1;1] j

n
Y

(t

ri )j

i=1

jf (n) (t)j

Remarque :
Ainsi pour que supx2[

1;1]

jf (x)

P (x)j soit minimal il su…t que supt2[

le soit, on cherchera dorénavant à trouver les ri pour les quels

n
Y

1;1]

j

n
Y

(t

ri )j

i=1

(x ri ) est minimal, c’est à

i=1

dire encore à chercher les polynomes Q unitaires de degré n pour les quels supx2[
est minimal, et dont les ri sont les racines distinctes.
1
9. Montrer que ce sup vaut n
2
tchebychev.
10. Soit le cas général Q(X) =

1

1;1]

jQ(x)j

lorsque les rk sont les racines du n-éme polynomes de

n
Y

(X

ri )

i=1

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2015/2016

Supposons que : supx2[

1;1]

1

(a) Montrer que : Q

2n 1

jQ(x)j <

1
2n

1

Tn est un polynome de degré inférieur à n

1.

1
k
Tn )(cos( )) est de signe de celui de ( 1)k+1 80
2n 1
n

(b) Montrer que (Q
(c) En deduire que Q

1
2n 1

k

n.

Tn admet au moins n racines.

(d) En déduire une contradiction.
11. Conclure que les points (rk )1

k n

réalisant la meilleure interpolation sont

exactement les racine du n-éme polynomes de tchebychev.

Problème II
Soient a et b deux réels strictement positifs ; pour tout entier naturel non nul n,
Pn désigne la fonction polynomiale dé…nie par :

Pn (x) =

xn (a

bx)n
n!

pour tout x 2 R

I-Premiére partie:
Soit n un entier naturel non nul.
1) (a) Quel est le degré de Pn ?
(b) Préciser les racines de Pn et donner l’ordre de multiplicit´e de chacune d’elles.
(k)
(k) a
(c) Donner la valeur de Pn (0) et Pn ( ) pour tout entier k 2 f0; :::; n
b

1g:

2) Soit k 22 [jn; 2nj] .
(a) Montrer que, pour tout réel x,

Pn(k) (x) =

n
1 X
n!
Ckp
n!
(n p)! (n

n!
( b)k
k + p)!

p=k n

p n p

x

(a

bx)n

k+p

(k)
(k) a
(b) En déduire les valeurs de Pn (0) et Pn ( ) en fonction de a; b; n et k.
b
(k)
(k) a
(c) Véri…er que si a et b sont des entiers, il en est de meme dePn (0) et Pn ( )
b

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2015/2016

II-Deuxiéme partie
3) Soit n un entier naturel non nul.
a
(a) Etudier la fonction Pn sur le segment [0; ] ,dresser son tableau de variations.
b
a
(b) En déduire que Pn est positive et bornée sur le segment [0; ] ,
b
puis déterminer sa borne supérieure notée
4)

:

n

= sup Pn (x)

n

0 x

a
b

étant un réel strictement positif, on considére la suite (un )n

1

dé…nie par :

n

un =

n!

; n

1

(a) Montrer que la suite

un+1
un

n 1

(b) En déduire que la suite (un )n

converge vers 0.

1

converge vers 0.

(c) Que peut-on alors dire de la suite (

n )n 1

?

III-Troisiéme partie
On se propose de montrer l’irrationalité de

,on suppose donc qu’il existe deux

entiers naturels non nuls, notés c et d, tels que

=

c
d

Pour tout entier naturel non nul n, on pose
Qn (x) =

xn (a

bx)n
n!

,x 2 R et In =

Z

Qn (x) sin(x) dx

0

5) Montrer que, pour tout n 2 N , 0
puis en déduire la limite de (Ik )k

In

n!

c2
4d

n

,

1.

6) Montrer que pour tout n 2 N , In 6= 0.
7) (a)En utilisant des intégrations par partie, montrer que pour tout n 2 N ,

In =

2n
X

k=n

c
c
Q(k)
+ )
n ( ) cos( + k
d
d
2

Q(k)
n (0) cos(k

2

+ )

8) Justi…er alors que, pour tout n 2 N , In est un entier.
9) Conclure.
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2015/2016


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